SKKN vận DỤNG bất ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI để GIẢI một số bài TOÁN NÂNG CAO về bất ĐẲNGTHỨC ở lớp 8, 9 THCS

20 918 4
SKKN  vận DỤNG bất ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI để GIẢI một số bài TOÁN NÂNG CAO về bất ĐẲNGTHỨC ở lớp 8, 9 THCS

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

PHẦN I: LÍ LỊCH Họ tên: PHẠM XUÂN HÀ Chức vụ : Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao Sáng kiến kinh nghiệm : VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ BẤT ĐẲNG THỨC LỚP 8, THCS Năm học 2015 - 2016 PHẦN II: NỘI DUNG A MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề Thực trạng vấn đề: Hiện nay, nói đổi phương pháp dạy học vấn đề ngành GD-ĐT nói chung ý quan tâm tiếp tục phát triển Đổi phương pháp dạy học chủ yếu theo tinh thần “lấy học sinh làm trung tâm” Phải cho học sinh (HS) hoạt động trí tuệ cao, tích cực lĩnh hội tri thức cách chủ động, nhanh chóng mà đảm bảo hiểu sâu sắc, vững vấn đề Đổi phương pháp dạy học nhằm mục đích dạy cho học sinh phương pháp học tập, làm việc đáp ứng mục tiêu giáo dục đào tạo học sinh thành người biết làm chủ tương lai đất nước Chính mà môn học nói riêng đòi hỏi thầy giáo, cô giáo phải thường xuyên tìm hiểu, nghiên cứu để truyền đạt đầy đủ nhất, nhanh nội dung, kiến thức môn đảm nhận Trong chương trình giáo dục trung học phổ thông, môn toán môn học chủ chốt, quan trọng để rèn tư duy, trí nhớ, môn học “chìa khóa” môn học nói chung Môn toán có tiềm khai thác góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện phát triển thao tác tư phẩm chất tư Trong trình giảng dạy môn toán nhà trường, chuyên đề Bất đẳng thức (BĐT) chuyên đề hay lý thú khó, mà thường xuyên có mặt kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp đặc biệt cấp THCS kỳ thi vào lớp 10 Trong chuyên đề bất đẳng thức việc sử dụng bất đẳng thức để giải toán khác hiệu thông qua mà lời giải đơn giản hơn, thu kết nhanh chóng Bất đẳng thức Bunhiacopski bất đẳng thức kinh điển để giải số toán Xuất phát từ thực tế việc học môn toán THCS, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi 8, 9, đứng trước toán BĐT khó, học sinh lúng tứng, “ngại” làm, tìm hướng giải cho hợp lý, phương pháp giải tối ưu Học sinh thầy, cô cung cấp nhiều phương pháp giải toán bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức để giải loại toán khác như: chứng minh bất đẳng thức đại số va hình học giải số toán cực trị đại số hình học Tuy vậy, việc nhận định, phân tích, tìm hướng giải cho toán bất đẳng thức nói chung toán BĐT liên quan tới việc vận dụng BĐT Bunhiacopxki để giải học sinh vô khó khăn Với ý nghĩ vậy, mạnh dạn nghiên cứu đề tài: Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải số toán nâng cao bất đẳng thức lớp 8, THCS Ý nghĩa, tác dụng giải pháp Đề tài nghiên cứu nhằm: - Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải số toán như: chứng minh bất đẳng thức đại số, hình học, toán cực trị đại số, hình học - Nâng cao mở rộng hiểu biết cho học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi, giúp em hiểu sâu sắc bất đẳng thức - Giúp học sinh có điều kiện hoàn thiện