Mô hình xác suất và một số ứng dụng trong kinh tế

Phan ldp cac tr~ng thai 1.2.1 Cac tr~ng thai lien thong va sv phan lOp.. cong trlnh thu~n tuy ly thuye't va rnfii nhQn Ia cac dinh ly gioi h~n.. Trong cong trlnh nay chung toi rnong mu6n

TRUONG BAI HOC KINH TE TP HO CHi MINH

CHUYEN NGANH : DIEU KHIEN HQC KINH TE

Toi xin cam doan day Hi cong trlnh nghien cuu cua rieng toi Cac s6li~u,

ke't qua neu trong lu~n an la trung thlfc

Nhung ke't lu~n cua lu~n an chua tung du'<jc cong bO' trong ba't ky cong trlnh nao khac

Ngllm cam doan

NGUYEN v A.N si

? )<

MODAU

CHUONGl

XiCH MARKOV VA CAC TR~NG THAI

1.1 Tinh markov va xich Markov

1.1.1 Cac dinh nghia ccJ ban

1.1.2 Ma tr~n xac sua't chuy~n

1.1.3 Phan ph6i huu h~n chien

1.1.4 Phan ph6i ban dffu

1.~ Phan ldp cac tr~ng thai

1.2.1 Cac tr~ng thai lien thong va sv phan lOp

1.2.1.1 Cac tr~ng thai lien thong

1.2.1.2 Chu ky cua tr~ng thai

1.2.2 Tr~ng thai h6i quy va tr~ng thai khong h6i quy

1.2.2.1 Cac dinh nghia

1.2.2.2 Tieu chufin h6i quy va khong h6i quy

1.3 Xac sua't gioi h~n

1.3.1 Binh ly Ergodic

1.3.2 Thoi gian l~p trung blnh

1.4 Xich Markov ha'p th\1

1.5 Xich Markov voi thoi gian lien We

1.5.1 Binh nghia va cac khai ni~m ccJ ban

1.5.2 Qua trlnh sinh va huy

1.5.3 Gioi h~n cua xac sua't

1.5.4, Qua trlnh Poisson va qua trlnh de'm

1.5.6 Qua trlnh d6i mdi

2.3 Xich Markov ch<;~.y lien tie'p

2.3.1 D<;~.ng rna tr~n xac sua't chuy€n

2.3.2 Cac vi d\1

2.4 Mo hlnh pharr ho<;~.ch thi ph~n

2 5 Mo hlnh tr<;~.ng thai ha'p th1,1

2.6 Ung dl;lng cua qua trlnh Poisson

2.7 Mo hlnh tang tnl'dng tuye'n tinh vdi slf nh~p eli

2.8 U'ng dl;lng cua qua trlnh d6i moi

CHUONG3

UNG D\}NG CUA XICH MARKOV

3.1 U'ng dl;lng mo hinh phan ho<;~.ch thi ph~n cho 2 hang hang khong d

3.1.2 Lttu dd ki€m tra tinh Markov va tim rna tr~n chuy€n trong bai toan phan ho<;~.ch thi ph~n cho hai hang hang khong 54

3.1.3 Chuang trlnh ph~n m€m ki€m tra tinh Markov va tim rna tr~n

chuy€n trong bai toan phan ho<;~.ch thi ph~n cua hai hang hang khong 55

3.1.4.1 Kiern tra tinh Markov va tlrn rna tr~n xac sua't chuyen 62

3.2 Phan tich st;t bie'n d9ng ciia gia vang t~i TP H6 Chi Minh 65 3.2.1.Tirn rna tr~n xac sufft chuyen va kiern tra tinh Markov 67

3.2.2 Luu d6 kiern tra tinh Markov va l~p rna tr~n chuyen de d\l' doan sv

3.2.3 Chuong trlnh ph~n rn€rn kiSrn tra tinh Markov va l~p rna tr~n

3.2.6.3 Chuong trlnh ph~n rn€rn dS kiern tra tr~ng thai h6i qui 90

?

MO a.A.u

Trong vi~c nghien cuu nh~m nang cao hi~u qua ciia m9t h~ th6ng kinh te"

vi~c tu tr~ng thai hi~n t~i dl;l' hao tr~ng thai tu'ong lai cua h~ th6ng Ut di~u he"t sue ca'p thie"t Bdi le, nho d~ cac nha kinh te", cac nha doanh nghi~p hO?Ch dinh cac chie'n lu'<JC kinh doanh, lt;(a chQn quye"t dinh t6i u'u trong cac rang hUQC, du'a cac bi~n phap tac d9ng d€ loi keo khach hang

Khi tie"n hanh cac nghien CUu nay, Chung ta luon dt,mg dQ VOi cac nhan t6

ng~u nhien, chung tac d9ng mQi noi, mQi luc Nha't la trong giai do?n kinh te" thi tru'ong hi~n nay' cac ye"u t6 ng~u nhien tac d9ng cang du d9i cang da d?ng hon hao gio he"t

Vl v?y cac mo hlnh xac sua't trd thanh cac cong c~ quan trQng khong th€

thie"u trong cac nghien CUll nay

Mo hlnh Xich Markov du<;1c nha hac hQc Nga la A.A Markov (1856-1922) dua ra tu d~u the' ky 20 da du'<;1c nhi~u nha toan hQc phat tri€n them va su d~ng vao trong nhi~u linh vt;(c nghien cliu khoa hQc: sinh hQc, v?t ly hQc, xa h9i hQc, van hQc, kinh te" hQc

Trong nhung nam g~n day, C5 cac nu'oc kinh te" phat tri€n Xich Markov du'<Jc sti' d~ng nhi~u trong kinh te": va'n d~ phan ho~ch thi ph~n va'n d~ ph~c v~

dam dong, va'n d~ dl;l' tru hang h6a, va'n d~ d6i moi cac thie"t hi

d nu'oc ta vi~c nghien cuu qua trlnh Markov ciing da du<;1c quan tam tu

lau : cac giao su' Nguy€n Bac Van, Nguy€n Duy Tie"n, D~ng Hung Tha:ng ( D?i

hQc T6ng h<;1p Ha N9i ), Nguy€n H6 Quynh ( D?i hQc Bach khoa Ha N9i ), Nguy€n Van Thu (-Vi~n Toan hQc Ha N9i) v v da c6 nhi~u cong trlnh c6 gia tri nghien cuu v~ qua trlnh Markov Tuy nhien nhung cong trlnh d6 la cac

cong trlnh thu~n tuy ly thuye't va rnfii nhQn Ia cac dinh ly gioi h~n Trong cong trlnh nay chung toi rnong mu6n sii' d1,1ng cac ke't qua cua ly thuye't Xich Markov voi so' li~u thl,l'c te' d~ tra lOi nhung cau hoi ClJ th~ trong kinh doanh Hai ndi chung toi hta chQn ap dl,lng la :hang khong dan dl,lng va kinh doanh vang b~c da quy, nhung linh vl,l'c rna chung toi xern la kha rnfii nhQn trong nSn kinh te' qu6c gia hi~n nay C1,1 th~ la chung toi giai quye't 2 bai toan

