www.facebook.com/hocthemtoan
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc
Thái Nguyên - 2012
Trang 2Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc
Phản biện 1: TS Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế vàQuản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên
Phản biện 2: PGS TS Tạ Duy Phượng - Viện Toán học - ViệnKhoa học và Công nghệ Việt Nam
Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên
Ngày 01 tháng 9 năm 2012
Có thể tìm hiểu tạiThư Viện Đại Học Thái Nguyên
Trang 3Mục lục
Mở đầu 3
Chương 1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản 6 1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas 6
1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 6
1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas 8
1.2 Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm 8
1.2.1 Số Fibonacci với chỉ số âm 8
1.2.2 Số Lucas với chỉ số âm 9
1.3 Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 10
1.3.1 Tỷ số vàng 10
1.3.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 11 1.4 Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas 12
1.4.1 Các hệ thức về tổng hữu hạn 12
1.4.2 Các hệ thức khác 19
1.4.3 Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas 25 Chương 2 Các tính chất số học của dãy Fibonacci và dãy Lucas 32 2.1 Các tính chất số học của dãy Fibonacci 32
2.2 Các tính chất số học của dãy Lucas 47
2.3 Tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci với dãy Lucas 49 Chương 3 Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các ứng dụng 51 3.1 Dãy Fibonacci với toán học 51
3.1.1 Dãy Fibonacci và tam giác Pascal 51
Trang 43.1.2 Dãy Fibonacci và hệ nhị phân 53
3.1.3 Dãy Fibonacci và tam giác vuông 53
3.1.4 Dãy Fibonacci và hình học 54
3.2 Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên 57
3.3 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” với ứng dụng 69
3.3.1 Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính 69
3.3.2 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong thiết kế 72
3.3.3 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong kiến trúc 75
3.3.4 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong nghệ thuật 77 3.3.5 Các ứng dụng khác 79
Kết luận 81
Trang 5Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài luận văn
Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170
–1250), còn được biết đến với tên Leonardo
của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên
Fibonacci, là một nhà toán học người Ý và
ông được một số người xem là “nhà toán
học tài ba nhất thời Trung Cổ” Fibonacci
nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công
lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiệnđại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách vềToán đố năm 1202
Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiềutính chất đẹp và ứng dụng quan trọng Nói đến dãy Fibonacci không thểkhông nói đến dãy Lucas, bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “mộtphần là từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng
700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)” Sau Fibonacci,còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini(1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857
- 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), và rất nhiều tính chất của dãy đãđược mang tên các nhà Khoa học này Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt
về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều và còn tảnmạn Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụngmột cách đầy đủ và hợp nhất hơn
Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và
Trang 6các ứng dụng là rất cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học và
sự hiểu biết của con người Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas
và các ứng dụng” được tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa trêncác tài liệu tham khảo
2 Mục đích của đề tài luận văn
Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas cùng với các tínhchất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữachúng Đặc biệt, giúp mọi người nắm được những ứng dụng quan trọng
và sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên
3 Bố cục của luận văn
Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng” gồmcó: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo
Chương 1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản.Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas,
số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, công thức tổng quát của sốFibonacci và số Lucas Một số hệ thức của dãy Fibonacci, dãy Lucas vàcác hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas Khác với nhiều tàiliệu tham khảo, bản luận văn này giới thiệu cách chứng minh đơn giảncác tính chất về tổng hữu hạn của dãy Fibonacci và dãy Lucas Trong
đó, số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, chứng minh các tính chất cơbản của dãy Lucas là sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả
Chương 2 Các tính chất số học của số Fibonacci và số Lucas.Trong chương này, trình bày một số tính chất số học của dãy Fi-bonacci, dãy Lucas và tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci vàdãy Lucas
Chương 3 Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và cácứng dụng
Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toánhọc, sự xuất hiện của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và một
số ứng dụng quan trọng của dãy Fibonacci
Trang 7Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của
TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Từ đáy lòng mình, emxin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và
sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy
Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại Học KhoaHọc - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học KhoaHọc Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã động viên, giúp
đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này
Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang,Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện SơnDương- Tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để thamgia học tập và hoàn thành khóa học
Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận vănthạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏinhững thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến củacác Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này
Thái Nguyên, ngày 08 tháng 9 năm 2012
Tác giả
Vũ Nhật Cương
Trang 8Phần nguyên của số a: bac.
