Số fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển

Đ I H C QU C GIA HÀ N I TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN PH M TH LIÊN S FIBONACCI VÀ M T S NG D NG TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐI N LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Cán b hư ng d n: PGS TS Nguy n Nh y HÀ N I - 2015 L I C M ƠN Lu n văn đư c hoàn thành v i s hư ng d n c a PGS TS Nguy n Nh y, Trư ng Đ i h c Giáo d c - ĐHQGHN Tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu đáo c a th y su t th i gian th c hi n Lu n văn Tôi xin g i l i c m ơn chân thành c a đ n quý Th y Cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin, phòng Đào t o Sau đ i h c, Trư ng Đ i h c Khoa H c T Nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t nh ng Th y Cô giáo t ng gi ng d y l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 C m ơn Th y Cô truy n cho ki n th c giúp đ su t trình h c t p t i khoa Đ ng th i, xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao h c Toán PPTSC, khóa h c 2013 - 2015 đ ng viên, giúp có h i th o lu n trình bày v m t s v n đ Lu n văn c a Tôi xin g i l i c m ơn t i S Giáo d c - Đào t o Hà N i, Ban Giám hi u, đ ng nghi p Trư ng THPT Đông Đô - Qu n Tây H - Tp Hà N i t o u ki n cho v m i m t đ tham gia h c t p hoàn thành khóa h c Cu i cùng, xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân gia đình, b n bè ng h nhi t tình giúp đ th i gian v a qua Tuy nhiên, s hi u bi t c a b n thân khuôn kh c a Lu n văn th c sĩ, nên ch c r ng trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót Tôi r t mong đư c s ch d y đóng góp ý ki n c a Th y Cô đ c gi quan tâm t i Lu n văn Hà N i, ngày 08 tháng 10 năm 2015 H c viên Ph m Th Liên M cl c 0.1 0.2 Lý ch n đ tài Lu n văn M c đích c a đ tài Lu n văn 60.3 B c c c a Lu n văn S Fibonacci m i liên h v i t ng d ng 1.1 nhiên, Toán h c S đ i c a s Fibonacci m i liên h v i t nhiên Toán h c 1.1.1 S đ i c a s Fibonacci 1.1.2 S Fibonacci v i t nhiên 10 1.1.3 S Fibonacci v i Toán h c 18 1.2 Đ nh nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.1 Đ nh nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.2 Đ nh nghĩa dãy Lucas 24 1.2.3 M t s bi n th c a dãy Fibonacci 24 1.3 S Fibonacci v i ch s âm 25 1.3.1 S Fibonacci v i ch s âm 25 1.3.2 S Lucas v i ch s âm 26 1.4 Dãy Fibonacci T s vàng ng d ng 28 1.4.1 Đ nh nghĩa T s vàng m i quan h v i cu c s ng 28 1.4.2 T s vàng t nhiên 1.4.3 T s vàng ki n trúc 37 T s vàng 1.4.4 thi t k 39 T s vàng ngh 1.4.5 thu t 41 Dãy Fibonacci th trư ng 1.4.6 tài 43 30 1.4.7 Các ng d ng khác 47 Các tính ch t c a s Fibonacci 2.1 Fibonacci Công th c Binet cho s 49 Các tính ch t đơn gi n c a s Fibonacci 49 2.1.1 M t s tính ch t c a s Fibonacci 49 2.1.2 M t s tính ch t c a s Lucas 62 2.2 Tính chia h t t p s Fibonacci 66 Công th 2.3 c t ng quát c a s Fibonacci 74 M t áp d ng c a 2.4 công th c Binet 78 Đi u ki n c n đ đ m t s t 2.5 nhiên n s Fibonacci 81 Hai m i liên h đ c bi t c a dãy 2.6 Fibonacci s 