- Phan ho~ch thi ph~n giua hai hang hang khong tuye'n bay TP H6 Chi Minh- Ha N()i

- Dl,l' doan tang, giam gia vang t~i TP H6 Chi Minh

Theo nh~n xet cua Ph6 Giao su Nguy€n Bac Van - rn()t trong cac chuyen gia hang d~u v€ ly thuye't xac sua't 6 mtoc ta thl vi~c ch<;m mo hlnh xich Markov

d~ giai quye't vS va'n d€ d<}t ra C5 day la toi tin " khong m()t phudng phap nao khac c6 th~ d~t toi du~c "

Ta't nhien qua hai va'n d€ giai quye't trong lu~n an chung toi con mu6n xay dl,l'ng m()t quy trlnh thl,l'c hi~n nhung bai toan tudng tl,l' thu()c 2 rno hlnh nay voi

ph~n mSm vi tinh c6 th~ xem la ch<}t che

N()i dung lu~n an cua chung toi g6rn 3 chudng

- Chudng 1 trlnh bay nhung ye'u linh can ban c~n cho vi~c hi~u nhung mo hlnh chung toi trlnh bay C5 chudng 2 d chudng nay chung toi chi chl1ng minh nhung ke't qua quan trQng Chung minh nhung ke't qua khac tl,l' d()c gia c6 th~ tlm trong

ali li~u [7] cua Giao.su Nguy€n Duy Tie'n- m()t tai li~u trlnh bay kha d~y du nhung ke't qua c~p nh~t nha't vS qua trlnh Markov

- Chudng 2: Trlnh bay c~c mo hlnh l1ng dt;mg Xich Markov vao kinh te' Trong chudng nay, ngoai 2 mo hlnh chung toi da sii' dQng cv th~ C5 chudng 3, chung toi con trlnh bay m()t s6 mo hlnh khac rna do khuon kh6 lu~n an va do chua du so'

li~u, nen chung toi chu'a ap dvng nhu'ng chung toi nh~n tha'y c6 th~ ung dl,mg t6t trong kinh te' nu'oc ta

- Chu'dng 3 : Trlnh bay 2 ap dvng thlfc te' da tie'n hanh c6 ke't qua

Cfing theo IOi nh~n xet cua Ph6 Giao su' Nguy~n Bac Van thl " day la

lu~n an ca'p tie'n si dffu tien (J Vi~t Nam v€ ftng dvng mo hlnh Markov vao thvc te' "

CHU'dNG 1

1.1 Tinh markov va xich Markov

1.1.1 Cac dinh nghia co min

Gia sll' chung ta cftn nghien CUu S\1' tie'n tri~n theo thoi gian cua mQt hi$ kinh te', v~t ly ho~c sinh th:H nao d6

Ky hi{$u X(t) Ia vi tri cua hi$ d thoi di~m t T~p hqp cac vi tri c6 th~ c6 cua hi$ du'qc g<;>i Ia khong gian tr~ng thcii

Gia sll' tru'oc thoi di~m s hi$ d tr~ng thai nao d6, con t~i thoi di~m s hi$ () trqng thai i Ta cffn bie't t~i thoi digm t (t > s) trong tu'dng lai hi$ () tr~ng thai j

voi xac sua't Ia bao nhieu Ne'u xac sua't nay chi ph\1 thUQC vao s, t, i, j thl di~u

nay CO nghia la St;{ tie'n tri~n cua h~ trong tu'dng lai chi ph\1 thUQC VaO hi{$n t~i va d9c l~p voi qua khu Tinh cha't nay g<;>i la tinh Markov Hi$ c6 tinh cha't nay g<;>i

la qua trlnh Markov

Ch~ng h~n, ne'u g<;>i X(t) la dan s6 () t~i thoi di~m t (trong tu'dng lai) thl c6 th~ xem X(t) chi ph\1 thu9c vao dan s6 hii$n t~i va dQc l~p voi qua khu N6i chung cac hi$ khong c6 tri nho ho~c suey Ia nhung hi$ c6 tinh Markov

Ta ky hi{$u E Ia t~p g6m cac gia tq cua X(t) va E g<;>i la khong gian tr~ng thai cua X(t)

Ne'u X(t) c6 tinh Markov va E danh s6 du'qc thl X(t) du'qc g<;>i la xich Markov

Tntong h<;Jp, ne'u t = 0, 1, 2, thl ta c6 khai nii$m xich Markov voi thoi gian roi r~c Con ne'u t e [O,oo) thl ta c6 khai nii$m xich Markov voi thoi gian lien t\}c Tinh Markov du'qc dinh nghia theo ngon ngu toan h<;>c nhu' sau

Dinh nghia Ta n6i ding X(t) c6 tinh Markov ne'u

P{X(tn+I)= jl X(to)=io, ,X(tn-t)=in-I•X(tn)=i} =P{X(tn+I)= j I X(tn)=i}

vOi ba't ky to< t1 < < tn < tn+1 < va io; , < in-1,' i 'j E E

Ta xem tn la hi~n t~i va tn+1 Ia tuong lai, (to, th···· tn-d la qua khu Do d6 bi~u thuc tren chinh la tinh Markov cua X(t)

B~t p (s, i, t, j) = P{X(t) = j I X(s) = i} , (s < t)

f)6 la xac sua't c6 di~u ki~n d~ h~ t~i thoi di~m s (J tr~ng thai i, de'n thbi di~m t h~ chuyen sang tr~ng thai j Vl the' ta g9i p(s, i, t, j) Ia xac sua't chuy~n cua h~ Ne'u xac sua't chuyen chi phtJ thUQC vao (t-s) tuc la

p(s, i, t, j) = p (s + h, i, t + h, j) thl ta n6i h~ la thu~n nha't theo thoi gian