phương pháp bất đẳng thức rèn luyện tư cho học sinh Đem lại kết nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo học sinh - Giúp GV, HS có công cụ để giải số toán liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu: Một số kiến thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki, vận dụng việc giải số toán BĐT lớp 8, THCS b) Phạm vi nghiên cứu: Chương trình toán THCS lớp 8-9, phần bất đẳng thức II Phương pháp tiến hành Cơ sở lý luận: Bất đẳng thức mảng kiến thức khó toán học phổ thông Nhưng thông qua tập chứng minh bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phương trình, bất phương trình ,về mối liên hệ yếu tố tam giác tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Trong trình giải tập, lực suy nghĩ, sáng tạo học sinh ngày phát triển đa dang phong phú tập bất đẳng thức có cách giải không theo quy tắc khuôn mẫu Nó đòi hỏi người đọc phải có cách suy nghĩ lôgic sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lôgíc có hệ thống Cũng toán bất đẳng thức cách giải mẫu, không theo phương pháp định nên học sinh lúng túng giải toán bất đẳng thức học sinh không theo hương Do hầu hết học sinh làm toán bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Cơ sở thực tiễn Trong chương trình toán lớp 8,dạng toán mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan như: tìm cực trị đại số, hình học… toán “chứng minh bất đẳng thức” Có thể nói không thực thành thạo việc chứng minh bất đẳng thức HS khó giải số toán cực trị ! Qua nhiều năm giảng dạy, thân không khỏi trăn trở làm để HS hiểu nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức cách hệ thống, đầy đủ khoa học Chính vào nghiên cứu, tìm hiểu viết đề tài nhằm san sẻ kinh nghiệm với em HS đồng nghiệp, đặc biệt việc vận dụng BĐT Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Bunyakovsky) ( dưới) nhà toán học người UKraina Victor Yakovlevich Bunyakovsky (1804-1889) đưa để chứng minh bất đẳng thức toán học vận dụng để giải số toàn liên quan Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là: thống kê, thực nghiệm khoa học, phân tích tổng hợp, lấy ý kiến chuyên gia * Thời gian tạo giải pháp: 10/2015 – 3/2016 B NỘI DUNG I MỤC TIÊU: - Xây dựng sở lý thuyết để giải toán BĐT - Tuyển chọn, phân loại (dạng) tập nâng cao liên quan đến việc sử dụng BĐT Bunhiacopxki để giải - Nêu lên phương pháp giải dạng tập cực trị cụ thể - Dự đoán sai sót học sinh, có hướng giải - Nêu điểm cần ý, kinh nghiệm giải toán cực trị liên quan tới chủ đề II GIÁI PHÁP THỰC HIỆN: * Giới thiệu lại BĐT Bunhiacopxki: - Bất đẳng thức bunhiacopxki dạng thông thường cho số(a, b) (c, d) (a² + b²)(c² + d²) ≥ (ac + bd)² Dấu " = " xảy khi: ac = bd hay a b = (b, d ≠ 0) c d - Bất đẳng thức bunhiacopxki cho số ( a1,a2,…,an ) ( b1,b2,…,bn ) ta có: ( a12+ a22+ … + an2 ) ( b12 + b22 + …+ bn2 ) ≥ ( a1b1 + a2b2 + … + anbn )2 Dấu "=" xảy với quy ước số (i = 1, 2, 3,…, n) tương ứng Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức 1.1 Chứng minh bất đẳng thức đại số - Để chứng minh bất đẳng thức có áp dụng nhiều phải biến đổi toán để đưa trường hợp thích hợp sử dụng Sau dây kỹ thuật thường gặp:  Đánh giá