Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2015 Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tạị Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Ngọc. Thầy đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn này, tôi xin được gửi tới Thầy lòng biết ơn sâu sắc. Tôi xin được cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã cho tôi cơ hội được học tập và hoàn thành chương trình cao học dưới sự giảng dạy nhiệt tình, tâm huyết của các thầy, cô giáo. Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Phòng và Trường Trung học phổ thông Hồng Bàng, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học này. Cuối cùng xin được cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi để hoàn thành nhiệm vụ của mình. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp với đề tài " Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực " là do tôi thực hiện, không sao chép và không trùng lặp về nội dung với bất kỳ tài liệu nào cùng chủ đề. Các tài liệu mà tôi tham khảo trong quá trình hoàn thành Luận văn này được trích dẫn đầy đủ. Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân iii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Một số bài toán nâng cao về dãy số 3 1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc biệt . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các dãy số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số 13 1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . 15 1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số . . 19 1.3.1 Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Giới hạn của các dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Lý thuyết tóm tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 iv 1.5 Các tính chất của dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2 Một số bài toán liên quan đến chuỗi số 50 2.1 Các khái niệm cơ bản về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.1 Khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.1.2 Chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.1.3 Các phép toán của chuỗi hội tụ . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2 Hội tụ của các chuỗi số dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh hơn thua . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2.3 Tiêu chuẩn D’ Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.6 Tiêu chuẩn Raabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.2.7 Tiêu chuẩn Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.8 Một số chuỗi dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3 Chuỗi có dấu bất kỳ và chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.1 Chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.2 Chuỗi đan dấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4 Một số bài toán về tính toán hoặc đánh giá các chuỗi . . . . . . 56 2.4.1 Tìm tổng của các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.4.2 Đánh giá các chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.5 Các bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số . . . . . . . . . . . 64 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 1 Mở đầu Dãy số và giới hạn của dãy số là chuyên mục quan trọng của Giải tích Toán học được dạy ở bậc Trung học Phổ thông. Các bài toán về dãy số có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp và tính độc đáo của các phương pháp và kỹ thuật giải các bài toán khác nhau về dãy số. Các vấn đề cơ bản của dãy số bao gồm: xác định số hạng tổng quát, tìm giới hạn và một số tính chất, như tính bị chặn, tính đơn điệu, tính nguyên v.v Các bài toán về dãy số thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp, nhất là cấp Quốc gia và Quốc tế. Vì thế, việc tìm hiểu và học hỏi nâng cao về dãy số và các bài toán liên quan là cần thiết trong việc học tập và giảng dạy Toán học ở bậc Phổ thông. Một vấn đề Toán học khác có liên quan mật thiết với dãy số, đó là chuỗi số (tổng vô hạn). Theo định nghĩa, chuỗi số là giới hạn của dãy số dạng tổng lim n→+∞ n  k=1 a k , trong đó {a k } là dãy số vô hạn cho