Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ LIÊN SỐ FIBONACCI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Cán hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Nhụy, Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo thầy suốt thời gian thực Luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cơ giáo khoa Tốn – Cơ – Tin, phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015 Cảm ơn Thầy Cô truyền cho kiến thức giúp đỡ suốt q trình học tập khoa Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn PPTSC, khóa học 2013 - 2015 động viên, giúp tơi có hội thảo luận trình bày số vấn đề Luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Đông Đô - Quận Tây Hồ - Tp Hà Nội tạo điều kiện cho mặt để tham gia học tập hoàn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè ln ủng hộ nhiệt tình giúp đỡ tơi thời gian vừa qua Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ Luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm tới Luận văn Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2015 Học viên Phạm Thị Liên Mục lục 0.1 Lý chọn đề tài Luận văn 0.2 Mục đích đề tài Luận văn 0.3 Bố cục Luận văn Số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học ứng dụng 1.1 1.2 1.3 1.4 Sự đời số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên Toán học 1.1.1 Sự đời số Fibonacci 1.1.2 Số Fibonacci với tự nhiên 10 1.1.3 Số Fibonacci với Toán học 18 Định nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.2 Định nghĩa dãy Lucas 24 1.2.3 Một số biến thể dãy Fibonacci 24 Số Fibonacci với số âm 25 1.3.1 Số Fibonacci với số âm 25 1.3.2 Số Lucas với số âm 26 Dãy Fibonacci Tỷ số vàng ứng dụng 28 1.4.1 Định nghĩa Tỷ số vàng mối quan hệ với sống 28 1.4.2 Tỷ số vàng tự nhiên 1.4.3 Tỷ số vàng kiến trúc 37 1.4.4 Tỷ số vàng thiết kế 39 1.4.5 Tỷ số vàng nghệ thuật 41 1.4.6 Dãy Fibonacci thị trường tài 43 30 1.4.7 Các ứng dụng khác 47 Các tính chất số Fibonacci Công thức Binet cho số Fibonacci 2.1 49 Các tính chất đơn giản số Fibonacci 49 2.1.1 Một số tính chất số Fibonacci 49 2.1.2 Một số tính chất số Lucas 62 2.2 Tính chia hết tập số Fibonacci 66 2.3 Công thức tổng quát số Fibonacci 74 2.4 Một áp dụng công thức Binet 78 2.5 Điều kiện cần đủ để số tự nhiên n số Fibonacci 81 2.6 Hai mối liên hệ đặc biệt dãy Fibonacci số 11 85 2.6.1 Mối liên hệ thứ 85 2.6.2 Mối liên hệ thứ hai 86 Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển 3.1 90 Số Fibonacci tam giác Pascal 90 3.1.1 Các kiến thức 90 3.1.2 Tam giác Pascal 91 3.1.3 Một số tính chất rõ ràng tam giác số Pascal 93 3.1.4 Mối liên hệ tam giác Pascal với số Fibonacci 95 3.1.5 Các đường Fibonacci quân cờ bàn cờ 103 3.2 3.3 Số Fibonacci tam giác tựa Pascal 106 3.2.1 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal với số Lucas 106 3.2.2 Một công thức thay cho Ln 110 3.2.3 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal với số Fibonacci 111 3.2.4 Một công thức thay cho Fn 113 3.2.5 Tam giác Lucas 