Số Fibonacci, dãy lucas

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THU TRANG SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2014... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCNGUYỄN THU TRANG SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS LUẬN V

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU TRANG

SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THU TRANG

SỐ FIBONACCI, DÃY LUCAS

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mục lục

1.1 Dãy Lucas 4

1.2 Các trường hợp đặc biệt của dãy Lucas 4

1.3 Công thức Binet 6

1.4 Sự phát triển và tính toán số 7

1.5 Các mối quan hệ đại số 8

1.6 Tính chất chia hết 9

1.7 Một số tính chất của số Fibonacci và số Lucas 12

1.8 Bổ sung các công thức của số Fibonacci, số Lucas 19

1.9 Số Fibonacci, số Lucas bình phương 28

2 Ứng dụng của số Fibonacci, dãy Lucas trong Toán phổ thông 33

Mở đầu

Dãy số Fibonacci xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn sách Liber Abacci năm

1202 khi Leonardo Fibonacci (hay còn có tên tên khác là Leonardo Pisano)

là một nhà toán học người Ý giải quyết bài toán liên quan đến việc sinh nởcủa bầy thỏ Số Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, vớirất nhiều tính chất đẹp và ứng dụng quan trọng

Công trình quan trọng đầu tiên nghiên cứu về số Fibonacci là của nhàtoán học Fran¸cois Édouard Anatole Lucas (1842–1891) được công bố trongbài seminal của ông năm 1878 Giống như dãy Fibonacci, mỗi số trong dãyLucas bằng tổng của hai số liền trước nó Dãy số gồm thương giữa hai sốLucas liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng Tuy vậy khác với dãyFibonacci, hai số đầu tiên trong dãy Lucas là L0 = 2 và L1 = 1 Chính vìthế mà một số tính chất của số Lucas sẽ khác với số Fibonacci

Hiện nay tài liệu tiếng Việt về số Fibonacci, dãy Lucas và các ứng dụngcủa dãy Lucas trong Toán phổ thông chưa có nhiều và còn rời rạc Vì vậyviệc tìm hiểu sâu và giới thiệu số Fibonacci, dãy Lucas là rất cần thiết chohọc tập và giảng dạy, ôn thi học sinh giỏi Bản luận văn "Số Fibonacci,dãy Lucas" được tiến hành chủ yếu dựa vào các tài liệu tham khảo

Bản luận văn "Số Fibonacci, dãy Lucas" gồm có: mở đầu, hai chươngnội dung, kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 Các khái niệm, tính chất cơ bản

Trong chương này trình bày định nghĩa số Fibonacci, dãy Lucas và cáctrường hợp đặc biệt của dãy Lucas Một số tính chất của số Fibonacci vàdãy Lucas Công thức Binet, các mối quan hệ đại số, các công thức số học,tính chất chia hết và một số công thức của số Fibonacci và số Lucas

Chương 2 Ứng dụng của số Fibonacci, dãy Lucas trong Toán phổthông

Trong chương này trình bày về một số bài toán ứng dụng của số Fibonacci,dãy Lucas trong chương trình toán phổ thông, ôn thi học sinh giỏi.

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình củaPGS.TS Nông Quốc Chinh - ĐH Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Em xinbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảohướng dẫn tận tình của thầy

Em xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô trong trường Đại Học Khoa Học

- Đại Học Thái Nguyên, phòng Đào Tạo Trường Đại Học Khoa Học Đồngthời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K6B, cùng gia đìnhtôi đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này.Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ luận văn thạc sĩ,nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếusót, tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp của các Thầy Cô và các bạnđồng nghiệp

Tác giả

Nguyễn Thu Trang

Ta sẽ xem xét về trường hợp đặc biệt của dãy, những dãy mà có tầm quantrọng trong lịch sử Đó là các dãy của số Fibonacci, số Lucas, số Pell và nhiềudãy số khác liên quan tới nhị thức.

