Học sinh cũng được các thầy, cô cung cấp rất nhiều về các phương pháp giải toán bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đạ
Trang 1PHẦN I: LÍ LỊCH
Họ và tên: PHẠM XUÂN HÀ Chức vụ : Phó hiệu trưởng
Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao
Sáng kiến kinh nghiệm :
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI
ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
Ở LỚP 8, 9 THCS
Năm học 2015 - 2016 PHẦN II: NỘI DUNG
1
Trang 2A MỞ ĐẦU
I Đặt vấn đề
1 Thực trạng của vấn đề:
Hiện nay, có thể nói rằng đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề đang được ngành GD-ĐT nói chung chú ý quan tâm và tiếp tục phát triển Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay chủ yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm” Phải làm sao cho học sinh (HS) hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức một cách chủ động, nhanh chóng mà vẫn đảm bảo hiểu sâu sắc, vững chắc vấn đề Đổi mới phương pháp dạy học hiện nay cũng nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc đáp ứng mục tiêu giáo dục là đào tạo học sinh thành những con người biết làm chủ tương lai của đất nước Chính vì thế mà mỗi môn học nói riêng đòi hỏi các thầy giáo, cô giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để làm sao truyền đạt đầy đủ nhất, nhanh nhất nội dung, kiến thức của từng bộ môn mình đảm nhận
Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán là môn học chủ chốt, quan trọng để rèn tư duy, trí nhớ, là môn học “chìa khóa” của các môn học nói chung Môn toán có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở các nhà trường, chuyên đề về Bất đẳng thức (BĐT) là một chuyên đề hay và lý thú nhưng rất khó, chính vì vậy mà
nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp đặc biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10 Trong chuyên đề về bất đẳng thức thì việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để giải các bài toán khác là khá hiệu quả thông qua đó mà lời giải được đơn giản hơn, thu được kết quả nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski là một bất đẳng thức kinh điển để có thể giải được một số bài toán như vậy
Xuất phát từ thực tế việc học bộ môn toán THCS, đặc biệt là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi 8, 9, đứng trước một bài toán BĐT khó, học sinh rất lúng tứng, rất “ngại” làm, không biết tìm ra hướng giải quyết nào cho hợp lý, phương
2
Trang 3pháp giải nào là tối ưu Học sinh cũng được các thầy, cô cung cấp rất nhiều về các phương pháp giải toán bất đẳng thức và sử dụng các bất đẳng thức để giải các loại toán khác như: chứng minh các bất đẳng thức đại số va hình học hoặc giải một số bài toán cực trị đại số và hình học Tuy vậy, việc nhận định, phân tích, tìm hướng giải cho một bài toán bất đẳng thức nói chung và các bài toán BĐT liên quan tới việc vận dụng BĐT Bunhiacopxki để giải thì đối với học sinh quả là vô cùng khó khăn
Với ý nghĩ như vậy, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Vận dụng bất đẳng
thức Bunhiacopxki để giải một số bài toán nâng cao về bất đẳng thức ở lớp 8,
9 THCS.
2 Ý nghĩa, tác dụng của giải pháp mới
Đề tài được nghiên cứu nhằm:
- Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải một số bài toán như: chứng minh các bất đẳng thức đại số, hình học, bài toán cực trị đại số, hình học
- Nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh nhất là việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp các em hiểu sâu sắc hơn về bất đẳng thức
- Giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện các phương pháp về bất đẳng thức
và rèn luyện tư duy cho học sinh Đem lại kết quả nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh
- Giúp GV, HS có một công cụ để giải một số bài toán liên quan
3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a) Đối tượng nghiên cứu:
Một số kiến thức về Bất đẳng thức Bunhiacopxki, vận dụng trong việc giải một số bài toán BĐT ở lớp 8, 9 THCS
b) Phạm vi nghiên cứu:
Chương trình toán THCS lớp 8-9, phần bất đẳng thức
II Phương pháp tiến hành.
