Số fibonacci dãy lucas

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU TRANG SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU TRANG SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học PGS TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Mục lục Mở đầu Các 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 4 12 19 28 khái niệm, tính chất Dãy Lucas Các trường hợp đặc biệt dãy Lucas Công thức Binet Sự phát triển tính tốn số Các mối quan hệ đại số Tính chất chia hết Một số tính chất số Fibonacci số Lucas Bổ sung công thức số Fibonacci, số Lucas Số Fibonacci, số Lucas bình phương Ứng dụng số Fibonacci, dãy Lucas Tốn phổ thơng 33 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Dãy số Fibonacci xuất lần sách Liber Abacci năm 1202 Leonardo Fibonacci (hay cịn có tên tên khác Leonardo Pisano) nhà toán học người Ý giải toán liên quan đến việc sinh nở bầy thỏ Số Fibonacci xuất biến hóa vơ tận tự nhiên, với nhiều tính chất đẹp ứng dụng quan trọng Cơng trình quan trọng nghiên cứu số Fibonacci nhà toán học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891) cơng bố seminal ông năm 1878 Giống dãy Fibonacci, số dãy Lucas tổng hai số liền trước Dãy số gồm thương hai số Lucas liền hội tụ đến giới hạn tỉ lệ vàng Tuy khác với dãy Fibonacci, hai số dãy Lucas L0 = L1 = Chính mà số tính chất số Lucas khác với số Fibonacci Hiện tài liệu tiếng Việt số Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng dãy Lucas Toán phổ thơng chưa có nhiều cịn rời rạc Vì việc tìm hiểu sâu giới thiệu số Fibonacci, dãy Lucas cần thiết cho học tập giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi Bản luận văn "Số Fibonacci, dãy Lucas" tiến hành chủ yếu dựa vào tài liệu tham khảo Bản luận văn "Số Fibonacci, dãy Lucas" gồm có: mở đầu, hai chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Các khái niệm, tính chất Trong chương trình bày định nghĩa số Fibonacci, dãy Lucas trường hợp đặc biệt dãy Lucas Một số tính chất số Fibonacci dãy Lucas Công thức Binet, mối quan hệ đại số, công thức số học, tính chất chia hết số cơng thức số Fibonacci số Lucas Chương Ứng dụng số Fibonacci, dãy Lucas Tốn phổ thơng Trong chương trình bày số tốn ứng dụng số Fibonacci, dãy Lucas chương trình tốn phổ thơng, ơn thi học sinh giỏi Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Nơng Quốc Chinh - ĐH Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn tận tình thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Tốn K6B, gia đình tơi động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tuy nhiên hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên chắn trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong dạy đóng góp Thầy Cô bạn đồng nghiệp Tác giả Nguyễn Thu Trang Chương Các khái niệm, tính chất 1.1 Dãy Lucas Định nghĩa 1.1 Cho P, Q = 0, P, Q ∈ Z Giả sử biệt thức D = P − 4Q = Đa thức X − P X + Q gọi đa thức đặc trưng, có nghiệm √ √ P− D P+ D β = α= 2 Do D = suy α = β, α + β = P, α.β = Q, (α − β)2 = D Với n ≥ xác định Un = Un (P, Q), Vn = Vn (P, Q) sau: U0 = 0, U1 = 1, Un = P.Un−1 − Q.Un−2 (n ≥ 2), (1.1) V0 = 2, V1 = P, Vn = P.Vn−1 − Q.Vn−2 (n ≥ 2) (1.2) Dãy U = {Un (P, Q)}n≥0 , V = {Vn (P, Q)}n≥0 gọi dãy Lucas với tham số (P, Q) Dãy V = {Vn (P, Q)}n≥0 gọi dãy Lucas đồng hành với tham số (P, Q) 1.2 Các trường hợp đặc biệt dãy Lucas Ta xem xét trường hợp đặc biệt dãy, dãy mà có tầm quan trọng lịch sử Đó dãy số Fibonacci, số Lucas, số Pell nhiều dãy số khác liên quan tới nhị thức Định nghĩa 1.2 Từ công thức (1.1) cho P = 1, Q = −1 Do D = Ta có U0 = 0, U1 = 1, Un = Un−1 + Un−2 (n ≥ 2) Khi F0 = 0, F1 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 (n ≥ 2) (1.3) Fn = Un (1, −1) gọi số Fibonacci, Fn số Fibonacci thứ n Dãy số 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, gọi dãy số Fibonacci Định nghĩa 1.3 Từ công thức (1.2) cho P = 1, Q = −1 Do D = Ta có V0 = 2, V1 = 1, Vn = Vn−1 + Vn−2 (n ≥ 2) Khi L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1 + Ln−2 (n ≥ 2) (1.4) Ln = Vn (1, −1) gọi số Lucas, Ln số Lucas thứ n Dãy số 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, gọi dãy số Lucas Định nghĩa 1.4 Từ công thức (1.1) (1.2) cho P = 2, Q = −1 D = Các số U0 = 0, U1 = 1, Un = Un (2, −1) = 2Un−1 + Un−2 (n ≥ 2), (1.5) U0 = 2, V1 = 2, Vn = Un (2, −1) = 2Vn−1 + Vn−2 (n ≥ 2) (1.6) số Pell số Pell đồng hành Un (2, −1) : 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, Vn (2, −1) : 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, Định nghĩa 1.5 Giả sử a, b ∈ Z cho a > b ≥ Cho P = a + b, Q = a.b D = (a − b)2 Với n ≥ giả sử Un = an − bn Vn = an + bn a−b Sau dễ dàng xác định rằng: U0 = 0, U1 = 1, V0 = 2, V1 = a + b = P Khi (Un )n≥0 , (Vn )n≥0 dãy Lucas thứ thứ với tham số (P, Q) Đặc biệt • Nếu b = ta thu dãy số có dạng Un = an − Vn = an + 1, a−1 với tham số P = a + 1, Q = a • Nếu a = ta thu dãy số có dạng Un = 2n − Vn = 2n + 1, với tham số P = 3, Q = 1.3 Công thức Binet Binet (1943) biểu thức sau nghiệm α, β đa thức đặc trưng X − P X + Q Bổ đề 1.1 Công thức Binet αn − β n , Vn = αn + β n α−β Lưu ý cơng thức Binet thì: Un = Un (−P, Q) = (−1)n−1 Un (P, Q), Vn (−P, Q) = (−1)n−1 Vn (P, Q) Vì sau ta giả định P ≥ Đặc biệt Khi P = 1, Q = −1 đa thức đặc trưng có dạng x2 − x − có nghiệm √ √ 1− 1+ α= β = 2 Khi theo cơng thức Binet Fn = αn − β n √ Ln = αn + β n với n ≥ 1.4 Sự phát triển tính tốn số α phần tử đơn vị β (với α, β nghiệm đa thức X − P X + Q) Khi dãy U (P, Q), V (P, Q) gọi suy biến α β P − 2Q −1 Từ η + η = + = số nguyên đại số β α Q α β Vì + ≤ sau P − 2Q = 0, ±Q, ±2Q suy P = Q, 2Q, 3Q, 4Q β α Nếu (P, Q) = (P, Q) = (1, 1), (−1, 1), (2, 1), (−2, 1) dãy Cho (P, Q) cho tỉ số η = U (1, 1) : 0, 1, 1, 0, −1, −1, 0, 1, 1, 0, −1, U (−1, 1) : 0, 1, −1, 0, 1, −1, 0, 1, −1, 0, 1, V (1, 1) : 2, 1, −1, −2, −1, 1, 2, 1, −1, −2, −1, V (−1, 1) : 2, −1, −1, 2, −1, −1, 2, U (2, 1) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, U (−2, 1) : 0, 1, −2, 3, −4, 5, −6, 7, −8, 9, −10, V (2, 1) : 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, V (−2, 1) : 2, −2, 2, −2, 2, −2, 2, −2, 2, −2, 2, Nếu dãy U (P, Q) , V (P, Q) khơng suy biến |Un | , |Vn | tiến dần vô (khi n → ∞) Nếu Q ≥ 2, (P, Q) = 1, D < ε > n đủ lớn: |Un | ≥ |β n |1−ε Các tính tốn Un , Vn thực sau: P −Q Giả sử M = Khi với n ≥ 1, Un Un−1 = M n−1 Vn Vn−1 = M n−1 P Để tính tốn bậc M k ma trận M, phương pháp nhanh tính liên tục bậc M, M , M , , M 2e 2e ≤ k < 2e+1 Điều thực cách liên tục bình phương ma trận Tiếp theo, khai triển k k = k0 + k1 + k2 22 + + ke 2e k k ki = M k = M k0 (M ) (M 2e ) e (chú ý yếu tố thực xuất ki = 1) Công thức Binet cho phép số trường hợp tính tốn nhanh Un , Vn Nếu D ≥ |β| < αn Un − √ < D (n ≥ 1) |Vn − αn | < ( với n cho n.(− log |β|) > log 2) αn √ Do cUn số nguyên gần với Vn số nguyên gần D với αn Điều√này đặc biệt với số Lucas√và số Fibonacci D = 5, α = 1+ 1− ≈ 1, 616 (số vàng), β = ≈ −0, 616 2 1.5 Các mối quan hệ đại số Các số dãy Fibonacci, dãy Lucas thỏa mãn nhiều tính chất hữu ích có nhiều ứng dụng Các chứng minh tính chất tập đơn giản, số khác chứng minh cách áp dụng công thức Binet phương pháp quy nạp Tính chất 1.1 Mở rộng với số âm: U−n = − V−n = Un Qn Vn Qn (∀n ≥ 1) (1.7) (∀n ≥ 1) (1.8) Tính chất 1.2 Các mối quan hệ bậc hai: Vn2 − DUn2 = 4Qn (∀n ∈ Z) (1.9) 32 s = Suy n = Giả sử Fs = 2y , Ls = z Theo định lý 1.18 s = Nhưng F1 = khơng có dạng 2y suy s = Mà F3 = 2.12 suy Fs = 2y giải s = Suy n = Do đó, thu thập hết tất giá trị có n ta có n = 0, ±3, Định lý chứng minh 33 Chương Ứng dụng số Fibonacci, dãy Lucas Tốn phổ thơng Bài tập 2.1 Cho dãy số (un ) xác định u0 = 0, u1 = 1, un+1 − 3un + un−1 = (−1)n với số nguyên dương n Chứng minh un số phương với n ≥ Lời giải Ta nhận thấy u2 = 