Hàm đặc trưng và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THÙY DUNG HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THÙY DUNG HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS PHAN VIẾT THƯ HÀ NỘI - NĂM 2016 Mục lục MỞ ĐẦU Khái niệm tính chất hàm đặc trưng 1.1 Biến ngẫu nhiên giá trị phức 1.2 Hàm đặc trưng tính chất 1.3 Một số định lý hàm đặc trưng 17 Hàm đặc trưng số phân phối 29 2.1 Hàm đặc trưng số phân phối quan trọng 29 2.2 Tính chất đặc trưng phân phối chuẩn 31 2.3 Hàm đặc trưng phân phối nhiều chiều 49 Một số ứng dụng Hàm đặc trưng 57 3.1 Phân phối phân chia vô hạn 57 3.2 Phân phối ổn định 59 3.3 Ứng dụng Hàm đặc trưng Luật số lớn 64 3.4 Ứng dụng Hàm đặc trưng Định lý giới hạn trung tâm 67 KẾT LUẬN 77 Tài liệu tham khảo 78 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Phan Viết Thư, người thầy tận tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức bổ ích tạo điều kiện để tơi hồn thành luận văn Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình tơi thực đề tài Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô Khoa Tốn - Cơ - Tin học, Phịng sau đại học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội; thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013 -2015 tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè ln động viên ủng hộ giúp đỡ suốt trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2016 Học viên Đỗ Thùy Dung MỞ ĐẦU Hàm đặc trưng khái niệm quan trọng toán học với nhiều ứng dụng lý thuyết nhóm, lý thuyết độ đo tích phân đặc biệt lý thuyết xác suất Với mong muốn tìm hiểu sâu Hàm đặc trưng lý thuyết xác suất, chọn đề tài: "Hàm đặc trưng số ứng dụng" Mục đích luận văn tìm hiểu khái niệm, tính chất số ứng dụng Hàm đặc trưng Bản luận văn chia làm chương: Chương 1: Khái niệm tính chất hàm đặc trưng Trình bày khái niệm, tính chất số định lý hàm đặc trưng để phục vụ cho chương sau Chương 2: Hàm đặc trưng số phân phối Chương trình bày hàm đặc trưng số phân phối quan trọng phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối nhị thức, phân phối χ2 , hàm đặc trưng phân phối chuẩn nhiều chiều Và trọng vào tính chất đặc trưng phân phối chuẩn Chương 3: Một số ứng dụng Hàm đặc trưng Đề cập đến số ứng dụng Hàm đặc trưng khái niệm phân phối phân chia vô hạn, phân phối ổn định, quan trọng ứng dụng hàm đặc trưng Luật số lớn vàtrong Định lý giới hạn trung tâm Mặc dù có nhiều cố gắng, xong nhiều yếu tố khách quan chủ quan, nên trình chọn lọc tư liệu trình bày nội dung khó tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến bảo thầy cơ, góp ý chân thành bạn học viên để luận văn hoàn thiện Chương Khái niệm tính chất hàm đặc trưng Hàm đặc trưng công cụ phân tích hữu ích lý thuyết xác suất, đặc biệt để nghiên cứu định lý giới hạn lý thuyết xác suất Ở chương trình