Định nghĩa 1.2 Từ công thức (1.1) cho P = 1, Q = −1 Do đó D = 5.

Ta có

V0 = 2, V1 = 1, Vn = Vn−1+ Vn−2 (n ≥ 2)

Khi đó

L0 = 2, L1 = 1, Ln = Ln−1+ Ln−2 (n ≥ 2) (1.4)

Ln = Vn(1, −1) được gọi là các số Lucas, Ln là số Lucas thứ n

Dãy số 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, được gọi là dãy số Lucas

Định nghĩa 1.4 Từ công thức (1.1) và (1.2) cho P = 2, Q = −1 do đó

Sau đó dễ dàng xác định rằng: U0 = 0, U1 = 1, V0 = 2, V1 = a + b = P.Khi đó (Un)n≥0, (Vn)n≥0 là dãy Lucas thứ nhất và thứ 2 với tham số (P, Q).Đặc biệt

• Nếu b = 1 ta thu được dãy số có dạng

1.4 Sự phát triển và tính toán số

Cho (P, Q) sao cho tỉ số η = α

β là căn của phần tử đơn vị.

(với α, β là nghiệm của đa thức X2 − P X + Q)

Khi đó dãy U (P, Q), V (P, Q) gọi là suy biến



Để tính toán bậc Mk của ma trận M, phương pháp nhanh nhất là tínhliên tục các bậc của M, M2, M4, , M2e khi 2e ≤ k < 2e+1 Điều này đượcthực hiện bằng cách liên tục bình phương các ma trận

Tiếp theo, nếu sự khai triển của k là

k = k0 + k1.2 + k2.22 + + ke.2e

khi ki = 0 hoặc 1 thì Mk = Mk0.(M2)k1

(M2e)ke

.(chú ý các yếu tố chỉ thực sự xuất hiện khi ki = 1)

Công thức của Binet cũng cho phép trong một số trường hợp tính toánnhanh Un, Vn

Nếu D ≥ 5 và |β| < 1 thì

Un − α

n

√D

2 ≈ −0, 616

Các con số trong dãy Fibonacci, dãy Lucas thỏa mãn nhiều tính chất hữuích và có nhiều ứng dụng Các chứng minh các tính chất hầu như là các bàitập đơn giản, một số khác được chứng minh bằng cách áp dụng các côngthức của Binet hoặc bằng phương pháp quy nạp

Điều này cũng biểu diễn dưới dạng:

Un+12 − P Un+1Un+ QUn2 = Qn (1.10)Tính chất 1.3 Các công thức chuyển đổi:

DUn = Vn+1− QVn−1 (∀n ∈ Z) (1.11)

Vn = Un+1− QUn−1 (∀n ∈ Z) (1.12)Tính chất 1.4 Cộng các chỉ số:

Um+n = UmVn− QnUm−n (∀m, n ∈ Z) (1.13)

Vm+n = VmVn− QnVm−n = DUmUn+ QnVm−n (∀m, n ∈ Z) (1.14)Các công thức khác cùng loại là:

2Um+n = UmVn+ UnVm (∀m, n ∈ Z) (1.15)

2QnUm−n = UmVn − UnVm (∀m, n ∈ Z) (1.16)Tính chất 1.5 Phép nhân các chỉ số:

Tính chất 1.6 Nếu Um 6= 1 thì Um|Un khi và chỉ khi m|n

Nếu Vm 6= 1 thì Vm|Vn khi và chỉ khi m|n và n/m là lẻ

Trường hợp đặc biệt Đối với dãy của số Fibonacci và số Lucas

Giả sử mệnh đề đúng với mọi số nguyên n = k với k ≥ 1.