1, u3 = 4, u4 = 9, u5 = 25 Do u0 = F02 , u1 = F12 , u2 = F22 , u3 = F32 , u4 = F42 , u5 = F52 (Fn ) dãy Fibonacci Từ ta định hướng chứng minh un = Fn2 phương pháp quy nạp theo n Thật vậy, giả sử uk = Fk2 , ∀k ≤ n 2 Khi un = Fn2 , un−1 = Fn−1 , un−2 = Fn−2 (1) Từ giả thiết ta có un+1 − 3un + un−1 = 2(−1)n un − 3un−1 + un−2 = 2(−1)n−1 Cộng đẳng thức ta un+1 − 2un − 2un−1 + un−2 = 0, n ≥ (2) 34 Từ (1),(2) suy 2 un+1 = 2Fn2 + 2Fn−1 − Fn−2 = (Fn + Fn−1 )2 + (Fn − Fn−1 )2 − Fn−2 2 2 = Fn+1 + Fn−2 − Fn−2 = Fn+1 Vậy un = Fn2 với n ≥ Ta có điều phải chứng minh Bài tập 2.2 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, u2 = 2, u3 = 6, un+3 = 2un+2 + 2un+1 − un với số nguyên dương n Chứng minh un số phương với n ≥ Lời giải Từ giả thiết ta thấy u4 = 12, u5 = 25, u6 = 48 Ta có u1 u3 u4 u5 u6 u2 = = F1 = F 2 = = F3 = = = F4 = = F5 = = F6 un = Fn với n = 1, 2, 3, 4, 5, n Từ ta định hướng chứng minh un = nFn với n ≥ phương pháp quy nạp Như Bài tập 2.3 Cho dãy số (un ) thỏa mãn u1 = 1, u2 = 1, un+2 = 7un+1 − un − với n ≥ Chứng minh un số phương với n ≥ 35 Bài tập 2.4 Cho k số nguyên dương k > Xét dãy số (un ) xác định u0 = 4, u1 = u2 = k − , un+1 = un un−1 − (un + un−1 ) − un−2 + √ với n ≥ Chứng minh + un số phương với n ≥ Lời giải Gọi α, β nghiệm phương trình t2 − kt + = Suy α+β =k αβ = Ta chứng minh quy nạp theo n: un = α2Fn + β 2Fn Dễ thấy (1) với n = 0, 1, Giả sử (1) đến n Ta có với n ≥ (1) un+1 − = (un − 2) (un−1 − 2) − (un−2 − 2) = α4Fn + β 4Fn α4Fn−1 + β 4Fn−1 − α4Fn−2 + β 4Fn−2 = α4Fn+1 + β 4Fn+1 Suy un+1 = + α4Fn+1 + β 4Fn+1 = α2Fn+1 + β 2Fn+1 Từ đó, (1) chứng minh Từ (1) ta có 2+ √ un = + α2Fn + β 2Fn = αFn + β Fn số phương Suy điều phải chứng minh Bài tập 2.5 (IMO 1981) Tìm giá trị lớn P = m2 + n2 , m, n số nguyên thỏa mãn: ≤ m; n ≤ 1981 n2 − mn − m2 = Lời giải 36 Ta xét nghiệm nguyên dương (x, y) phương trình: x2 − xy − y 2 = (1) với x > y Gọi (n, m) nghiệm (n > m) + Xét (m + n, n) ta có: (m + n)2 − (m + n) n − n2 = − n2 − mn − m2 = Suy (m + n, n) nghiệm (1) Rõ ràng (2, 1) nghiệm (1), nên ta có sau nghiệm (1): (3, 2) ; (5, 3) ; (8, 5) ; (13, 8) ; (21, 13) ; (34, 21) + Xét (m, n − m) ta có m2 − m (n − m) − (n − m)2 = − n2 − mn − m2 = Suy (m, n − m) nghiệm (1) - Nếu m ≤ n − m ⇒ n ≥ 2m ⇒ n (n − m) ≥ 2m2 ⇒ n2 − mn − m2 > (vô lý) - Nếu m > n − m (m, n − m) nghiệm (1) nhỏ nghiệm (n, m) Quá trình dừng lại kết thúc nghiệm (n, 1) với n > Chú ý thêm (2, 1) nghiệm thỏa mãn (1) mà n = Tóm lại tất nghiệm nguyên dương (1) (Fn , Fn−1 ) với n ≥ 2 với Fn ≤ Như giá trị lớn P giá trị lớn Fn2 + Fn−1 1981 Dãy số