Gọi a và b là hai số Fibonacci kề nhau trong dãy. Xét 4 số Fibonacci liên tiếp nhau là: b−a, a, b, a+b
Xét quan hệ ba độ dài sau: 2ab,(b−a) (b+a) =b2 −a2 và a2 +b2
Ta có
(2ab)2 + b2 −a22 = 4a2b2 +b4 −2b2a2 +a4
= b4 + 2b2a2 +a4
= b2 +a22
Vậy, tổng bình phương hai độ dài đầu bằng bình phương độ dài thứ ba. Điều này cho phép chúng ta có thể xây dựng một tam giác vuông với độ dài ba cạnh bằng dãy 4 số Fibonacci liên tiếp Fn−1, Fn, Fn+1, Fn+2. Trong đó, hai cạnh bên của tam giác vuông là 2FnFn+1 và Fn−1Fn+2, cạnh huyền là tổng bình phương của hai số Fn2 +Fn+12.
Theo (1.30), ta có
F2n+1 = Fn2 +Fn+12.
Chúng ta có tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông là 2FnFn+1,
Fn−1Fn+2 và cạnh huyền là F2n+1. Theo định lý Pythagore, ta có F22n+1 = (2FnFn+1)2 + (Fn−1Fn+2)2. 3.1.4. Dãy Fibonacci và hình học • Hình chữ nhật Fibonacci. Hình chữ nhật Fibonacci là hình chữ nhật được sắp xếp từ các hình vuông có độ dài cạnh là các số trong dãy Fibonacci, với các đặc điểm:
i) Cạnh đứng có độ dài bằng tổng các số Fibonacci có số thứ tự lẻ n−1 X i=1 F2i+1 = F2n+1
cộng thêm 1
n X
i=1
F2i + 1 = F2n+1
3i) Diện tích của hình chữ nhật chính là tổng diện tích của các hình
vuông thành phần n X i=1 Fi2 = FnFn+1 • Xoắn ốc Fibonacci và hình chữ nhật vàng.
Xoắn ốc Fibonacci được tạo ra bằng cách vẽ cung tròn kết nối các góc đối diện của các hình vuông trong hình chữ nhật Fibonacci.
Hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật có tỷ số chiều dài trên chiều
rộng bằng tỷ lệ vàng ϕ.
Chúng ta có thể tạo ra hình chữ nhật vàng thông qua hình chữ nhật Fibonacci.
Đường xoắn ốc Fibonacci nằm bên trong hình chữ nhật vàng còn được gọi là đường xoắn ốc vàng.
• Tam giác Fibonacci
Trong một lưới tam giác đều, ta vẽ một tam giác đều có cạnh bằng đơn vị ở đỉnh, dưới nó ta vẽ một hình thoi màu vàng và bên cạnh hình thoi là một tam giác đỏ thứ hai. Dưới tam giác đỏ là một hình thoi màu vàng khác và bên cạnh nó là một hình thang cân màu đỏ. Và ta quy định dưới hình thang màu đỏ là hình thoi màu vàng và dưới hình thoi màu vàng là hình thang màu đỏ. Theo thứ tự như vậy, ta được tam giác Fibonacci với cạnh là số Fibonacci.
Khi đó, độ dài cạnh của hình thoi là số Fibonacci. Độ dài đáy trên, độ dài hai cạnh bên và độ dài đáy dưới của hình thang cân là ba số Fibonacci liên tiếp.
• Lục giác Fibonacci
• Số Fibonacci trong lưới hình vuông và đỉnh Matterhorn trong dãy An-pơ ở Thụy Sĩ
Trong lưới hình vuông, ta sắp xếp tương tự như trong lưới tam giác đều và thay tam giác đều cạnh đơn vị bởi tam giác vuông cân cạnh vuông là đơn vị, hình thoi bởi hình vuông, hình thang cân bởi hình thang vuông. Khi đó, độ dài cạnh hình vuông là số Fibonacci. Hình thang vuông có độ dài đáy nhỏ, độ dài cạnh bên góc vuông và độ dài đáy lớn lần lượt là ba số Fibonacci liên tiếp.
Số Fibonacci trong lưới hình vuông liên tưởng tới đỉnh Matterhorn trong dãy An-pơ ở Thụy Sĩ.
3.2. Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên
Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong tự nhiên, trong các kết cấu về sinh học của các loài thực vật.