1 Cơ sở lý luận:
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học
3
Trang 4phổ thông Nhưng thông qua các bài tập về chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ và sâu sắc hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình ,về mối liên hệ giữa các yếu tố của tam giác về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Trong quá trình giải bài tập, năng lực suy nghĩ, sáng tạo của học sinh ngày càng được phát triển đa dang và phong phú vì các bài tập về bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc hoặc khuôn mẫu nào cả Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức mới một cách lôgíc có hệ thống
Cũng vì toán về bất đẳng thức không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh rất lúng túng khi giải toán về bất đẳng thức
vì vậy học sinh sẽ không biết bắt đầu từ đâu và đi theo hương nào Do đó hầu hết học sinh không biết làm toán về bất đẳng thức và không biết vận dụng bất đẳng thức để giải quyết các loại bài tập khác
2 Cơ sở thực tiễn
Trong chương trình toán lớp 8, 9 thì có một dạng toán mang tính áp dụng cao, nó là cơ sở để ứng dụng giải quyết các bài toán liên quan như: tìm cực trị trong đại số, hình học… đó là bài toán “chứng minh bất đẳng thức” Có thể nói nếu không thực hiện thành thạo việc chứng minh một bất đẳng thức thì HS khó
có thể giải một số bài toán về cực trị !
Qua nhiều năm giảng dạy, bản thân tôi cũng đã không khỏi trăn trở làm thế nào để HS có thể hiểu được và nắm vững các phương pháp chứng minh bất đẳng thức một cách hệ thống, đầy đủ và khoa học nhất Chính vì thế tôi đã đi vào nghiên cứu, tìm hiểu và viết đề tài này nhằm san sẻ kinh nghiệm của mình với các em HS cùng đồng nghiệp, đặc biệt về việc vận dụng BĐT Bunhiacopxki
Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Bunyakovsky) ( ở dưới) được nhà toán học người UKraina Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) đưa ra để chứng
minh các bất đẳng thức trong toán học và vận dụng để giải một số bài toàn liên quan
3 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là: thống kê, thực nghiệm khoa học, phân
4
Trang 5tích tổng hợp, lấy ý kiến chuyên gia
* Thời gian tạo ra giải pháp: 10/2015 – 3/2016
B NỘI DUNG
I MỤC TIÊU:
- Xây dựng được cơ sở lý thuyết để giải các bài toán BĐT
- Tuyển chọn, phân loại (dạng) được các bài tập cơ bản và nâng cao liên quan đến việc sử dụng BĐT Bunhiacopxki để giải
- Nêu lên được các phương pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị cụ thể
- Dự đoán được các sai sót của học sinh, có hướng giải quyết
- Nêu được những điểm cần chú ý, những kinh nghiệm khi giải các bài toán cực trị liên quan tới chủ đề này
II GIÁI PHÁP THỰC HIỆN:
* Giới thiệu lại BĐT Bunhiacopxki:
- Bất đẳng thức bunhiacopxki dạng thông thường cho 2 bộ số(a, b) và (c, d)
(a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)²
Dấu " = " xảy ra khi: ac = bd hay a b ( ,b d 0)
c d
- Bất đẳng thức bunhiacopxki cho 2 bộ số ( a1,a2,…,an ) và ( b1,b2,…,bn ) ta có:
( a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + …+ b n 2 ) ≥ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi với quy ước nếu một số nào
đó (i = 1, 2, 3,…, n) bằng 0 thì tương ứng bằng 0
1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh các bất đẳng thức 1.1 Chứng minh các bất đẳng thức đại số
- Để chứng minh các bất đẳng thức có khi áp dụng ngay và cũng nhiều khi phải biến đổi bài toán để đưa về trường hợp thích hợp rồi mới sử dụng Sau dây
là 3 kỹ thuật thường gặp:
Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ và ngược lại.
Dồn phối hợp.
Kỹ thuật nghịch đảo.
1.1.1 Đánh giá từ vế phức tạp sang vế đơn giản và ngược lại.