từ vế lớn sang vế nhỏ ngược lại  Dồn phối hợp  Kỹ thuật nghịch đảo 1.1.1 Đánh giá từ vế phức tạp sang vế đơn giản ngược lại Ví dụ 1: Cho a + b = với a, b∈ R ( tập số thực) Chứng minh rằng: a + b ≥ Lời giải: Ta viết a4 + b4 = 2  2 + ) ( a ) + (b )  (   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số (1; 1) (a2, b2) ta có: ( 2  2 1 + ) ( a ) + (b )  ≥ a + b (   2 ) = = (điều phải chứng minh)(đpcm) Dấu “=” xảy ⇔ a=b=1 Ví dụ 2: Cho a(a − 1) + b(b − 1) + c(c − 1) ≤ Chứng minh rằng: − ≤ a + b + c ≤ Lờigiải: Từ giả thiết ta có: ≥ a (a − 1) + b(b − 1) + c (c − 1) = a + b + c − (a + b + c ) = (12 + 12 + 12 )( a + b + c ) − (a + b + c) ≥ ( a + b + c ) − (a + b + c) (Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) ⇒ ( a + b + c ) − 3(a + b + c) − ≤ ⇔ (a + b + c + 1)(a + b + c − 4) ≤ ⇔ −1 ≤ a + b + c ≤ (đpcm) 1 25 2 Ví dụ 3: Cho x, y>0 x+y=1 CM : ( x + x ) + ( y + y ) ≥ Lời giải: Ta sử dụng BĐT (a + b) ≤ 2(a + b ) ⇔ a + b ≥ ( a + b) 2 (dễ dàng chứng minh dựa vào BĐT Bunhiacopxki biến đổi tương đương) 1 1 1 2 2 Khi ta có: ( x + x ) + ( y + y ) ≥ ( x + x + y + y ) = (1 + xy ) 1 Mà = x + y ≥ xy ⇒ ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≥ 1 25 2 Vậy ( x + x ) + ( y + y ) ≥ (1 + 4) = (đpcm) 1.1.2 Kỹ thuật dồn phối hợp Ví dụ 1: Cho 3x- 4y=7 Chứng minh rằng: 3x + y ≥ Lời giải: 2 2  Ta có: 49 = (3x − y ) =  3 x + ( −2).2 y  ≤ ( ) + (−2)  ( x) + (2 y )    2 (Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) Từ suy đpcm Ví dụ 2: Cho a,b,c,p,q số dương tùy ý Chứng minh a b c + + ≥ p.b + q.c pc + qa pa + qb p + q Lời giải: Ta có: a = a a ( pb + qc) , b = pb + qc b b( pc + qa) , c = pc + qa c c ( pa + qb) pa + qb Gọi S vế trái BĐT cần chứng minh, theo BĐT Bunhiacopxki ta có: (a + b + c) ≤ S [ a ( pb + qc) + b( pc + qa) + c( pa + qb) ] = S ( p + q )(ab + bc + ca ) Mà ab + bc + ca ≤ (a + b + c) ( dễ cm nhờ biến đổi tương đương) ⇒ (a + b + c ) ≤ S ( p + q) .(a + b + c) ⇒ S ≥ (đpcm) p+q Ví dụ 3: Cho x ≥ y ≥ z > Chứng minh rằng: Lời giải : Xét hai dãy số: x2 y y2 z z x + + ≥ x + y + z (1) z x y x y y z z x x z y x z y , , , , z x y y z x x2 y y2 z z2 x x2 z y2 x z2 y + + ).( + + ) ≥ ( x + y + z ) (2) Ta có: ( z x y y z x Xét hiệu A= = x2 y y z z x x2 z y x z y + + − − − = (x y + y3 z + z x − x3z − y 3x − z y ) z x y y z x xyz x2 y y z z x x2 z y x z y ( x − y )( y − z )( z − x )( xy + yz + zx ) ≥ ⇒ + + ≥ + + (3) xyz z x y y z x Từ (2), (3) suy đpcm 1.1.3 Kỹ thuật nghịch đảo Ví dụ 1: Chứng minh a2 b2 c2 a +b + c + + ≥ ∀a, b, c > b +c c + a a +b Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: b c  a  b+c + c+a + a+b÷ ( a + b + c) =  c+a a +b  b+c   a   b   c    ≤  ÷ + ÷ + ÷   b + c +  b + c   c + a   a + b   ( ) ( c+a ) +( ) a+b    a2 b2 c2  = + + ÷( b + c + c + a + a + b ) b+c c+a a +b  a2 b2 c2 (a + b + c) a +b +c ⇒ + + ≥ = b + c c + a a + b 2(a + b + c) (đpcm) Ví dụ Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ a+b+c b+c−a c+a −b a+b−c ∀ a,b,c độ dài cạch ∆ ABC HD: Làm tương tự VD2 ta có:  a2 b2 c2  + +  ≥ ( a + b + c) b + c − a c + a − b a + b − c  [ (b + c − a) + (c + a − b) + (a + b − c)]  Suy đpcm a3 b3 c3 a2 + b2 + c2 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: + + ≥ ∀ a, b, c (1) b+c c+a a+b Lời giải: (1) ⇔ a4 b4 c4 a2 + b2 + c2 + + ≥ ab + ac bc + ba ca + cb Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: [ (ab + ac) + (ba + bc) + (ca + cb)].