SKKN: Vận dụng phương pháp chia nhỏ để giải một số bài tập vật lý

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA NHỎ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT LÍ A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Giải tập công việc quan trọng trình dạy - học mơn vật lí Qua tập giúp học sinh rèn luyện khả tư hiểu rõ chất vật lí tốn Trong q trình giảng dạy, đặc biệt trình bồi dưỡng học sinh giỏi, gặp dạng tập q trình vật lí diễn cách phức tạp, nhìn nhận tốn cách tổng thể để giải khó khăn Để giải tập dạng sử dụng phương pháp, gọi phương pháp chia nhỏ Đây phương pháp tư từ nghiên cứu phận đến khái quát tổng thể Dùng phương pháp giải cách nhanh chóng q trình vật lí phức tạp nhờ quy luật vật lí mà quen biết làm cho vấn đề trở nên đơn giản II Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Trong đề tài nghiên cứu này, dùng phương pháp chia nhỏ để phân tích giải số tập vật lí điển hình Từ đó, vận dụng trình dạy học, đặc biệt trình bồi dưỡng học sinh giỏi Qua việc nắm bắt phương pháp này, học sinh có cách nhìn tồn diện việc phân dạng, phân tích giải tập vật lí III Đối tượng nghiên cứu - Phương pháp chia nhỏ (có sử dụng tích phân vi phân) - Một số tập vật lý sử dụng phương pháp chia nhỏ để giải IV Giới hạn, phạm vi để tài Để tài nghiên cứu cách giải số tập học, nhiệt học chương trình lớp 10 phần điện tích điện trường, cảm ứng điện từ chương trình lớp 11 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận Phương pháp chia nhỏ phương pháp chia tồn q trình thành nhiều trình nhỏ (gọi trình nguyên tố) mà q trình ngun tố tn theo quy luật vật lí Như vậy, cần phân tích q trình ngun tố, sau dùng phương pháp tốn học ngoại suy vật lí dễ dàng tìm kết Dùng phương pháp giúp học sinh suy xét lại quy luật, củng cố, nâng cao kiến thức, nâng cao lực giải tập vật lí Để vận dụng thành cơng phương pháp chia nhỏ ta sử dụng phương pháp vi phân tích phân tốn học để tìm kết tốn Phương pháp vi phân Khi giải phương pháp vi phân ta xác định đại lượng vật lí q trình ngun tố (ví dụ: phân tích lực tác dụng lên phẩn tử nhỏ), kết cuối khơng có mặt phần tử nhỏ Phương pháp tích phân Khi giải phương pháp tích phân người ta tiến hành lấy theo tổng phần tử nhỏ, đồng thời tận dụng tính chất đối xứng toán, ý tránh tối đa việc lấy tích phân trực tiếp Cần lưu ý hai phương pháp tách rời mà thường liên hệ chặt chẽ với II Cơ sở thực tiễn Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi vận dụng đề tài vào đội tuyển học sinh giỏi lớp 10 11 thu kết sau: Đội tuyển Trước áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài % H/S biết vận % H/S chưa biết % H/S vận dụng % H/S chưa vận dụng phương vận dụng phương tốt phương pháp tốt dụng phương pháp chia nhỏ pháp chia nhỏ chia nhỏ pháp chia nhỏ Lý 10 0% 100% 80% 20% Lý 11 0% 100% 100% 0% Từ bảng khảo sát kết đội tuyển kỳ thi học sinh giỏi tỉnh năm qua đơn vị nơi công tác cho thấy hiệu đề tài tốt III Giải số tập phương pháp chia nhỏ Bài tốn Một xích sắt tiết diện treo cố định A vào đỉnh A bán cầu, đầu B xích sắt vừa đủ chạm đất (hình