Trong lu~n an nay, kt~i khong n6i gl them, chung ta chi xet xich Markov

thu~n nha't

1.1.2 Ma tr~n xac sua't chuy~n

Gia si't (Xn; n = 0, 1, 2, ) la xich Markov rbi r~c va thu~n nha't Khi d6 c6 m<)t khong gian xac sua't (Q, A, P), Xn : Q ~ E Ia cac bie'n ng§u nhien nh~n gia

tri trong t~p de'm dU'<JC E, E Ia khong gian tr~ng thai, cac ph~n ttl' cua n6 dU'<JC

ky hi~u la i, j, k,

Tinh Markov va tinh thu~n nha't cua (Xn) c6 nghia la

Pij = P{Xn+1 = j I Xn =i} = P{ Xn+1 = j I Xo = io, , Xn-1 = in-h Xn = i} khong ph\1 thu<)c vao n

IP = (pij) du<;rc g9i Ia rna tr~n xac sua't chuy~n sau m<)t buoc

Pij la xac sua't c6 di~u ki~n d~ h~ t~i thoi diem n (hi~n t~i) (J tr~ng

thai i va chuy~n sa~g tr~ng thai j t~i thoi di€m n+ 1 (tuong lai)

Ne'u s6 tr~ng thcH la huu h~n thliP la rna tr~n vuong c6 b~c b~ng voi s6

tr~ngthai Ne'u d?t cac bie'n c6

tuc la qua khu va tu'ong lai doc l~p voi nhau khi ta cho tru'oc hi~n t~i

Tu cong thuc xac sua't dfiy du suy ra rna tr~n IP= (Pij) c6 tinh cha't

Xac sua't chuy~n sau n bu'oc du'<Jc dinh ngh'ia nhu' sau

pij<n> = P{Xn+m = j I Xm = i} = P{Xn = j I Xo = i}

Day la xac sua't d~ h~ t~i thoi di~rn xua't phat o tr~ng thai i, sau n buoc

chuy~n sang tr~ng thai j

Ro rang ta c6 Pij = Pij· Ta qm u'oc Pij - ,

Va d?t IP<n> = ( pt) D6la rna tr~n xac sua't chuy~n sau n buoc

Tu cong thuc xac sua't dfiy du vatu tlnh Markov ta c6

Phuong trlnh (1.1) Ia phuong trlnh ngtt<;1c; (1.2) Ia phttong trlnh thu~n

M9t <;ach t6ng quat hon voi mQi n, m = 0, 1, 2, ta c6 phttong trlnh

Chapman - Kolmogorov p <n+m) - ~p- (n) p .<m)

lJ - f;E lk • kj (1.3)

Chdng minh (1.1)

H~ xua't phat tu tr~mg thai i, sau n + 1 bttoc chuy€n sang tr~ng thai j Ut

ke't qua cua vi~c h~ xua't phat tu tr?ng thai i, sau m()t bttoc chuy€n sang tr?ng thai k nao d6, the' r6i h~ xua't phat tu tr?ng thai k, sau n bttoc tie'p theo chuy€n sang tr?ng thai j

Til' cong thuc xac sua't d~y du va tinh Markov ta c6

P ij Cn+l)- P{ X - n+l-- J I X -o -1.}

= LP{Xn+l = j I X0 = i, X1 = k} P{Xl =.k I Xo = i}

keE

di~u nay da ch"Ung minh cong th"Uc (1.1)

Cac cong th"Uc (1.2) va (1.3) dtt<;1c ch"Ung minh tttong tlf

Cac phttong trlnh (1.1), (1.2) va (1.3) c6 d~ng rna tr~n nhtt sau

tp(n+l) = IP.IP(n) tpCn+ 1) = tpCn) IP tpCn+m) = IP(n).JP(m)

Til' d6 ta suy ra tp<n> = IP"

1.1.3 Phan pho'i hii'u h~n chi~u

Phan ph6i hun h(].n chi€u cua qua trlnh Markov du'<;fc tinh theo cong thuc

P { Xo = io} = Pi 0

P{Xo = i0 , X1 = i1 , Xn-1 =in-~> Xn = i} = P;0·Pio.;,···P;,_,.; (1.4)

Bi~u thuc (J v€ trai du'<Jc gQi la phan ph6i hfi'u h(].n chi€u

Thc}tvc}y

P{Xo = io, x1 = ih , Xn =in}= P{Xo = io, x1 = ih , Xn-1 = in-d X

X P{Xn =in/ Xo = io, , Xn-1 = in-1}

-Do d!nh nghia cua qua trlnh Markov

P{Xn =in I Xo = io, , Xn-1 = in.I} = P{Xn =in/ Xn-1 =in I}= Pin-l·in

Dod6

Vl v~y

Di€u nay da chung rninh (1.4)

1.1.4 Phan pho'i ban d~u

Dfnh nghia Phan pho'i ban d~u cua h~ t(].i thoi di~m n du'oc cho bCii cong thuc sau p?> = P{Xn = j}; n = 0, 1, 2, ; j e E (1.5)

D~t rr<n) = (pr>,j E E) va gQi II = rr<O) la phan ph6i ban d~u ciia h~

Ta qui u'dc rr<n> = (p/n>,j e E) la vectd hang Ta tha'y r~ng

rr<n> = II.IP <n>

rr<n+l) = rr<n>.tp rr<n+l) = rr(l> IP <n>

rr<n+m) = rr<n) tp(m)

Th?t v?y, theo eong thile xae sua't d~y dii ta e6

(Xn) la day eae bie'n ngftu nhien rbi r~e

rr la phan ph6i ban d~u

IP Ia rna tr?n xae sua't ehuy~n

1.2 Phan lOp eae tr~ng thai

1.2.1 Cac tr~ng thai lien thong va srf phan lop

1.2.1.1 Cac tr~ng thai lien th6ng ·

Djnhnghia

Ta n6i ding tr~ng thai j d~t dU'<Je m tr~ng thai i ne'u t6n t~i n ;:::: 0 sao eho Pi/n) > 0 (ta quy u'oe Pi/0) = 1 ne'u i = j va Pu(O) = 0 ne'u i :;t: j) Trong tntong h<Jp nhU' the' ta ky hit$u i ~ j