[VT (1)] ≥ (a + b + c ) Mặt khác ta có: a + b + c ≥ ab + bc + ca VT (1) ≥ (a + b + c )(ab + bc + ca ) a + b + c = 2(ab + bc + ca ) Ví dụ 4: Chứng minh a b c + + ≥ ∀a, b, c > (1) b+c c+a a+b Lời giải: Ta viết { a(b + c) + b(c + a) + c(a + b)} { VT (1)} ≥ (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca) ⇒ VT ≥ 3(ab + bc + ca) = (Đpcm) 2( ab + bc + ca) 1.2 Chứng minh bất đẳng thức hình học Ví dụ 1: Cho ∆ABC có AB=c, AC=b, BC=a Chứng minh a b(a − b) + b c(b − c) + c a (c − a ) ≥ (1) A x x Lời giải: z y Theo ký hiệu hình vẽ tồn x,y,z>0 Sao cho a=x+z B y z C b=z+x c=x+y (1) ⇔ ( y + z ) ( z + x)( y − x) + ( z + x) ( x + y )( z − y ) + ( x + y ) ( y + z )( x − z ) ≥ ⇔ y z + z x + x y − xyz ( x + y + z ) ≥ y2 z2 x2 + + ≥x+ y+z Hay x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: ( x + y + z )( ⇒ y2 z2 x2 + + ) ≥ ( x + y + z) x y z y2 z2 x2 + + ≥ x + y + z (đpcm) x y z Ví dụ 2: ∆ABC có AB=c, AC=b, BC=a p nửa chu vi Chứng minh a2 + b2 + c2 ≥ 2 Lời giải: (1) ⇔ (a + b + c ≥ 36 abc (p + ) (1) 35 p 36  (a + b + c) 2abc  +   35  2 + b + c ⇔ 35(a + b + c ) ≥ 9(a + b + c) (2) Theo BĐT CôSi cho số dương a, b, c thì: a + b + c ≥ 33 a b c a + b + c ≥ 33 abc ⇒ 8(a + b + c ) ≥ 72abc (3) a+b+c Từ (2) (3) suy ĐPCM (dấu xẩy ∆ABC đều) Ví dụ 3: Cho đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạch ∆ABC M,N,P Chứng minh rằng: SMNP ≤ S (S- Diện tích tam giác) Lời giải: A N Đặt SANP=S1; SBPM=S2 , SCMN=S3 Ta phải chứng minh: S1 + S + S 3 ≥ (1) S P B  ( p − a) ( p − b) ( p − c)  + +  .( ab + bc + ca) ≥ p bc ca ab   ⇒ VT (1) ≥ 2 C M (a + b + c) ≥ (do (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca ) ) 4(ab + bc + ca) S1 + S + S 3 ≥ S ⇒ S ( MNP ) S ≤ (Dấu “=” xẩy ∆ABC đều) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để giải toán cực trị đại số * Để vận dụng linh hoạt BDT Bunhiacopxki ta sử dụng kết sau: a Nếu a1 x1 + a x + + a n x n = C , C số Min ( x12 + x22 + + xn2 ) = a C2 a12 + a22 + + an2 a a n Dấu “=” xảy x = x = = x n b Nếu x12 + x22 + + xn2 = C , C số Max (a1 x1 + a2 x2 + + an xn ) =| C | a12 + a22 + + an2 a a a n Dấu “=”xảy x = x = = x ≤ n Ví dụ 1: Cho x + y = tìm giá trị lớn của: A= ( x + y + y + x ) Lời giải: A = x + y + y + x ≤ ( x + y ) ( + y ) + ( + x )  = x + y + ≤ (12 + 12 )( x + y ) + ≤ +2 10 ⇒ MaxA = 2+2 ⇔ x= y = 2 Ví dụ 2: Cho 36 x + 16 y = Tìm Max, Min A=(y-2x+5) Lời giải: Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: (36 x ⇔ )  25 5  + 16 y (− ) + ( )  ≥ ( y − x) ⇒ ≥ ( y − x) ⇔ − ≤ y − x ≤  16 4  15 25 ≤ y − 2x + ≤ 4 Vậy: Max( y − x + 5) = Min( y − x + 5) = 25 ⇔ (x = − , y = ) 20 15 ⇔ (x = , y = ) 20 Ví dụ 3: cho x,y, z thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm Min A biết A=x4 + y4 + z4 Lời giải: Từ giả thiết 42=(xy+yz+zx)2 ≤ (x2 +y2 +z2)(y2+z2+x2) Suy ra: (x2+y2+z2)2 ≥ 42 ⇒ (12 + 12 + 12 )( x + y + z ) ≥ 16 hay x + y + z ≥ MinA = 16 16 ⇔x= y=z=± 3 Ví dụ 4: Cho