Ví dụ 1: Cho ab 2 với a, bR ( tập số thực) Chứng minh rằng:a4 b4 2
5
Trang 6Lời giải: Ta viết a 4 + b 4 = 1 2 2 2 2 2 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 2 bộ số (1; 1) và (a2, b2) ta có:
1
2 a b 2 2
8
1 2
a b (điều phải chứng minh)(đpcm) Dấu “=” xảy ra a=b=1
Ví dụ 2: Cho
3
4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (a b b c c
Lờigiải: Từ giả thiết ta có:
4
3 1
3
( )
3
1 abc 2 abc
2 3 ( ) 4 0
a b c a b c (abc 1 )(abc 4 ) 0
4
1
Ví dụ 3: Cho x, y>0 và x+y=1 CM : ( 1) 2 ( 1) 2 252
y
y x x
Lời giải: Ta sử dụng BĐT (ab) 2 2 (a2 b2 )
2
)
2
b
a
(dễ dàng chứng minh dựa vào BĐT Bunhiacopxki hoặc biến đổi tương đương)
2
1 ) 1 1
( 2
1 ) 1 ( ) 1 (
xy y
y x
x y
y x
4
1 4
1 2
1
xy xy
xy xy
y
x
2
1 ) 1 ( )
1
y
y x
1.1.2 Kỹ thuật dồn phối hợp
Ví dụ 1: Cho 3x- 4y=7 Chứng minh rằng: 3 2 4 2 7
y x
Lời giải:
Ta có: 49 (3 x 4 )y 2 3 3x ( 2).2y2 3 2 ( 2) ( 3 ) 2 x 2(2 )y 2
(Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki)
6
Trang 7Từ đó suy ra đpcm
Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q là 5 số dương tùy ý Chứng minh rằng
q p qb pa
c qa pc
b c q b p
a
3
. Lời giải:
Ta có: . a(pb qc)
qc pb
a
qa pc
b
qb pa
c
Gọi S là vế trái của BĐT cần chứng minh, theo BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
(a b c ) S a pb qc( ) b pc qa( ) c pa qb( ) S p q ab bc ca( )( )
3
1
c b a ca bc
ab ( dễ cm nhờ biến đổi tương đương)
2
3
1 ).
( )
(abc S pq abc
q p
S
(đpcm)
Ví dụ 3: Cho xyz 0 Chứng minh rằng: 2 2 2 x2 y2 z2
y
x z x
z y z
y x
Lời giải : Xét hai dãy số: x z y ,y x z ,z y x và x y z ,y z x ,z x y
Ta có:( 2 2 2 ).( 2 2 2 ) (x2 y2 z2 ) 2
x
y z z
x y y
z x y
x z x
z y z
y
x
Xét hiệu
3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2
1
1
x y y z z x xy yz zx
Từ (2), (3) suy ra đpcm
1.1.3 Kỹ thuật nghịch đảo
2
2 2
2
b a
c a c
b c b a
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
7
Trang 8
2 2
b c c a a b
b c c a a b
2 )
( 2
)
2 2
c b a
c b a b a
c a
c
b c
b
(đpcm)
c b a
c b a c
b a c b
a
2 2
2
a,b,c là độ dài cạch của ABC
HD: Làm tương tự VD2 ta có:
2
Suy ra đpcm
b a
c a c
b c b
a
, , 2
2 2 2 3 3
3
Lời giải:
2 )
1
(
2 2 2 4
4
cb ca
c ba bc
b ac ab
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(abac) (babc) (cacb) .VT( 1 ) (a2 b2 c2 ) 2
Mặt khác ta có: a2b2c2abbcca
2 )
( 2
) )(
( ) 1 (
2 2 2 2
2
ca bc ab
ca bc ab c b a
2
3
b a
c a c
b c b
a
(1) Lời giải: Ta viết
a b c( ) b c a( ) c a b( ) VT(1) (a b c )2 3(ab bc ca )
2
3 ) (
2
) (
3
ca bc ab
ca bc ab
1.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học
Ví dụ 1: Cho ABC có AB=c, AC=b, BC=a Chứng minh rằng
8
x A
C B
z x
y y
z
Trang 90 ) ( ) ( )
