Dãy fibonacci, dãy lucas và các ứng dụng

www.facebook.com/hocthemtoan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc

Thái Nguyên - 2012

Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc

Phản biện 1: TS Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế vàQuản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên

Phản biện 2: PGS TS Tạ Duy Phượng - Viện Toán học - ViệnKhoa học và Công nghệ Việt Nam

Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên

Ngày 01 tháng 9 năm 2012

Có thể tìm hiểu tạiThư Viện Đại Học Thái Nguyên

Mục lục

Mở đầu 3

Chương 1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản 6 1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas 6

1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 6

1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas 8

1.2 Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm 8

1.2.1 Số Fibonacci với chỉ số âm 8

1.2.2 Số Lucas với chỉ số âm 9

1.3 Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 10

1.3.1 Tỷ số vàng 10

1.3.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas 11 1.4 Một số hệ thức của dãy Fibonacci và dãy Lucas 12

1.4.1 Các hệ thức về tổng hữu hạn 12

1.4.2 Các hệ thức khác 19

1.4.3 Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas 25 Chương 2 Các tính chất số học của dãy Fibonacci và dãy Lucas 32 2.1 Các tính chất số học của dãy Fibonacci 32

2.2 Các tính chất số học của dãy Lucas 47

2.3 Tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci với dãy Lucas 49 Chương 3 Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và các ứng dụng 51 3.1 Dãy Fibonacci với toán học 51

3.1.1 Dãy Fibonacci và tam giác Pascal 51

3.1.2 Dãy Fibonacci và hệ nhị phân 53

3.1.3 Dãy Fibonacci và tam giác vuông 53

3.1.4 Dãy Fibonacci và hình học 54

3.2 Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên 57

3.3 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” với ứng dụng 69

3.3.1 Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính 69

3.3.2 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong thiết kế 72

3.3.3 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong kiến trúc 75

3.3.4 Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” trong nghệ thuật 77 3.3.5 Các ứng dụng khác 79

Kết luận 81

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài luận văn

Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170

–1250), còn được biết đến với tên Leonardo

của Pisa, hay phổ biến nhất dưới cái tên

Fibonacci, là một nhà toán học người Ý và

ông được một số người xem là “nhà toán

học tài ba nhất thời Trung Cổ” Fibonacci

nổi tiếng trong thế giới hiện đại vì có công

lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiệnđại mang tên ông, dãy Fibonacci trong cuốn Sách Liber Abaci - Sách vềToán đố năm 1202

Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiềutính chất đẹp và ứng dụng quan trọng Nói đến dãy Fibonacci không thểkhông nói đến dãy Lucas, bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau.Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci “mộtphần là từ Pingala (200 BC), sau đó được kết hợp với Virahanka (khoảng

700 AD), Gopala (c.1135 AD) và Hemachandra (c.1150)” Sau Fibonacci,còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãy Fibonacci như: Cassini(1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857

- 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), và rất nhiều tính chất của dãy đãđược mang tên các nhà Khoa học này Hiện nay, tài liệu bằng tiếng Việt

về dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng chưa có nhiều và còn tảnmạn Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụngmột cách đầy đủ và hợp nhất hơn

Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas và

các ứng dụng là rất cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học và

sự hiểu biết của con người Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas

và các ứng dụng” được tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa trêncác tài liệu tham khảo

2 Mục đích của đề tài luận văn

Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas cùng với các tínhchất cơ bản, các tính chất số học cũng như các tính chất liên hệ giữachúng Đặc biệt, giúp mọi người nắm được những ứng dụng quan trọng

và sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên

3 Bố cục của luận văn

Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụng” gồmcó: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Dãy Fibonacci, dãy Lucas và các tính chất cơ bản.Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas,

số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, công thức tổng quát của sốFibonacci và số Lucas Một số hệ thức của dãy Fibonacci, dãy Lucas vàcác hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas Khác với nhiều tàiliệu tham khảo, bản luận văn này giới thiệu cách chứng minh đơn giảncác tính chất về tổng hữu hạn của dãy Fibonacci và dãy Lucas Trong

đó, số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm, chứng minh các tính chất cơbản của dãy Lucas là sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả

Chương 2 Các tính chất số học của số Fibonacci và số Lucas.Trong chương này, trình bày một số tính chất số học của dãy Fi-bonacci, dãy Lucas và tính chất số học liên hệ giữa dãy Fibonacci vàdãy Lucas