x,y,z thỏa mãn x,y,z ≥ −1 x+y+z=1 Tìm MaxA biết A = 1+ x + 1+ y + 1+ z Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: A = + x + + y + + z ≤ (12 + 12 + 12 )(1 + x + + y + + z ) = 3.4 = ⇒ MaxA = ⇔ x = y = z =  x + y = 16  2 Ví dụ 5: cho u + v = 25 Tìm Max (x+v)  xu + yv ≥ 20  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 20 ≤ xu + yv ≤ ( x + y )(u + v ) = 20.25 = 20 ⇒ xu + yv = 20 ⇔ x y + ⇔ xv = yu u v 11 Mặt khác 41 = ( x + y ) + (u + v ) = ( x + v ) + ( y + u ) ≥ x + v + yu = x + v + xv = ( x + v)2 ⇒ x + v = 41  x + y = 16  2  u + v = 25 Max ( x + v ) = 41 ⇔ Vậy   u=y  xu + yv = 20 y= 20 41 ⇔ y ( x + v ) = 20 ⇒ u = , x= 16 41 , z= 20 20 = x+v 41 25 41 Ví dụ 6: Tìm cặp số (x,y) x,y>0 để x4 y4 x2 y2 x y A = + − − + + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ y x y x y x Lời giải: Đặt t = x y x2 y2 x4 y4 + ⇒ t ≥ ⇒ + = t − , + = t − 4t + y x y x y x [ ] ⇒ A = t − 5t + t + = (t − 2) − − (t − 2) + t = (t − 2)(t − 3) + t − Do t ≥ ⇒ t ≥ 4, t − ≥ ⇒ A ≥ ⇒ (t − 2) + (t − 2) = t + t − ≥ ⇒ MinA = ⇔ x = y Một số tập áp dụng, tự luyện Cho ∆ABC (a,b,c) Chứng minh: a b+c−a + b c+a−b + c a+b−c ≥ a+ b+ c Cho a,b,c,d >0 Chứng minh rằng: a b c d + + + ≥2 b+c c+d d +a a+b Cho ∆ABC (a,b,c) Chứng minh rằng: p< p−a + p−b + p − c ≤ 3p Cho ∆ABC nhọn H trực tâm Chứng minh ( AH + BH + CH ) < a + b + c Cho ∆ABC (a,b,c) Chứng minh: a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c Cho số x,y thỏa mãn 2x+5y=7 Tìm giá trị nhỏ của: a A=x2+y2 b B=2x2+5y2 12 Cho x,y,z thỏa mãn x2+y2+z2 =1 Tìm Max = x+2y+3z Có tồn hay không số: a ≥ 1, b ≥ 1, c ≥ thỏa mãn điều kiện: a − + b − + c − > c(ab − 1) Cho x, y, z ≥ thỏa mãn điều kiện x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a A=x2+y2+z2 10 Cho: a, b,c ≥ b B=x4+y4+z4 a+b+c=3 Chứng minh: 4a + + 4b + + 4c + ≤ 11 Tìm giá trị nhỏ hàm số: f ( x, y, z ) = xy + yz + zx − mxyz Trong x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x+y+z=1 12 Tìm giá trị lớn hàm số:f(x,y)=2 x + y Trong x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ Kết 4.1 Kết thực nghiệm trước áp dụng sáng kiến Trước tiến hành dạy 20 học sinh lớp học thực nghiệm, để có kết đối chứng tiến hành kiểm tra với nội dung sau: Đề (t= 30 phút) Câu 1: Cho x2+y2=1,chứng minh rằng: − ≤ x + y ≤ Câu 2: Cho số dương a,b,c số dương x,y,z thay đổi cho: a b c + + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=x+y+z x y z Đáp án: Câu 1: Áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 1, d = y ta có: (1.x+1.y)2 ≤ (12+12)(x2+y2) Hay (x+y)2 ≤  − ≤ x + y ≤ => đpcm Câu 2: Giải: Ta có: a + b + c = a b c x+ y+ z x y z Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: a b c ( a + b + c )2 ≤ ( x + y + z )( x + y + z ) ⇔ ( a + b + c )2 ≤ x+y+z Dấu xảy khi: a : x= x b : y= y c : z z 13 ⇔ a b c a + b + c =1:( = = = a+ b+ c) x y z x+ y+z Đến dễ dàng suy ra: x= a ( a + b + c ) ; y= b ( a + b + c ) ; z= c ( a + b + c ) Khi Amin=( a + b + c )2 Kết kiểm tra thể điểm số đạt học sinh sau: Số 20 0-4 Số lượng 5-6 % 15 Số 7-8 % lượng 45 Số lượng - 10 Số % % lượng 30 10 4.2 Kết thực nghiệm sau tiến hành áp dụng sáng kiến Đề (tg 30 