113 3.2.6 Một định nghĩa đệ quy cho D(n, j) 115 Số Fibonacci tam giác tựa Pascal mở rộng 119 3.3.1 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal mở rộng với số Fibonacci 119 3.3.2 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal mở rộng với số Lucas 122 Kết luận 127 Tài liệu tham khảo 128 MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài Luận văn Dãy Fibonacci vẻ đẹp kho tàng Toán học Dãy Fibonacci xuất biến hóa vơ tận tự nhiên, với nhiều biến thể đẹp ứng dụng quan trọng Trước Fibonacci, có nhiều học giả nghiên cứu dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viết phát triển dãy Fibonacci "một phần từ Pingala, sau kết hợp với Virahanka, Gopala Hemachandra" Sau Fibonacci, có nhiều nhà Khoa học nghiên cứu dãy Fibonacci Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), Có nhiều tính chất dãy mang tên nhà khoa học Hiện nay, tài liệu tiếng Việt dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển chưa có nhiều cịn tản mạn, cần phải giới thiệu dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển cách đầy đủ thống Vì vậy, việc tìm hiểu sâu giới thiệu dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học hiểu biết người Bản Luận văn "Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển" tiến hành vào cuối năm 2015 chủ yếu dựa tài liệu tham khảo số phát riêng tác giả Mặc dù Luận văn đề cập đến số Fibonacci số Lucas, số Fibonacci chủ yếu Chú ý số Lucas xây dựng sau xuất số Fibonacci, hai dãy số xây dựng phương pháp dãy Lucas giới Toán học cho thuộc họ Fibonacci, nên Luận văn lấy tên số Fibonacci 0.2 Mục đích đề tài Luận văn Học tập giới thiệu dãy Fibonacci với tính chất Đặc biệt, giúp độc giả nắm xuất đa dạng dãy Fibonacci tự nhiên ứng dụng tam giác kinh điển Chú ý lập luận, ta dùng đến kiến thức Toán Trung học phổ thông 0.3 Bố cục Luận văn Bản Luận văn "Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển" gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học ứng dụng Chương này, giới thiệu đời dãy Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci dãy số Lucas; số Fibonacci số Lucas với số âm; dãy Fibonacci Tỷ số vàng ứng dụng Chương Một số tính chất số Fibonacci Công thức Binet cho số Fibonacci Chương này, trình bày số tính chất số Fibonacci số Lucas; công thức tổng quát số Fibonacci, số Lucas công thức Binet cho số Fibonacci Chứng minh tính chất số Fibonacci số Lucas tìm tịi, suy nghĩ tác giả Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày điều kiện cần đủ để số tự nhiên n số Fibonacci; áp dụng công thức Binet cho thấy mối liên hệ số Fibonacci số Lucas Đặc biệt trình bày hai mối liên hệ đặc biệt số Fibonacci số 11, có mối liên hệ mà thấy người ta phát biểu chưa chứng minh tổng quát Ở đưa tính chất ra, chúng tơi chứng minh tổng quát đầy đủ Chương Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển Một số ứng dụng số Fibonacci tam giác kinh điển tam giác Pascal, tam giác tựa Pascal tam giác tựa Pascal mở rộng, đề cập