vẽ) Biết bán cầu có bán kính R, khối lượng xích sắt đơn vị độ dài ρ , bỏ qua ma sát xích mặt cầu Tìm lực kéo T mà đầu A phải chịu B Giải Nếu xét tồn xích sắt khơng thể bỏ qua chiều dài nên khơng thể xem tồn xích sắt chất điểm Để phân tích tình trạng chịu lực dây xích, ta chia dây xích thành nhiều đoạn nhỏ mà đoạn xem chất điểm, phân tích chịu lực đoạn nhỏ điều kiện cân để đưa tình trạng chịu lực tồn dây xích r T 'α A r N D r Tr ∆α ∆P α α ∆α E C ∆R ∝ B Xét đoạn nhỏ có độ dài ∆L dây xích Đoạn ∆L chịu tác dụng lực hình vẽ Vì đoạn ∆L trạng thái cân nên hợp lực tác dụng lên Chiếu lên phương tiếp tuyến với mặt cầu ta được: T ' = Tα + ∆Tα = ∆P cos α + Tα Suy ∆Tα = ∆P cos α = ρ∆Lg cos α Vì đoạn nhỏ, lực kéo theo phương tiếp tuyến lên lớn lực kéo theo phương tiếp tuyến xuống ∆Tα , lực kéo tồn dây xích tác dụng lên điểm A tổng vô số lực kéo ∆Tα , tức là: T = ∑ ∆Tα = ∑ ρ∆Lg cos α = ρ g ∑ ∆L cos α Xét ý nghĩa tích ∆L cos α : Vì ∆L chắn cung ∆α nhỏ nên coi CD ⊥ OC, · góc DCE = α nên ∆L cos α thành phần ∆L theo phương thẳng đứng : ∆L cos α = CE = ∆R , đó: Vậy: T = ∑ ∆L cos α = ∑ ∆R = R ρ g ∑ ∆L cos α = ρ gR Bài toán Một dây xích sắt khối lượng M, độ dài L, mật độ khối lượng dây xích ρ treo thẳng đứng mà đầu vừa x chạm đất Bây thả nhẹ để rơi mặt đất ( hình vẽ) Hỏi dây xích rơi xuống đoạn x áp lực dây xích tác dụng lên mặt đất bao nhiêu? Giải Trong trính rơi xuống, áp lực dây xích tác dụng vào đất thực chất xung lực tác dụng vào đất với trọng lực phần dây xích rơi xuống đất Theo định luật III Niuton, xung lực phản lực mặt đất tác dụng lên dây xích, xung lực lực làm cho động lượng dây xích rơi xuống đất thay đổi Vì phần tử dây xích ban đầu có độ cao khác nhau, vận tốc chạm đất khác nên động lượng chúng biến đổi khác Chúng ta xét đoạn nhỏ dây xích khoảng thời gian ∆t nhỏ coi xung lực khơng đổi Giả sử thời điểm ban đầu t = dây xích bắt đầu rơi, thời điểm t độ dài dây xích rơi xuống đất x (phần lại L - x), vận tốc phần dây xích chưa rơi xuống v Ngay sau phần dây xích rơi xuống mặt đất, tốc độ phần khơng Từ thời điểm t lấy khoảng thời gian ∆t ngắn, phần khối lượng ∆M = ρ∆x rơi đến mặt đất đứng yên Xung lực mặt đất tác dụng vào ∆M là: ( F − ∆M g ) ∆t Áp dụng công thức : ( F − ∆M g ) ∆t = ∆P = ∆M v Vì ∆M , ∆t nhỏ nên ta xem ∆M ∆t ≈ Do ta có : F ∆t = ∆M v = ρ v∆x Như vậy: F = ρv ∆x ∆t ∆x Vì ∆t vận tốc tức thời dây xích nên ta có: F = ρ v (1) Vận tốc v thời điểm t vận tốc tức thời dây xích rơi xuống độ dài x, tức v = gx Thay vào công thức (1) ta có: F = ρ gx Đây lực phần dây xích chuyển động tác dụng lên mặt đất thời điểm t Ngoài ra, áp lực dây xích lên mặt đất cịn thêm phần trọng lực phần dây xích rơi mặt đất trước thời điểm t ∆N = ρ gx Do đó, áp lực dây xích tác dụng lên mặt đất là: N = F + ∆N = ρ gx + ρ gx = 3ρ gx = Mgx L Bài toán Một sợi dây không giãn, khối lượng không đáng kể vắt qua đĩa cố định, bán kính R Hai đầu dây có treo hai vật M m Tìm mật độ phản lực tác dụng lên dây Bỏ qua ma sát dây R đĩa Giải m Mật độ phản lực đĩa tác dụng lên dây phản lực đĩa tác M dụng lên đơn vị chiều