Fibonacci thỏa mãn là: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 Vậy giá trị lớn P = 15972 + 9872 Bài tập 2.6 Chứng minh với số nguyên dương n ≥ Fn + khơng số ngun tố Lời giải Ta có đẳng thức Fn4 − = Fn−2 Fn−1 Fn+1 Fn+2 (1) Giả sử tồn n ≥ cho Fn + số ngun tố Khi đó, từ (1) Fn + chia hết số 37 Fn−2 ; Fn−1 ; Fn+1 ; Fn+2 Nhưng Fn + > Fn−2 ; Fn + > Fn−1 Nên (Fn + 1) |Fn+1 (Fn + 1) |Fn+2 Trong trường hợp (Fn + 1) | (Fn + Fn−1 ) ⇒ (Fn + 1) | ((Fn + 1) + (Fn−1 − 1)) ⇒ (Fn + 1) | (Fn−1 − 1) (vô lý) Trong trường hợp thứ (Fn + 1) | (Fn + Fn+1 ) ⇒ (Fn + 1) | (2 (Fn+1 + 1) + (Fn−1 − 2)) ⇒ (Fn + 1) | (Fn−1 − 2) (vô lý) Vậy Fn + hợp số với n ≥ Điều phải chứng minh Bài tập 2.7 Chứng minh tồn vô hạn số hạng dãy Fibonacci chia hết cho 2012 Lời giải Ta chứng minh toán tổng quát: với số tự nhiên n, tồn vô hạn số hạng dãy Fibonacci chia hết cho n Xét cặp số dư chia hai số hạng liên tiếp dãy Finonacci theo modulo n: (F0 , F1 ) ; (F1 , F2 ) ; (F2 , F3 ) Vì dãy Fibonacci vơ hạn, mà có n2 khả cho cặp số dư theo modulo n nên tồn (Fi , Fi+1 ) thỏa mãn: Fi ≡ Fi+m Fi+1 ≡ Fi+m+1 (modn) với m ∈ Z+ Xét i > ta có Fi−1 = Fi+1 − Fi ≡ Fi+m+1 − Fi+m = Fi+m−1 (modn) Quá trình tiếp tục dẫn đến Fj ≡ Fj+m (modn) ∀i ≥ Suy ≡ F0 ≡ Fm ≡ F2m ≡ (mod n) tức có vơ hạn số Fkm thỏa mãn yêu cầu toán Vậy ta suy điều phải chứng minh 38 Bài tập 2.8 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 0, u2 = 1, un+2 = un + un+1 + với số nguyên n ≥ Chứng minh p số nguyên tố up (up+1 + 1) chia hết cho p Lời giải Xét dãy số xn = un + ⇒ xn+2 = xn + xn+1 Suy (xn ) dãy số Fibonacci Khi theo công thức Binet, số hạng tổng quát dãy (xn ) là:  √ n+1  √ n+1 1− 1+  xn = √  − 2  √ n+1 √ n+1  1+ 1−  − − ⇒ un = √  2 Suy √ √ p √ p √ (up + 1) 2p = √ 5+1 5+1 − 5−1 5−1 √ √ √ p p p √ = 5+1 − 5−1 + √ 5+1 − 5−1 2 p p √ k √ k k = − Cpk (−1)p−k Cp k=0 k=0 p + √ Cpk √ p 1 Cp2k 2 k=0 Cpk − √ k (−1)p−k k=0 k=0  p−1 (up + 1) 2p = k √  p−1  2k  + √ Cp2k+1 2 k=0 √  2k+1 p−1 (up + 1) 2p = Cp2k + Cp2k+1 5k k=0 Mà Cpk = p! ≡ (modp) với ≤ k ≤ p − (p − k)!k! Khi 2p (up + 1) ≡ Cp0 50 + Cpp p−1 ≡5 p−1 + (mod p) (1)  p 39 Ta có 5p−1 ≡ (modp) ⇒ + Nếu p−1 p−1 −1 p−1 + ≡ (mod p) + ≡ (modp) Thì từ (1) suy 2p (up + 1) ≡ (modp) mà (2, p) = ⇒ up + ≡ (modp) ⇒ up (up + 1) p (ĐPCM) p−1 + Nếu ≡ (modp) ⇒ Thì từ (1) suy p−1 + ≡ (modp) 2p (up + 1) ≡ (modp) mà (2, p) = ⇒ 2p ≡ (modp) ⇒ 2p up ≡ (modp) ⇒ up ≡ (modp) ⇒ up (up + 1) p (ĐPCM) Vậy ta suy điều phải chứng minh Bài tập 2.9 Cho dãy số (un ) xác định u1 = u2 = 1, un+2 = un + un+1 với số nguyên n ≥ Chứng minh u2n+3 = 2u2n+2 + 2u2n+1 − u2n Lời