2
b b c b c c a c a a
b
Lời giải:
Theo ký hiệu như hình vẽ thì luôn tồn tại x,y,z>0
Sao cho a=x+z
b=z+x c=x+y
0 ) (
0 ) )(
( ) ( ) )(
( ) ( ) )(
( )
(
)
1
(
3 3
3
2 2
2
z y x xyz y x x
z
z
y
z x z y y x y z y x x z x y x z z
y
z
x y
z
x
y
2 2
2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2 2
2 2
) (
) )(
z
x y
z x
y z y
z y x z
x y
z x
y
2 2 2
(đpcm)
Ví dụ 2: ABC có AB=c, AC=b, BC=a p là nửa chu vi Chứng minh rằng
) (
35
36 2
2 2 2
p
abc p c
b
Lời giải:
c b
abc c
b a c
b a
2
2 2
) (
35
36 (
)
1
(
2 2
2 2
2 2
2
(
35 a b c abc
Theo BĐT CôSi cho 3 số dương a, b, c thì:
2 2
c b a
abc c
b a
) (
(3)
Từ (2) và (3) suy ra ĐPCM (dấu bằng xẩy ra khi ABC đều)
Ví dụ 3: Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với 3 cạch của ABC tại M,N,P
Chứng minh rằng: SMNP
4
S
(S- Diện tích tam giác)
Lời giải:
Đặt SANP=S1; SBPM=S2 , SCMN=S3
9
A P
N
M
Trang 10Ta phải chứng minh:
4
3
3 2 1
S
S S S
(1)
2 2
2 2
) (
) ( ) (
)
(
p ca bc ab ab
c p ca
b p
bc
a
p
4
3 ) (
4
) (
)
1
(
2
ca bc ab
c b a
VT (do (a b c ) 2 3(ab bc ca ))
4
3
3
2
1
S
S
S
S
4
1
) (
S
S MNP
(Dấu “=” xẩy ra khi ABC đều)
2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải các bài toán cực trị đại số
* Để vận dụng linh hoạt BDT Bunhiacopxki ta sử dụng các kết quả sau:
a Nếu a1x1 a2x2 a n x n C, C là hằng số thì
2
1 2
( )
n
n
C
Dấu “=” xảy ra khi
n
n
x
a x
a x
a
2
2 1 1
1 2 n
x x x C , C là hằng số thì
( n n) | | n
Max a x a x a x C a a a
Dấu “=”xảy ra khi 0
2
2 1
1
n
n
x
a x
a x a
Ví dụ 1: Cho 2 2 1
y
x tìm giá trị lớn nhất của: A= ( 1x y y 1 x) Lời giải:
2 2 2 2
x y
2
2 2
2
MaxA x y
Ví dụ 2: Cho 36 2 16 2 9
y
x Tìm Max, Min của A=(y-2x+5) Lời giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
2 2 2 ) 2 ( 2 ) 2
4
1 ( ) 3
1 ( 16
4
5 2 4
5 )
2 ( 16
4
25 5 2
4
15
10
Trang 11Vậy: )
20
9 , 5
2 ( 4
25 ) 5 2 (y x x y
Max
) 20
9 , 5
2 ( 4
15 ) 5 2 (y x x y
Min
Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4 Tìm Min A biết A=x4 + y4 + z4
Lời giải:
Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2
(x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) Suy ra: (x2+y2+z2)2 42 ( 1 2 1 2 1 2 )( 4 4 4 ) 16
y z x
3
2 3
16
x y z
MinA
Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z 1 và x+y+z=1 Tìm MaxA biết
z y
x
A 1 1 1
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
3 2 4 3 ) 1 1 1 )(
1 1 1 ( 1
1
A
3
1 3
Ví dụ 5: cho
20 25
16
2 2
2 2
yv xu
v u
y x
Tìm Max (x+v)
Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
20 25 20 ) )(
(
yu xv v
y u
x yv
Mặt khác
x v yu x v xv x v
41
x v
Vậy
2 2
2 2
16 25
20
x y
u v Max x v
u y
xu yv
( ) 20 20 2041
v x u v
x y
41
20