Chẳng hạn, một trong những loài cây phát triển rất giống với hình dưới là loài cây Achillea ptarmica.
Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo dãy Fibonacci. Chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc ở trên thường xếp sao cho không che khuất lá mọc dưới. Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá). Con số vòng xoay theo hai hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành ba con số Fibonacci liên tiếp nhau.
Ví dụ: Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quay thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x), hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8 lá. 3, 5, 8 là ba số liên tiếp trong dãy Fibonacci.
nhất, rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13).
Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng: 90%các loài cây có sự xếp lá tuân
theo dãy số Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa. Hầu hết, các bông hoa có số cánh hoa là một trong các số Fibonacci: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc 89. Hoa loa kèn có 3 cánh, hoa mao lương vàng có 5 cánh, hoa phi yến thường có 8 cánh, hoa cúc vạn thọ có 13 cánh, hoa cúc tây có 21 cánh, hoa cúc thường có 34, hoặc 55 hoặc 89 cánh.
Nhìn từ phía trước: 2 lớp cánh hoa bọc lấy dãy nhị hoa xanh trắng, ở giữa là 5 nhị màu xanh, trên cùng ở giữa là 3 lá noãn màu nâu đậm.
Nhìn từ phía sau: ngoài cùng 3 lá đài, rồi đến 5 cánh hoa giữa, rồi đến năm cánh hoa trong nhạt màu hơn.
Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa hướng dương. Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa hướng dương được xếp thành hai tập các đường xoắn ốc: một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiều kim đồng hồ. Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55. Đôi khi các số này là 55 và 89, và thầm chí là 89 và 144. Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kế tiếp nhau.
Điều tương tự cũng xảy ra ở nhị hoa nhiều loài hoa khác trong tự nhiên. Số đường xoắn ốc của các hệ thống đường xoắn ốc khác nhau của nhị hoa ở mỗi bông hoa thường xuyên là những con số thuộc dãy số Fibonacci.
Quả thông có những đường xoắn ốc tuân theo dãy số Fibonacci khá rõ. Quả thông có hai tập các đường xoắn ốc ngược chiều nhau, một tập gồm 8 đường và tập kia gồm 13 đường, hoặc một tập gồm 5 đường và tập kia gồm 8 đường. Và chúng là các số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci.
Những đường xoắn ốc tuân theo dãy số Fibonacci cũng xuất hiện ở cây xúp lơ.
Nếu trông kỹ, ta có thể thấy một điểm giữa, ở đó những bông hoa là nhỏ nhất. Nhìn kỹ thêm, ta lại thấy những bông hoa tí xíu này được sắp xếp trên những đường xoắn ốc xung quanh điểm trung tâm kể trên, theo cả 2 hướng. Dễ dàng đếm được có 5 đường xoắn ngược kim đồng hồ và 8 đường xoắn thuận chiều kim đồng hồ.
Xúp lơ kiểu Roman, bề ngoài và mùi vị vừa giống cải xanh vừa giống xúp lơ. Mỗi phần tử nhỏ nổi lên và có hình dạng giống với tổng thể nhưng kích thước bé hơn, khiến các vòng xoắn nổi lên rất rõ ràng. Có 13 vòng xoắn ngược chiều kim đông hồ và 21 vòng xoắn thuận chiều kim đồng hồ.
Ngoài ra, có một số loài thực vật không tuân theo quy luật của dãy Fibonacci nhưng lại tuân theo quy luật của dãy Lucas.
Một loại xương rồng khác, hệ gồm 11 và 18 vòng xoắn. Bên cạnh đó là xương rồng Echinocactus Grusonii Inermis có 29 múi
Các con số 4, 7, 11, 18, 29 đều thuộc dãy Lucas.
Sự phân chia tế bào cũng tuân theo quy luật của dãy Lucas.
• Ban đầu chỉ có 1 tế bào, ta gọi đó là tế bào mẹ gốc A00.
• Lần phân chia thứ 2: A00 sinh ra tế bào mẹ A01, sinh tế bào con A10,
và một tế bào con A-1 (không sinh sản). Giờ có 3 tế bào là: A01, A10 và A-1.
• Lần phân chia thứ 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20. A-1
vô sinh. Giờ có 4 tế bào là: A02, A10, A11, A20.
• Lần phân chia thứ 4: Tế bào A02 không sinh sản mà trở thành A03.
