Dãy fibonacci dãy lucas và các ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Vũ Nhật Cương DÃY FIBONACCI, DÃY LUCAS VÀ CÁC ỨNG DỤNG Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Phản biện 1: TS Nguyễn Văn Minh - Trường Đại học Kinh tế Quản trị kinh doanh - Đại học Thái Nguyên Phản biện 2: PGS TS Tạ Duy Phượng - Viện Tốn học - Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Ngày 01 tháng năm 2012 Có thể tìm hiểu Thư Viện Đại Học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất 1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci dãy Lucas 1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas 1.2 Số Fibonacci số Lucas với số âm 1.2.1 Số Fibonacci với số âm 1.2.2 Số Lucas với số âm 1.3 Công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas 1.3.1 Tỷ số vàng 1.3.2 Công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas 1.4 Một số hệ thức dãy Fibonacci dãy Lucas 1.4.1 Các hệ thức tổng hữu hạn 1.4.2 Các hệ thức khác 1.4.3 Một số hệ thức liên hệ số Fibonacci số Lucas Chương Các tính chất số học Lucas 2.1 Các tính chất số học dãy 2.2 Các tính chất số học dãy 2.3 Tính chất số học liên hệ 6 8 10 10 11 12 12 19 25 dãy Fibonacci dãy 32 Fibonacci 32 Lucas 47 dãy Fibonacci với dãy Lucas 49 Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng 51 3.1 Dãy Fibonacci với toán học 51 3.1.1 Dãy Fibonacci tam giác Pascal 51 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.1.2 Dãy Fibonacci hệ nhị phân 3.1.3 Dãy Fibonacci tam giác vuông 3.1.4 Dãy Fibonacci hình học 3.2 Dãy Fibonacci, dãy Lucas với tự nhiên 3.3 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” với ứng dụng 3.3.1 Dãy Fibonacci thị trường tài 3.3.2 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” thiết kế 3.3.3 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” kiến trúc 3.3.4 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” nghệ thuật 3.3.5 Các ứng dụng khác Kết luận Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 53 54 57 69 69 72 75 77 79 81 Mở đầu Lý chọn đề tài luận văn Leonardo Pisano Bogollo (khoảng 1170 –1250), biết đến với tên Leonardo Pisa, hay phổ biến tên Fibonacci, nhà toán học người Ý ơng số người xem “nhà tốn học tài ba thời Trung Cổ” Fibonacci tiếng giới đại có cơng lan truyền hệ đếm Hindu - Ả Rập châu Âu, đặc biệt dãy số đại mang tên ông, dãy Fibonacci Sách Liber Abaci - Sách Toán đố năm 1202 Dãy Fibonacci vẻ đẹp kho tàng Toán học Dãy Fibonacci xuất biến hóa vơ tận tự nhiên, với nhiều tính chất đẹp ứng dụng quan trọng Nói đến dãy Fibonacci khơng thể khơng nói đến dãy Lucas, chúng có mối liên hệ chặt chẽ với Trước Fibonacci, có nhiều học giả nghiên cứu dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viết phát triển dãy Fibonacci “một phần từ Pingala (200 BC), sau kết hợp với Virahanka (khoảng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) Hemachandra (c.1150)” Sau Fibonacci, cịn có nhiều nhà Khoa học nghiên cứu dãy Fibonacci như: Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), nhiều tính chất dãy mang tên nhà Khoa học Hiện nay, tài liệu tiếng Việt dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng chưa có nhiều cịn tản mạn Cần thiết phải giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng cách đầy đủ hợp Vì vậy, việc tìm hiểu sâu giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ứng dụng cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học hiểu biết người Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng” tiến hành vào cuối năm 2011 chủ yếu dựa tài liệu tham khảo Mục đích đề