11 85 2.6.1 M i liên h th nh t 2.6.2 M i liên h th hai 86 S Fibonacci m t s n 3.1 90 90 3.1.1 Các ki n th c b n 90 Tam giác 3.1.2 Pascal 91 M t s tính ch t rõ ràng c a tam giác s Pascal 93 M i 3.1.4 liên h gi a tam giác Pascal v i s Fibonacci 95 3.1.5 Các đư ng Fibonacci c a m t quân c m t bàn c 103 S Fibonacci tam giác t a Pascal 106 3.2.1 M i liên h gi a tam giác t a Pascal v i s Lucas 106 3.2.2 M t công th c thay th cho Ln 110 3.2.3 3.2.4 3.2.5 3.2.6 3.3 ng d ng tam giác kinh S Fibonacci tam giác Pascal 3.1.3 3.2 85 M i liên h gi a tam giác t a Pascal v i s Fibonacci 111 M t công th c thay th cho Fn 113 Tam giác Lucas 113 M t đ nh nghĩa đ quy cho D(n, j) 115 S Fibonacci tam giác t a Pascal m r ng 119 3.3.1 M i liên h gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s Fibonacci 119 3.3.2 M i liên h gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s Lucas 122 K t lu n 127 Tài li u tham kh o 128 M 0.1 ĐU Lý ch n đ tài Lu n văn Dãy Fibonacci m t nh ng v đ p c a kho tàng Toán h c Dãy Fibonacci xu t hi n bi n hóa vô t n t nhiên, v i r t nhi u bi n th đ p ng d ng quan tr ng Trư c Fibonacci, có nhi u h c gi nghiên c u v dãy Fibonacci Susantha Goonatilake vi t r ng s phát tri n c a dãy Fibonacci "m t ph n t Pingala, sau đư c k t h p v i Virahanka, Gopala Hemachan- dra" Sau Fibonacci, có r t nhi u nhà Khoa h c nghiên c u v dãy Fibonacci Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D'Ocagne (1862 - 1938), Có r t nhi u tính ch t c a dãy đư c mang tên nhà khoa h c Hi n nay, tài li u b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci m t s ng d ng tam giác kinh n chưa có nhi u t n m n, c n ph i gi i thi u dãy Fibonacci m t s ng d ng tam giác kinh n m t cách đ y đ th ng nh t Vì v y, vi c tìm hi u sâu gi i thi u dãy Fibonacci m t s ng d ng tam giác kinh n r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y Toán h c s hi u bi t c a ngư i B n Lu n văn "S Fibonacci m t s ng d ng tam giác kinh n" đư c ti n hành vào cu i năm 2015 ch y u d a tài li u tham kh o m t s phát hi n riêng c a tác gi M c dù Lu n văn đ c p đ n c s Fibonacci s Lucas, s Fibonacci ch y u Chú ý r ng s Lucas đư c xây d ng sau xu t hi n s Fibonacci, th n a hai dãy s đư c xây d ng m t phương pháp dãy Lucas đư c gi i Toán h c cho r ng thu c h Fibonacci, nên Lu n văn th l y tên s Fibonacci 0.2 M c đích c a đ tài Lu n văn H c t p gi i thi u dãy Fibonacci v i tính ch t b n Đ c bi t, giúp đ c gi n m đư c s xu t hi n đa d ng c a dãy Fibonacci t nhiên nh ng ng d ng tam giác kinh n Chú ý r ng m i l p lu n, ta ch dùng đ n ki n th c Toán Trung h c ph thông 0.3 B c c c a Lu n văn B n Lu n văn "S Fibonacci m t s ng d ng tam giác kinh n" g m có: M đ u, ba chương n i dung, k t lu n tài li u tham kh o Chương S Fibonacci m i liên h v i t nhiên, Toán h c ng d ng Chương này, gi i thi u s đ i c a dãy Fibonacci m i liên h v i t nhiên, Toán h c; đ nh nghĩa dãy Fibonacci dãy s Lucas; s Fibonacci s Lucas v i ch s âm; dãy Fibonacci T s vàng ng d ng Chương