bày định nghĩa tính chất hàm đặc trưng 1.1 Biến ngẫu nhiên giá trị phức Cho biến ngẫu nhiên ξ , xét kì vọng biến ngẫu nhiên giá trị phức eiξt , ta nghiên cứu kỳ vọng biến ngẫu nhiên với giá trị phức trước; sau ta thấy định lý biến ngẫu nhiên thực mở rộng đến biến ngẫu nhiên phức Nếu ξ η biến ngẫu nhiên thực, đặt đại lượng ζ = ξ + iη biến ngẫu nhiên phức Phân phối ζ đặc trưng phân phối ξ η Chúng ta định nghĩa kì vọng ζ = ξ + iη E (ζ) = ζdP (1.1.1) Ω Hay E (ζ) = E (ξ) + iE (η) (1.1.2) Biến ngẫu nhiên ζ1 = ξ1 + iη1 ζ2 = ξ2 + iη2 gọi độc lập véc tơ ngẫu nhiên hai chiều (ξ1 ; η1 ) (ξ2 ; η2 ) độc lập Sự độc lập nhiều biến ngẫu nhiên phức định nghĩa tương tự Nếu ξ1 , ξ2 , , ξn biến ngẫu nhiên phức độc lập, tồn kỳ vọng E (ξk ) (k = 0, 1, 2, , n) thì: (1.1.3) E (Πξk ) = ΠE (ξk ) Nếu A (x) = a (x) + ib (x) hàm Borel giá trị phức biến x thực ξ biến ngẫu nhiên thực, kỳ vọng ζ = A(ξ) tồn tại, ta tính được: +∞ E (ζ) = A (x) dF (x) (1.1.4) −∞ F (x) phân phối ξ Thật ta có: +∞ E (ζ) = +∞ a (x) dF (x) + i −∞ b (x) dF (x) −∞ Điều dễ dàng chứng minh cho biến ngẫu nhiên với giá trị phức |E (ζ)| ≤ E (|ζ|) 1.2 (1.1.5) Hàm đặc trưng tính chất Chúng ta định nghĩa hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên ξ kỳ vọng eiξt ; hàm theo biến t ký hiệu ϕ(t) Theo định nghĩa : ϕξ (t) = E eiξt (1.2.1) Theo cơng thức (1.1.4) +∞ eixt dF (x) ϕξ (t) = (1.2.2) −∞ F(x) hàm phân phối ξ ; từ ϕξ (t) gọi phép biến đổi Fourier - Stieltjes F(x) Nếu hàm phân phối ξ rời rạc ξ có giá trị giả định xk (k=1,2, ) với xác suất tương ứng : pk (k=1,2, ) ϕξ (t)có thể viết dạng: ∞ pk eitxk ϕξ (t) = (1.2.3) k=1 Nếu hàm phân phối ξ liên tục tuyệt hàm mật độ f (x) = F (x) Ta có: +∞ eitx f (x) dx ϕξ (t) = (1.2.4) −∞ Do ϕξ (t) phép biến đổi Fourier - Stieltjes f(x) Từ thấy hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên tùy ý phụ thuộc vào phân phối xác suất nó; hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên có phân phối đồng Hàm đặc trưng định nghĩa theo công thức (1.2.2) gọi hàm đặc trưng F(x) (Hay hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên với hàm phân phối F(x)) Trước tiên, ý rằng: hàm phân phối có hàm đặc trưng tích phân Slieltjes (1.2.2) tồn tại, theo quy ước: eixt = Nếu giả thiết ξ nhận giá trị nguyên dương với : P (ξ = k) = pk Ta thấy : (k = 0, 1, ) n pk eikt = Gξ eit ϕξ (t) = k=0 đây: n pk z k Gξ (z) = (|z| ≤ 1) k=0 hàm sinh ξ Trong trường hợp giá trị hàm đặc trưng với giá trị hàm sinh bên đường tròn đơn vị Trong trường hợp tổng quát, ξ nhận khơng giá trị khơng âm hàm sinh khơng định nghĩa, nhiên hàm đặc trưng tồn với biến ngẫu nhiên Ta chứng minh số định lý hàm đặc trưng phân phối xác suất Định lí 1.2.1 Ta ln có ϕξ (t) ≤ 1, dấu "="xảy t=0 Chứng minh: Từ eiξt = từ cơng thức (1.1.5), ta có: eiξt ϕξ (t) ≤ E =1 Hơn với t=0 : ϕξ (0) = E