tài luận văn Học tập giới thiệu dãy Fibonacci, dãy Lucas với tính chất bản, tính chất số học tính chất liên hệ chúng Đặc biệt, giúp người nắm ứng dụng quan trọng xuất đa dạng dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên Bố cục luận văn Bản luận văn “Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng” gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất Trong chương này, trình bày định nghĩa dãy Fibonacci dãy Lucas, số Fibonacci số Lucas với số âm, công thức tổng quát số Fibonacci số Lucas Một số hệ thức dãy Fibonacci, dãy Lucas hệ thức liên hệ số Fibonacci số Lucas Khác với nhiều tài liệu tham khảo, luận văn giới thiệu cách chứng minh đơn giản tính chất tổng hữu hạn dãy Fibonacci dãy Lucas Trong đó, số Fibonacci số Lucas với số âm, chứng minh tính chất dãy Lucas tìm tịi, suy nghĩ tác giả Chương Các tính chất số học số Fibonacci số Lucas Trong chương này, trình bày số tính chất số học dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất số học liên hệ dãy Fibonacci dãy Lucas Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng Trong chương này, trình bày mối liên hệ dãy Fibonacci với tốn học, xuất dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên số ứng dụng quan trọng dãy Fibonacci Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Từ đáy lịng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên bảo hướng dẫn thầy Em xin trân trọng cảm ơn Thầy Cô Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K4 Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên động viên, giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Tỉnh Tuyên Quang, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Sơn Nam - Huyện Sơn Dương- Tỉnh Tuyên Quang tạo điều kiện cho mặt để tham gia học tập hoàn thành khóa học Tuy nhiên, hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong dạy đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm tới luận văn Thái Nguyên, ngày 08 tháng năm 2012 Tác giả Vũ Nhật Cương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tính chất Các kí hiệu Các số Fibonacci: Fn , n = 0, 1, 2, 3, 4, Các số Lucas: Ln , n = 0, 1, 2, 3, 4, Tỷ số vàng: ϕ Phần nguyên số a: a 1.1 1.1.1 Định nghĩa dãy Fibonacci dãy Lucas Định nghĩa dãy Fibonacci Ở phương Tây, dãy Fibonacci xuất sách Liber Abaci (năm 1202) viết Leonardo Pisa - biết đến với tên Fibonacci, dãy số mơ tả trước toán học Ấn Độ Fibonacci xem xét phát triển đàn thỏ lý tưởng hóa, giả định rằng: Để cặp thỏ sinh, đực, cánh đồng, đến tháng tuổi thỏ giao phối tới hai tháng tuổi, thỏ sinh thêm cặp thỏ khác, thỏ không chết việc giao phối cặp tạo cặp (một đực, cái) tháng từ tháng thứ hai trở Câu đố mà Fibonacci đặt là: Trong năm có cặp thỏ? • Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, có cặp • Vào cuối tháng thứ hai, thỏ tạo cặp mới, có + = (cặp) thỏ cánh đồng • Vào cuối tháng thứ ba, thỏ ban đầu lại tạo cặp thỏ nữa, biến số lượng thỏ cánh đồng lúc + = (cặp) • Và vào cuối tháng thứ tư, thỏ ban đầu sinh thêm cặp mới, thỏ sinh cách hai tháng cho cặp đầu tiên, tổng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn số lúc + = (cặp) Vào cuối tháng thứ n, số lượng cặp thỏ số lượng cặp (bằng số lượng cặp tháng (n − 2)) cộng với số cặp tháng (n − 1) Đây số Fibonacci thứ n Theo hệ, số lượng cặp thỏ dãy số sau biết với tên số Fibonacci Tên gọi “dãy Fibonacci” lần sử dụng vào kỷ 19 nhà toán học Édouard Lucas Định nghĩa 1.1.1 Dãy {Fn } số Fibonacci định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu F0 = 0, F1 = Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.1) 