đến chương Chương Số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học ứng dụng Trong Chương 1, chủ yếu giới thiệu đời dãy Fibonacci; mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci ứng dụng dãy Fibonacci Tỷ số vàng Tài liệu tham khảo [1, 2] Các kí hiệu Các số Fibonacci Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · Các số Lucas Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · 1.1 1.1.1 Sự đời số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên Toán học Sự đời số Fibonacci Fibonacci tên viết tắt nhà toán học châu Âu thời trung đại, ông sinh năm 1170 năm 1240, tên đầy đủ ông Leonardo of Pisa, ơng sinh Pisa (Italy) thuộc dòng họ Bonacci Fibonacci tiếng giới đại có cơng lao truyền hệ đếm Hinđu - Ả Rập châu Âu, đặc biệt dãy số đại mang tên ông, dãy Fibonacci sách Liber Abaci - Sách Toán đố năm 1202 Ở phương Tây, dãy Fibonacci xuất sách Liber Abaci (năm 1202) viết Leonardo of Pisa - biết đến với tên Fibonacci, dãy số mô tả trước Tốn học Ấn Độ Fibonacci xem xét phát triển đàn thỏ lý tưởng hóa, giả định rằng: Để cặp thỏ sinh, đực, cánh đồng, đến tháng tuổi thỏ giao phối tới hai tháng tuổi, thỏ sinh thêm cặp thỏ khác, thỏ không chết việc giao phối cặp tạo cặp (một đực, cái) tháng từ tháng thứ hai trở Câu đố mà Fibonacci đặt "Trong năm có cặp thỏ?" (a) Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, có cặp (b) Vào cuối tháng thứ hai, thỏ tạo cặp Vì có + = (cặp) thỏ cánh đồng (c) Vào cuối tháng thứ ba, thỏ ban đầu lại tạo cặp thỏ nữa, biến số lượng thỏ cánh đồng lúc + = (cặp) (d) Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ ban đầu sinh thêm cặp mới, thỏ sinh cách hai tháng cho cặp đầu tiên, tổng số lúc + = (cặp) ··· (e) Vào cuối tháng thứ n, số lượng cặp thỏ số lượng cặp (bằng số lượng cặp tháng (n − 2)) cộng với số cặp tháng (n − 1) Đây số Fibonacci thứ n Và tiền thân dãy Fibonacci xác định cách liệt kê phần tử sau 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · · đó, phần tử nằm dãy số tổng số liền trước Dãy Fibonacci cơng bố năm 1202 "tiến hóa" vơ tận Chính điều đó, thu hút nhiều quan tâm làm say mê nghiên cứu, khám phá tính chất f2 (x, y) = x2 + 3xy + 2y f3 (x, y) = x3 + 4x2 y + 5xy + 2y f4 (x, y) = x4 + 5x3 y + 9x2 y + 7xy + 2y f5 (x, y) = x5 + 6x4 y + 14x3 y + 16x2 y + 9xy + 2y f6 (x, y) = x6 + 7x5 y + 20x4 y + 30x3 y + 25x2 y + 11xy + 2y Sắp xếp hệ số khác đa thức vào mảng tam giác Hình (3.14) ta tam giác Lucas Vậy, tam giác Lucas mảng tam giác chứa hệ số khai triển đa thức fn (x, y), n ≥ Mọi hàng bắt đầu với số kết thúc với số 2; điều hệ số xn fn (x, y) hệ số y n Do fn (1, 1) = · 2n−1 , nên tổng số hàng n · 2n−1 , n ≥ Hình 3.14: Tam giác số Lucas Kí hiệu, D(n, j) phần tử hàng n cột j , n ≥ j ≥ Chúng ta tìm công thức tổng quát D(n, j) sau i−1 i−1 (x + y) = j=0 114 i − i−j−1 j x y j  i−1 fi (x, y) = (x + y)i−1 (x + 2y) =   i − j − i−j−1 j  x y (x + 2y) j j=0 D(n, j) = Hệ số xn−j y j = n−1 n−1 +2 j−1 j = n n−1 + j j−1 , (3.21) theo