Giờ có 7 tế bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21,A30.
• Lần phân chia thứ 5: Tế bào A03 chết. Tế bào A12 không sinh sản trở
A22, A30, A31, A40.
• Lần phân chia thứ 6: Giờ có 18 tế bào là: A13, A21, A30, A22, A30,
A31, A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50.
• Lần phân chia thứ 7: Tất cả có 29 tế bào.
Cứ tiếp tục quá trình trên, số tế bào trong mỗi lần phân chia lần lượt là: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843 . . . Đây chính là dãy Lucas.
Dãy Fibonacci và tỷ lệ vàng ϕ có thể quan sát thấy ở vạn vật trong
vũ trụ, từ vi mô nhất cho tới vĩ mô nhất, từ các nguyên tử cho tới các dải thiên hà, từ động vật tới thực vật và khoáng vật.
Sao Thổ nổi tiếng với vành đai tuyệt đẹp. Ít ai ngờ rằng, các kích thước của nó như đường kính, khoảng cách vành đai, . . . có nhiều liên quan đến tỷ lệ vàng ϕ.
Trong vũ trụ, có rất nhiều thiên hà xoắn ốc đúng theo đường xoắn ốc Fibonacci.
Trong một báo cáo khoa học 7/1/2010, các nhà nghiên cứu của Học viện Vật liệu và Năng lượng Berlin, Đại học Oxford và Phòng thí nghiệm Rutherford Appleton vương quốc Anh đã tuyên bố phát hiện thấy tỷ lệ vàng
ϕ cũng hiện diện trong thế giới lượng
tử. Tiến sỹ Radu Coldea thuộc đại học
Oxford phát biểu: “Ở đây sức căng do sự tương tác giữa các spin khiến chúng cộng hưởng từ. Đối với những tương tác này chúng tôi khám phá ra một loạt các nốt cộng hưởng: hai nốt đầu tiên cho thấy một mối liên hệ hoàn hảo với nhau. Tần số của chúng là theo tỷ lệ 1.618. . . , chính là
tỷ lệ vàng ϕ nổi tiếng trong nghệ thuật và kiến trúc”.
Tỷ lệ vàng ϕ cũng xuất hiện trên cơ thể
con người. Ta có các tỷ số sau:
• Chiều cao cơ thể trên đỉnh đầu đến đầu
ngón tay.
• Đỉnh đầu tới đầu ngón tay trên đỉnh đầu
tới rốn (hoặc cùi chỏ).
•Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) trên đỉnh đầu tới ngực.
•Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) trên chiều rộng đôi vai.
•Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) trên chiều dài cẳng tay.
•Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) trên chiều dài xương ống quyển.
• Đỉnh đầu tới ngực trên đỉnh đầu tới gốc
sọ.
• Đỉnh đầu tới ngực trên chiều rộng của bụng.
• Hông tới mặt đất trên đầu gối tới mặt đất.
• Chiều dài của cẳng tay trên chiều dài bàn tay.
Tất cả các tỷ số trên đều xấp xỉ tỷ lệ vàng ϕ.
Chúng ta cũng có thể tìm ra kết quả tương tự trong tỷ lệ của chiều dài cái đầu với khoảng cách từ mắt tới cằm, hoặc tỷ lệ của khoảng cách từ mũi tới cằm trên khoảng cách từ môi tới cằm. Những tỷ lệ của gương
mặt càng tiến gần tới tỷ lệ vàng ϕ thì gương mặt càng hài hoà cân đối.
Trên bàn tay mỗi người chúng ta, bốn đốt xương của các ngón tay cũng tuân theo dãy Fibonacci : 2, 3, 5, 8.
Không chỉ xuất hiện trên con người, ở động vật các kích thước cơ thể
cũng liên quan đến dãy Fibonacci và tỷ lệ vàng ϕ.
Có rất nhiều loài côn trùng, kích thước trên cơ thể trùng khớp với
các con số trong dãy Fibonacci và liên quan chặt chẽ với tỷ lệ vàng ϕ.
Và với loài bướm là một ví dụ
Trong tự nhiên, có trên 30.000 loài ong và phần lớn trong số chúng sống cuộc đời cô độc. Loài ong gần gũi với chúng ta nhất là ong mật, ong mật cái có cả cha lẫn mẹ, trong khi ong mật đực chỉ có mẹ. Chúng sống thành đàn trong một tổ ong, và chúng có một cây phả hệ rất khác thường. Cây phả hệ này tuân theo quy luật dãy số Fibonaci và tỷ lệ
vàng ϕ.