e0 = Vậy dấu "=" xảy t=0 Định lí 1.2.2 Hàm ϕξ (t) liên tục toàn trục số, −∞ < t < +∞ Chứng minh: Lấy ε > 0, chọn λ > cho: P (|ξ| > λ) < ε Nếu ta ký hiệu Aλ biến cố :|ξ| > λ Hiển nhiên ta có: ϕξ (t) = E eiξt /Aλ P (Aλ ) + E eiξt /Aλ P Aλ Từ E eiξt /Aλ (1.2.5) ≤ Ta kết luận: ϕξ (t) − E eiξt /Aλ P Aλ ε (1.2.6) 2ε (1.2.7) a0 ta có: ψ (λt) = λα ψ (t) = tα ψ (λ) (3.2.22) ψ (t) = |t|α ψ (1) ; (3.2.23) với λ = t>0 Đặt ψ (1) = − (c0 + ic1 ) Từ ϕ (−t) = ϕ (t) ψ (−t) = ψ (t) ta thu với t: ψ (t) = − c0 + i t c1 |t| |t|α (3.2.24) Bởi |ϕ (t) ≤ 1, c0 > 0| xảy ra, điều lại cho thấy < α ≤ Nhưng α ≥ bao hàm ϕ (0) = D2 (α) = 0, ξ số Lúc (3.2.6) chứng minh 3.3 Ứng dụng Hàm đặc trưng Luật số lớn Định lí 3.3.1 Cho ξk biến ngẫu nhiên độc lập đôi có phân phối, giả sử kỳ vọng (3.3.1) E (ξk ) = M tồn Đặt ζn = n n ξk k=1 p ζn → − M (3.3.2) Chứng minh: Khơng tính tổng qt giả sử M=0 Đặt ξk∗ = ξk khi 64 |ξk | ≤ k |ξk | < k (3.3.3) Nếu F(x) hàm phân phối biến ngẫu nhiên ξk , ta có: n n k=1 +k n E (ξk∗ ) = n (3.3.4) xdF (x) k=1 −k Từ giả thiết +k lim k→∞ −k +∞ xdF (x) = xdF (x) = −∞ ta viết : lim n→∞ n n E (ξk∗ ) = (3.3.5) k=1 Mặt khác: +∞ D (ξk∗ ) ≤E ξk∗2 x2 dF (x) = −∞ đó: n2 √ + n +n n D2 (ξk∗ ) ≤ k=1 n x2 dF (x) ≤ √ n −n |x| dF (x) + √ − n |x| dF (x) (3.3.6) √ |x|> n vậy: lim n→∞ n n D2 (ξk∗ ) = (3.3.7) k=1 Nếu ta đặt ∗ ξn,r = n r n ξk∗ ξk + k=1 k=r+1 ta có: ∗ lim stξn,r =0 n→∞ Mặt khác ta có n P ∗ ζn,r = ζn ≤ n P k=r+1 (ζk∗ dF (x) ≤ = ζk ) = k=r+1 |x|>k 65 |x| dF (x) |x|>r (3.3.8) Nếu r đủ lớn, ta có với δ > bất đẳng thức ∗ P ζn,r = ζn < δ Vì với δ > ∗ ∗ P (|ζn | > ε) = P |ζn | > ε, ζn,r = ζn + P |ζn | > ε, ζn,r = ζn (3.3.9) đó: lim sup P (|ζn > ε|) ≤ δ (3.3.10) n→∞ Nhưng với δ > tùy ý, điều suy ra: lim P (|ζn > ε|) = n→∞ suy điều phải chứng minh Nhận xét: Khi biến ngẫu nhiên ξk độc lập đơi mà độc lập hồn tồn với nhau, định lý chứng minh phương thức hàm đặc trưng Ta biết hội tụ ngẫu nhiên ζn tới tương đương với hội tụ hàm phân phối Fn (x) ζn tới hàm phân phối suy biến D0 (x) số (ví dụ: tới với x>0 tới x2 ) thay thời điểm thứ 3; trường hợp thay (3.4.11) người ta phải giả sử Kn (β) =0 n→+∞ Sn (3.4.13) lim : n E |ξk − Mk |β Kn (β) = k=1 β (3.4.14) Lindeberg chứng minh định lý giới hạn trung tâm điều kiện tổng qt Điều kiện ơng nghĩa cần thiết Nó xây dựng định lý sau Lindeberg: Định lí 3.4.3 Cho ξ1 , , ξn , biến ngẫu nhiên độc lập với kỳ vọng Mk = E (ξk ) phương sai tiêu chuẩn Dk = D (ξk ) ; n k = (1, 2, ) Đặt: D2k Sn = (3.4.15) k=1 Fk (x) hàm phân phối ξk −Mk Nếu với ε dương, điều kiện Linderberg lim n→+∞ Sn n x2 dFk (x) = k=1 (3.4.16) |x|>εSn thỏa mãn với: n (ξk − Mk ) ζn∗ = k=1 Sn 71 (3.4.17) ta có: lim P (ζn∗ < x) = Φ (x) (3.4.18) n→+∞ Chú ý: Từ điều kiện Liapunov (3.4.11) người ta suy (3.4.16); thực ta có: lim P (ζn∗ < x) = Φ (x) (3.4.19) n→+∞ Tương