Hai tr~ng thai i va j du<Je g<;>i la lien thong voi nhau ne'u i ~ j va j ~ i ··

Trong trU'bng h<Jp d6 ta ky hit$u la i ~ j

D€ dang tha'y r~ng ~ e6 eae tinh eha't phan x~ do'i xilng, bf{t e~u Tile la

thUQC cung IDQt lqp lien thong VOi nhau, con hai tr~ng thcii ba't ky thUQC hai lop khac nhau khong th~ lien thong voi nhau

Dinh nghia

Xich Markov du<;1c gQi la t6i gian ne'u hai tr~ng thai ba't ky ciia n6 lien thong voi nhau Nhu v~y xich t6i gian khi va chi khi E g6m dung m9t lop; xich khong t6i gian c6 ft nha't hai lop khac r6ng, roi nhau E = E1 u E2 u

Trong nhi6u tru'C1ng h<;Jp c6 th~ xem m6i Ek (k = 1, 2, ) Ia khong gian tr~ng

thai ciia xich Markov t6i gian Vl the' E1, E2, du<;1c gQi Ia lop t6i gian ciia xich Nhu v~y vi<%c xet xich Markov c6 th~ qui v6 vi<%c xet cac xich Markov t6i gian 1.2.1.2 Chu ky cua tr~ng thai

Djnh nghia

Chu ky d(i) ciia tr~ng thai i la uoc chung IOn nha't ciia ta't ca cac s6 nguyen n ~ 1 thoa man Pi}n) > 0 Ne'u Pi~n) = 0 d6i voi ta't ca n ~ 1 thl d~t d(i) = 0

Djnh ly Ne'u i ~ j thl d(i) = dQ)

Dinh nghia Ta n6i r~ng tr~ng thai i khong c6 chu ky ne'u d(i) = 1

1.2.2 Tr~ng thai h6i quy va tr~ng thai khong h6i quy

1.2.2.1 Cac djnh nghia

Gia sir (Xn) la xich Markov Xet tr~ng thai c6 dinh i e E

Ta d~t JJn) = P{Xn = j, X1 -:f: j, , Xn-1 -:f: j IX.o = i} , j E E

Nhu' v~y, tJn) la xac sua't d~ he% xua't phat tu i l~n d~u tien chuy~n sang j

t~i th?1i di~m n (ho~c t~i bttoc thu n) f)~c bi<%t, fi~n) Ia xac sua't d~ he%, xua't phat tU i l~n d~u tien trd v6 i t~i th?1i di~m n

Ro rang tY) ~ P·· Tu tinh Markov va cong thuc xac sua't d~y du ta c6

lJ lJ

-Bie'n cef h~ xua't phat tu i roi vao j t~i thoi di~m n Ut h<;1p cua cac bie"n

cef (roi nhau) Ak, trong d6 Ak la bie'n cef h~ xua't phat tU' i l~n d~u tien roi vao j

t~i ihoi di~m k r6i l~i xua't phat tU' j sau d6 roi vao j t~i thai di~m n- k Ta c6

P(Ak) = P{l~n d~u tien roi vao j t~i thoi di~m k I X0 = i}.P{Xn-k = j I Xk = j}

i dU'<Jc gQi la tr~ng thai h6i quy ne'u iii = 1

i du<Jc gQi la tr~ng thai khong h6i quy ne"u iii < 1

Theo dinh nghia nay i la h6i quy ne'u va chi ne'u h~ xua't phat tu i, voi xac sua't 1 h~ l~i tro v~ i t~i thai di€m huu h~n nao d6 Trong khi d6 i la khong h6i

quy c6 nghia Ia bie'n cei h~ xua't phat tu i, trdl~i i "it nha't m()t l~n c6 xac sua't bhng iii < 1 Do tinh Markov ta suy ra bie'n cef h~ xua't phat tu i, tro l~i i it

nha't 2 l~n c6 xac sua't b~ng ( fii )2 .• bie'n cdh<$ xua't phat tu i, tro h.ti i it nha't k

1an co xac suat ang ~ , , ~ b'l:, ( I" )k , k 1 2 3

1 ii , vo1 = , , ,

Gia sli' MIa bie'n ng~u nhien de'm sdl~n h<$ tro l;;ti i

Ta tha'y r~ng, ne'u i khong h6i quy thl

' (k = 1,2, ) '

tuc la M c6 phan phdi hlnh h9c

D~c bi<$t, P{M = oo I Xo = i} = 0 V~y h<$ xua't phat tir 1 h<$ tro v€ 1 vo s6

l~n voi xac sua't 0

Trong tntong h<Jp i la h6i quy thl

P{M=oo/X0 =i} = lim P{M~k/X 0 =i} = lim (fu)k = 1

k-'too k-"too

Va (fu )n l~p thanh phan phdi xac sua't (vl fii = 1)

Do d6, ta c6 the tinh gia tri trung blnh cua n6

1-4 = L nfi~n) , d6 la thoi gian trung blnh h<$ tro l;;ti i

n=O

Dinh nghla

Gia sli' i Ia.tr;;tng thai h6i quy Ta n6i

i la tr;;tng thai hai quy duong.ne'u 1-4 < oo

i la tr;;tng thai khong ne'u l-4 = 00,

Theo dinh nghia tren i la tr;;tng thai duong c6 nghia la thai gian cho d<Ji de h<$ xua't phat tu i tro v€ i la hfi'u h;;tn trong khi d6 thai gian nay b~ng oo ne'u i

la tr;;tng thai khong

1.2.2.2 Tieu chu~n h6i quy va khong h<li quy

Djnhly

(i) Tr~ng thai i la h6i quy khi va chi khi

00

LP1n) = 00 n=l

ho~c tll'ong duong, tr~ng thai i la khong h6i quy ne'u va chi ne'u

00

LP£n) < 00 (1.6)

n=l

(ii) Ne'u i ~ j h6i quy thl j ~ i va j cfing h6i quy

(iii) Ne'u i ~ j va j h6i quy thl fu = 1

Dfnh ly

00

Ne'u j khong h6i quy thl voi m<;>i i E Eta c6 LP&n) < 00

lim p('!) = 0 voi m<;>i i E E

Djnh ly Gia sti' IP = (p ij) Ia rna tr~n xac sua't chuy~n cua xich Markov (Xn)

c6 khong gian tr~ng thai hfi'u h~n E = {1, 2, , N}

(i) Ne'u IP chinh quy theo nghia sau t6n t~i n0 sao cho

va (1.9) thl se t6n t~i no thoa man (1.7)

(iii) Cac sci n~ , nN Ia nghi~m ciia h~ phU'ong trlnh

(1.10)

va d6 Ia nghi~m duy nha't thoa man di€u ki~n

7r j ;-::: 0 ' 'v'j E E ; L 1l j = 1 ne'u (1 7) dU'<Jc th\fc hi~n

V~y mj<n>:::;; mr+I) hay (mr>) Ia day don di~u tang

Tuong .t\1' ta c6 M/n> ~ M?+I) hay (Mr>) Ia day don di~u giam

Vl v~y ta chi c~n ch4'ng to

Mj<n>- mj<n> ~ 0 khi n ~ oo; 'v'j = 1, 2, , N

Gia sii' 8 = minp~!7o) y > 0 Khi d6 p~no) -Ep~n) Jk j k -> 0 va ta c6

Til' d6 ta suy ra:

M\kno+n) - mC.kno+n) < (M·(n)- m·(n)) (1- E)k .J, 0 khi k ~ 00

1 1 - J J

Nen M/n)- m/n) ~ 0 khi n ~ oo; 'v'j = 1, 2, , N

Nhu' v~y ta da chung minh dl.l'<Jc r~ng, t6n t~i

1tj = lim m}"> = lim M}") = lim pij(n)

C~n chu r~ng, theo cac chung minh tren thl khi n ~ n0, ta c6

I Pir)- 1tj I~ M/n)-mr) ~ (1 -Ein/no ]-l'

tuc la Sl,l' h()i tl,l cua p~n) toi 1tj di~n ra voi t6c d() cffp s6 nhan

Ngoai ra, m)n) ~ m)no) ~ 8 > 0 khi n ~ no, do d6 1tj > 0

(ii) Hi~n nhien.tll' (1.8) va (1.9) suy ra (1.7) vl s6 tr~ng thaila huu h~n

(iii) (1.10) la h~ qua trl,l'c tie'p cua (1.9) Th~t v~y vl s6 tr~ng thai la huu

h~n,nen

1.3.2 Th<ti gian l~p trung blnh

Ta xet qua trlnh xich Markov la Ergodic

Djnh nghla

ThC1i gian trung blnh troi qua giua nhung Ign qua trlnh (J tr~ng thai j du<jc gQi

la thC1i gian 1~ p trung blnh cua tr~ng thai j

Gia sit (xn) la Xich Markov voi khong gian tr~ng thai E = { 0, 1 , , N}

Gia sit 0, 1, , r- 1 la cac tr~ng thai truy~n ung theo nghia

= [ ~ R+Q~+Q2

R]

B~ng phuong phap qui n(;lp, ta du<;Jc

G<;>i w~> la s6 lfin trung blnh hi$ (J tr(;lng thai j tinh de'n thai di~m n va

xua't phat tu tr(;lng thai i

nen W = ( I- Qf1 la rna tr~n dao ciia rna tr~n (I - Q) Ta gQi la rna tr~n W la

rna tr~n co ban ung voi rna tr~n Q Thanh phffn thu (i, j) la phffn tir Wij eli a rna tr~n W

GQi T la thC1i di~rn ha'p thv, tll'c la

(1.18) B~t vi= E [T/Xo = i] thC1i gian trung blnh cho de'n hie ha'p thv khi ba:t dffu

tu tr~ng thai i

r-1T-1 T -1r-1 T-1

Do d6 vi= Iwij nen vi= 1 + IPik·vk , i = 0, 1, , r- 1 (1.20)

Bay gio ta xet de'n xac sua't ch:;tm Ta bie't rhng cac tr:;tng thai r, r +1, ,N

la cac tr:;tng thai ha'p th\} Khi qua trlnh rdi vao ffiQt trong cac tr:;tng thai nay thl k:hong th€ thoat ra k:hoi tr~ng thai a'y

Ta tha'y r~ng khi xua't phat tu tr:;tng thai i qua trlnh hi ha'p thv vao tr~ng

thai k t~i budc thu n vdi xac sua't chuy€n

p};) = P{ X n = k !X o = i} = P { n ~ T, X T = k I X o = i} , (1.21)

vdii=O, 1, ,r-1 vak=r,r+1, ,N trong d6 T la thai di€m ch~m T =min {n ~ 0: r ~ Xn ~ N}

B?t uj;) =P{T5.n,Xr =k!Xo =i}

vdii=O, 1, ,r-1 vak=r,r+1, ,N Theo (1.12 ), (1.14) va (1.21) ta c6

Cho n ~ oo trong (1.21) ta c6 xac sua't ch~m

U;k :;::limU;~n> :;::P{T:Sn,Xr :;::k/X 0 :;::i} voi i = 0, 1,, r- 1 va k = r, r +1, , N

Do d6 I WijRjk:;:: I oyRjk + I IPr; W'J.jRjk

1.5.1 Dfnh nghia va cac khai ni~m cd ban

Ta xet qua trlnh ng~u nhien voi thoi gian lien tt;Ic {X(t), t;;::: 0} nh~n gia tri trong t~p h<;1p E c z+ cac s6 nguyen khong am

Dfnh nghia 1 Qua trlnh {X(t), t;::: 0} du<;5c gQi la xkh Markov voi thoi gian lien tvc, ne'u Vs > u;::: 0, Vt > 0 vli Vi, j, k E E thl

khong pht;t thu<)c vao s thl xich Markov d119c gQi la thu~n nhfft Luc d6 ta c6 thg

vie't

Pij(t) = P{X(t) = j I X(O) = i} , Vt;;:: 0, Vi,j e E,

trong d6 ta quy U'dc

Pii(O) = O,i ={~ ne'u i = j

ne'u i :;t:j

T~p h<;Jp E dtt<;Jc gQi la khong gian tr:;mg thai ciia xich

(1.25)

Sau day chung ta chi xet cac xich Markov vdi thai gian lien tt;tc va thu~n

nha't, rna ta se gQi Hit la xich Markov lien tt;J.C va th~~n nha't

Djnh nghia 2 Qua trlnh ngftu nhien {X(t), t;;:: 0} nh~n gia tri trong t~p h<;Jp

E c z+ dU'<;JC gQi Ia xich Markov lien tt;J.C va thu~n nha't, ne'u tl;li m6i thai di€m n6

a m9t trC}.ng thai i nao d6 va tho a man hai diSu ki~n sau

a) Khmlng thai gian Ti qua trlnh htu lC].i tre].ng thai i trttdc khi chuy€n sang trC].ng thai khac c6 phan pho'i mfi vdi trung blnh 1/A.j Cac khmlng thai gian cho

Ti la cac bie'n ngftu nhien d(>c l~p

b) Khi qua trlnh roi khoi trC].ng thai i n6 chuy€n ngay l~p tll'c sang trC].ng thai

J tie'p theo vdi xac sua't Pij nao d6 rna

Pii = 0 ' LPiJ = 1 ' Vi E E

j¢i

Theo dinh nghia nay tham so' ~;;:: 0 dtt<;Jc gQi la cttong d9 chuy€n khoi trC].ng thai i Ta d~t A.ij = AiPij;;:: 0 (i :;t: j) va gQi d6 la cttong d(> chuy€n (ngay l~p tll'c) tu trC].ng thai i sang trC}.ng thai j

Ta c6 Ai = A.i LPiJ = L"-i Pij = LAiJ (1.26)

pij = _JL= A ij I ( 2:A.!i) Trd lC].i vdi xac sua't chuyen

pij(t) = P{X(t + s) = j I X(s) = i} , (i, j E E)

trong dinh nghia thu nha't, ta c6 mo'i quan h~ ch~t che va phu hqp voi cac gia tri

Aj, Pij· Aij trong dinh nghia thu hai

1.5.2 Qua trlnh sinh va hoy

Ta xet m()t h~ th6ng rna tr~ng thai cua n6 t~i m6i m()t thoi di€m du'QC th€

hi~n bC1i so' ca th€ c6 m~t trong h~ tho'ng t~i thoi di€m d6 Ghl thie't d.ng m6i khi c6 n ca th€ trong h~ tho'ng thl

a) Dong ca th~ moi de'n h~ tho'ng Ia qua trlnh voi thoi gian cho c6 phan pho'i

(

mfi voi cuong d9 (tham so') An~ 0

b) Dong ca th~ roi khoi h~ tho'ng la qua trlnh voi thoi gian cho c6 phan pho'i mfi voi cuong d9 (tham so') J.ln ~ 0

c) Dong ca th~ de'~ va dong ca th~ di Ia d()c l~p voi nhau

Nhu v~y, m6i khi c6 n ca th~ trong h~ tho'ng thl thoi gian cho m()t ca th€ moi de'n T nO> c6 phan pho'i mfi voi trung blnh 11 An va thoi gian cho m()t ca th€ roi di

Ia d()c l~p

Qua trlnh nay du'QC gQi la qua trlnh sinh Va huy, cac tha·m so' {A-n };=0 Va

{.un};=O dlt<jc gQi la cu'ong dQ de'n (hay sinh) va cliong dQ di (hay huy) tu'dng Ung Qua trlnh sinh hay huy chinh la xich Markov lien tt;tc va thu~n nha't {X(t), t ~ 0} voi khong gian tr~ng thai E = {0, 1, 2, }, X(O) = 0, va

thoi gian ch~ T 0 c6 phan pho'i mfi voi tham so' Ao va Pol = 1

thoi gian cho T n c6 phan ph6i mfi vdi tham so' An+ J.ln , n ~ 1

Tu'dng tt;( do'i voi Pn,n-1·

Ne'u J.1n = 0 , Vn ~ I thl qua trlnh dang xet gQi la qua trlnh sinh thuffn tuy, con ne'u An= 0, Vn ~ 0 thl gQi la qua trlnh huy thuffn tuy N6i rieng, qua trlnh sinh thuffn tuy rna An= A> 0, Vn ~ 0 chinh la rn()t qua trlnh Poisson

1.5.3 Gi6'i h~n ciia xac sua't

Ta xet xfch Markov lien tlJC va thuffn nha't {X(t), t ~ 0 } voi khong gian tr~ng

thai E c z+, rna tr~n xac sua't chuy~n IP(t) = (pij(t)) ijeE, va phan pho'i ban dffu Il(O) = (Pi(O) = P{X(O) = i} , i E E)

Dinh nghia

Phan pho'i II(t) = (pj(t) = P{X(t) = j} 'j E E) t~i thC1i di~rn t > 0 cua xich dlt<Jc gQi la dung, ne'u n6 khong phv thu()c vao t, tl!c la voi rn6i j E E thl Pj(t) =i 7ij , Vt > 0

Khi d6 ta c6 (1.27)

Vie't du'di d~ng rna tr~n thl rr* = IJ*.IP(t) ,Vt > 0

Trong d6 rr* = (1tj 'j E E) la vectd pharr pho'i gidi h~n

Gia thie't d.ng t6n t~i it nha't m()t tr~ng thai j0 E E sao cho cung khmlng thC1i gian

0 < h < 00 nao d6 thl

Pijo(h) ~ 8 > 0, ViE E (1.28)

gia thie't nay du'<;fc g<;>i la di~u ki~n Docblin

Khi a'y ta c6 ke't qua sau v~ sv h()i tt;t tdi pharr pho'i dung cua xich

Vi dQ Ta trd l~i vi dt;t tru'dc v~ qua trlnh sinh va huy vdi hai tr~ng thai, mo hlnh m()t thie't hi lam vi~c ho~c bao duong

Khi fiy vdi pharr pho'i ban d~u IT(O) = (1, 0) ta da c6

Pol(t) = 1-Poo(t) , Pw(t) = 1-Pu(t)

Ne'u ta la"y phan pho'i nay lam phan pho'i ban dgu ciia xich va v~n gifi'

nguyen rna tr~n xac sua"t chuy€n, thl dli<Jc

Po(t) = _Jl_ = n0 , p1(t) =-A.- = n 1 , Vt ~ 0

do d6 phan pho'i gioi h~n va phan ph6i dung v~n khong thay d6i

1.5.4 Qua trlnh Poisson va qua trl.nh de'm

Dfnh nghia Qua trlnh ng~u nhien {X(t), t ~ 0} du<;Jc gQi la qua trlnh Poisson voi cttong d() A> 0 ne'u thoa man cac dieu ki~n sau day

(i) X(t) c6 cac gia tri la toan b() t~p h<;Jp z+ va X(O) = 0

(ii) X(t) la qua trlnh voi gia s6 d()c l~p, tuc la voi mQi 0 ::;; t1 < t2 < < tn thl cac gia so' X(ti)- X(tj_ I)' i = l,n la cac bie'n ng~u nhien d()c l~p

(iii) M6i gia so' X(t + s) - X(s) , "i/s ~ 0, "i/t > 0 la bie'n ng~u nhien c6 phan pho'i Poissmfvoi tham so' At

: Ta tha"y "i/s > u ~ 0' v > 0 va "i/i, j, k E z+' k::;; i ::;j thl

P{X(t+ s) = j I X(s) = i, X(u) = k} =

= P{X(t + s)- X(s) = j- i I X(s)- X(u) = i -k, X(u)- X(O) = k}

= P{X(t + s) ;_ X(s) = j -i} = (;u)i-i e-AI

U-i)!

M~t khac P{X(t + s) = j I X(s) = i} =

= P{X(t+ s)- X(s) = j-i I X(s)- X(O) = i}

= P{X(t + s)- X(s) = j - i} = (Ai)j-i e-At

(j-i)!-V?y qua trlnh Poisson la xich Markov lien t1,1c va thu~n nha't

Qua trlnh Poisson luon ga:n Ii€n voi qua trlnh dem du'<;1c xay dl,l'ng nhu sau Gia sU' A la bien c6 nao d6 Ky hi~u N(t), t ;::: 0 Ia s6 l~n bien c6 A xua't

hi~n trong khoang thoi gian tU' 0 d~n t (k~ ca thoi di~m t) Khi d6 {N(t), t;::: 0} du'<Jc gQi Ia qua trlnh dem

Chllng h~n, ta c6 nhung vi d1,1 sau v€ qua trlnh dem

A la bi~n c6 khach vao cU'a h~mg nao d6 Khi a'y N(t) Ia s6 khach vao cU'a hang tfnh den thai di~m t

Ala bien c6 di~n tho~i gQi den tr~m bu'u di~nnao d6 Khi a'y N(t) la s6 l~n

gQi den tr~m bu'u di~n tfnh de'n thoi di~m t

A la bien c6 sinh con trai Khi a'y N(t) Ia s6 con trai du'<;ic sinh ra tfnh de'n thai di~m t

Ne'u {N(t), t;::: 0} la qua trlnh d~m, thl N(t) c6 cac tinh cha't sau:

I

(i) N(t) nh?n cac gia tri trong toan b9 z+ va N(O) = 0

(ii) N(s) ::;; N(t) , voi mQi 0::;; s::;; t

(iii) N(s, t] = N(t)- N(s) , 0::;; s < t, la s6 l~n bie'n c6 A xay ra trong khoang thoi gian (s, t]

· Ta gQi {N(s, t], 0 :$; s < t} la qua trlnh di~m (tuong ltng voi qua trlnh de'm {N(t), t ~ 0} )

Gia sii' qua trlnh de'm {N(t), t ~ 0} thoa man cac gia thie't sau (thuong g~p

· trong ltng dl]ng thlfc te')

1 C6 gia scf dQc l~p, tltc la voi mQi 0 :$; t1 < tz < < tn cac gia scf N(th tz], N(tz, t3], , N(tn-h t0 ] Ia cac bie'n ng~u nhien dQc l~p

2 C6 gia s6 dli'ng, tac la voi IDQi 0 :$; tl < tz' Vs > 0 cac gia s6N(tl+ s, tz + s],

N(t1 tz] Ia cac bie'n ng~u nhien c6 cling phan ph6i xac sufit

3 T6n t;;ti h~ng s6 'A> 0 sao cho voi h > 0 kha be thl

P{N(h) = 1} = 'Ah + O(h)

4 Voi h > 0 kha be thl P{N(h) ~ 2} = O(h)

Y nghia toan hQc cua nhung giii thie't tren nhu' sau

= Po(t)[1 -:- 'Ah + O(h)]

Vl the' Po(t+h1- Po(t) =-ilpo(t)+ 0~)

(theo gia thie't 2) (theo ke't qua tren)

Cho h ~ 0 ta du'Qc Po' (t) =- Ap0(t)

Chu y r~ng p0(0) = 1 ta se suy ra p0(t) = e·A.t , t ~ 0

Tu'dng tl;i ta c6

Pn(t +h)= P{N(t +h)= n}

= P{N(t) = n, N(t +h)- N(t) = 0} + + P{N(t) = n- 1, N(t +h)- N(t) = 1} +

Cho h ~ 0 ta du'Qc Pn'(t) =- A.p0(t) + APn-r(t)

GiiH phu'dng trlnh nay b~ng each quy nc:tp va chu y r~ng

Pn(O) = 0 , 'v'n ~ 1 ta suy ra

Nhu v~y, qua trlnh de'm {N(t), t ~ 0} voi cac gia thie't da neu (J tren la qua trlnh Poisson

Ngu'Qc lc:ti, tll' dinh nghia qua trlnh Poisson ta tha'y

P{X(h) = 0} = e·A.h = 1- A.h + o(h) khi h -7 0

P{X(h) = 1} = A.he·A.h::::: A.h[1 - A.h + O(h)] = A.h + o(h) khi h ~ 0

P{X(h) ~ 2} = 1- P{X(h) = 0}- P{X(h) = 1} = o(h) khi h -7 0

Nhu v~y, qua trlnh Poisson {X(t), t ~ 0} cling Ia qua trlnh d€m thoa man cac gia thi€'t da neu (J tren

1.5.5 Qua trinh Poisson c6 phan lo~i

Bay gia ta xet qua trlnh Poisson {X(t), t;;::: 0} voi cuang d() A (tuong ung voi qua trlnh de'"m sefl~n xay ra bie'n cef A) Gia sd' m6i khi bie'n cef A xay ra thl n6 du'<Jc phan th~mh hai lo~i, lo~i I voi xac sua't p va lo~i II voi xac sua't q = 1 - p Hon nii'a, gia sd' S\1' phan lo~i bi€'n cef nay la d()c l~p voi S\1' phan lo~i bie'n cef kia

'

Chgng h~n, dong khach hang de'n m()t cd'a hang theo qua trlnh Poisson {X(t), t ;;::: 0} voi cu'ang d() A, khach dll'qc phan lam hai lo9i, nam voi xac sua't Yz

va nfi' voi xac sua't Yz

Ta ky hi<%u X1(t) va X2(t) la qua trlnh d€m tu'dng ung voi bi€'n ceflo~i Iva bie'n c6lo9i II R5 rang la X(t) = X1(t) + X2(t)