phút) Câu Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1 CMR: a2+b2+c2 ≥ Câu 2: Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ P = x4+y4+z4 Đáp án: Câu : Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 a,b,c ta có: (12+12+12)( a2+b2+c2) ≥ (1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1 ⇔ 3( a2+b2+c2) ≥ ⇔ a2+b2+c2 ≥ Dấu xảy a=b=c= 3 Câu 2: Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho số a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x ta có: 1=(xy+yz+zx)2 ≤ (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ⇔ ( x2+y2+z2 ) ≥ Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2 ≤ (x2+y2+z2)2 ≤ (1+1+1) (x4+y4+z4) ⇒ ( x4+y4+z4 ) ≥ x y z Dấu đẳng thức xẩy khi: y = z = x x2=y2=z2 ⇒ x=y=z= ± Vậy Pmin = 3 Kết kiểm tra thể điểm số đạt học sinh sau: 0-4 5-6 7-8 - 10 14 Số Số 20 lượng % Số lượng % 35 Số lượng % 40 Số lượng % 20 Nhận xét: Qua bảng kết so sánh chất lượng trước sau tiến hành thực nghiệm nhóm học sinh thực nghiệm cho thấy: - Trước áp dụng sáng kiến, học sinh không nắm vững kiến thức, phương pháp giải kể dạng toán bản, hay mắc phải sai lầm trình bày làm Tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên 88%, số lượng học sinh có điểm giỏi chưa nhiều (2 HS chiếm 8%); - Sau học sinh áp dụng SK, dạy học cách có hệ thống, bản, kết kiểm tra cho thấy đa số học sinh nắm cách giải cho dạng cụ thể, sai lầm mắc hơn, tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên: Tỉ lệ học sinh đạt điểm tăng từ: 30% lên 40% Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi tăng từ: 10% lên 20% Tỉ lệ học sinh có điểm TB giảm thiểu C KẾT LUẬN & KHUYẾN NGHỊ I Kết luận Nhận định chung Từ thực tế giảng dạy chuyên đề này, kinh nghiệm rút là: trước hết học sinh phải nắm kiến thức vận dụng linh hoạt kiến thức Từ dạy chuyên đề mở rộng, nâng cao, khắc sâu kiến thức cách hợp lí với đối tượng học sinh nhằm bồi dưỡng khiếu, rèn kỹ cho học sinh Chuyên đề chủ yếu đưa tập có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, từ hình thành kỹ năng, phương pháp giải Do giảng dạy phải cung cấp nhiều dạng tập khác để phát triển tư học sinh Hiệu áp dụng Sau học sinh học xong chuyên đề học sinh thấy tự tin hơn, hứng thú hơn, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cách nhìn 15 nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo cho học sinh tự học tự nghiên cứu Một toán có nhiều cách giải song việc tìm lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Do chuyên đề nhiều chuyên đề, phương pháp nhiều phương pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Triển vọng áp dụng sáng kiến Các toán BĐT nói chung đa dạng phong phú Mỗi toán lại có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo, đặc biệt toán BĐT, cực trị có sử dụng BĐT Bunhiacopxki để giải Tuy nhiên, học sinh cần có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan tích cực tự học Sáng kiến áp dụng rộng rãi tài liệu tự học cho HS tài liệu tham khảo cho GV ôn luyện thi vào 10 hay kỳ thi HSG cấp II Khuyến nghị Đối với Phòng GD&ĐT huyện Phù Cừ: Phòng giáo dục nên tổ chức thường xuyên lớp chuyên đề, hội thảo chuyên đề để giáo viên trường trao đổi, bàn