dài dây Chia sợi dây vắt lên ròng rọc thành nhiều phần nhỏ, phần nhỏ coi chất điểm Vì dây khơng giãn, khối lượng không đáng kể, bỏ qua ma sát đĩa dây nên lực căng tác dụng lên hai đầu đoạn nhỏ nhau, vec tơ phản lực điểm khác dây lại không nên ta xét tổng thể toàn dây mà phải xét phần nhỏ dây Trên phần dây tiếp xúc với đĩa (nữa đường trịn) lấy đoạn ∆L nhỏ có góc tâm tương ứng ∆θ (hình r vẽ) Đoạn ∆L chịu tác dụng hai lực căng T hai đầu r ∆ N phản lực theo phương pháp tuyến đĩa Vì khối lượng dây khơng đáng kể, hợp lực theo phương pháp tuyến không T = T’, nên từ hình vẽ ta có: ∆N = T sin ∆θ ∆θ ∆θ + T sin = 2T sin 2 Vì ∆θ nhỏ nên sin ∆θθ ∆N T ∆θ T = = ∆L R∆θ R (1) r ∆N r T' ∆θ ∆θ ≈ 2 , ∆N = T ∆θ ; ∆L = R∆θ Nên ta có mật độ phản lực tác dụng lên dây là: n= r ∆θT Áp dụng định luật II Niu – tơn cho hai vật ta có: Mg – T = Ma (2) T – mg = ma (3) Từ (2) (3) ta có: T= 2Mmg M + m thay vào (1) ta mật độ phản lực tác dụng lên dây : n= Mmg (M + m) R Bài tốn Một bình đựng khơng khí có áp suất p nhỏ áp suất khí Trên bình có lỗ nhỏ đậy kín Tháo nắp đậy lỗ nhỏ cho khơng khí tràn vào bình Hỏi vận tốc khơng khí lúc bắt đầu vào bình ? Biết áp suất khơng khí bên ngồi p0, khối lượng riêng khơng khí ρ Giải Vì khơng biết ban đầu có phân tử khí vào bình, khơng biết chúng phân bố sau phân tử khí vào áp suất biến đổi nên khó tìm đường lối để giải Cần ý đến từ ‘‘ngay lúc ban đầu’’ gợi cho thấy ban đầu có lớp khơng khí mỏng nằm miệng lỗ nhỏ tràn vào bình làm cho áp suất bình tăng lên xem khơng thay đổi Gọi diện tích lỗ nhỏ S, xét lớp khơng khí mỏng sát ngồi lỗ nhỏ, độ dày khối lượng ∆L ∆m Trong q trình lớp khí tiến vào bình áp suất khơng khí bình xem khơng biến đổi, lớp khí mỏng chịu tác dụng ngoại lực không đổi Từ phân tích ta có lực tác dụng lên lớp khí nói : F = (p – p0)S (1) Theo định lí động ta có : ∆m.v 2 (2) Trong đó, ∆m = ρ S ∆L (3) F ∆L = Từ (1), (2), (3) ta có vận tốc khơng khí lúc đầu vào bình : v= 2(p − p ) ρ Bài toán Bên mặt cầu bán kính R người ta tạo áp suất dư p Hỏi bề dày mặt cầu phải để mặt cầu khơng bị xé rách? Biết điều xẩy ứng suất có giá trị σ th Giải Ta xét diện tích ∆S (rất nhỏ) mặt cầu (hình vẽ) y p∆S α ∆S ∆S ' Từ điều kiện cân bán cầu suy lực đàn hồi tiết diện đáy tổng hợp áp lực: σ 2π Rd = F (1) Để tính lực tổng hợp cần lưu ý hướng theo trục đối xứng bán cầu (hình vẽ) F = ∑ p∆Scosα = ∑ p∆S ' = pπ R (2) Thay chiếu lực, ta chiếu yếu tố diện tích ∆S mặt phẳng mà bán cầu tựa (tức ta "uốn phẳng" bán cầu) Thay (2) vào (1) ta được: σ= pR 2d Từ điều kiện σ < σ th , suy d> pR 2σ th 10 Bài toán Hai đường ray dẫn điện song song, nằm ngang cách khoảng L, nối với điện trở R đầu Một kim loại khối lượng m đặt hai đường ray Điện trở đường ray r v0 R kim loại không đáng kể Toàn hệ thống đặt r từ trường có cảm ứng từ B thẳng góc với mặt phẳng chứa hai đường ray Truyền cho kim loại vận tốc ban đầu v0 theo phương nằm ngang hướng sang phải Hỏi kim loại dịch chuyển sang phải đoạn tối đa ? Giả thiết đường ray đủ dài Giải Trong trình chuyển động, kim loại chịu tác dụng lực hình r vẽ, F lực từ từ trường tác dụng vào Đây tập tìm vị trí dịch chuyển vật tác dụng lực biến đổi Giả sử thời điểm t bất kì, có vận tốc v chuyển động chậm dần r tác dụng F Xét hệ thống khoảng thời gian ∆t (rất nhỏ) sau thời điểm t chuyển động đoạn nhỏ ∆x ; từ thông qua mạch biến đổi lượng : ∆Φ = BL∆x Cường độ dịng điện mạch : i= ec ∆Φ BL∆x = = R R∆t R∆t r F Lực từ tác dụng lên : F = iBL = B L2 ∆x R ∆t 11 r N r P Vì ∆t nhỏ nên xem F khơng đổi Chọn chiều dương hướng sang phải, khoảng thời gian ∆t xung lượng lực từ : B L2 ∆x ∆I = − F ∆t = − R Để có độ dịch chuyển lấy tổng xung lượng lực từ :  B L2 ∆x  B L2 I = ∑− x ÷= − R  R  (1) Trong x khoảng dịch chuyển lớn Mặt khác, áp dụng định luật biến thiên động lượng kim loại từ chuyển động đến lúc dừng lại ta có : I = – mv0 (2) Từ (1) (2) ta tìm : x= mv0 R B L2 K Bài tốn Cho mạch hình vẽ Nguồn điện có điện M L1 điện động E, tụ điện có điện L2 N suất dung E C, khóa K MN PQ hai C đường P ray dẫn điện trơn nhẵn, song Q song nằm mặt phẳng ngang, khoảng cách chúng L Đường ray đặt từ trường đều, có cảm ứng từ B hướng thẳng góc với mặt phẳng chứa hai ray có hướng vào mặt phẳng hình vẽ L1 L2 hai nhỏ dẩn điện đặt hai ray, khối lượng chúng m1 m2 (m1< m2) Khi hai nhỏ chuyển động chúng tiếp xúc vuông góc với hai ray Bỏ qua ma sát trình chuyển động, điện trở hai nhỏ Ban đầu hai đứng yên đường ray, khóa K vị trí Đóng K từ sang Hãy xác định : 12 a) Vận tốc cực đại hai nhỏ b) Nhiệt lượng tỏa tồn q trình Giải i Khi khóa K vị trí 1, nguồn điện nạp điện cho tụ Khi chuyển khóa K sang vị trí 2, tụ điện phóng điện qua haiC i1 i2 R1 R2 Trong q trình phóng điện hai nhỏ chịu tác dụng lực từ bắt đầu chuyển động Khi tụ điện phóng hết điện, dịng điện hai nhỏ biến lực từ hết tác dụng, vận tốc hai đạt cực đại a) Gọi vận tốc cực đại hai nhỏ v Xét chuyển động hai khoảng thời gian ∆t (rất nhỏ) bất kì, khoảng thời gian cường độ dịng điện qua xem khơng đổi, ta có : Fi1∆t = m1v 'i1 − m1vi1 Xét toàn thời gian chuyển động: ∑ F ∆t = m v i1 (1) Tương tự với L2 ta có: ∑F i2 ∆t = m2v Từ (1) (2) ta được: (2) ∑ F ∆t + ∑ F i1 i2 ∆t = (m1 + m ) v (3) Với Fi1 = BLi1 , Fi = BLi2 i1 + i2 = i nên ta có: ∑ BLi ∆t + ∑ BLi ∆t = BL∑ (i + i )∆t = BL∑ i∆t = BL(Q− q) 2 Trong Q = CE điện tích cực đại mà tụ tích nối với nguồn q = CEc = CBLv điện tích tụ hai đạt vận tốc v (4) Từ (3) (4) ta tính vận tốc cực đại mà hai đạt là: 13 v= BLCE (m1 + m ) + CB2 L2 (5) b) Vì tổng lượng bảo tồn nên ta có: q2 CE = + (m1 + m2 ) v + Q 2C Thay q = CBLv với v tính từ công thức (5) ta nhiệt lượng tỏa tồn q trình là: Q= (m1 + m ) CE 2(m1 + m + B2 L2 C ) Bài tốn Vịng dây mảnh bán kính R mang điện tích q > đặt khơng khí a) Tính cường độ điện trường tâm O vịng dây b) Tính cường độ điện trường M trục vòng dây cách O đoạn h Xác định h để E đạt cực đại tính giá trị cực đại Giải Để giải tốn ta xét tồn vịng dây khơng thể giải Do ta chia vịng dây nhiều đoạn nhỏ, đoạn coi nột điện tích điểm có điện tích ∆q ∆q1 a) Xét tâm vịng dây r ∆E1 Hai điện tích điểm ∆q nằm vị trí xuyên tâm, r ∆E2 ∆q2 đối xứng vòng dây gây nên O hai điện