M t s tính ch t c a s Fibonacci Công th c Binet cho s Fibonacci Chương này, trình bày m t s tính ch t c a s Fibonacci s Lucas; công th c t ng quát c a s Fibonacci, s Lucas công th c Binet cho s Fibonacci Ch ng minh tính ch t c a s Fibonacci s Lucas s tìm tòi, suy nghĩ c a tác gi Ngoài ra, trình bày u ki n c n đ đ s t nhiên n m t s Fibonacci; m t áp d ng c a công th c Binet cho th y m i liên h gi a s Fibonacci s Lucas Đ c bi t n a trình bày hai m i liên h đ c bi t c a s Fibonacci s 11, có m t m i liên h mà th y ngư i ta phát bi u chưa đư c ch ng minh t ng quát ch ng minh t ng quát đ y đ đưa tính ch t ra, Chương S giác kinh n M ts Fibonacci m t s ng d ng tam ng d ng c a s Fibonacci tam giác kinh n tam giác Pascal, tam giác t a Pascal tam giác t a Pascal m r ng, đư c đ c p đ n chương Chương S Fibonacci m i liên h v i t nhiên, Toán h c ng d ng Trong Chương 1, ch y u gi i thi u s đ i c a dãy Fibonacci; m i liên h v i t nhiên, Toán h c; đ nh nghĩa dãy Fibonacci ng d ng c a dãy Fibonacci T s vàng Tài li u tham kh o [1, 2] Các kí hi u Các s Fibonacci Fn, n = 0, 1, 2, 3, 4, • • • Các s Lucas Ln, n = 0, 1, 2, 3, 4, • • • 1.1 1.1.1 hc S đ i c a s Fibonacci m i liên h v i t nhiên Toán h c S đ i c a s Fibonacci Fibonacci tên vi t t t c a m t nhà toán châu Âu th i trung đ i, ông sinh năm 1170 m t năm 1240, tên đ y đ c a ông Leonardo of Pisa, ông đư c sinh Pisa (Italy) thu c dòng h Bonacci Fibonacci n i ti ng th gi i hi n đ i có công lao truy n h đ m Hinđu Rp châu Âu, đ c bi t dãy s hi n đ i mang tên ông, dãy Fibonacci cu n sách Liber Abaci - Sách v Toán đ năm 1202 phương Tây, dãy Fibonacci đ u tiên xu t hi n cu n sách Liber Abaci (năm 1202) vi t b i Leonardo of Pisa - đư c bi t đ n v i tên Fibonacci, m c dù dãy s đư c mô t trư c Toán h c n Đ Fibonacci xem xét s phát tri n c a m t đàn th đư c lý tư ng hóa, gi đ nh r ng: Đ m t c p th m i sinh, m t đ c, m t m t cánh đ ng, đ n m t tháng tu i th có th giao ph i t i hai tháng tu i, m t th có th sinh thêm m t c p th khác, th không bao gi ch t vi c giao ph i m t c p t o m t c p m i (m t đ c, m t cái) m i tháng t tháng th hai tr Câu đ mà Fibonacci đ t "Trong m i năm có c p th ?" (a) Vào cu i tháng đ u tiên, chúng giao ph i, v n ch có c p (b) Vào cu i tháng th hai, th t o m t c p m i Vì v y bây gi có + = (c p) th cánh đ ng (c) Vào cu i tháng th ba, th ban đ u l i t o m t c p th n a, bi n s lư ng th cánh đ ng lúc + = (c p) (d) Và vào cu i tháng th tư, th ban đ u sinh thêm m t c p m i, th sinh cách hai tháng cho m t c p đ u tiên, t ng s lúc + = (c p) ••• (e) Vào cu i tháng th n, s lư ng c p th b ng s lư ng c p m i (b ng s lư ng c p tháng (n − 2)) c ng v i s c p tháng (n − 1) Đây s Fibonacci th n Và ti n thân c a dãy Fibonacci đư c xác đ nh b ng cách li t kê ph n t sau 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 • • • đó, m i ph n t n m dãy s b ng t ng c a s li n trư c Dãy Fibonacci đư c công b năm 1202 đư c "ti n hóa" h u vô t n Chính u đó, thu hút đư c r t nhi u s quan tâm