Hướng dẫn giải một số bài toán nâng cao về ựng dụng của tích phân- Vũ Hồng Quý

Hệ thống mái của SVĐ Stadio della Roma dự định được xây dựng có dạng hai hình elip như hình bên với hình elip lớn bên ngoài có độ dài trục lớn là mét, độ dài trục nhỏ là mét, hì[r]

Bài tốn Cho hình vng có cạnh Tại bốn đỉnh ng ười ta vẽ bốn đường trịn có bán kính Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục

A.     B     C.     D    

Bài tốn Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo

A.   B.   C.  D. 

Bài toán Cho khối chỏm cầu   có bán kính chiều cao Tính thể tích khối chỏm cầu   A.    

 

B.    

 

C.    

 

D.    

 

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Biên soạn: Vũ Hồng Quý

Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang Bài toán (Sở GD Hà Tĩnh) Ta vẽ nửa đường trịn hình

vẽ bên, đường kính đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính có diện tích   Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng

  (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng A.  B. 

C.  D. 

Bài toán (Quốc học Huế-L2) Người ta dựng lều vải   có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy   hình lục giác cạnh Chiều cao  ( vuông góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên   sợi dây nằm đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có)   với mặt phẳng   qua trung điểm lục giác có cạnh Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  

A.   B.  

C.   D.  

Bài toán (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h bán kính đáy Khi đặt thùng nước nằm ngang hình khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước (mặt nước thấp trục hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng hình chiều cao mực nước thùng Tính tỉ số

A   B   C   D

Bài toán Câu lạc bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ có tên Stadio della Roma để làm sân nhà đội bóng thay cho sân bóng Olimpico Hệ thống mái SVĐ Stadio della Roma dự định xây dựng có dạng hai hình elip hình bên với hình elip lớn bên ngồi có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét Giả sử chi phí vật liệu mét vng Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân

A. B. 

C. D. 

Bài toán Một khối nón   có bán kính đáy , thiết diện qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy tam giác Cắt khối nón mặt phẳng qua đường kính đáy vng góc với đường sinh khối nón để lấy nêm (xem hình vẽ)

Kí hiệu thể tích nêm Thể tích ?

A.  B  C   D  

ĐÁP ÁN

Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Bài tốn Cho hình vng có cạnh Tại bốn đỉnh ng ười ta vẽ bốn đường trịn có bán kính Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục

A.     B     C.     D    

Hướng dẫn giải

Trước đến với lời giải toán giải Bài tốn như sau:

Bài tốn Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo

A.   B.   C.  D. 

Hướng dẫn giải Xét hệ trục toạ độ hình vẽ

Khi hình xuyến dạng phao tạo ta quay đường trịn tâm  và bán kính xung quanh trục

Phương trình đường trịn         

  



   

 

 

          

Đặt  

 



  

 



 

 

 

  

 

 

      

 

 Đáp án A

Vậy ta có cơng thức tính thể tích hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ là:

Quay trở lại với Bài tốn ta có vật thể tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục có hình dạng hình bên

Khi thể tích vật thể tạo thành tổng thể tích hình trụ có bán kính  , chiều cao  hình xuyến dạng phao có   trừ lần thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có  

Vậy           

Với thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có

 

 thể tích nửa hình trịn tâm  , bán kính  quay xung quanh trục hình vẽ

   

   

 

            

(Cách tính tương tự tính thể tích phao trên) Vậy              

  Đáp án D

Bài toán Cho khối chỏm cầu   có bán kính chiều cao Tính thể tích khối chỏm cầu   A.    

 

B.    

 

C.    

 

D.    

 

Hướng dẫn giải 



Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang Ta có khối chỏm cầu thu quay hình phẳng giới hạn

 

  

 

   

 quanh trục

                           

Đáp án B

Chú ý: Ta mở rộng cơng thức đề cho kiện theo cách khác:        

  (với bán kính đường trịn

đáy chỏm cầu)

Bài toán (Sở GD Hà Tĩnh) Ta vẽ nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính có diện tích 

 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng   (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng

A.  B.  C.  D. 

Hướng dẫn giải Cách Dựng hệ trục toạ độ hình vẽ

Ta có          

                   

    phương trình đường thẳng

:   

Vậy thể tích vật thể cần tính là:               

   

Đáp án B

x y R h R-h O R

O R-h x

Cách Ta tích vật thể cần tính tổng thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn  , bán kính đáy nhỏ  , chiều cao  khối chỏm cầu có chiều cao  , bán kính  trừ thể tích khối chỏm cầu có chiều cao  , bán kính 

Vậy suy                

   

  Đáp án B

Bài toán (Quốc học Huế-L2) Người ta dựng lều vải   có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy   hình lục giác cạnh Chiều cao  ( vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên   sợi dây nằm đường parabol có trục đối xứng song song với Giả sử giao tuyến (nếu có)   với mặt phẳng   qua trung điểm lục giác có cạnh Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  

A.   B.   C.   D.  

Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ

Gọi phương trình parabol   là:

  

  

 

 

              

  

  



Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang Bài toán (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình

trụ có chiều cao h bán kính đáy Khi đặt thùng nước nằm ngang hình khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước (mặt nước thấp trục hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng hình chiều cao mực nước thùng Tính tỉ số

A   B   C   D

Hướng dẫn giải Thể tích lượng nước có thùng hình là: 

Thể tích lượng nước có thùng hình là: 

Do



   

Trong diện tích chỏm cầu hình bên     

Đặt  

                                                   

Vậy suy

            

   Đáp án A

Chú ý: Ta có CT tính nhanh diện tích, thể tích chỏm cầu   có bán kính chiều cao h sau:

                           

với  

Bài toán Câu lạc bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ có tên Stadio della Roma để làm sân nhà đội bóng thay cho sân bóng Olimpico Hệ thống mái SVĐ Stadio della Roma dự định xây dựng có dạng hai hình elip hình bên với hình elip lớn bên ngồi có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét Giả sử chi phí vật liệu mét vng Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân

A. B. 

C. D. 

Hướng dẫn giải

Cách 1: Dùng ứng dụng tích phân

Hình elip lớn có độ dài trục lớn , độ dài trục nhỏ

 

  

 PT        

Hình elip nhỏ có độ dài trục lớn , độ dài trục nhỏ

 

  

 PT        

Do tính đối xứng hình elip nên ta có diện tích hệ thống mái SVĐ là:

 



 

      

  

Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân   Đáp án D Cách 2: Áp dụng CT tính diện tích hình elip 

+) Hình elip lớn có       



+) Hình elip nhỏ có       



Vậy diện tích hệ thống mái SVĐ là:     

Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 10 Bài toán Một khối nón   có bán kính đáy , thiết diện qua đỉnh vng góc với mặt phẳng đáy tam giác Cắt khối nón mặt phẳng qua đường kính đáy vng góc với đường sinh khối nón để lấy nêm (xem hình vẽ)

Kí hiệu thể tích nêm Thể tích ?

A.  B.  C   D  

Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ cắt nêm mặt

phẳng vng góc với trục điểm có hoành độ ta thiết diện tam giác vng hình vẽ

Thể tích nêm cần tính là:   

  với   

 vuông   

OAC

 vuông   

 



   



   

   



Vậy    

  

 

       

 

  Đáp án A

CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU

C B

A