1.1.2 Định nghĩa dãy Lucas Dãy Lucas dãy số đặt tên nhằm vinh danh nhà tốn học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891), người nghiên cứu dãy Fibonacci dãy thuộc họ Fibonacci mà số dãy tổng hai số liền trước Định nghĩa 1.1.2 Dãy {Ln } số Lucas định nghĩa hệ thức truy hồi sau: Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, với giá trị ban đầu L0 = 2, L1 = Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 1.2 1.2.1 Số Fibonacci số Lucas với số âm Số Fibonacci với số âm Từ cơng thức truy hồi (1.1), ta có cơng thức Fn−2 = Fn − Fn−1 để mở rộng số Fibonacci với số âm Ta có F−1 = F1−2 = F1 − F0 = − = 1, F−2 = F0−2 = F0 − F−1 = − = −1, F−3 = F−1 − F−2 = − (−1) = 2, F−4 = F−2 − F−3 = −1 − = −3, F−5 = F−3 − F−4 = − (−3) = 5, F−6 = F−4 − F−5 = −3 − = −8, F−7 = F−5 − F−6 = − (−8) = 13, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.2) 68 vàng ϕ Xét phả hệ ong mật đực Một ong mật đực có: mẹ, ông bà, ông bà cụ, ông bà kị, Một ong mật có: bố mẹ, ông bà, ông bà cụ, ơng bà kị, Vậy, ta có hai dãy Fibonacci phả hệ đàn ong mật Trong tổ ong bất kỳ, chia tổng số ong cho tổng số ong đực ta giá trị xấp xỉ tỷ lệ vàng ϕ Phân tử ADN điểm chung mà tất sinh vật sống có, ADN liên quan đến dãy Fibonacci tỷ lệ vàng ϕ Angstroms (An) đơn vị đo lường sử dụng DNA Mỗi vòng đầy đủ xoắn ốc kép ADN rộng khoảng 21 Angstrom dài 34 Angstrom 21 34 số Fibonacci liên tiếp Nhìn vào hai rãnh tạo đoạn xoắn sợi xoắn kép, tạo rãnh lớn rãnh nhỏ theo tỷ lệ vàng ϕ Các rãnh lớn rãnh nhỏ tạo hình thức xoắn sợi ADN số Fibonacci liên tiếp 21 13 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 69 3.3 3.3.1 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” với ứng dụng Dãy Fibonacci thị trường tài Khi sử dụng phân tích kỹ thuật, “tỷ lệ vàng” thường diễn giải theo ba giá trị phần trăm: 38.2%, 50%, 61.8% Nhiều tỷ lệ khác sử dụng cần thiết, 23.6%, 161.8%, 261.8%, 423%, Các tỷ lệ rút từ dãy Fibonacci, cách: • : = 50% • Số trước chia cho số đứng sau sấp xỉ 0.618 = 61.8% • Số trước chia cho số đứng sau hai vị trí ln sấp xỉ 0.382 = 38.2% • Số trước chia cho số đứng sau ba vị trí ln sấp xỉ 0.236 = 23.6% • Số sau chia cho số đứng trước sấp xỉ 1.618 = 161.8% • Số sau chia cho số đứng trước hai vị trí ln sấp xỉ 2.618 = 261.8% • Số sau chia cho số đứng trước ba vị trí ln sấp xỉ 4.236 = 423.6% Có bốn phương pháp việc áp dụng dãy Fibonacci tài chính: Retracements, arcs, fans, time zones Fibonacci Arcs (FA) thiết lập cách vẽ đường thẳng kết nối điểm có mức giá cao thấp giai đoạn phân tích đường cong sau vẽ với tâm nằm điểm có mức giá cao có khoảng cách 38.2%, 50%, 61.8% độ dài đường thẳng thiết lập FA dùng để dự đoán mức hỗ trợ kháng cự đồ thị giá tiếp cận với đường cong Một kỹ thuật phổ biến theo dõi hai đường FA, FF (Fibonacci Fan) dự đoán mức hỗ trợ/kháng cự điểm giao đồ thị giá đường FA/FF Lưu ý rằng, đồ thị giá cắt đường FA điểm tùy thuộc vào kích cỡ đồ thị Nói cách khác, đường FA vẽ lên đồ thị nên có mối tương quan với kích cỡ cân đối đồ thị hình vi tính giấy Đồ thị giá Đồng Bảng Anh, mô tả cách mà đường FA tìm điểm hỗ trợ kháng cự (điểm A, B, C) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 70 Fibonacci Fan (FF) vẽ cách kết nối hai điểm giá cao thấp giai đoạn phân tích Sau đó, đường thẳng đứng “vơ hình” vẽ qua điểm giá cao Tiếp theo đó, ba đường chéo vẽ từ điểm giá thấp cắt đường thẳng đứng “vơ hình” ba mức 38.2%, 50%, 61.8% Đồ thị sau Taxaco, cho thấy ngưỡng hỗ trợ/kháng cự đường FF Fibonacci Retracements (FR) xác định trước tiên cách vẽ đường thẳng nối kết