Vận dụng phương pháp chia nhỏ để giải một số bài tập vật lí

Mục tiêu của đề tài là dùng phương pháp chia nhỏ để phân tích và giải một số bài tập vật lí điển hình. Từ đó, vận dụng trong quá trình dạy học, đặc biệt là quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua việc nắm bắt được phương pháp này, học sinh sẽ có cách nhìn toàn diện hơn trong việc phân dạng, phân tích và giải các bài tập vật lí.

VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP CHIA NHỎ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP VẬT  LÍ A PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Giải bài tập là cơng việc hết sức quan trọng trong q trình dạy ­ học mơn  vật lí. Qua mỗi bài tập giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy và hiểu rõ hơn bản  chất vật lí trong mỗi bài tốn. Trong q trình giảng dạy, đặc biệt là q trình bồi  dưỡng học sinh giỏi, khi gặp các dạng bài tập trong đó các q trình vật lí diễn ra   một cách phức tạp, nếu chúng ta nhìn nhận bài tốn này một cách tổng thể để  giải  thì rất khó khăn. Để  giải được những bài tập ở  dạng này chúng ta có thể  sử  dụng   một phương pháp, gọi là phương pháp chia nhỏ. Đây là một phương pháp tư duy  từ nghiên cứu từng bộ phận đến khái qt tổng thể. Dùng phương pháp này có thể  giải quyết một cách nhanh chóng các q trình vật lí phức tạp nhờ các quy luật vật  lí mà chúng ta đã quen biết làm cho vấn đề trở nên đơn giản II. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài Trong đề tài nghiên cứu này, tơi sẽ dùng phương pháp chia nhỏ để phân tích   và giải một số  bài tập vật lí điển hình. Từ  đó, vận dụng trong q trình dạy học,  đặc biệt là q trình bồi dưỡng học sinh giỏi. Qua việc nắm bắt được phương pháp   này, học sinh sẽ có cách nhìn tồn diện hơn trong việc phân dạng, phân tích và giải   các bài tập vật lí.  III. Đối tượng nghiên cứu ­ Phương pháp chia nhỏ (có sử dụng tích phân và vi phân) ­ Một số bài tập vật lý có thể sử dụng phương pháp chia nhỏ để giải IV. Giới hạn, phạm vi của để tài   1 Để  tài chỉ  nghiên cứu cách giải một số  bài tập về  cơ  học, nhiệt học của   chương trình lớp 10 và phần điện tích điện trường, cảm  ứng điện từ  của chương  trình lớp 11  2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận Phương pháp chia nhỏ  là phương pháp  chia tồn bộ  q trình thành rất  nhiều các q trình nhỏ  (gọi là q trình ngun tố) mà mỗi q trình ngun tố  đó   đều tn theo cùng một quy luật vật lí. Như vậy, chúng ta chỉ cần phân tích một q   trình ngun tố, sau đó dùng phương pháp tốn học hoặc ngoại suy vật lí có thể dễ  dàng tìm ra kết quả. Dùng phương pháp này giúp học sinh suy xét lại các quy luật,  củng cố, nâng cao kiến thức, nâng cao năng lực giải bài tập vật lí Để  vận dụng thành cơng phương pháp chia nhỏ  ta có thể  sử  dụng phương   pháp vi phân hoặc tích phân trong tốn học để tìm ra kết quả của bài tốn Phương pháp vi phân Khi giải bằng phương pháp vi phân ta xác định các đại lượng vật lí trong một  q trình ngun tố  (ví dụ: phân tích lực tác dụng lên một phẩn tử  nhỏ), khi đó  trong kết quả cuối cùng khơng có mặt các phần tử nhỏ đó Phương pháp tích phân Khi giải bằng phương pháp tích phân người ta tiến hành lấy theo tổng các   phần tử nhỏ, đồng thời tận dụng tính chất đối xứng của bài tốn, chú ý