Nghĩa là ta có Fm|Fmi với mọi i với 1 ≤ i ≤ k

Để chứng minh rằng Fm|Fm(k+1), ta áp dụng mệnh đề

Fr+s = Fr−1Fs + FrFs+1

Khi đó

Fm(k+1) = Fmk+m = Fmk−1Fm+ FmkFm+1

Vì Fm|Fmk, do giả thiết quy nạp ta suy ra rằng Fm|Fm(k+1)

Bằng phương pháp quy nạp kết quả đúng với mọi số nguyên n ≥ 1.Định lý được chứng minh

Tương tự Fm|Fn−2m, tiếp tục như vậy Fm|Fn−qm

Có nghĩa là Fm|Fr Đây là điều không thể trừ khi r = 0, n = qm

Vậy FmFn|Fmn

Ví dụ (4, 7) = 1, F4 = 3, F7 = 13, F28 = 317811

Chúng ta có thể thấy rằng 3.13|317811, nghĩa là F4F7|F28

Nhưng rn|rn−1, vì vậy Frn|Frn−1 theo định lý 1.1.

Ngoài ra chúng ta còn có thể dùng phương pháp quy nạp toán học.

Ta thấy F1 = F3 − F2 = F3 − 1 = 1, công thức đúng với n = 1

Giả sử công thức đúng với số nguyên dương bất kì k > 1

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Ta có n = 1 : F0F2 − F2

1 = 0.1 − 1 = −1 = (−1)1 Công thức đúng với

n = 1

Giả sử công thức đúng với số nguyên dương bất kì n = k với k > 1,

Fk−1Fk+1 − Fk2 = (−1)k ( giả thiết quy nạp)

Hệ quả 1.3 Bất kì hai số Fibonacci cạnh nhau nào cũng nguyên tố cùngnhau.



= α

n(2α − 1) + βn(1 − 2β)

√5

=

√5αn +√

5βn

√5

Năm 1972, Ira Gessel đã có kết quả rất thú vị

Định lí 1.9 Số nguyên dương n là số Fibonacci nếu và chỉ nếu 5n2 ± 4 là

số chính phương

Chứng minh

Do đó nếu n là số Fibonacci thì 5n2 ± 4 là số chính phương.

Ngược lại, giả sử 5n2 ± 4 = m2 là số chính phương

!

và m − n√

52



αi+ βi
+ αi − βi


= Li + Fi

√5

1.8 Bổ sung các công thức của số Fibonacci, số Lucas

Theo công thức Binet thì

2 < 1.

− 1

Nhưng dx + ne = dxe + n với n là số nguyên,

α7 − 12

= α

n+1− βn+1

+ βn+1 + βn+1

√5

= Fn+1 + β

n−1 β2 + 1

√5

%với n ≥ 2.

Nhưng

Ln = Fn−1 + Fn+1 = (Fn+1 − Fn) + Fn+1 = 2Fn+1 − Fn.(2Fn+1 − Fn − 1)2 ≤ 5Fn2 − 2Fn+ 1

Có nghĩa là

L2n + 2Ln > 5Fn2 − 2Fn.(Ln + 1)2 > 5Fn2 − 2Fn + 1

%với n ≥ 2

%với n ≥ 4

Ví dụ

$

1364 + 1 +√

5.13642 − 2.1364 + 12

%

= b2207, 2748 c = 2207

Định lí 1.15.

Fn =



1α

Khi n ≥ 4

... class="page_container" data-page="46">

số Fibonacci, số Lucas

Chương 2: Trong chương giới thiệu số tập dãy

số Fibonacci, số Lucas chương trình Tốn phổ thơng, bàitốn dãy số kì thi học sinh giỏi... 2

Ứng dụng số Fibonacci, dãy< /h2>

Lucas Tốn phổ thơng

Bài tập 2.1 Cho dãy số (un) xác định

trong (Fn) dãy Fibonacci

Từ...

2 ≈ −0, 616

Các số dãy Fibonacci, dãy Lucas thỏa mãn nhiều tính chất hữch có nhiều ứng dụng Các chứng minh tính chất bàitập đơn giản, số khác chứng minh cách áp dụng côngthức