Chương 3 Dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và cácứng dụng

Trong chương này, trình bày mối liên hệ của dãy Fibonacci với toánhọc, sự xuất hiện của dãy Fibonacci, dãy Lucas trong tự nhiên và một

số ứng dụng quan trọng của dãy Fibonacci

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của

TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Từ đáy lòng mình, emxin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và

sự chỉ bảo hướng dẫn của thầy

Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong Trường Đại Học KhoaHọc - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học KhoaHọc Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã động viên, giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang,Ban Giám hiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện SơnDương- Tỉnh Tuyên Quang đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để thamgia học tập và hoàn thành khóa học

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của luận vănthạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏinhững thiếu sót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến củacác Thầy Cô và độc giả quan tâm tới luận văn này

Thái Nguyên, ngày 08 tháng 9 năm 2012

Tác giả

Vũ Nhật Cương

Phần nguyên của số a: bac.

1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci và dãy Lucas

1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci

Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sáchLiber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo của Pisa - được biết đến vớitên Fibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong toánhọc Ấn Độ Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lýtưởng hóa, giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cáitrong một cánh đồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tớihai tháng tuổi, một thỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, cáccon thỏ này không bao giờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ramột cặp mới (một đực, một cái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi Câu

đố mà Fibonacci đặt ra là: Trong một năm có bao nhiêu cặp thỏ?

• Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp

• Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới, vì vậy bây giờ có

số lúc này là 3 + 2 = 5 (cặp).

Vào cuối tháng thứ n, số lượng các cặp thỏ bằng số lượng các cặp mới(bằng số lượng các cặp trong tháng (n − 2)) cộng với số cặp trong tháng(n − 1) Đây là số Fibonacci thứ n

Theo từng thế hệ, số lượng cặp thỏ là một dãy các con số sau nàyđược biết với tên số Fibonacci

Tên gọi “dãy Fibonacci” lần đầu tiên được sử dụng vào thế kỷ 19 bởinhà toán học Édouard Lucas

Định nghĩa 1.1.1 Dãy {Fn} các con số Fibonacci được định nghĩa bởi

hệ thức truy hồi sau:

Fn = Fn−1+ Fn−2, n ≥ 2, (1.1)với các giá trị ban đầu

F0 = 0, F1 = 1

Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,

1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas

Dãy Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toán họcFran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người đã nghiên cứu dãyFibonacci và dãy thuộc họ Fibonacci mà mỗi số trong dãy bằng tổngcủa hai số liền trước nó

Định nghĩa 1.1.2 Dãy {Ln} các con số Lucas được định nghĩa bởi hệthức truy hồi sau:

Ln = Ln−1 + Ln−2, n ≥ 2, (1.2)với các giá trị ban đầu

L0 = 2, L1 = 1

Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322,

1.2 Số Fibonacci và số Lucas với chỉ số âm

1.2.1 Số Fibonacci với chỉ số âm

Từ công thức truy hồi (1.1), ta có công thức

Bằng phương pháp quy nạp, ta có

F−n = (−1)n+1Fn.Thật vậy, với n = 1 ta có

F−1 = 1 = (−1)1+1F1.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với

n + 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.1), ta có

1.2.2 Số Lucas với chỉ số âm

Từ công thức truy hồi (1.2), ta có

Bằng phương pháp quy nạp, ta có

L−n = (−1)nLn.Thật vậy, với n = 1 ta có

L−1 = −1 = (−1)1L1.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với

n + 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp và (1.2), ta có

Tỷ số vàng ϕ ( phi ) được định nghĩa

là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai

phần (a và b) sao cho tỷ số giữa cả hai

đoạn (a + b) với đoạn lớn hơn (a) bằng

tỷ số giữa đoạn lớn (a) và đoạn nhỏ (b)

Tỷ số vàng ϕ còn được gọi là tỷ lệ vàng, hay tỷ lệ Thần Thánh và nó

có mối liên hệ mật thiết với dãy Fibonacci, dãy Lucas

1.3.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci và số Lucas

Cả các số Fibonacci và Lucas đều có công thức

Ta xét

A :=  1 1

1 0

,

χA(λ) = λ2 − λ − 1

⇒ A có các giá trị riêng

λ1 = 1 +

√5

λ2 = 1 −

√5

2 = 1 − ϕ = −ϕ

 an+1

an



= √15

Fn =  ϕn

√

5 +

12



Fn−1 = Fn+1− Fn,

Fn = Fn+2− Fn+1.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được

Ln−1 = Ln+1 − Ln,

Ln = Ln+2 − Ln+1.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được

L0 + L1 + L2 + L3 + + Ln = Ln+2− L1,

F2n−3 = F2n−2− F2n−4,

F2n−1 = F2n − F2n−2.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được

L2n−3 = L2n−2 − L2n−4,

L2n−1 = L2n − L2n−2.Cộng các đẳng thức trên theo từng vế, ta được

X

i=0

iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2 (1.21)Chứng minh Ta có

(n + 1)F0+nF1+(n − 1)F2+ +2Fn−1+Fn = F0+F1+ +Fn+2−(n + 2)