đồng thức Pascal Ta đưa ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 42 Với n = j = 3, ta D(6, 3) = + = 20 + 10 = 30 Mảng tam giác Hình (3.14) có thêm tính chất sau n D(k, j) = D(n + 1, j + 1) (a) k=1 n D(k, 1) = D(n + 1, 2) (b) k=1 (c) D(n, n − 2) = (n − 1)2 , 3.2.6 n ≥ Một định nghĩa đệ quy cho D(n, j) Dùng đẳng thức (3.21), ta dễ dàng thử lại D(n, j) thỏa mãn định nghĩa đệ quy sau D(n, 0) = D(n, n) = 2, D(n, j) = D(n − 1, j − 1) + D(n − 1, j), n, j ≥ Quan hệ truy toán giống đồng thức Pascal Do đó, tìm D(n, j) cách cộng phần tử D(n − 1, j) phần tử D(n − 1, j − 1) phía bên trái Ta đưa ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 43 Với n = j = 2, ta D(4, 2) = 14 = + = D(3, 1) + D(3, 2) 115 Từ đẳng thức (3.21) cho thấy, tìm số hạng D(n, j) từ hàng thứ n n − tam giác Pascal Di chuyển hàng n − tới vị trí hàng thứ n xếp xuống hàng thứ n − cho thẳng lề phải Sau đó, cộng tương ứng phần tử ta phần tử khác D(n, j) hàng thứ n tam giác số Lucas Ta đưa ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 44 Với n = 4, minh họa Hình 3.15: Mọi số hạng D(n, j) tổng hàng thứ n n − tam giác số Pascal Giả sử cộng phần tử đường chéo tăng Hình (3.14) Nó xuất dạng Hình (3.16) cho tổng số Lucas Hình 3.16: Tổng phần tử đường chéo tăng tam giác số Lucas số Lucas Điều đúng, tổng phần tử đường chéo tăng thứ n 116 tính n/2 n/2 D(n − j, j) = j=0 n−j + j j=0 n/2 = n/2 n−j−1 j−1 j=0 n−j + j (n−2)/2 n−j−2 j j=0 j=0 = Fn+1 + Fn−1 (theo(3.19)) = Ln (theo(2.40)) Ta đưa số ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 45 (a) Tổng phần tử đường chéo tăng thứ + = = L2 (b) Tổng phần tử đường chéo tăng thứ + + + = 18 = L6 Giả sử tam giác Lucas Hình (3.14) xếp thành mảng tam giác sau Hình 3.17: Đối xứng tam giác Lucas Kí hiệu, E(n, j) phần tử hàng n cột j mảng Khi E(n, 0) = E(n, n) = 1, 117 E(n, j) = E(n − 1, j − 1) + E(n − 1, j), n ≥ Hình (3.17) dạng đối xứng tam giác Lucas, nên E(n, j) = D(n, n − j) n n−1 = n−j + n−j−1 = n n−1 + j j Bởi vậy, tìm hàng thứ n mảng tam giác Hình (3.17) cách cộng hàng thứ n − n (theo lề bên trái) tam giác Pascal Ta đưa ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 46 Với n = 4, ta hình minh họa Hình 3.18: Mọi số hạng D(n, j) tổng hàng thứ n n − tam giác Pascal Hơn nữa, từ Hình (3.17) cộng phần tử đường chéo tăng ta tổng số Fibonacci (xem Hình (3.19) đây) Điều đúng, n/2 n/2 E(n − j, j) = j=0 n−j + j j=0 n/2 n−j−1 j j=0 = Fn+1 + Fn (theo (3.19)) = Fn+2 (theo định nghĩa số Fibonacci) 118 Hình 3.19: Tổng phần tử đường chéo tăng dạng đối xứng tam giác Lucas số Fibonacci Mảng tam giác Hình (3.19) có thêm tính chất sau n E(k, j) = E(n + 1, j + 1) (a) k=1 (b) E(n, 2) = (n − 1)2 , n (c) n≥2 E(k, 1) = n2 k=1 3.3 Số Fibonacci tam giác tựa Pascal mở rộng Chúng ta tìm hiểu dạng biến thể tam giác Pascal thấy chúng có mối liên hệ chặt chẽ với số Fibonacci, số Lucas 3.3.1 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal mở rộng với số Fibonacci Đưa tam giác tựa