1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas
1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci
Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sáchLiber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo của Pisa - được biết đến vớitên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong toánhọc Ấn Độ Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lýtưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cáitrong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tớihai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, cáccon thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ramột cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi Câu
đố mà Fibonacci đặt ra là: Trong một năm có bao nhiêu cặp thỏ?
• Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp
• Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới, vì vậy bây giờ có
Trang 9số lúc này là 3 + 2 = 5 (cặp).
Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp mới(bằng số lượng các cặp trong tháng (n − 2)) cộng với số cặp trong tháng(n − 1) Đây là số Fibonacci thứ n
Theo từng thế hệ, số lượng cặp thỏ là một dãy các con số sau nàyđược biết với tên số Fibonacci
Tên gọi “dãy Fibonacci” lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 19 bởinhà toán học Édouard Lucas
Định nghĩa 1.1.1 Dãy {Fn} các con số Fibonacci được định nghĩa bởi
hệ thức truy hồi sau:
Fn = Fn−1+ Fn−2, n ≥ 2, (1.1)với các giá trị ban đầu
F0 = 0, F1 = 1
Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
Trang 101.1.2 Định nghĩa dãy Lucas
Dãy Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán họcFran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãyFibonacci và dãy thuộc họ Fibonacci mà mỗi số trong dãy bằng tổngcủa hai số liền trước nó
Định nghĩa 1.1.2 Dãy {Ln} các con số Lucas được định nghĩa bởi hệthức truy hồi sau:
Ln = Ln−1 + Ln−2, n ≥ 2, (1.2)với các giá trị ban đầu
L0 = 2, L1 = 1
Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas:
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322,
1.2 Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm
1.2.1 Số Fibonacci với chỉ số âm
Từ công thức truy hồi (1.1), ta có công thức
Trang 11Bằng phương pháp quy nạp, ta có
F−n = (−1)n+1Fn.Thật vậy, với n = 1 ta có
F−1 = 1 = (−1)1+1F1.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.1), ta có
1.2.2 Số Lucas với chỉ số âm
Từ công thức truy hồi (1.2), ta có
Trang 12Bằng phương pháp quy nạp, ta có
L−n = (−1)nLn.Thật vậy, với n = 1 ta có
L−1 = −1 = (−1)1L1.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.2), ta có
Tỷ số vàng ϕ ( phi ) được định nghĩa
là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai
phần (a và b) sao cho tỷ số giữa cả hai
đoạn (a + b) với đoạn lớn hơn (a) bằng
tỷ số giữa đoạn lớn (a) và đoạn nhỏ (b)
Trang 13Tỷ số vàng ϕ còn được gọi là tỷ lệ vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh và nó
có mối liên hệ mật thiết với dãy Fibonacci, dãy Lucas
1.3.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas
Cả các số Fibonacci và Lucas đều có công thức
Ta xét
A := 1 1
1 0
,
χA(λ) = λ2 − λ − 1
⇒ A có các giá trị riêng
λ1 = 1 +
√5
λ2 = 1 −
√5
2 = 1 − ϕ = −ϕ
Trang 14an+1
an
= √15
Fn = ϕn
√
5 +
12
Trang 15
Fn−1 = Fn+1− Fn,
Fn = Fn+2− Fn+1.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
Ln−1 = Ln+1 − Ln,
Ln = Ln+2 − Ln+1.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