Theo (1.11) và (1.1), ta được

(n + 1)F0 + nF1 + (n − 1)F2 + + 2Fn−1+ Fn = Fn+4− (n + 3),hay

(n + 1)F0+ nF1+ (n − 1)F2+ + 2Fn−1+ Fn = Fn+2+ Fn+3− (n + 3).Mặt khác, ta có

(n + 1)L0+nL1+(n − 1)L2+ +2Ln−1+Ln = L0+L1+ +Ln+2−(n + 4).Theo (1.12) và (1.2), ta được

(n + 1)L0 + nL1 + (n − 1)L2 + + 2Ln−1 + Ln = Ln+4− (n + 5),hay

(n + 1)L0+ nL1+ (n − 1)L2+ + 2Ln−1+ Ln = Ln+2+ Ln+3− (n + 5).Mặt khác, ta có

Fi = Fi+1 − Fi−1.Suy ra

Fi2 = Fi(Fi+1 − Fi−1) = FiFi+1− Fi−1Fi

Do đó, ta có

F12 = F1F2,

F22 = F2F3 − F1F2,

F32 = F3F4 − F2F3, ,

Fn−12 = Fn−1Fn − Fn−2Fn−1,

Fn2 = FnFn+1 − Fn−1Fn

Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được

Li = Li+1− Li−1.Suy ra

L2i = Li(Li+1− Li−1) = LiLi+1 − Li−1Li

L2n−1 = Ln−1Ln− Ln−2Ln−1,

L2n = LnLn+1− Ln−1Ln.Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được

Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp.

n = 2, ta có

F1F3 − F22 = 1.2 − 1 = 1 = (−1)2.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với

n + 1 Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có

Bổ đề 1.4.2 Với n ≥ 1, ta có

L2n− Ln−1Ln+1 = 5 (−1)n (1.26)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp

n = 1, ta có

L21 − L0L2 = 12 − 2.3 = −5 = 5 (−1)1.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với

n + 1 Thật vậy, theo (1.2) và giả thiết quy nạp, ta có

Bổ đề 1.4.3.

Fn+m = Fn−1Fm+ FnFm+1 (1.27)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo m

m = 1, ta có

Fn+1 = Fn−1F1 + FnF2 = Fn−1 + Fn

m = 2, ta có

Fn+2 = Fn−1F2 + FnF3 = Fn−1 + 2Fn = Fn+1+ Fn

Giả sử, đẳng thức đúng với m > 2, ta chứng minh đẳng thức đúng với

m + 1 Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có

Fn+m+1 = Fn+m−1+ Fn+m

= Fn−1Fm−1 + FnFm + Fn−1Fm + FnFm+1

= Fn−1(Fm−1 + Fm) + Fn(Fm + Fm+1)

= Fn−1Fm+1 + FnFm+2.Suy ra, điều phải chứng minh

Bổ đề 1.4.4 ( Tính chất d’Ocagne )

FmFn+1− Fm+1Fn = (−1)nFm−n (1.28)Chứng minh Theo (1.3) và (1.27), ta có

Fm−n = FmF−n−1+ Fm+1F−n

= Fm(−1)n+2Fn+1+ Fm+1(−1)n+1Fn

= (−1)n(FmFn+1 − Fm+1Fn),hay

FmFn+1− Fm+1Fn = (−1)nFm−n

Định lý 1.4.1

F2n = Fn(Fn−1+ Fn+1) (1.29)

Chứng minh Theo (1.27) với m = n, ta có

F2n = Fn−1Fn + FnFn+1 = Fn(Fn−1+ Fn+1)

Bổ đề 1.4.5

F2n+1 = Fn2 + Fn+12 (1.30)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp

n + 1 Thật vậy, theo (1.1), (1.29) và giả thiết quy nạp, ta có

Bổ đề 1.4.6 Với k ≥ 2, ta có

F2n+k = FkFn+12 + 2Fk−1Fn+1Fn+ Fk−2Fn2 (1.31)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo k

k + 1 Thật vậy, theo (1.1) và giả thiết quy nạp, ta có

Fn−1Fn+1 = Fn2 + (−1)n−1.Vậy

ϕm + −ϕ−1
m

= L4n+m + ϕ −ϕ−1

2nLm

= L4n+m + (−1)2nLm

= L4n+m − Lm

Ta được, điều phải chứng minh

1.4.3 Một số hệ thức liên hệ giữa số Fibonacci và số LucasĐịnh lý 1.4.5

Fn = 1

5(Ln+1+ Ln−1) (1.35)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp

n + 1 Thật vậy, theo (1.1),(1.2) và giả thiết quy nạp, ta có

Bổ đề 1.4.7.