luận vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi để nâng cao chất lượng, thay đổi thứ hạng giáo dục huyện nhà so với huyện thị khác tỉnh Đối với nhà trường Thường xuyên tổ chức chuyên đề cấp trường, cấp tổ liên quan tới vấn đề khó ( đề tài này); Tăng cường hệ thống sách tham khảo chủ đề bất đẳng thức, cực trị Triển khai đề tài sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cao, áp dụng dạy học thực tế với học sinh./ Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số 16 tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Tuy nội dung đề cập rộng song khuôn khổ thời gian hạn hẹn người viết đưa số toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến bạn quan tâm đồng nghiệp để chuyên đề đầy đủ hoàn thiện Xin chân thành cám ơn! Lời cam đoan: “Đây sáng kiến kinh nghiệm thân viết, không chép nội dung người khác” / Đình Cao, ngày 20 tháng năm 2016 Người viết sáng kiến PHẠM XUÂN HÀ 17 MỤC LỤC Nội dung Phần I: Lý lịch Phần II : Nội dung A.Mở đầu I.Đặt vấn đề 1.Thực trạng vấn đề 2.Ý nghĩa giải pháp 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu II Phương pháp tiến hành 1.Cơ sở lý luận 2.Cơ sở lthực tiễn Phương pháp nghiên cứu B.Nội Dung I.Mục tiêu II.Giải pháp thực Áp dụng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh BĐT đại số Áp dụng BĐT Bunhiacopxki để giải toán cực trị đại số Một số tập tự luyện Kết C.Kết Luận khuyến nghị I Kết luận Nhận định chung Hiệu áp dụng SK Triền vọng cua SK II Khuyến nghị Tài liệu tham khảo Trang 2 2 3 3 4 5 5 10 12 13 15 15 15 15 16 16 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề đại số - Tác giả: Nguyễn Ngọc Đạm – Nguyễn Việt Hải – Vũ Dương Thụy- NXB giáo dục 18 Toán bồi dưỡng học sinh đại số - Tác giả : Vũ Hữu Bình – Tôn Thân - Đỗ Quang Thiều - Nhà xuất Hà Nội Nâng cao phát triển toán 8, – Tác giả: Vũ Hữu Bình - NXB giáo dục Sách giáo khoa đại số 8,9 - Nxb Giáo Dục 279 toán đại số chọn lọc – Tác giả: Võ Đại Mau - Nhà xuất trẻ 23 Chuyên Đề Giải 1001 Bài Toán Cấp- tập – Tác giả: Nguyễn Vĩnh Cận- NXB giáo dục Một số tài liệu mạng Internet XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO Tổng điểm: Xếp loại : TM Hội đồng khoa học 19 Hiệu trưởng Nguyễn Văn Hạnh XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÙ CỪ Tổng điểm: Xếp loại : TM Hội đồng khoa học 20 ... tài: Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để giải số toán nâng cao bất đẳng thức lớp 8, THCS Ý nghĩa, tác dụng giải pháp Đề tài nghiên cứu nhằm: - Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki vào giải số toán. .. học sinh làm toán bất đẳng thức vận dụng bất đẳng thức để giải loại tập khác Cơ sở thực tiễn Trong chương trình toán lớp 8, có dạng toán mang tính áp dụng cao, sở để ứng dụng giải toán liên quan... tượng nghiên cứu: Một số kiến thức Bất đẳng thức Bunhiacopxki, vận dụng việc giải số toán BĐT lớp 8, THCS b) Phạm vi nghiên cứu: Chương trình toán THCS lớp 8 -9, phần bất đẳng thức II Phương pháp

Ngày đăng: 30/10/2017, 16:54

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • 7. Một số tài liệu trên mạng Internet ...

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan