Số fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ LIÊN SỐ FIBONACCI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Cán hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Nhụy HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Nhụy, Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo thầy suốt thời gian thực Luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cơ giáo khoa Tốn – Cơ – Tin, phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015 Cảm ơn Thầy Cô truyền cho kiến thức giúp đỡ suốt q trình học tập khoa Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn PPTSC, khóa học 2013 - 2015 động viên, giúp tơi có hội thảo luận trình bày số vấn đề Luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Đông Đô - Quận Tây Hồ - Tp Hà Nội tạo điều kiện cho mặt để tham gia học tập hoàn thành khóa học Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến người thân gia đình, bạn bè ln ủng hộ nhiệt tình giúp đỡ tơi thời gian vừa qua Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ Luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm tới Luận văn Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2015 Học viên Phạm Thị Liên Mục lục 0.1 Lý chọn đề tài Luận văn 0.2 Mục đích đề tài Luận văn 0.3 Bố cục Luận văn Số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học ứng dụng 1.1 1.2 1.3 1.4 Sự đời số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên Toán học 1.1.1 Sự đời số Fibonacci 1.1.2 Số Fibonacci với tự nhiên 10 1.1.3 Số Fibonacci với Toán học 18 Định nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.2 Định nghĩa dãy Lucas 24 1.2.3 Một số biến thể dãy Fibonacci 24 Số Fibonacci với số âm 25 1.3.1 Số Fibonacci với số âm 25 1.3.2 Số Lucas với số âm 26 Dãy Fibonacci Tỷ số vàng ứng dụng 28 1.4.1 Định nghĩa Tỷ số vàng mối quan hệ với sống 28 1.4.2 Tỷ số vàng tự nhiên 1.4.3 Tỷ số vàng kiến trúc 37 1.4.4 Tỷ số vàng thiết kế 39 1.4.5 Tỷ số vàng nghệ thuật 41 1.4.6 Dãy Fibonacci thị trường tài 43 30 1.4.7 Các ứng dụng khác 47 Các tính chất số Fibonacci Công thức Binet cho số Fibonacci 2.1 49 Các tính chất đơn giản số Fibonacci 49 2.1.1 Một số tính chất số Fibonacci 49 2.1.2 Một số tính chất số Lucas 62 2.2 Tính chia hết tập số Fibonacci 66 2.3 Công thức tổng quát số Fibonacci 74 2.4 Một áp dụng công thức Binet 78 2.5 Điều kiện cần đủ để số tự nhiên n số Fibonacci 81 2.6 Hai mối liên hệ đặc biệt dãy Fibonacci số 11 85 2.6.1 Mối liên hệ thứ 85 2.6.2 Mối liên hệ thứ hai 86 Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển 3.1 90 Số Fibonacci tam giác Pascal 90 3.1.1 Các kiến thức 90 3.1.2 Tam giác Pascal 91 3.1.3 Một số tính chất rõ ràng tam giác số Pascal 93 3.1.4 Mối liên hệ tam giác Pascal với số Fibonacci 95 3.1.5 Các đường Fibonacci quân cờ bàn cờ 103 3.2 3.3 Số Fibonacci tam giác tựa Pascal 106 3.2.1 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal với số Lucas 106 3.2.2 Một công thức thay cho Ln 110 3.2.3 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal với số Fibonacci 111 3.2.4 Một công thức thay cho Fn 113 3.2.5 Tam giác Lucas 113 3.2.6 Một định nghĩa đệ quy cho D(n, j) 115 Số Fibonacci tam giác tựa Pascal mở rộng 119 3.3.1 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal mở rộng với số Fibonacci 119 3.3.2 Mối liên hệ tam giác tựa Pascal mở rộng với số Lucas 122 Kết luận 127 Tài liệu tham khảo 128 MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài Luận văn Dãy Fibonacci vẻ đẹp kho tàng Toán học Dãy Fibonacci xuất biến hóa vơ tận tự nhiên, với nhiều biến thể đẹp ứng dụng quan trọng Trước Fibonacci, có nhiều học giả nghiên cứu dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viết phát triển dãy Fibonacci "một phần từ Pingala, sau kết hợp với Virahanka, Gopala Hemachandra" Sau Fibonacci, có nhiều nhà Khoa học nghiên cứu dãy Fibonacci Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), Có nhiều tính chất dãy mang tên nhà khoa học Hiện nay, tài liệu tiếng Việt dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển chưa có nhiều cịn tản mạn, cần phải giới thiệu dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển cách đầy đủ thống Vì vậy, việc tìm hiểu sâu giới thiệu dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học hiểu biết người Bản Luận văn "Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển" tiến hành vào cuối năm 2015 chủ yếu dựa tài liệu tham