tự (3.4.16) suy từ (3.4.13) Vì đủ để chứng minh định lý 3.4.3 (Định lý Lindeberg); định lý Liapunov (Định lý 3.4.2) chứng minh Chứng minh định lý 3.4.3: Nêu ϕk (t) hàm đặc trưng ηk = ξk − Mk : +∞ ϕk t Sn itx = (3.4.20) e sn dFk (x) −∞ Ta cần bổ đề sau : Bổ đề 3.4.1 Cho số thực u k = 1,2, ta có: k−1 (iu)j |u|k ≤ j! k! iu e − j=0 (3.4.21) Chứng minh bổ đề: Thật vậy, u iu e −1 = (1 − cos u) = u vdv = u2 sin vdv ≤ (3.4.22) (3.4.21) xác định với k=1; (3.4.21) xác định với k kỳ, điều kéo theo từ k iu e − j=0 u (iu)j = j! k−1 i iv e − j=0 (iv)j j! dv (3.4.23) công thức (3.4.21) xác định với k + 1; quy nạp (3.4.21) xác định với k Do bổ đề chứng minh 72 Vì ta có: itx x2 t2 + θ1 ; Sn 2Sn itx e Sn = + |θ1 | ≤ (3.4.24) itx e Sn = + itx x2 t2 x3 t3 − + θ ; Sn 2Sn2 6Sn3 |θ2 | ≤ (3.4.25) Lấy ε > Tích phân (3.4.20) chia thành phần: +εSn ϕk t sn itx itx −εSn (3.4.26) e Sn dFk (x) e Sn dFk (x) + = |x|>εSn Đầu tiên ta xét tích phân đầu vế phải (3.4.26) Bởi (3.4.25) ta có: +εSn e +εSn itx Sn dFk (x) = −εSn +εSn t2 xdFk (x) − 2Sn it dFk (x) + Sn −εSn −εSn +εSn (1) x2 dFk (x) + Rk −εSn (3.4.27) với (1) Rk +εSn |t|3 ≤ 6Sn3 ε|t|3 |x| dFk (x) ≤ D 6Sn2 k (3.4.28) −εSn Với tích phân thứ cơng thưc (3.4.26) ta áp dụng cơng thức (3.4.24) thu dược: itx e Sn dFk (x) = |x|>εSn dFk (x) + it Sn |x|>εSn (2) xdFk (x) + Rk (3.4.29) |x|>εSn với (2) Rk ≤ |t|2 2Sn2 x2 dFk (x) (3.4.30) |x|>εSn Nếu ta thêm vào công thức (3.4.27) (3.4.29); ta thu (3.4.28), (3.4.30) cách lấy thêm E(ηk ) = 0, ϕk t Sn t2 Dk2 (3) =1− + Rk 2Sn 73 (3.4.31) với (3) Rk t3 εDk2 |t|2 ≤ + 6Sn Sn x2 dFk (x) (3.4.32) |x|>εSn Bây ta thấy (3.4.16) bào hàm max Dk lim 1≤k≤n (3.4.33) =0 Sn n→+∞ Thật vậy: n Dk2 2 x dFk (x) ≤ x dFk (x) + = ε2 Sn2 k=1 |x|>εSn |x|≤εSn x2 dFk (x) + |x|>εSn max Dn2 1≤k≤n S2 n n ≤ε + Sn x2 dFk (x) k=1 (3.4.34) |x|>εSn Nó kéo theo, có (3.4.16) mà: max Dk lim sup 1≤k≤n Sn n→+∞ ≤ε (3.4.35) Từ ε > chọn bé tùy ý, (3.4.33) chứng minh Bây chọn n0 (ε) cho với n > n0 (ε) Sn2 n x2 dFk (x) < ε k=1 (3.4.36) |x|>εSn max Dk 1≤k≤n Sn ≤ε Điều thực (3.4.16) (3.4.33) Hơn lấy ε < t2 Dk2 ≤1− ≤1 2Sn2 74 (3.4.37) |t| với n > n0 (ε) ≤ k ≤ n Vì đồng thức n n n (ak + bk ) − k=1 bj ak = ak j=1 k=1 (3.4.38) (ak + bk ) kεSn 75 x2 dFk (x) = k=1 √ |x|>εD n (3.4.43) Vì định lý 3.4.3 bao gồm định lý 3.4.1 trường hợp đặc biệt Chú ý +∞ x2 dF (x) tồn định lý 3.4.1 khơng suy từ định lý 3.4.2, từ −∞ +∞ −∞ |x|3 dF (x) = +∞ với +∞ −∞ 76 |x|3 dF (x) với ∀β > KẾT LUẬN Về Luận văn trình bày số khái niệm, định lý tính chất hàm đặc trưng số ứng dụng hàm đặc trưng lý thuyết xác suất Mặc dù cố gắng, trình độ thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh 77 Tài liệu tham khảo [1] A Rényi (1970),Probability Theory, Akadénmiai Kiadó, Pudapest, Hungary [2] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục 78