hai điểm giá cao thấp đồ thị giá giai đoạn phân tích Một loạt đường nằm ngang sau Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 71 vẽ lên mức Fibonacci 0.0%, 23.6%, 38.2%, 50%, 61.8%, 100%, 161.8%, 261.8%, 423.6% tương ứng với chiều cao tính từ điểm giá cao đến thấp Sau giai đoạn biến động giá (có thể lên xuống), giá thường có xu hướng đảo ngược xu hướng (tồn phần) Khi giá đảo chiều, ngưỡng hỗ trợ kháng cự thường nằm gần đường FR (xem đồ thị - ngưỡng hỗ trợ kháng cự xuất đường Fibonacci 23.6%, 38.2%) Fibonacci Time Zones bao gồm loạt đường thẳng đứng Sắp xếp theo trật tự dãy Fibonacci 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, Cũng đường khác, diễn biến thay đổi giá thường có mức hỗ trợ/kháng cự nằm gần đường thẳng đứng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 72 Đa phần, nhà đầu tư sử dụng kết hợp bốn phương pháp Fibonacci để đưa mức dự đốn xác Một nhà phân tích sử dụng Fibonacci Arcs điểm giao vùng hỗ trợ kháng cự Nhiều người khác kết hợp nghiên cứu Fibonacci với dạng thức phân tích kỹ thuật khác “lý thuyết sóng Elliot” để dự đốn mức độ đảo ngược xu hướng sau bước sóng khác Nguyên tắc sóng Elliott cơng cụ phân tích kỹ thuật, mà số nhà kinh doanh chứng khoán dùng để phân tích xu hướng giá thị trường tài “ Cha đẻ ”của nguyên tắc Ông Ralph Nelson Elliott (1871 - 1948) Theo Ông Elliott, thay đổi giá tạo sóng Trong sóng có sóng chủ sóng điều chỉnh Trong sóng chủ, sóng số 1, 3, gọi sóng chủ sóng 2, sóng điều chỉnh sóng điều chỉnh gọi sóng ABC Trong sóng vậy, lại có sóng nhỏ tuân theo qui luật lý thuyết Elliott đợt sóng chủ hồn chỉnh có 89 sóng đợt sóng điều chỉnh hồn chỉnh có 55 sóng Tùy theo độ lớn sóng phân theo thứ tự: Sóng kéo dài nhiều thập kỷ, kỷ ; Sóng kéo dài vài năm đến vài thập kỷ; Sóng kéo dài đến vài năm; Sóng kéo dài vài tháng đến vài năm; Sóng kéo dài vài tuần đến vài tháng; Sóng kéo dài vài tuần; Sóng kéo dài vài ngày; Sóng kéo dài vài giờ; Sóng kéo dài vài phút Ralph Nelson Elliott khẳng định rằng, ông nghiên cứu phát minh lý thuyết sóng trước biết Fibonacci Nhưng số trùng hợp đến kỳ lạ : sóng chủ, sóng điều chỉnh, 89 sóng chủ, 55 sóng điều chỉnh, tỷ lệ giá sóng ln xung quanh “tỷ lệ vàng” 0.618, 1.618, 0.328, Do đó, có giả thuyết cho Elliott ứng dụng Fibonacci vào lý thuyết 3.3.2 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” thiết kế Các công ty hàng đầu giới ứng dụng dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” thiết kế sản phẩm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 73 Apple số hãng sản xuất • Logo Apple Logo táo vẽ cách ngẫu nhiên máy tính, mà tn theo hình chữ nhật vàng dãy số nguyên Fibonacci Hình chữ nhật sử dụng để tạo nên kích thước kiểu dáng táo khuyến Apple có hình vng nhỏ bên phân chia theo dãy số Fibonacci Hình dáng táo, đường cong hai đầu táo, “vết cắn” bên phải, táo tạo hình từ hình chữ nhật vàng với kích thước tn thủ dãy Fibonacci Với hình trịn thiết kế logo Apple, giả sử chúng có đường kính số dãy Fibonacci táo tạo thành từ hai hình trịn với đường kính Vết cắn thân táo, tạo nên phần hình trịn đường kính Đường cong phía đáy, tạo thành từ hai hình trịn 5, hình trịn hình trịn với đường kính Sự cân đối logo Apple có “tỷ lệ vàng” • Logo iCloud iCloud dịch vụ đám mây Apple giới thiệu logo dịch vụ mơ tả đám mây bồng bềnh trơi.Hình dáng đám mây nằm hình chữ nhật vàng gợn mây tạo nên hình trịn theo tỉ lệ 1.6 (“tỷ lệ vàng”) Nếu hình chữ nhật Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 74 để tạo nên logo iCloud có tỉ lệ hai cạnh 1:1.6 bốn hình trịn bên theo tỉ lệ 