khảo số phát riêng tác giả Mặc dù Luận văn đề cập đến số Fibonacci số Lucas, số Fibonacci chủ yếu Chú ý số Lucas xây dựng sau xuất số Fibonacci, hai dãy số xây dựng phương pháp dãy Lucas giới Toán học cho thuộc họ Fibonacci, nên Luận văn lấy tên số Fibonacci 0.2 Mục đích đề tài Luận văn Học tập giới thiệu dãy Fibonacci với tính chất Đặc biệt, giúp độc giả nắm xuất đa dạng dãy Fibonacci tự nhiên ứng dụng tam giác kinh điển Chú ý lập luận, ta dùng đến kiến thức Toán Trung học phổ thông 0.3 Bố cục Luận văn Bản Luận văn "Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển" gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học ứng dụng Chương này, giới thiệu đời dãy Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci dãy số Lucas; số Fibonacci số Lucas với số âm; dãy Fibonacci Tỷ số vàng ứng dụng Chương Một số tính chất số Fibonacci Công thức Binet cho số Fibonacci Chương này, trình bày số tính chất số Fibonacci số Lucas; công thức tổng quát số Fibonacci, số Lucas công thức Binet cho số Fibonacci Chứng minh tính chất số Fibonacci số Lucas tìm tịi, suy nghĩ tác giả Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày điều kiện cần đủ để số tự nhiên n số Fibonacci; áp dụng công thức Binet cho thấy mối liên hệ số Fibonacci số Lucas Đặc biệt trình bày hai mối liên hệ đặc biệt số Fibonacci số 11, có mối liên hệ mà thấy người ta phát biểu chưa chứng minh tổng quát Ở đưa tính chất ra, chúng tơi chứng minh tổng quát đầy đủ Chương Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển Một số ứng dụng số Fibonacci tam giác kinh điển tam giác Pascal, tam giác tựa Pascal tam giác tựa Pascal mở rộng, đề cập đến chương Chương Số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên, Toán học ứng dụng Trong Chương 1, chủ yếu giới thiệu đời dãy Fibonacci; mối liên hệ với tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci ứng dụng dãy Fibonacci Tỷ số vàng Tài liệu tham khảo [1, 2] Các kí hiệu Các số Fibonacci Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · Các số Lucas Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · 1.1 1.1.1 Sự đời số Fibonacci mối liên hệ với tự nhiên Toán học Sự đời số Fibonacci Fibonacci tên viết tắt nhà toán học châu Âu thời trung đại, ông sinh năm 1170 năm 1240, tên đầy đủ ông Leonardo of Pisa, ơng sinh Pisa (Italy) thuộc dòng họ Bonacci Fibonacci tiếng giới đại có cơng lao truyền hệ đếm Hinđu - Ả Rập châu Âu, đặc biệt dãy số đại mang tên ông, dãy Fibonacci sách Liber Abaci - Sách Toán đố năm 1202 Ở phương Tây, dãy Fibonacci xuất sách Liber Abaci (năm 1202) viết Leonardo of Pisa - biết đến với tên Fibonacci, dãy số mô tả trước Tốn học Ấn Độ Fibonacci xem xét phát triển đàn thỏ lý tưởng hóa, giả định rằng: Để cặp thỏ sinh, đực, cánh đồng, đến tháng tuổi thỏ giao phối tới hai tháng tuổi, thỏ sinh thêm cặp thỏ khác, thỏ không chết việc giao phối cặp tạo cặp (một đực, cái) tháng từ tháng thứ hai trở Câu đố mà Fibonacci đặt "Trong năm có cặp thỏ?" (a) Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, có cặp (b) Vào cuối tháng thứ hai, thỏ tạo cặp Vì có + = (cặp) thỏ cánh đồng (c) Vào cuối tháng thứ ba, thỏ ban đầu lại tạo cặp thỏ nữa, biến số lượng thỏ cánh đồng lúc + = (cặp) (d) Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ ban đầu sinh thêm cặp mới, thỏ sinh cách hai tháng cho cặp đầu tiên, tổng số lúc + = (cặp) ··· (e) Vào cuối tháng thứ n, số lượng cặp thỏ số lượng cặp (bằng số lượng cặp tháng (n − 2)) cộng với số cặp tháng (n − 1) Đây số Fibonacci thứ n Và tiền thân dãy Fibonacci xác định cách liệt kê phần tử sau 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · · đó, phần tử nằm dãy số tổng số liền trước Dãy Fibonacci cơng bố năm 1202 "tiến hóa" vơ tận Chính điều đó, thu hút nhiều quan tâm làm say mê nghiên cứu, khám phá tính chất ... chưa chứng minh tổng quát Ở đưa tính chất ra, chúng tơi chứng minh tổng qt đầy đủ Chương Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển Một số ứng dụng số Fibonacci tam giác kinh điển tam giác Pascal,... "Tỷ số vàng", tỷ số có nhiều ứng dụng Khi n lớn tỷ số số hạng dãy Fibonacci tiến tới Tỷ số vàng Định nghĩa Hai số gọi tạo nên Tỷ số vàng tỷ số tổng chúng số lớn tỷ số số lớn số bé Tỷ số gọi Tỷ số. .. thiệu dãy Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học hiểu biết người Bản Luận văn "Số Fibonacci số ứng dụng tam giác kinh điển" tiến hành vào cuối