Dfnh ly Voi cac di€u ki<%n da neu d tren, ta c6 {XI(t), t ;;::: 0} va {X2(t), t ;;::: 0} Ia cac qua trlnh Poisson voi cu'ang d() Ap va Aq tu'ong ung Hon nfi'a, hai qua trlnh nay la d()c l~p

1.5.6 Qua trlnh d6i m6'i

1.5.6.1 Djnh nghia

Cho {N(t), t ;;::: 0} la qua trlnh d€m sef bie'n cef nao d6 xua't hi<%n trong khoang thai gian (O,t] va g<;>i ~n la khoang thoi gian gifi'a l~n xua't hi<%n bi€'n cef

thu n - 1 va l~n xua't hi<%n bie'n c6 thu n (n ;;:;: 1) Ne'u day bi€'n ng~u nhien

{~m n;;::: 1} la d()c l~p va cling phan phfJi xac sua't nao d6, thl {N(t), t ;;:::_ 0} du'<jc g<;>i Ia m()t qua trlnh d6i moi

Ta nh~n tha'y ~1 la khoang thoi gian tll' thoi di~m ban d~u cho de'n khi bie'n

c6 thu nha't xua't hi<%n, hay la thai gian cha bi€'n c6 thll' nha't xua't hi<%n G<;>i phan

pho'i xac sua't cua n6 la F(t) = P{~1 ~ t} D6 cfing la phan pho'i xac sua't cua day

{~0} M6i khi m()t bie'n co' xua't bi~n thl ta n6i rAng m()t lffn d6i mdi da dU'<;jc thlfc hi~n Day {~n n ~ 1} gQi la day thoi gian cho d6i mdi

1.5.6.2 Phftn pho'i va trung binh ctia N (t)

Ta cffn xac dinh phan ph6i cua N(t)

Ta tha'y ro rang Ia N(t) ~ n <=> Sn ~ t

GQi Fn(t) = P{Sn ~ t} thl phan ph6i nay hoan toan dU'<Jc xac dinh thong qua p~an ph6i F(t) = Pg1 ~ t}, ClJ th~ Fn la tich ch~p n lffn cua F dU'<;jc xac dinh theo tich phan Stieltjes nhU' sau

n=l

Gia sii' t6ng s6luc;lng hang c~n phai dap ung nhu c~u trong chu ky n la bie'n

ng~u nhien ~n c6 phan ph6i d()c l?p voi chu ky thoi gian \in= 0, 1, thl

Ky hi~u Xn la lu'c;lng hang hi~n c6 t~i cu6i chu ky n va tru'oc khi nh~p

hang Cac tr~ng thai cua qua trlnh (Xn) la cac s6 lu'c;lng hang dtJ tru

S, S-1, , 1, 0, -t', -2, trong d6 gia tri am la nhu c~u khong du'c;lc thoa man rna

se du'c;lc dap ung ngay sau khi nh~p hang

s

Theo each ki6m ke hang h6a da neu tren, cac roue hang dl;! trfi' t<;J.i hai chu

ky lien tie'p c6 mo'i lien h~ sau

{

Xn- Sn+l Xn+l = S - Sn+l

ne'u s < Xn ~ S ne'u Xn ~ s Trong d6 Sn la t6ng ht<;1ng hang yeu c~u ciia khach t<;J.i chu ky thu n

Ne'u ta gia sii' rAng day cac nhu c~u lien tie'p s~ s2, •.• Ia day cac bie'n ng~u nhien d9c l~p c6 cung phan ph6i xac sua't (2.1) thl day cac gia tri dl;! tru Xo, XI>

X2, •• l~p thanh xich Markov voi xa? sua't chuy6n

D6 minh hQa, ta xet mo hlnh ki~m ke ph1,1 tung thay the', trong d6 yeu c~u

c6 th6 la 0, 1 ho~c 2 ddn vi ph1,1 rung c~n thay trong m9t chu ky ba't ky, vdi phan ph6i xac sua't thu9c d<;J.ng (2.1) nhu sau

P{sn = 0} = 0,5; P{sn = 1} = 0,4; P{sn = 2} = 0,1; voi mQi n = 0, 1, 2,

Va gia sii' s = 0, s = 2 Cac gia tri c6 th6 ciia Xn Ia 2, 1, 0, -1

Cac xac sua't chuy6n du<;jc tinh nhu sau

Ta xet Pw = P{Xn+l = 0 I Xn = 1} khi Xn = 1 thl khong c~n nh~p ph\! tung

va tr~ng th<:li tie'p theo la Xn+l = 0 Ut do Sn+l = 1 (xay ra voi xac sua't 0, 4)

Do d6 Pw = 0,4

Bay gio, ne'u Xn = 0 thl phai nh~p phl;l tung ngay cho d~t tdi S = 2 va

tr~ngthai tie'p theo Xn+l = 0 la do Sn+l = 2 (xay ra voi xac sua't 0, 1)

Nhu v~y, ta c6 rna tr~n xac sua't chuy€n nhu sau

y ngh'ia cua cac d~i lu<;Jng nay la

- D~i lu<;Jng thu nha't b~ng lim P{X n < 0} d6 Ia xac sua't khong dap U'ng

n~oo

du<;Jc nhu c~u ciia khach hang t~i chu ky n trong tuong lai xa

- D~i lu<;Jng thu hai b~ng s6 ht<;Jng hang du thua trung blnh t~i chu ky n trong tuong lai xa

2.2 Mo hinh ph1;t.c V\1 dam dong

Gia sii' c6 m()t cii'a hang ph\lc V\J Khach de'n xe'p hang d€ cho ph\lc V\1 va cii'a hang chi phvc vv tung khach m()t Khi c6 khach thl cii'a hang ph\lc vv ngay, khi khong c6 khach cii'a hang se cho khach de'n d€ phvc vv Khi cii'a hang dang ph\lc Vl) khach nao d6, thl cac khach moi c6 th€ toi va ngdi cho Gia sii' trong m6i chu

ky thai gian, cii'a hang chi phvc vv m()t khach va gia sii' s6 khach de'n cii'a hang trong chu ky thu n Ia bie'n ng~u nhien ~n c6 phan ph6i xac sua't nhu sau

Xac sua't d€ c6 k khach hang toi trong m()t chu Icy cho boi cong thuc

~{~n+l = k} = ak; k = 0, 1, 2, ; ak > 0; L:ak = 1

k

phan ph6i nay d()c l~p d6i voi n