1:1.6 • iPhone 4/4S Khơng có logo, mà Apple sử dụng “tỷ lệ vàng” vào thiết kế phần cứng, ví dụ với iPhone Hình dáng iPhone hình chữ nhật vàng với chi tiết bên tuân theo quy luật “Tỷ lệ vàng” cịn tìm thấy việc xếp vị trí jack tai nghe, ăng-ten sóng gần đó, micro phụ cụm camera/đèn flash phía sau máy Khơng Apple, mà logo thương hiệu tiếng khác cho sử dụng “tỷ lệ vàng” để thiết kế Người ta cịn nhìn thấy “tỷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 75 lệ vàng” với đường xoắn ốc biểu tượng HĐH Mac OS X Lion (hình đầu sử tử) 3.3.3 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” kiến trúc Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” áp dụng kiến trúc nhiều cơng trình tiếng Hình chữ nhật vàng thiết kế đền thờ Parthenon Hy Lạp Kiến trúc tuyệt mỹ giới Taj Mahal xây dựng năm 1648, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 76 chứa “tỷ lệ vàng” Tháp CN Toronto, Canada tòa tháp cao giới, thiết kế theo “tỷ lệ vàng” Tỷ số tổng chiều cao tháp so với độ cao đài quan sát 553.33m : 342m = 1.618 ϕ “Tỷ lệ vàng” xuất số kiến trúc Việt Nam Tháp Rùa ví dụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 77 3.3.4 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” nghệ thuật Tỷ lệ vàng ϕ áp dụng nghệ thuật mang đến cho người cảm giác đẹp hài hòa dễ chịu cách khó giải thích Qua nhiều kỷ, đẹp tuyệt đối nghệ thuật óc thẩm mỹ loài người chưa chệch xa khỏi tỷ lệ kỳ bí Gọi độ dài từ rốn lên đến đỉnh đầu x, độ dài từ rốn xuống đến chân y Độ dài dang tay gọi a ϕ thân hình siêu người mẫu Nếu xy = x+y a = 1.618 Điều hoàn toàn thật, hãng thời trang lớn tuân thủ nghiêm ngặt quy định tuyển người mẫu Các tác phẩm nghệ thuật tiếng hội họa xuất dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 78 Trong nhiếp ảnh nghệ thuật, người ta thường nói đến quy tắc phần ba: 1+0.618+1 Các nhiếp ảnh gia giàu kinh nghiệm biết “tỷ lệ vàng” việc xếp bố cục Và họ sử dụng chúng nhuần nhuyễn cách gần tự động, suy nghĩ Dưới số ảnh chụp có sử dụng quy tắc này: Khi đặt nhiều đường “Phi” trùng với đường nét chủ thể, tính hấp dẫn cao Với ảnh phía bên trái, cách bố trí điểm “Phi” đặt mắt trái chủ thể, để tạo chủ điểm hấp dẫn Với ảnh bên phải, đường chân trời đặt đường “Phi” làm cho nhà thờ đường tạo mối liên kết với Chú ý 3.3.1 Trong số hình trên, ta có đoạn thẳng 1.618 lần (đã tô mầu) Sắp xếp chúng lại với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 79 theo thứ tự tăng dần đường thẳng, ta nhận dạng đo lường hay “thước vàng” mà sử dụng để đo lường thứ vũ trụ để xem chúng có theo tỷ số vàng hay khơng Thậm chí, ta mở rộng “thước vàng” thành “khung vàng” cách xếp thêm yếu tố chiều dài chiều rộng 3.3.5 Các ứng dụng khác Các số Fibonacci quan trọng việc phân tích thời gian tính tốn thuật tốn Euclid, để xác định ước số chung lớn hai số nguyên Ví dụ, đầu vào xấu cho thuật toán cặp số Fibonacci liên tiếp Yuri Matiyasevich số Fibonacci định nghĩa phương trình Diophant, sở ban đầu ông vấn đề thứ mười Hilbert (Liệu có tồn phương pháp chung giải phương trình Diophant?) Các số Fibonacci đồng thời ví dụ cho chuỗi hồn chỉnh Điều có nghĩa số nguyên dương viết dạng tập hợp số Fibonacci, mà số sử dụng lần tối đa Cụ thể, số nguyên dương viết theo cách tập hợp nhiều số Fibonacci khác mà không bao gồm hai số Fibonacci liên tiếp Điều biết tới định lý Zeckendorf, tập hợp số Fibonacci đáp ứng điều kiện gọi phép biểu diễn Zeckendorf Các phép biểu diễn Zeckendorf số, sử dụng để tìm cách mã hóa Fibonacci số Số Fibonacci sử dụng số sinh số ngẫu nhiên giả Số Fibonacci sử dụng phiên đa