Pascal mở rộng Hình (3.20) Tổng phần tử hàng số Fibonacci, giả sử tổng phần tử hàng n Fn+1 , n ≥ Để thiết lập điều này, kí hiệu f (i, j) phần tử hàng i cột j , i ≥ j ≥ 0; f (i, j) = j > i; f (i, 0) = 1; f (i, i) = 1, ∀i Các phần tử định nghĩa quan hệ truy toán 119 f (i + 1, 2j + 1) = f (i, 2j) f (i + 1, 2j) = f (i, 2j − 1) + f (i, 2j) Hai quan hệ truy toán tổ hợp thành quan hệ truy toán sau f (i + 1, j) = f (i, j − 1) + + (−1)j f (i, j) Bằng phương pháp quy nạp, ta f (n, 2k) = n−k n−k−1 f (n, 2k + 1) = k k Vậy, cơng thức cho f (n, r) có dạng f (n, r) = n − (r + 1)/2 r/2 Hình 3.20: Tổng phần tử hàng số Fibonacci Các Định lý cho thấy tính chất đặc biệt mảng tam giác Hình (3.20) 120 Định lý 10 n n≥0 f (n, r) = Fn+2 , (3.22) r=0 Chứng minh (Bằng phương pháp quy nạp.) f (0, r) = f (0, 0) = = F2 Khi n = 0, r=0 Vậy đẳng thức với n = Giả sử đẳng thức với số nguyên i ≤ k , i ≥ k tùy ý Khi đó, theo giả thiết quy nạp định nghĩa số Fibonacci ta có k+1 f (k + 1, r) = r=0 f (k + 1, r) + r chẵn (k+1)/2 = f (k + 1, r) r lẻ k/2 f (k + 1, r) + r=0 Fk+2 + f (k + 1, r) r=0 = Fk+1 = Fk+3 (theo định nghĩa số Fibonacci) Do đó, phương pháp quy nạp đẳng thức với n ≥ Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 11 n (−1)r f (n, r) = Fn−1 , n ≥ (3.23) r=0 Chứng minh (Bằng phương pháp quy nạp.) Khi n = 0, (−1)r f (0, r) = f (0, 0) = = F−1 r=0 Vậy đẳng thức với n = Giả sử đẳng thức với số nguyên i ≤ k , i ≥ k tùy ý Khi đó, theo giả thiết quy nạp định nghĩa số Fibonacci ta có k+1 (−1)r f (k + 1, r) = r=0 (−1)r f (k + 1, r) + r chẵn (k+1)/2 (−1)r f (k + 1, r) r lẻ k/2 r = (−1)r f (k + 1, r) (−1) f (k + 1, r) + r=0 r=0 = Fk−1 + Fk−2 = Fk 121 Do đó, phương pháp quy nạp đẳng thức với n ≥ Vậy ta có điều phải chứng minh Ta đưa số ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 47 (a)Với n = 7, ta (−1)r f (7, r) = + + + + 10 + + + r=0 = 34 = F9 (b)Với n = 8, ta (−1)r f (8, r) = − + − + 15 − 10 + 10 − + r=0 = 13 = F7 3.3.2 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal mở rộng với số Lucas Chúng ta cịn xây dựng tam giác tựa Pascal mở rộng cách khác Các quy tắc xây dựng giống mảng tam giác trên, thay đổi f (1, 1) Hình (3.21) Hình 3.21: Tổng phần tử hàng số Lucas Tổng phần tử hàng số Lucas Kí hiệu, g(i, j) phần tử hàng i cột j , i ≥ j ≥ 0, g(i, j) = j > i, g(i, 0) = 1, 122 g(1, 1) = 2, g(i+1, 2j) = g(i, 2j −1)+g(i, 2j) g(i+1, 2j +1) = g(i, 2j), Khi đó, ta có quan hệ truy tốn + (−1)j g(i + 1, j) = g(i, j − 1) + g(i, j) Theo phương pháp quy nạp, ta có g(n, 2r) = n n−1 n−r n−r−1 g(n, 2r + 1) = , r r n−r n−r−1 g(1, 1) = Do g(n, r) = n n−r r n−r Từ n/2 Ln = r=0 n n−r r n−r Mảng tam giác Hình (3.21) thỏa mãn tính chất tương ứng với đẳng thức (3.22) (3.23) Định lý (12) tiếp theo, cho thấy tính chất đặc biệt mảng tam giác Hình (3.21) Định lý 12 n (a) g(n, r) = Ln+1 , n ≥ 0, r=0 n (−1)r g(n, r) = Ln−2 , (b) n ≥ r=0 Ta đưa ví dụ minh họa cụ thể Ví dụ 48 (a) Với n = 5, ta g(5, r) = + + + + + = 18 = L6 r=0 (b) Với