giải Dãy (un ) dãy số Fibonacci αn − β n Khi theo cơng thức Binet ta có un = √ Xét dãy Lucas (Ln ) theo công thức Binet Ln = αn + β n Xét 5.V P = α2n+4 + β 2n+4 − 2(−1)n+2 + α2n+2 + β 2n+2 − 2(−1)n+1 − α2n + β 2n − 2(−1)n = 2L2n+4 + 2L2n+2 − L2n + 2(−1)n = 2L2n+4 + L2n+2 + L2n+1 + 2(−1)n = 2L2n+4 + L2n+3 + 2(−1)n = L2n+4 + L2n+5 + 2(−1)n = L2n+6 + 2(−1)n 40 Suy V P = (L2n+6 + 2(−1)n ) Xét VT = 2n+6 α + β 2n+6 − 2(−1)n+3 2n+6 α + β 2n+6 + 2(−1)n = (L2n+6 + 2(−1)n ) = Vậy VP=VT Bài tập 2.10 Giả sử Fk số hạng thứ k dãy Fibonacci Chứng minh với số tự nhiên n ≥ số An = 4Fn−2 Fn+2 Fn+4 + số phương Lời giải Trước hết ta có nhận xét sau đây: Với số tự nhiên n ≥ thì: = |Fn+4 Fn−2 − Fn+2 Fn | = Thật = |(Fn+2 + Fn+3 )Fn−2 − Fn−2 Fn | = |Fn+3 + Fn−2 + Fn+2 (Fn−2 − Fn )| = |Fn+3 + Fn−2 + Fn+2 + Fn−1 | = |Fn+3 (Fn−1 − Fn−3 ) − Fn+2 Fn−1 | = |Fn+3 + Fn−3 + Fn+1 (Fn+2 − Fn+3 )| = |Fn+3 Fn−3 − Fn+1 Fn−1 | = vn−1 Từ = vn−1 dẫn đến với n ≥ 3: = v3 = Nhận xét chứng minh Từ nhận xét suy Fn+4 Fn−2 = Fn Fn+2 ± ⇒ An = 4Fn Fn+2 (Fn Fn+2 ± 3) + = (2Fn Fn+2 ± 3)2 Do Fn nguyên với n ∈ N nên An số phương ∀n ≥ Ta có điều phải chứng minh 41 Bài tập 2.11 Cho dãy số nguyên dương (un ) thỏa mãn: u1 = 1, u2 = 2, u4 = 5, un+1 un−1 = u2n + a với a2 = với n ≥ 1) Xác định số hạng tổng quát dãy 2) Tìm số tự nhiên n khơng vượt 2014 cho un chia hết cho n Lời giải 1) Từ công thức xác định dãy ta có: u32 = u2 u4 − a = 10 − a, u3 nguyên dương nên a = u3 = Bằng quy nạp ta thấy dãy tăng un > 3, ∀n > u2 + a Ta có un+1 = n un−1 Giả sử u2n +1 un−1 u2n −1 un−1 un−1 vơ lí dãy số nguyên dương theo nhận xét un > 3, ∀n > Do có khơng q dãy số thỏa mãn đề Ta xét dãy Fibonacci xác định sau F1 = 1, F2 = 2, Fn+2 = Fn+1 + Fn với n ≥ − Fn Fn+2 = (−1)n , ∀n ≥ Bằng quy nạp ta chứng minh Fn+1 Dãy số thỏa mãn đề nên hai dãy (un ) (Fn ) trùng Áp dụng công thức Binet cho dãy số Fibonacci ta có √ n √ n 1+ 1− un = √ − 2 2) Ta có un+2 = un+1 + un = 2un + un−1 ≡ un−1 (mod2) un+2 = 2un + un−1 = 3un−1 + 2un−2 = 5un−2 + un−3 ≡ 3un−3 (mod5) ( (3, 5) = 1) Theo công thức xác định dãy u2 = 2, ≡ u2 ≡ u5 ≡ u8 ≡ (mod2) nên quy nạp ta chứng minh un ≡ (mod2) ⇔ n = 3k + 2, k ∈ N 42 Tương tự, u4 = nên quy nạp un ≡ (mod5) ⇔ n = 5k + 4, k ∈ N Từ suy n ≡ (mod3) n ≡ (mod5) ⇒ n ≡ 14 (mod15) ⇒ ∃k ≥ 1, n = 15k − un ≡ (mod10) ⇔ Do ≤ n ≤ 2014 nên để tìm tất giá trị n thỏa mãn đề ta xét ≤ 15k − ≤ 2014 ⇔ ≤ k ≤ 134 Vậy có 134 số hạng thỏa mãn đề Bài tập 2.12 Cho Fn số hạng thứ n dãy Fibonacci Chứng minh Fn4 + Fn+1 + 1 + + 2 Fn2 Fn+1 Fn+2 Fn+2 > 81 Lời giải Ta chứng minh bất đẳng thức mạnh Fn4 + Fn+1 + Fn+2 1 + + 2 Fn Fn+1 Fn+2 > 100 Để chứng minh bất đẳng thức ta cần dùng bổ đề sau: Đẳng thức Candido 2 Fn2 + Fn+1 + Fn+2 4 = Fn4 + Fn+1 + Fn+2 Với số tự nhiên n ta có Fn ≥ Fn+1 Với số tự nhiên n ta có Fn+1 Fn Fn−1 =1+2 Fn + Fn−1 Fn 43 Chứng minh Fn+1 Fn 2 Fn−1 = 1+ Fn Fn−1 + Fn Fn + Fn−1 = Fn Fn−1 =1+2 Fn Với số tự nhiên n ta có Fn+2 Fn Fn−1 =4+4 Fn Fn−1 Fn + Chứng minh Fn+2 Fn 2Fn + Fn−1 = Fn Fn−1 Fn−1 =4+4 + Fn Fn 2 Fn−1 = 2+ Fn Trở lại toán 2 V T = Fn2 + Fn+1 + Fn+2 = 3+ 1 + + Fn2 Fn+1 Fn+2 2 2 2 + Fn+2 Fn2 + Fn+2 Fn+1 Fn2 + Fn+1 + + 2 Fn2 Fn+1 Fn+2 Fn+1 Fn + Fn+2 Fn = 3+ = 6Fn−1 2Fn Fn−1 9+ + +2 Fn Fn+1 Fn > Fn−1 Fn−1 10 + +2 Fn Fn + Suy điều phải chứng minh + + Fn+2 Fn+1 Fn +2 Fn+1 Fn +2 Fn+1 > 100 Fn Fn+1 + Fn Fn+2 + Fn Fn+2 + Fn Fn+2 + Fn+1 Fn+2 + Fn+1 Fn+2 2 Fn+1 Fn+2 2 2 44 Kết luận Luận văn "Số Fibonacci, dãy Lucas" trình bày vấn đề sau: Chương 1: Trong chương trình bày định nghĩa dãy Lucas theo tham số (P,Q) trường hợp đặc biệt dãy Lucas Nêu tính chất số Fibonacci, số Lucas: tính chất số học, tính chất chia hết, tính chất bình phương số cơng thức số Fibonacci, số Lucas Chương 2: Trong chương giới thiệu số tập dãy số Fibonacci, số Lucas chương trình Tốn phổ thơng, tốn dãy số kì thi học sinh giỏi Tôi hy vọng luận văn tài liệu tham khảo có ích cho học sinh Trung học phổ thông đồng nghiệp quan tâm đến vấn đề Cho dù cố gắng thật khó để tránh khỏi thiếu sót kinh nghiệm hạn chế, tác giả mong đóng góp ý kiến thầy giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 45 Tài liệu tham khảo [1] Thomas Koshy, 2001, Fibonacci and Lucas Number with Applications, John Wiley - Sons, New York [2] Paulo Ribenboim, 2000, My Number, My Friends: Popular Lectures on Number Theory, Springer - VerLag, New York Luận văn với đề tài "Số Fibonacci, dãy Lucas" học viên Nguyễn Thu Trang chỉnh sửa theo ý kiến đóng góp hội đồng chấm luận văn họp Trường ĐH Khoa Học - ĐH Thái Nguyên, ngày 12 tháng 10 năm 2014 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nông Quốc Chinh ... Giống dãy Fibonacci, số dãy Lucas tổng hai số liền trước Dãy số gồm thương hai số Lucas liền hội tụ đến giới hạn tỉ lệ vàng Tuy khác với dãy Fibonacci, hai số dãy Lucas L0 = L1 = Chính mà số tính... nghĩa số Fibonacci, dãy Lucas trường hợp đặc biệt dãy Lucas Một số tính chất số Fibonacci dãy Lucas Cơng thức Binet, mối quan hệ đại số, công thức số học, tính chất chia hết số công thức số Fibonacci. .. Một số tính chất số Fibonacci số Lucas Bổ sung công thức số Fibonacci, số Lucas Số Fibonacci, số Lucas bình phương Ứng dụng số Fibonacci,