trường ngược chiều, độ lớn Hai điện trường triệt tiêu Do cường độ điện trường tổng hợp vòng dây gây nên tâm O không r r E0 = ∑ ∆Ei = ∆q1 O R ∆q 14 h α M r ∆E2 r ∆E1 r ∆E b) Tại điểm M trục vòng dây - Xét hai điện tích điểm ∆q nằm vị trí xuyên tâm đối xứng với vòng dây Cường độ điện trường tổng hợp chúng gây nên điểm M là: r r r ∆E = ∆E1 + ∆E2 ∆q ∆E1 = ∆E2 = k r nên: Vì r ∆E nằm OM hướng raxa O ∆E = 2∆E1 cos α = 2k ∆q h 2∆q.h =k r r r3 - Cường độ điện trường tổng hợp vòng dây gây nên M: r r E M = ∑ ∆E r EM nằm OM hướng xa O, độ lớn: h q.h q.h  2∆q.h  EM = ∑ ∆E = ∑  k ÷ = k ( ∑ 2∆q ) = k = k 2 3/2 r  r r (R + h )  - Tìm h để EM cực đại Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có:  R2 R2 R2 R2 2 ( R + h ) =  + + h ÷ ≥ 27 h   kqh 2kq EM ≤ = R 3R 3 h Từ ta có: 2kq R EM = ( EM ) max = h= 3R Vậy để 2 15 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Một vịng dây trịn bán kính R = 6cm tích điện q = 10 -6C Tính điện tại: a Tâm O vòng dây b Điểm M trục vòng dây cách tâm vòng dây khoảng a = 8cm Đáp số: V= kq R + a a) VO = 1500V; b) VM = 900V Một điện tích điểm q đặt tâm vành mỏng bán kính R Trên vành có điện tích Q phân bố dấu với q Hãy tìm lực căng vành Bỏ qua tương tác điện tích vành Đáp số: T= qQ 8π 2ε R Một dây dẫn có dạng nửa đường trịn bán kính 20cm đặt mặt phẳng r vng góc với cảm ứng từ B từ trường có độ lớn B = 0,4T Cho dịng điện I = 5A qua dây Tìm lực từ F tác dụng lên dây dẫn này? Đáp số: F = 0,8N Một vành nhơm mỏng bán kính R= 10cm quay xung quanh trục Hỏi với vận tốc góc vịng bị đứt gãy? Biết điều xẩy vòng phải chịu ứng suất học σ g = 2.107 N / m2 Khối lượng riêng nhôm ρ = 2700kg / m ω= σg ≈ 103 s −1 R ρ Đáp số: Một chng mỏng hình bán cầu bán kính R đặt mặt phẳng nằm ngang Qua lỗ nhỏ đỉnh, người ta rót nước vào chng Xác định khối lượng chuông, biết thời điểm chốn đầy chng, nước chảy ngồi? m = ρ nπ R 3 Đáp số: 16 C KẾT LUẬN Như vậy, tập vật lí mà đó, q trình diễn cách phức tạp, liên tục dùng phương pháp chia nhỏ phương pháp hữu hiệu Nhờ phương pháp mà ta làm sáng tỏ chất vật lí toán, làm cho toán trở nên đơn giản dễ hiểu Trong trình giảng dạy tơi tìm tịi hệ thống số tốn mà sử dụng phương pháp chia nhỏ để giải, qua giúp em nâng cao kiến thức, kĩ giải tập vật lí Từ đó, em nhận dạng giải nhiều toán tưởng chừng phức tạp thực tế cách giải ngắn gọn dễ hiểu Đồng thời từ hệ nhận xét rút từ tập giúp em hiểu rõ chất vật lí toán, truyền cho em niềm đam mê với mơn vật lí 17 ... áp dụng đề tài Sau áp dụng đề tài % H/S biết vận % H/S chưa biết % H/S vận dụng % H/S chưa vận dụng phương vận dụng phương tốt phương pháp tốt dụng phương pháp chia nhỏ pháp chia nhỏ chia nhỏ pháp. .. dụng thành cơng phương pháp chia nhỏ ta sử dụng phương pháp vi phân tích phân tốn học để tìm kết toán Phương pháp vi phân Khi giải phương pháp vi phân ta xác định đại lượng vật lí q trình ngun tố... tịi hệ thống số tốn mà sử dụng phương pháp chia nhỏ để giải, qua giúp em nâng cao kiến thức, kĩ giải tập vật lí Từ đó, em nhận dạng giải nhiều toán tưởng chừng phức tạp thực tế cách giải ngắn gọn