Ln = Fn−1+ Fn+1 (1.36)Chứng minh Theo (1.9), ta có



ϕn+1 − −ϕ−1
n+1

= √15

5 ϕϕ

n − −ϕ−1

−ϕ−1
n

,hay

ϕ = 1 +

√5

2 ,

1

−ϕ−1 = −1 +

√5

2 .Nên, suy ra

1

−ϕ−1 − ϕ−1 = −1 +

√5

Thay vào (1.37), ta được

Ln = Fn−1+ Fn+1

Bổ đề 1.4.8.

2Fm+n = FmLn + FnLm (1.38)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp theo n

n + 1 Thật vậy, theo (1.1), (1.2) và giả thiết quy nạp, ta có

2Fm+n+1 = FmLn+1+ Fn+1Lm.Vậy, ta có điều phải chứng minh

Giả sử, đẳng thức đúng với k > 0, ta chứng minh đẳng thức đúng với

k + 1 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, (1.2) và (1.1), ta có

Ln = Fk+2Ln−k + Fk+1Ln−k−1

= Fk+2(Ln−k−1 + Ln−k−2) + Fk+1Ln−k−1

= Ln−k−1(Fk+2 + Fk+1) + Fk+2Ln−k−2

= Fk+3Ln−k−1 + Fk+2Ln−k−2.Suy ra, điều phải chứng minh

Định lý 1.4.7

Chứng minh Theo (1.38) với m = n, ta có

2Fn+n = FnLn + FnLn,hay

F2n = FnLn

Định lý 1.4.8

L2n− 5Fn2 = 4(−1)n (1.41)Chứng minh Theo (1.25), (1.36) và (1.1), ta có

Định lý 1.4.9.

Ln+1Ln− 5Fn+1Fn = 2(−1)n (1.42)Chứng minh Chứng minh bằng quy nạp

n = 0, ta có

L1L0 − 5F1F0 = 2 = 2(−1)0.Giả sử, đẳng thức đúng với n > 0, ta chứng minh đẳng thức đúng với

n + 1 Thật vậy, theo (1.1), giả thiết quy nạp và (1.41), ta có

Định lý 1.4.10 Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có

F3n+m − (−1)nFn+m = FnL2n+m (1.43)Chứng minh Theo (1.9) và (1.10), ta có



ϕ3n+m− −ϕ−1
3n+m

− √15

Định lý 1.4.11 Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có

F4n+m− Fm = F2nL2n+m (1.44)Chứng minh Theo (1.9) và (1.10), ta có



ϕ4n+m − −ϕ−1
4n+m

− √15



ϕ4n+m − −ϕ−1
4n+m

+ √15

Định lý 1.4.13 Với n ≥ 1 và m ≥ 0, ta có

L4n+m− Lm = 5F2nF2n+m (1.46)Chứng minh Theo (1.9) và (1.10), ta có

5F2nF2n+m = 5.√1

5 ϕ

n− −ϕ−1
n

√15

Chương 2

Các tính chất số học của dãy

Fibonacci và dãy Lucas

Các kí hiệu

Ước số của số a và số b: (a, b)

Ước số chung lớn nhất của số a và số b: gcd (a, b)

Số a là ước của số b: a|b

Số a chia hết cho số b: a b

⇒ g|Fn∧ g|Fn+1

⇒ qg = q0g + Fn−1

⇒ g|Fn−1

q = 1, ta có

gcd(b, b) = b

Giả sử, đẳng thức đúng với q > 1, ta chứng minh đẳng thức đúng với

q + 1 Thật vậy, theo (2.2) và giả thiết quy nạp, ta có

Chứng minh Giả sử

g := gcd (a, c) ∧ g0 := gcd (a, bc) Nên, ta có

Fm|Fqm+m.Suy ra, điều phải chứng minh

Định lý 2.1.2.