trước. Trong Giải tích 11 đã có giới thiệu qua về tổng vô hạn, đó là tính tổng vô hạn các số hạng của một cấp số nhân có công bội với trị tuyêt đối nhỏ hơn 1. Các vấn đề về xét tính hội tụ của chuỗi cũng như tính toán hay đánh giá các tổng vô hạn rất thú vị và có nhiều ứng dụng thực tiễn. Vì thế, chuỗi số thực cũng là đối tượng được đề cập trong luận văn này. Mục tiêu của luận văn này nhằm đề cập đến một số vấn đề cơ bản của dãy số và chuỗi số thông qua các phương pháp giải các bài toán về dãy và chuỗi số mà đa phần ở mức nâng cao hoặc khó. Nội dung của luân văn này được hình thành chủ yếu từ tài liệu [6]. Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và Tài 2 liệu tham khảo. Chương 1: Một số bài toán nâng cao về dãy số: gồm các khái niệm cơ bản về dãy số, hệ thống một số bài toán về dãy số với bài toán về dãy số lặp, bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số, bài toán tìm giới hạn của dãy số, bài toán sử dụng các tính chất của dãy số. Chương 2: Một số bài toán liên quan đến chuỗi số: gồm các khái niệm cơ bản về chuỗi số, hệ thống một số bài toán về chuỗi số như tính toán và đánh giá chuỗi số, bài toán về tính hội tụ của các chuỗi số dương. Để hiểu và trình bày vấn đề một cách dễ dàng, tôi đã trình bày đầy đủ các khái niệm cơ bản, giải tường minh các bài toán miêu tả. Đặc biệt làm sáng tỏ các khái niệm và các kết quả, các bài toán được tính toán cẩn thận, đầy đủ và chi tiết. Các tính toán này thường không được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân 3 Chương 1 Một số bài toán nâng cao về dãy số Chương này trình bày những khái niệm cơ bản của dãy số và những kỹ thuật thông dụng nghiên cứu dãy số truy hồi, đó là kỹ thuật phương trình sai phân, kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa. Những kiến thức này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [2], [3] và [4]. Các bài toán nâng cao trình bày trong chương này (các mục 1.3, 1.4 và 1.5) được hình thành chủ yếu từ tài liệu [6]. 1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc biệt 1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số Định nghĩa 1.1. Cho A là một tập con khác rỗng của tập số nguyên dương Z + (hoặc tập các số tự nhiên N). Dãy số là một hàm số từ A vào R. Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là a n , b n , x n , y n , u n , v n , Dãy số thường được ký hiệu là (x n ) hoặc {x n }. 4 Định nghĩa 1.2. Dãy số (u n ) được gọi là tăng (tăng không ngặt, giảm, giảm không ngặt), nếu u n < u n+1 (u n ≤ u n+1 , u n > u n+1 , u n ≥ u n+1 ). Định nghĩa 1.3. Dãy số (u n ) được gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại số M, sao cho u n ≤ M, ∀n. Dãy được gọi là bị chặn dưới, nếu tồn tại số m, sao cho u n ≥ m, ∀n. Dãy số được gọi là bị chặn, nếu tồn tại các số M, m, sao cho m ≤ u n ≤ M, ∀n. 1.1.2 Các dãy số đặc biệt 1. Cấp số cộng Định nghĩa 1.4. Dãy số (u n ), n ∈ N ∗ , được gọi là cấp số cộng, nếu bắt đầu từ số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Vậy ta có u n+1 = u n + d ⇔ u n+1 − u n = d. Tính chất. Mỗi số hạng của một cấp số cộng là trung bình cộng của hai số hạng kề với nó: u k = u k+1 + u k−1 2 . Công thức số hạng tổng quát. Giả sử (u n ), n ∈ N ∗ là cấp số cộng với công sai d. Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức u n = u 1 + (n − 1)d. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng S n = u 1 + u 2 + + u n =  u 1 + u n 2  n =  2u 1 + (n − 1)d 2  n. 2. Cấp số nhân [...]... là những số nguyên 19 1.3 Một số bài toán nâng cao tìm số hạng tổng quát của dãy số 1.3.1 Dẫn luận Bài toán về xác định số hạng tổng quát hay số hạng nào đó của một dãy số là một trong những bài toán cơ bản và quan trọng của dãy số Đối với các cấp số, vấn đề này là rất đơn giản Đối với các dãy số truy hồi tuyến tính, hoặc phi tuyến đơn giản, trong mục 1.2 đã trình bày một số kỹ thuật tìm số hạng tổng... là kỹ thuật phương trình sai phân hệ số hằng, kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật tuyến tính hóa Trong mục này sẽ xét bài toán liên quan đến số hạng tổng quát của các dãy số có độ khó cao hơn, như dãy cho bởi phương trình sai phân tuyến tính hệ số biến thiên đặc biệt, dãy phi tuyến cao v.v 1.3.2 Một số bài toán Bài toán 1.7 (Olympic sinh viên năm 2009) Giả sử dãy số (xn ) được xác định bởi công thức... Định nghĩa 1.9 Dãy số Fibonacci (Fn ) là dãy số được xác định bởi F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , nghĩa là bắt đầu từ số hạng thứ ba, số đứng sau bằng tổng của hai số đứng liền trước 1.2 Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp 1.2.1 Dẫn luận Trong mục trên chúng ta đã nói đến cấp số cộng, cấp số nhân, cấp số cộng-nhân, cấp số tuần hòa, cấp số Fibonacci Đó là các dãy lặp tuyến tính hệ số hằng, tức là... 1.5 Dãy số (un ), n ∈ N∗ , được gọi là cấp số nhân, nếu bắt đầu từ số hạng thứ hai, số đứng sau bằng số đứng liền trước nhân với một số không đổi q = 0 Số q được gọi là công bội của cấp số nhân Vậy ta có un+1 = un q ⇔ un+1 = q un Tính chất Bình phương của mỗi số hạng của một cấp số nhân bằng tích của hai số hạng kề với nó: u2 = uk+1 uk−1 k Công thức số hạng tổng quát Giả sử (un ), n ∈ N∗ là cấp số. .. dãy số bị chặn bao giờ cũng có thể trích ra một dãy con hội tụ • Định lý Weierstrass Dãy bị chặn trên và đơn điệu tăng (bị chặn dưới và đơn điệu giảm) là dãy hội tụ • Dãy Cauchy và tiêu chẩn Cauchy Dãy {an }n≥1 được gọi là dãy Cauchy, 25 nếu với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε), sao cho |am − an | < ε, ∀m, n > N Dãy số thực {an }n≥1 hội tụ khi và chỉ khi là dãy Cauchy • Nguyên lý kẹp Nếu vn < un < wn ,... q Khi đó số hạng thứ n được tính theo công thức un = u1 q n−1 Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân   u n, nếu q = 1,  1 Sn = u1 + u2 + + un =  1 − qn u  1 , nếu q = 1 1−q 3 Cấp số cộng-nhân Định nghĩa 1.6 Cấp số (un ) được gọi là cấp số cộng-nhân, nếu un+1 = qun + d, q = 0 4 Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.7 Dãy số (un ) được gọi là cấp số điều hòa nếu tất cả số hạng của dãy đều khác... = tan 0 = 0 3.2n Vậy ta có đpcm Bài toán 1.14 (Olympic sinh viên năm 2011) Cho hai dãy số (xn ) và (yn ) thỏa mãn xn+1 xn + yn , yn+1 ≥ ≥ 2 2 x2 + yn n , 2 với mọi n ∈ N a) Chứng minh rằng các dãy (xn +yn ) và (xn yn ) là những dãy đơn điệu tăng b) Giả sử rằng (xn ) và (yn ) bị chặn Chứng minh rằng chúng cùng hội tụ về một điểm Lời giải a) Dễ thấy rằng các dãy (xn ) và (yn ) dương với mọi n ≥ 2 Đặt... − 4pn = n 2 Vậy hai dãy (xn ) và (yn ) cùng hội tụ về một điểm(đpcm) Bài toán 1.15 (Olympic sinh viên năm 2012) Cho dãy số (an ) thỏa mãn điều kiện a1 = α, an+1 = n+1 2 an − , n n với n = 1, 2, 3, Tìm α để dãy (an ) hội tụ Lời giải Từ công thức xác định dãy, ta có an+1 = an + an − 2 , n với mọi n ≥ 1 Đặt xn = an − 2 thì ta được x1 = α − 2 và xn+1 = n xn+1 = 1+ k=1 1 k 1+ 1 xn và n x1 = (n + 1)x1... Suy ra 2 nπ 2 Sử dụng các điều kiện u0 = 1, u1 = 3 ta tìm được A = B = 1 Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho được cho bởi công thức un = 1 + 2n + n cos 1.2.3 nπ 2 Kỹ thuật lượng giác hóa và kỹ thuật phương trình đại số Để minh họa cho kỹ thuật Lượng giác hóa và kỹ thuật Phương trình đại số, ta xét bài toán sau đây: Bài toán 1.5 Tìm xn , biết rằng x0 = a, Lời giải xn+1 = x2 − 2 n (1.14) 14 Đặt xn... nên dãy (an ) hội tụ Vậy giá trị cần tìm của α để dãy đã cho hội tụ là α = 2 Bài toán 1.16 Cho dãy số (xn ) xác định bởi: x1 = 1, xn+1 = xn (1 + x2010 ) với n = 1, 2, 3, Hãy tính giới hạn sau n lim n→+∞ x2010 x2010 x2010 1 2 + + + n x2 x3 xn+1 Lời giải Trước hết ta thấy rằng dãy này tăng thực sự và nếu dãy này bị chặn thì tồn tại giới hạn, đặt giới hạn đó là L > 0 Chuyển công thức xác định của dãy . luận và Tài 2 liệu tham khảo. Chương 1: Một số bài toán nâng cao về dãy số: gồm các khái niệm cơ bản về dãy số, hệ thống một số bài toán về dãy số với bài toán về dãy số lặp, bài toán nâng cao. VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY. 1 1 Một số bài toán nâng cao về dãy số 3 1.1 Các khái niệm cơ bản về dãy số. Các dãy số đặc biệt . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm cơ bản về dãy số . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Các dãy số