làm say mê nghiên c u, khám phá tính ch t c a T đ ng th c (3.21) cho th y, có th tìm đư c m i s h ng D(n, j) t hàng th n n − c a tam giác Pascal Di chuy n hàng n − t i v trí hàng th n x p xu ng dư i hàng th n − cho th ng l ph i Sau đó, c ng tương ng ph n t ta đư c ph n t khác D(n, j) hàng th n c a tam giác s Lucas Ta đưa ví d minh h a c th Ví d 44 V i n = 4, đư c minh h a dư i Hình 3.15: M i s h ng D(n, j) b ng t ng hàng th n n − c a tam giác s Pascal Gi s c ng ph n t đư ng chéo tăng Hình (3.14) Nó xu t hi n dư i d ng Hình (3.16) dư i cho t ng s Lucas Hình 3.16: T ng ph n t đư ng chéo tăng c a tam giác s Lucas s Lucas Đi u đúng, t ng c a ph n t đư ng chéo tăng th n 116 đư c tính b i n/2 n/2 D(n − j, j) = j=0 j=0 n−j + j n/2 j=0 n−j−1 j−1 n n− =/ j + j (n − 2) / − j j = n j = − j = F n + + F n − ( t h e o ( ) ) = v í d L m i n n h ( h t h a e c o t ( h c h é o c t ă n g h + = = d ( a ) đ a T s i ) T a t n g L m t V í ) r a nt trê n đư ng ch éo tăn g th n g c a c c p h t r ê n n s a u l +6 +9 +2 = 18 = L6 c n g n g p h m t h T c c a đ ( b ) a Hình (3.14) đư c s p x p thành m ng t is ta m gi ác Lu ca s tr on g G H ì n h : Đ i x n g c a t a m g i c L u c a s Kí hi u, E(n, j) ph n t hàng n c t j c a m ng Khi E , 0) =2 E ,n = 17 E(n, j) = E(n − 1, j − 1) + E(n − 1, j), n ≥ Hình (3.17) m t d ng đ i x ng c a tam giác Lucas, nên E(n, j) = D(n, n − j) = n n j + n n −− 1 − −j = n + n−1 j j B i v y, có th tìm đư c hàng th n c a m ng tam giác Hình (3.17) b ng cách c ng hàng th n − n (theo l bên trái) c a tam giác Pascal Ta đưa ví d minh h a c th Ví d 46 V i n = 4, ta đư c hình minh h a dư i Hình 3.18: M i s h ng D(n, j) b ng t ng hàng th n n − c a tam giác Pascal Hơn n a, t Hình (3.17) c ng ph n t m i đư ng chéo tăng ta đư c m i t ng s Fibonacci (xem Hình (3.19) dư i đây) Đi u đúng, n/2 n/2 j=0 E(n − j, j) = j=0 n/2 n−j + j j=0 n−j−1 j = Fn+1 + Fn (theo (3.19)) = Fn+2 (theo đ nh nghĩa s Fibonacci) 118 Hình 3.19: T ng ph n t đư ng chéo tăng c a d ng đ i x ng tam giác Lucas s Fibonacci M ng tam giác Hình (3.19) có thêm tính ch t sau (a) n E(k, j) = E(n + 1, j + 1) k=1 (b) E(n, 2) = (n − 1)2, (c) n n≥2 E(k, 1) = n2 k=1 3.3 S Fibonacci tam giác t a Pascal m r ng Chúng ta tìm hi u d ng bi n th ti p theo c a tam giác Pascal dư i th y chúng có m i liên h ch t ch v i s Fibonacci, s Lucas 3.3.1 M i liên h Fibonacci gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s Đưa tam giác t a Pascal m r ng Hình (3.20) dư i T ng ph n t hàng s Fibonacci, v y gi s r ng t ng ph n t hàng n Fn+1, n ≥ Đ thi t l p u này, kí hi u f (i, j) ph n t hàng i c t j, i ≥ j ≥ 0; f (i, j) = n u j > i; f (i, 0) = 1; f (i, i) = 1, ∀i Các ph n t gi a đư c đ nh nghĩa b i quan h truy toán 119 f (i + 1, 2j) = f (i, 2j − 1) + f (i, 2j) f (i + 1, 2j + 1) = f (i, 2j) Hai quan h truy toán sau đư c t h p thành m t quan h truy toán f (i + 1, j) = f (i, j − 1) + + (2−1) f (i, j) j B ng phương pháp quy n p, ta đư c f (n, 2k) = n − k kvà f (n, 2k + 1) = n − k − k V