L0 + L1 + L2 + L3 + + Ln = Ln+2− L1,
Trang 16F2n−3 = F2n−2− F2n−4,
F2n−1 = F2n − F2n−2.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
Trang 17L2n−3 = L2n−2 − L2n−4,
L2n−1 = L2n − L2n−2.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được
Trang 18X
i=0
iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2 (1.21)Chứng minh Ta có
(n + 1)F0+nF1+(n − 1)F2+ +2Fn−1+Fn = F0+F1+ +Fn+2−(n + 2)
Trang 19Theo (1.11) và (1.1), ta được
(n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + + 2Fn−1+ Fn = Fn+4− (n + 3),hay
(n + 1)F0+ nF1+ (n − 1)F2+ + 2Fn−1+ Fn = Fn+2+ Fn+3− (n + 3).Mặt khác, ta có
Trang 20(n + 1)L0+nL1+(n − 1)L2+ +2Ln−1+Ln = L0+L1+ +Ln+2−(n + 4).Theo (1.12) và (1.2), ta được
(n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + + 2Ln−1 + Ln = Ln+4− (n + 5),hay
(n + 1)L0+ nL1+ (n − 1)L2+ + 2Ln−1+ Ln = Ln+2+ Ln+3− (n + 5).Mặt khác, ta có
Fi = Fi+1 − Fi−1.Suy ra
Fi2 = Fi(Fi+1 − Fi−1) = FiFi+1− Fi−1Fi
Do đó, ta có
F12 = F1F2,
F22 = F2F3 − F1F2,
F32 = F3F4 − F2F3, ,
Fn−12 = Fn−1Fn − Fn−2Fn−1,
Fn2 = FnFn+1 − Fn−1Fn
Trang 21Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
Li = Li+1− Li−1.Suy ra
L2i = Li(Li+1− Li−1) = LiLi+1 − Li−1Li
L2n−1 = Ln−1Ln− Ln−2Ln−1,
L2n = LnLn+1− Ln−1Ln.Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được
Trang 22Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp.
n = 2, ta có
F1F3 − F22 = 1.2 − 1 = 1 = (−1)2.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1 Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
Bổ đề 1.4.2 Với n ≥ 1, ta có
L2n− Ln−1Ln+1 = 5 (−1)n (1.26)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp
n = 1, ta có
L21 − L0L2 = 12 − 2.3 = −5 = 5 (−1)1.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1 Thật vậy, theo (1.2) và giả thiết quy nạp, ta có
Trang 23Bổ đề 1.4.3.
Fn+m = Fn−1Fm+ FnFm+1 (1.27)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo m
m = 1, ta có
Fn+1 = Fn−1F1 + FnF2 = Fn−1 + Fn
m = 2, ta có
Fn+2 = Fn−1F2 + FnF3 = Fn−1 + 2Fn = Fn+1+ Fn
Giả sử, đẳng thức đúng với m > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với
m + 1 Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
Fn+m+1 = Fn+m−1+ Fn+m
= Fn−1Fm−1 + FnFm + Fn−1Fm + FnFm+1
= Fn−1(Fm−1 + Fm) + Fn(Fm + Fm+1)
= Fn−1Fm+1 + FnFm+2.Suy ra, điều phải chứng minh
Bổ đề 1.4.4 ( Tính chất d’Ocagne )
FmFn+1− Fm+1Fn = (−1)nFm−n (1.28)Chứng minh Theo (1.3) và (1.27), ta có
Fm−n = FmF−n−1+ Fm+1F−n
= Fm(−1)n+2Fn+1+ Fm+1(−1)n+1Fn
= (−1)n(FmFn+1 − Fm+1Fn),hay
FmFn+1− Fm+1Fn = (−1)nFm−n
Định lý 1.4.1
F2n = Fn(Fn−1+ Fn+1) (1.29)
Trang 24Chứng minh Theo (1.27) với m = n, ta có
F2n = Fn−1Fn + FnFn+1 = Fn(Fn−1+ Fn+1)
Bổ đề 1.4.5
F2n+1 = Fn2 + Fn+12 (1.30)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp
n + 1 Thật vậy, theo (1.1), (1.29) và giả thiết quy nạp, ta có
Bổ đề 1.4.6 Với k ≥ 2, ta có
F2n+k = FkFn+12 + 2Fk−1Fn+1Fn+ Fk−2Fn2 (1.31)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo k
Trang 25k + 1 Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có
Trang 26Fn−1Fn+1 = Fn2 + (−1)n−1.Vậy
Trang 27ϕm + −ϕ−1m
= L4n+m + ϕ −ϕ−12nLm
= L4n+m + (−1)2nLm
= L4n+m − Lm
Ta được, điều phải chứng minh
1.4.3 Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số LucasĐịnh lý 1.4.5
Fn = 1
5(Ln+1+ Ln−1) (1.35)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp
n + 1 Thật vậy, theo (1.1),(1.2) và giả thiết quy nạp, ta có
Trang 28Bổ đề 1.4.7.
Ln = Fn−1+ Fn+1 (1.36)Chứng minh Theo (1.9), ta có
ϕn+1 − −ϕ−1n+1
= √15
5 ϕϕ
n − −ϕ−1
−ϕ−1n
,hay
ϕ = 1 +
√5
2 ,
1
−ϕ−1 = −1 +
√5
2 .Nên, suy ra
1
−ϕ−1 − ϕ−1 = −1 +
√5
Thay vào (1.37), ta được
Ln = Fn−1+ Fn+1
Trang 29Bổ đề 1.4.8.
2Fm+n = FmLn + FnLm (1.38)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo n
n + 1 Thật vậy, theo (1.1), (1.2) và giả thiết quy nạp, ta có
2Fm+n+1 = FmLn+1+ Fn+1Lm.Vậy, ta có điều phải chứng minh
Trang 30Giả sử, đẳng thức đúng với k > 0, ta chứng minh đẳng thức đúng với
k + 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, (1.2) và (1.1), ta có
Ln = Fk+2Ln−k + Fk+1Ln−k−1
= Fk+2(Ln−k−1 + Ln−k−2) + Fk+1Ln−k−1
= Ln−k−1(Fk+2 + Fk+1) + Fk+2Ln−k−2
= Fk+3Ln−k−1 + Fk+2Ln−k−2.Suy ra, điều phải chứng minh
Định lý 1.4.7
Chứng minh Theo (1.38) với m = n, ta có
2Fn+n = FnLn + FnLn,hay
F2n = FnLn
Định lý 1.4.8
L2n− 5Fn2 = 4(−1)n (1.41)Chứng minh Theo (1.25), (1.36) và (1.1), ta có
Trang 31Định lý 1.4.9.
Ln+1Ln− 5Fn+1Fn = 2(−1)n (1.42)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp
n = 0, ta có
L1L0 − 5F1F0 = 2 = 2(−1)0.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 0, ta chứng minh đẳng thức đúng với
n + 1 Thật vậy, theo (1.1), giả thiết quy nạp và (1.41), ta có
Định lý 1.4.10 Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có
F3n+m − (−1)nFn+m = FnL2n+m (1.43)Chứng minh Theo (1.9) và (1.10), ta có
ϕ3n+m− −ϕ−13n+m
− √15
Trang 32Định lý 1.4.11 Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có
F4n+m− Fm = F2nL2n+m (1.44)Chứng minh Theo (1.9) và (1.10), ta có
ϕ4n+m − −ϕ−14n+m
− √15
ϕ4n+m − −ϕ−14n+m
+ √15
Trang 33Định lý 1.4.13 Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có
L4n+m− Lm = 5F2nF2n+m (1.46)Chứng minh Theo (1.9) và (1.10), ta có
5F2nF2n+m = 5.√1
5 ϕ
n− −ϕ−1n
√15
Trang 34Chương 2
Các tính chất số học của dãy
Fibonacci và dãy Lucas
Các kí hiệu
Ước số của số a và số b: (a, b)
Ước số chung lớn nhất của số a và số b: gcd (a, b)
Số a là ước của số b: a|b
Số a chia hết cho số b: a b
⇒ g|Fn∧ g|Fn+1
⇒ qg = q0g + Fn−1
⇒ g|Fn−1
Trang 35q = 1, ta có
gcd(b, b) = b
Giả sử, đẳng thức đúng với q > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với
q + 1 Thật vậy, theo (2.2) và giả thiết quy nạp, ta có
Trang 36Chứng minh Giả sử
g := gcd (a, c) ∧ g0 := gcd (a, bc) Nên, ta có
Fm|Fqm+m.Suy ra, điều phải chứng minh
Trang 37Định lý 2.1.2.