n = 7, ta (−1)r g(7, r) = − + − + 14 − + − = 11 = L5 r=0 123 (3.24) Điều thú vị là, mảng tam giác Hình (3.20) (3.21) tổng quát thành mảng tam giác Hình (3.22) Kí hiệu, h(i, j) phần tử hàng i cột j , i ≥ j ≥ 0, h(i, j) = j > i, h(i, 0) = a, + (−1)j h(i + 1, j) = h(i, j − 1) + h(i, j), h(1, 1) = b, i ≥ Hình 3.22 Trong quan hệ truy toán này, để đơn giản giả sử i ≥ Giả sử i = j = 1, ta có h(1, 1) = h(0, 0) + = a, h(1, 1) = b Kí hiệu S0 (a, b) = a S1 (a, b) = a + b S2 (a, b) = 2a + b S3 (a, b) = 3a + 2b S4 (a, b) = 5a + 3b ··· Sn (a, b) = aFn+1 + bFn , n ≥ Tương tự, thay tổng hàng Tn (a, b) sau T0 (a, b) = a T1 (a, b) = a − b 124 T2 (a, b) = b T3 (a, b) = a T4 (a, b) = a + b T5 (a, b) = 2a + b T6 (a, b) = 3a + 2b ··· Tn (a, b) = aFn−2 + bFn−3 , n ≥ Từ đó, ta có Định lý (13) Định lý 13 Kí hiệu, Sn (a, b) tổng phần tử hàng n Hình (3.22) Tn (a, b) thay tổng hàng Khi Sn (a, b) = aFn+1 + bFn , n ≥ 0, Tn (a, b) = aFn−2 + bFn−3 , n ≥ Hình 3.23 Đặc biệt, Sn (1, 1) = Fn+1 + Fn = Fn+2 , Tn (1, 1) = Fn−2 + Fn−3 = Fn−1 Điều đồng với đẳng thức (3.22) (3.23) Cũng vậy, Sn (1, 2) = Fn+1 + 2Fn = Ln+1 , Tn (1, 2) = Fn−2 + 2Fn−3 = Ln−2 Điều đồng với đẳng thức (3.24) 125 Mảng tam giác Hình (3.23) có số tính chất rõ ràng sau (a) Phần tử hàng n F2n−1 (b) Mọi phần tử hàng tính cách cộng trực tiếp số số bên trái hàng phía (c) Tổng phần tử hàng n F2n+1 126 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau Trình bày định nghĩa nguồn gốc xuất dãy Fibonacci, dãy Lucas Giới thiệu "tỷ lệ" đặc biệt sử dụng để mơ tả tính cân đối vạn vật Đó Tỷ số vàng ϕ Đã tổng hợp ứng dụng quan trọng dãy Fibonacci Tỷ số vàng tự nhiên số lĩnh vực kiến trúc, thiết kế, nghệ thuật, thị trường tài chính, Giới thiệu cơng thức tổng qt cơng thức Binet cho số Fibonacci Ngồi việc phát biểu lại tính chất đại số số học dãy Fibonacci, dãy Lucas chúng tơi cố gắng tìm tịi tự chứng minh tính chất cách đơn giản dễ hiểu Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày điều kiện cần đủ để số tự nhiên n số Fibonacci; áp dụng công thức Binet cho thấy mối liên hệ số Fibonacci số Lucas Đặc biệt trình bày hai mối liên hệ đặc biệt số Fibonacci số 11, có mối liên hệ mà chúng tơi thấy người ta phát biểu chưa chứng minh tổng qt Ở đưa tính chất ra, chứng minh tổng quát đầy đủ Đề cập số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển Tam giác Pascal, tam giác tựa Pascal, tam giác tựa Pascal mở rộng Tuy nhiên, thân hạn chế tài liệu Tiếng việt chưa có nhiều nên chắn Luận văn cịn nhiều thiếu sót Vì vậy, mong nhận góp ý từ Thầy Cơ bạn để Luận văn hoàn chỉnh 127 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Nhụy (2009), Ứng dụng phương pháp đại số tổ hợp để tính độ đo xác suất rời rạc, Đề tài khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Vũ Nhật Cương (2012), Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ Phương pháp Toán sơ cấp, Trường Đại học Thái Nguyên [3] Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley & Sons 128