Xét cây phả hệ của một ong mật đực
Một con ong mật đực có: 1 mẹ, 2 ông bà, 3 ông bà cụ, 5 ông bà kị,... Một con ong mật cái có: 2 bố mẹ, 3 ông bà, 5 ông bà cụ, 8 ông bà kị, ... Vậy, ta có hai dãy Fibonacci trong cây phả hệ của đàn ong mật.
Trong một tổ ong bất kỳ, khi chia tổng số ong cái cho tổng số ong đực ta luôn được giá trị xấp xỉ tỷ lệ vàng ϕ.
Phân tử ADN là điểm chung mà tất cả sinh vật sống đều có, và ADN
cũng liên quan đến dãy Fibonacci và tỷ lệ vàng ϕ.
Angstroms (An) là đơn vị đo lường được sử dụng đối với DNA. Mỗi vòng đầy đủ của xoắn ốc kép của ADN rộng khoảng 21 Angstrom và dài 34 Angstrom. 21 và 34 là các số Fibonacci liên tiếp.
Nhìn vào hai rãnh được tạo bởi đoạn xoắn của sợi xoắn kép, nó tạo ra một rãnh lớn và
rãnh nhỏ theo tỷ lệ vàng ϕ. Các rãnh lớn
và những rãnh nhỏ tạo ra hình thức xoắn các sợi ADN là các số Fibonacci liên tiếp 21 và 13.
3.3. Dãy Fibonacci và “tỷ lệ vàng” với ứng dụng3.3.1. Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính 3.3.1. Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính
Khi sử dụng phân tích kỹ thuật, “tỷ lệ vàng” thường được diễn giải theo ba giá trị phần trăm: 38.2%, 50%, và 61.8%. Nhiều tỷ lệ khác có thể được sử dụng khi cần thiết, như 23.6%, 161.8%, 261.8%, 423%,... Các tỷ lệ trên đều được rút ra từ dãy Fibonacci, bằng cách:
• 1 : 2 = 50%
• Số trước chia cho số đứng sau luôn sấp xỉ 0.618 = 61.8%
• Số trước chia cho số đứng sau hai vị trí luôn sấp xỉ 0.382 = 38.2%
• Số trước chia cho số đứng sau ba vị trí luôn sấp xỉ 0.236 = 23.6%
• Số sau chia cho số đứng trước luôn sấp xỉ 1.618 = 161.8%
• Số sau chia cho số đứng trước hai vị trí luôn sấp xỉ 2.618 = 261.8%
• Số sau chia cho số đứng trước ba vị trí luôn sấp xỉ 4.236 = 423.6% Có bốn phương pháp chính trong việc áp dụng dãy Fibonacci trong tài chính: Retracements, arcs, fans, và time zones.
Fibonacci Arcs (FA) được thiết lập đầu tiên bằng cách vẽ đường thẳng kết nối 2 điểm có mức giá cao nhất và thấp nhất của giai đoạn phân tích. 3 đường cong sau đó được vẽ với tâm nằm trên điểm có mức giá cao nhất và có khoảng cách bằng38.2%, 50%,61.8% độ dài đường thẳng thiết lập.
FA dùng để dự đoán mức hỗ trợ và kháng cự khi đồ thị giá tiếp cận với đường cong. Một kỹ thuật phổ biến là theo dõi cả hai đường FA, FF (Fibonacci Fan) và dự đoán mức hỗ trợ/kháng cự tại điểm giao giữa đồ thị giá và đường FA/FF.
Lưu ý rằng, đồ thị giá cắt đường FA tại điểm nào còn tùy thuộc vào kích cỡ của đồ thị. Nói cách khác, đường FA được vẽ lên đồ thị nên nó có mối tương quan với kích cỡ cân đối của đồ thị trên màn hình vi tính hoặc trên giấy.
Đồ thị giá của Đồng Bảng Anh, mô tả cách mà đường FA tìm ra các điểm hỗ trợ và kháng cự (điểm A, B, C)
Fibonacci Fan (FF) được vẽ bằng cách kết nối hai điểm giá cao nhất và thấp nhất của giai đoạn phân tích. Sau đó, một đường thẳng đứng