gcd (Fm, Fn) = Fgcd(m,n) (2.6)Chứng minh Sử dụng thuật toán Euclied
m = nq0 + r1, 0 ≤ r1 < n,kết hợp với (1.27), ta được
gcd (Fm, Fn) = gcd (Fnq0−1Fr1 + Fnq0Fr1+1, Fn)
Mà theo (2.5), ta có
Fn|Fnq0.Nên theo (2.2), ta được
gcd (Fm, Fn) = gcd (Fnq0−1Fr1, Fn) Mặt khác
gcd (Fnq0−1, Fnq0) = 1
Và do đó theo (2.4), ta có
gcd (Fm, Fn) = gcd (Fr1, Fn) Làm tương tự cho đến n cùng với thuật toán Euclide, chúng ta nhậnđược
gcd (Fm, Fn) = gcd Frk−1, Frk ,với
rk|rk−1và
rk = gcd (m, n) Theo (2.5), ta có
rk|rk−1 ⇒ Frk|Frk−1.Theo (2.3), suy ra
gcd Frk−1, Frk = FrkVậy
gcd (Fm, Fn) = Fgcd(m,n)
Trang 38gcd (Fm, Fn) = Fgcd(m,n) ⇒ gcd (m, n) = m ⇒ m|n.
Vậy, ta có điều phải chứng minh
Mệnh đề 2.1.1 Nếu n là một hợp số khác 4 thì Fn là một hợp số.Chứng minh Gọi hợp số n có dạng
n = n1.n2
Vì n 6= 4, nên 1 < n1 < n2 < n, hoặc n1 > 2, n2 > 2
Giả sử n1 > 2, n2 > 2 Theo (2.7) vì n n1, nên ta có
Fn Fn1,với 1 < Fn1 < Fn
Điều đó nghĩa là Fn là một hợp số
Định lý 2.1.3
gcd (m, n) = 1, 2, 5 ⇒ FmFn|Fmn (2.8)Chứng minh i) Theo (2.6), với
gcd (m, n) = 1, 2 ⇒ gcd (Fm, Fn) = 1
Theo (2.7), ta có
m|n ⇒ Fm|Fn.m|mn ⇒ Fm|Fmn.n|mn ⇒ Fn|Fmn
Trang 39gcd (Fm, Fn) = 1
Vậy
FmFn|Fmn.ii) Giả sử gcd (m, n) = 5, m = 5a, n = 5kb,
Chẳng hạn, nếu Fn n thì theo (2.7), các số: F2n, F3n, F4n, đều chiahết cho n
Vấn đề đặt ra là phải làm sáng tỏ được: Với một số nguyên dương n
đã cho, liệu rằng có ít nhất một số Fibonacci chia hết cho n hay không?Thật vậy, gọi k là phần dư khi chia k cho n
Chúng ta viết dãy các cặp phần dư như vậy trong phép chia của sốFibonacci cho n
1, F2 1, F2 1, F2 1, F2 , (2.9)Nếu coi ha1, b1i = ha2, b2i, khi a1 = a2, b1 = b2 thì số tất cả các cặp khácnhau trong phép chia cho n là n2
Trang 40Vì vậy, nếu trong dãy (2.9) ta chọn n2+ 1 cặp số hạng đầu thì trong dãycác cặp số hạng này phải có các cặp số hạng bằng nhau.
Giả sử k, Fk+1 là cặp đầu tiên sẽ được lặp lại trong dãy (2.9) Tachứng minh rằng cặp này là cặp h1, 1i
Thật vậy, giả sử ngược lại nghĩa là cặp đầu tiên lặp lại là cặp k, Fk+1,với k > 1
Trong dãy (2.9), tìm được cặp l, Fl+1, với l > k, sao cho
l, Fl+1 k, Fk+1 Nghĩa là
Fl = Fk, Fl+1 = Fk+1
Vì theo (1.1), ta có
Fl−1 = Fl+1− Fl,
Fk−1 = Fk+1 − Fk.Nên, số dư của phép chia Fl−1 và Fk−1 cho n phải bằng nhau, nghĩa là
Như vậy, k > 1 không đúng nên k = 1
Vậy, cặp h1, 1i là cặp đầu tiên được lặp lại trong dãy (2.9)
Giả sử cặp này được lặp lại ở vị trí thứ t với 1 < t < n2 + 1, nghĩa là
k, Fk+1 = h1, 1i Điều đó nghĩa là Ft và Ft+1 khi chia cho n được các phần dư bằng 1,nghĩa là Ft+1 − Ft chia hết cho n
Mà theo (1.1), ta có
Ft+1 − Ft = Ft−1.Vậy, Ft−1 chia hết cho n