y, công th c cho f (n, r) có d ng f (n, r) = n − (r/+ 1)/2 r2 Hình 3.20: T ng ph n t hàng s Fibonacci Các Đ nh lý ti p theo cho th y tính ch t đ c bi t c a m ng tam giác Hình (3.20) 120 Đ nh lý 10 n r=0 f (n, r) = Fn+2, (3.22) n≥0 Ch ng minh (B ng phương pháp quy n p.) Khi n = 0, r=0 f (0, r) = f (0, 0) = = F2 V y đ ng th c v i n = Gi s đ ng th c v i m i s nguyên i ≤ k, i ≥ k tùy ý Khi đó, theo gi thi t quy n p đ nh nghĩa s Fibonacci ta có k+1 f (k + 1, r) = f (k + 1, r) + f (k + 1, r) r ch n (k+1)/2 r=0 = rl k /2 f (k + 1, r) + r=0 f (k + 1, r) r=0 = Fk+2 + Fk+1 = Fk+3 (theo đ nh nghĩa s Fibonacci) Do đó, b ng phương pháp quy n p đ ng th c v i m i n ≥ V y ta có u ph i ch ng minh Đ nh lý 11 n r=0 (−1)rf (n, r) = Fn−1, n ≥ (3.23) Ch ng minh (B ng phương pháp quy n p.) Khi n = 0, r=0 (−1)rf (0, r) = f (0, 0) = = F − V y đ ng th c v i n = Gi s đ ng th c v i m i s nguyên i ≤ k, i ≥ k tùy ý Khi đó, theo gi thi t quy n p đ nh nghĩa s Fibonacci ta có k+1 (−1)rf (k + 1, r) = (−1)rf (k + 1, r) + r ch n r=0 (−1)rf (k + 1, r) rl (k+1)/2 k/2 r = (−1)rf (k + 1, r) (−1) f (k + 1, r ) + r=0 r=0 = F k −1 + F k −2 = Fk 121 Do đó, b ng phương pháp quy n p đ ng th c v i m i n ≥ V y ta có u ph i ch ng minh Ta đưa m t s ví d minh h a c th Ví d 47 (a)V i n = 7, ta đư c (−1)rf (7, r) = + + + + 10 + + + r=0 (b)V i n = 8, ta đư c r=0 3.3.2 = 34 = F9 (−1)rf (8, r) = − + − + 15 − 10 + 10 − + = 13 = F7 M i liên h Lucas gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s Chúng ta có th xây d ng m t tam giác t a Pascal m r ng b ng cách khác Các quy t c xây d ng gi ng m ng tam giác trên, ch thay đ i f (1, 1) b i Hình (3.21) dư i Hình 3.21: T ng ph n t hàng s Lucas T ng c a ph n t hàng s Lucas Kí hi u, g(i, j) ph n t hàng i c t j, i ≥ j ≥ 0, g(i, j) = n u j > i, g(i, 0) = 1, 122 g(1, 1) = 2, g(i+1, 2j) = g(i, 2j −1)+g(i, 2j) g(i+1, 2j +1) = g(i, 2j), Khi đó, ta có quan h truy toán g(i + 1, j) = g(i, j − 1) + + (−1)j g(i, j) Theo phương pháp quy n p, ta có g(n, 2r) = n n r n − r g(n, 2r + 1) = n n −− n − r − , r − −r r g(1, 1) = Do g(n, r) = n n r n − r r − n/2 T Ln = r=0 n n−r n−r r M ng tam giác Hình (3.21) th a mãn tính ch t tương ng v i đ ng th c (3.22) (3.23) Đ nh lý (12) ti p theo, cho th y tính ch t đ c bi t c a m ng tam giác Hình (3.21) Đ nh lý 12 n (a) r=0 g(n, r) = Ln+1, n ≥ 0, n (b) r=0 (−1)rg(n, r) = Ln−2, n ≥ Ta đưa ví d minh h a c th Ví d 48 (a) V i n = 5, ta đư c r=0 g(5, r) = + + + + + = 18 = L6 (b) V i n = 7, ta đư c r=0 (−1)rg(7, r) = − + − + 14 − + − = 11 = L5 123 (3.24) Đi u thú v là, m ng tam giác Hình (3.20) (3.21) đư c t ng quát thành m ng tam giác Hình (3.22) dư i Kí hi u, h(i, j) ph n t hàng i c t j, i ≥ j ≥ 0, h(i, j) = n u j > i, h(i, 0) = a, + (−1)j h(i, j), h(i + 1, j) = h(i, j − 1) + h(1, 1) = b, i ≥ Hình 3.22 Trong quan h truy toán này, đ đơn gi n gi s i ≥ Gi s i = j = 1, ta có h(1, 1) = h(0, 0) + = a, h(1, 1) = b Kí hi u S0(a, b) = a S1(a, b) = a + b S2(a, b) = 2a + b S3(a, b) = 3a + 2b S4(a, b) = 5a + 3b ••• Sn(a, b) = aFn+1 + bFn, n ≥ Tương t , thay th t ng hàng b i Tn(a, b) sau T0(a, b) = a T1(a, b) = a − b 124 T2(a, b) = b T3(a, b) = a T4(a, b) = a + b T5(a, b) = 2a + b T6(a, b) = 3a + 2b ••• Tn(a, b) = aFn−2 + bFn−3, n ≥ T đó, ta có Đ nh lý (13) dư i Đ nh lý 13 Kí hi u, Sn(a, b) t ng c a ph n t hàng n (3.22) Tn(a, b) thay th t ng hàng Khi n ≥ 0, Sn(a, b) = aFn+1 + bFn, Tn(a, b) = aFn−2 + bFn−3, n ≥ Hình 3.23 Đ c bi t, Sn(1, 1) = Fn+1 + Fn = Fn+2, Tn(1, 1) = Fn−2 + Fn−3 = Fn−1 Đi u đ ng nh t v i đ ng th c (3.22) (3.23) Cũng v y, Sn(1, 2) = Fn+1 + 2Fn = Ln+1, Tn(1, 2) = Fn−2 + 2Fn−3 = Ln−2 Đi u đ ng nh t v i đ ng th c (3.24) 125 Hình M ng tam giác Hình (3.23) có m t s tính ch t rõ ràng sau (a) Ph n t đ u tiên (b) M i ph n t cách c ng tr c ti p s hàng n F2n−1 gi a b t kỳ m i hàng đ u đư c tính b ng s bên trái c a (c) T ng ph n t hàng n F2n+1 126 hàng phía K t lu n Lu n văn trình bày đ t đư c m t s k t qu sau Trình bày đ nh nghĩa ngu n g c xu t hi n dãy Fibonacci, dãy Lucas Gi i thi u m t "t l " r t đ c bi t đư c s d ng đ mô t tính cân đ i c a v n v t Đó T s vàng ϕ Đã t ng h p đư c ng d ng quan tr ng c a dãy Fibonacci T s vàng t nhiên m t s lĩnh v c ki n trúc, thi t k , ngh thu t, th trư ng tài chính, Gi i thi u công th c t ng quát công th c Binet cho s Fibonacci Ngoài vi c phát bi u l i tính ch t đ i s s h c b n c a dãy Fibonacci, dãy Lucas c g ng tìm tòi t ch ng minh tính ch t m t cách đơn gi n d hi u Ngoài ra, trình bày u ki n c n đ đ s t nhiên n m t s Fibonacci; m t áp d ng c a công th c Binet cho th y m i liên h gi a s Fibonacci s Lucas Đ c bi t n a trình bày hai m i liên h đ c bi t c a s Fibonacci s 11, có m t m i liên h mà th y ngư i ta phát bi u chưa đư c ch ng minh t ng quát đưa tính ch t ra, ch ng minh t ng quát đ y đ Đ c p s Fibonacci m t s ng d ng tam giác kinh n Tam giác Pascal, tam giác t a Pascal, tam giác t a Pascal m r ng Tuy nhiên, b n thân h n ch tài li u Ti ng vi t chưa có nhi u nên ch c ch n Lu n văn nhi u thi u sót Vì v y, r t mong nh n đư c s góp ý t Th y Cô b n đ Lu n văn đư c hoàn ch nh 127 Tài li u tham kh o [1] Nguy n Nh y (2009), ng d ng phương pháp đ i s t h p đ tính đ đo xác su t r i r c, Đ tài khoa h c Đ i h c Qu c gia Hà N i [2] Vũ Nh t Cương (2012), Dãy Fibonacci, dãy Lucas ng d ng, Lu n văn Th c sĩ Phương pháp Toán sơ c p, Trư ng Đ i h c Thái Nguyên [3] Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley & Sons 128 ... Chương S giác kinh n M ts Fibonacci m t s ng d ng tam ng d ng c a s Fibonacci tam giác kinh n tam giác Pascal, tam giác t a Pascal tam giác t a Pascal m r ng, đư c đ c p đ n chương Chương S Fibonacci. .. thông qua hình ch nh t Fibonacci Đư ng xo n c Fibonacci n m bên hình ch nh t vàng đư c g i đư ng xo n c vàng 20 Tam giác Fibonacci Trong m t lư i tam giác đ u, ta v m t tam giác đ u có c nh b ng... ràng c a tam giác s Pascal 93 M i 3.1.4 liên h gi a tam giác Pascal v i s Fibonacci 95 3.1.5 Các đư ng Fibonacci c a m t quân c m t bàn c 103 S Fibonacci tam giác t