gcd (Fm, Fn) = Fgcd(m,n) (2.6)Chứng minh Sử dụng thuật toán Euclied

m = nq0 + r1, 0 ≤ r1 < n,kết hợp với (1.27), ta được

gcd (Fm, Fn) = gcd (Fnq0−1Fr1 + Fnq0Fr1+1, Fn)

Mà theo (2.5), ta có

Fn|Fnq0.Nên theo (2.2), ta được

gcd (Fm, Fn) = gcd (Fnq0−1Fr1, Fn) Mặt khác

gcd (Fnq0−1, Fnq0) = 1

Và do đó theo (2.4), ta có

gcd (Fm, Fn) = gcd (Fr1, Fn) Làm tương tự cho đến n cùng với thuật toán Euclide, chúng ta nhậnđược

gcd (Fm, Fn) = gcd Frk−1, Frk
,với

rk|rk−1và

rk = gcd (m, n) Theo (2.5), ta có

rk|rk−1 ⇒ Frk|Frk−1.Theo (2.3), suy ra

gcd Frk−1, Frk
= FrkVậy

gcd (Fm, Fn) = Fgcd(m,n)

gcd (Fm, Fn) = Fgcd(m,n) ⇒ gcd (m, n) = m ⇒ m|n.

Vậy, ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 2.1.1 Nếu n là một hợp số khác 4 thì Fn là một hợp số.Chứng minh Gọi hợp số n có dạng

n = n1.n2

Vì n 6= 4, nên 1 < n1 < n2 < n, hoặc n1 > 2, n2 > 2

Giả sử n1 > 2, n2 > 2 Theo (2.7) vì n n1, nên ta có

Fn Fn1,với 1 < Fn1 < Fn

Điều đó nghĩa là Fn là một hợp số

Định lý 2.1.3

gcd (m, n) = 1, 2, 5 ⇒ FmFn|Fmn (2.8)Chứng minh i) Theo (2.6), với

gcd (m, n) = 1, 2 ⇒ gcd (Fm, Fn) = 1

Theo (2.7), ta có

m|n ⇒ Fm|Fn.m|mn ⇒ Fm|Fmn.n|mn ⇒ Fn|Fmn

gcd (Fm, Fn) = 1

Vậy

FmFn|Fmn.ii) Giả sử gcd (m, n) = 5, m = 5a, n = 5kb,

Chẳng hạn, nếu Fn n thì theo (2.7), các số: F2n, F3n, F4n, đều chiahết cho n

Vấn đề đặt ra là phải làm sáng tỏ được: Với một số nguyên dương n

đã cho, liệu rằng có ít nhất một số Fibonacci chia hết cho n hay không?Thật vậy, gọi k là phần dư khi chia k cho n

Chúng ta viết dãy các cặp phần dư như vậy trong phép chia của sốFibonacci cho n

1, F2 1, F2 1, F2 1, F2 , (2.9)Nếu coi ha1, b1i = ha2, b2i, khi a1 = a2, b1 = b2 thì số tất cả các cặp khácnhau trong phép chia cho n là n2

Vì vậy, nếu trong dãy (2.9) ta chọn n2+ 1 cặp số hạng đầu thì trong dãycác cặp số hạng này phải có các cặp số hạng bằng nhau.

Giả sử k, Fk+1 là cặp đầu tiên sẽ được lặp lại trong dãy (2.9) Tachứng minh rằng cặp này là cặp h1, 1i

Thật vậy, giả sử ngược lại nghĩa là cặp đầu tiên lặp lại là cặp k, Fk+1,với k > 1

Trong dãy (2.9), tìm được cặp l, Fl+1, với l > k, sao cho

l, Fl+1 k, Fk+1 Nghĩa là

Fl = Fk, Fl+1 = Fk+1

Vì theo (1.1), ta có

Fl−1 = Fl+1− Fl,

Fk−1 = Fk+1 − Fk.Nên, số dư của phép chia Fl−1 và Fk−1 cho n phải bằng nhau, nghĩa là

Như vậy, k > 1 không đúng nên k = 1

Vậy, cặp h1, 1i là cặp đầu tiên được lặp lại trong dãy (2.9)

Giả sử cặp này được lặp lại ở vị trí thứ t với 1 < t < n2 + 1, nghĩa là

k, Fk+1 = h1, 1i Điều đó nghĩa là Ft và Ft+1 khi chia cho n được các phần dư bằng 1,nghĩa là Ft+1 − Ft chia hết cho n

Mà theo (1.1), ta có

Ft+1 − Ft = Ft−1.Vậy, Ft−1 chia hết cho n