pha thuật toán phân loại hợp Trong đó, danh sách chưa phân loại chia thành hai danh sách có độ dài tương ứng với số Fibonacci liên tiếp - cách chia danh sách cho hai phần có độ dài với tỷ lệ gần ϕ Quá trình ghi đĩa phân loại hợp đa pha, mô tả nghệ thuật lập trình máy tính Các số Fibonacci phát sinh phân tích cấu trúc liệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 80 khối Fibonacci Các khối lập phương Fibonacci đồ thị vô hướng, với số Fibonacci nút đưa cấu trúc liên kết mạng cho tính tốn song song Một phương pháp tối ưu hóa chiều, gọi kỹ thuật tìm kiếm Fibonacci, có dùng tới số Fibonacci Loạt số Fibonacci dùng trình nén tổn hao mang tính chọn lọc, 8SVX IFF định dạng tập tin âm sử dụng cho máy tính Amiga Một dãy số biểu sóng âm ban đầu tương tự với phương pháp logarit, µ-law Trong âm nhạc, số Fibonacci đơi sử dụng để khám phá cách tạo giai điệu, nghệ thuật thị giác, để xác định độ dài kích thước nội dung yếu tố Các loại nhạc cụ thiết kế gần đến tỷ số vàng chất lượng âm tốt Trên mặt tờ ghi chú, nhà soạn nhạc Mozart chia số lượng lớn soạn nhạc thành hai phần với độ dài phản ánh “tỷ lệ vàng” Kể từ chuyển đổi 1.6093 so sánh dặm với kilomet gần với tỷ lệ vàng ϕ, phân ly khoảng cách theo dặm thành tập hợp số Fibonacci trở nên gần với tập hợp kilomet số Fibonacci thay Phương pháp khiến đếm theo số sở tỷ lệ vàng ϕ có dịch chuyển Để chuyển đổi từ kilomet sang dặm, cần thay đổi đếm xuống dãy Fibonacci Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 81 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau Trình bày định nghĩa nguồn gốc xuất dãy Fibonacci, dãy Lucas Giới thiệu “tỷ lệ” đặc biệt sử dụng để mô tả tính cân đối vạn vật từ khối cấu trúc nhỏ thiên nhiên nguyên tử thực thể có kích thước khổng lồ thiên thạch Đó tỷ lệ vàng ϕ Trình bày tính chất đại số số học dãy Fibonacci, dãy Lucas đưa phương pháp chứng minh tính chất cách đơn giản dễ hiểu Đã tổng hợp ứng dụng quan trọng dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” nhiều lĩnh vực khác như: nghệ thuật, kiến trúc, thị trường tài chính, thiết kế, Đã giới thiệu thông tin xoay quanh xuất tồn dãy số Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên Từ đó, khơi dậy tính khám phá giới tự nhiên người Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 82 Tài liệu tham khảo [1] N.N Vorobiev (1969), Các số Fibonacci, Nauka, Moskva (Tiếng Nga) [2] http://bell0bytes.eu/mathematics/elnumtheory/fiblucen.pdf [3] http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci - number [4] http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html [5] http://people.hws.edu/ahmed/fibonaccipdf.pdf [6] http://saga.vn/Taichinh/Kithuattaichinh/Phantichkithuat/3145.saga [7] http://tin180.com/khoahoc/bi-an-the-gioi/20110225 [8] http://www.m-hikari.com/ija/ija-2011/ija-13-162011/sikhwalIJA13-16-2011.pdf [9] http://www.tinhte.vn/threads/1062885/ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... Fibonacci, dãy Lucas tính chất số học liên hệ dãy Fibonacci dãy Lucas Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng Trong chương này, trình bày mối liên hệ dãy Fibonacci với toán học, xuất dãy Fibonacci, ... 32 Lucas 47 dãy Fibonacci với dãy Lucas 49 Chương Dãy Fibonacci, dãy Lucas tự nhiên ứng dụng 51 3.1 Dãy Fibonacci với toán học 51 3.1.1 Dãy Fibonacci tam... “tỷ lệ vàng” với ứng dụng 3.3.1 Dãy Fibonacci thị trường tài 3.3.2 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” thiết kế 3.3.3 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng” kiến trúc 3.3.4 Dãy Fibonacci “tỷ lệ vàng”