y , x 1641, z 2541
Ví dụ 6: Tìm các cặp số (x,y) x,y>0 để
11
Trang 12y y
x x
y y
x x
y
y
x
A 4 4 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải: Đặt t 2
x
y y
x
2 2 2
2
x
y y
x
4 4 4
4
t t x
y y x
4
4
Do 2 2 4 , 2 3 1
t t
y x MinA
3 Một số bài tập áp dụng, tự luyện
1 Cho ABC (a,b,c) Chứng minh:
c b a c b a
c b
a c
b a
c
b
a
2 Cho a,b,c,d >0 Chứng minh rằng:
2
d a d
c d
c
b
c
b
a
3 Cho ABC (a,b,c) Chứng minh rằng:
p c p b p a
p
p 3
4 Cho ABC nhọn H là trực tâm Chứng minh(AHBHCH) 2 a2 b2 c2
c b c a
b a
c b a
6 Cho 2 số x,y thỏa mãn 2x+5y=7
Tìm giá trị nhỏ nhất của: a A=x2+y2
b B=2x2+5y2
7 Cho x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2 =1 Tìm Max = x+2y+3z
8 Có tồn tại hay không 3 số: a1, b1, c1 thỏa mãn điều kiện:
) 1 ( 1 1
a
9 Cho x, y, z 0 thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a A=x2+y2+z2 b B=x4+y4+z4
10 Cho: a, b,c
4
3
và a+b+c=3 Chứng minh: 4a 3 4b 3 4c 3 3 7
11 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x,y,z) xyyzzx mxyz
Trong đó x 0, y 0, z 0, x+y+z=1
12 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:f(x,y)=2 x y
12
Trang 13Trong đó x 0, y 0, 3 3 1
y x
4 Kết quả
4.1 Kết quả thực nghiệm trước áp dụng sáng kiến.
Trước khi tiến hành dạy ở 20 học sinh lớp 9 học thực nghiệm, để có kết quả đối chứng tôi đã tiến hành kiểm tra với nội dung như sau:
Đề bài (t= 30 phút) Câu 1: Cho x2+y2=1,chứng minh rằng: 2 xy 2
Câu 2: Cho các số dương a,b,c và các số dương x,y,z thay đổi sao cho:
1
z
c y
b x
a
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+z
Đáp án:
Câu 1: Áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2 (12+12)(x2+y2)
Hay (x+y)2 2 2 xy 2 => đpcm
z
c y y
b x x
a c b
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
( a b c )2 ( )(x y z)
z
c y
b x
a
z
c y y
b x x
a
: :
=1:( a b c)
Đến đây dễ dàng suy ra:
x= a( a b c); y= b( a b c) ; z= c( a b c)
Khi đó Amin=( a b c )2
K t qu ki m tra th hi n trên i m s ả kiểm tra thể hiện trên điểm số đạt được của học sinh như sau: ểm tra thể hiện trên điểm số đạt được của học sinh như sau: ểm tra thể hiện trên điểm số đạt được của học sinh như sau: ện trên điểm số đạt được của học sinh như sau: điểm số đạt được của học sinh như sau: ểm tra thể hiện trên điểm số đạt được của học sinh như sau: ố đạt được của học sinh như sau: điểm số đạt được của học sinh như sau:ạt được của học sinh như sau: điểm số đạt được của học sinh như sau:ược của học sinh như sau: ủa học sinh như sau: t c c a h c sinh nh sau: ọc sinh như sau: ư
Số
bài
Số lượng %
Số lượng %
Số lượng %
Số lượng %
4.2 Kết quả thực nghiệm sau khi tiến hành áp dụng sáng kiến
Đề bài (tg 30 phút)
13