tránh tối   đa việc lấy tích phân trực tiếp Cần lưu ý rằng hai phương pháp này ít khi tách rời nhau mà thường liên hệ  chặt chẽ với nhau II. Cơ sở thực tiễn Trong q trình bồi dưỡng học sinh giỏi tơi đã vận dụng đề  tài này vào đội  tuyển học sinh giỏi lớp 10 và 11 và thu được kết quả như sau: Đội tuyển Trước khi áp  Sau khi áp dụng đề tài dụng đề tài % H/S biết vận  % H/S chưa biết   3 % H/S vận  % H/S chưa vận  dụng phương  vận dụng  dụng tốt  tốt dụng  pháp chia nhỏ phương pháp  phương pháp  phương pháp  chia nhỏ chia nhỏ chia nhỏ Lý 10 0% 100% 80% 20% Lý 11  0% 100% 100% 0% Từ  bảng khảo sát trên và kết quả  của các đội tuyển trong kỳ  thi học sinh  giỏi tỉnh những năm qua của đơn vị nơi tôi công tác cho thấy hiệu quả của đề tài là  rất tốt III. Giải một số bài tập bằng phương pháp chia nhỏ Bài tốn 1. Một xích sắt tiết diện đều được treo cố định vào đỉnh A của một bán  cầu, đầu B của xích sắt vừa đủ chạm đất (hình vẽ). Biết bán cầu có bán kính R,  khối lượng xích sắt trên đơn vị độ dài  là , bỏ qua ma sát giữa xích và mặt cầu. Tìm  lực kéo T mà đầu A phải chịu Giải Nếu xét tồn bộ xích sắt thì khơng thể bỏ qua chiều dài của nó nên khơng thể  xem tồn bộ  xích sắt là một chất điểm được. Để  phân tích tình trạng chịu lực của   dây xích, ta chia dây xích thành rất nhiều đoạn nhỏ mà mỗi đoạn xem như một chất   điểm, phân tích sự chịu lực của mỗi đoạn nhỏ và căn cứ điều kiện cân bằng để đưa   ra tình trạng chịu lực của tồn bộ dây xích  4 Xét một đoạn nhỏ bất kì có độ dài ∆L trên dây xích . Đoạn ∆L chịu tác dụng  của các lực như hình vẽ. Vì đoạn ∆L ở trạng thái cân bằng nên hợp lực tác dụng lên  nó bằng 0. Chiếu lên phương tiếp tuyến với mặt cầu ta được: Suy ra Vì   mỗi đoạn nhỏ, lực kéo theo phương tiếp tuyến đi lên lớn hơn lực kéo  theo phương tiếp tuyến đi xuống là , do đó lực kéo của tồn bộ  dây xích tác dụng   lên điểm A là tổng vơ số các lực kéo , tức là: Xét ý nghĩa của tích : Vì chắn cung  rất nhỏ  nên coi CDOC, góc =  nên  là   thành phần của ∆L theo phương thẳng đứng : = CE = , do đó:  Vậy: T =  Bài tốn 2.  Một dây xích sắt khối lượng M, độ  dài L, mật độ  khối lượng   của dây xích là được treo thẳng đứng mà đầu dưới của nó vừa chạm đất. Bây giờ  thả  nhẹ để  nó rơi trên mặt đất ( hình vẽ). Hỏi khi dây xích rơi xuống một đoạn x   thì áp lực của dây xích tác dụng lên mặt đất là bao nhiêu? Giải Trong q trính rơi xuống, áp lực của dây xích tác dụng vào đất thực chất là   xung lực của nó tác dụng vào đất cùng với trọng lực của một phần dây xích rơi   xuống đất. Theo định luật III Niuton, xung lực này cũng bằng phản lực của mặt đất  tác dụng lên dây xích, xung lực của lực này làm cho động lượng của dây xích rơi  xuống đất thay đổi. Vì các phần tử của dây xích ban đầu có độ cao khác nhau, vận  tốc khi chạm đất khác nhau nên động lượng của chúng sẽ  biến đổi khác nhau.   5 Chúng ta xét một đoạn nhỏ của dây xích trong một khoảng thời gian  rất nhỏ thì có  thể coi xung lực là khơng đổi Giả  sử thời điểm ban đầu t = 0 dây xích bắt đầu rơi, tại thời điểm t độ  dài   của dây xích đã rơi xuống đất là x (phần cịn lại là L ­ x), vận tốc phần dây xích  chưa rơi xuống là v. Ngay sau khi phần dây xích rơi xuống mặt đất, tốc độ  của   phần đó lập tức bằng khơng. Từ thời điểm t lấy khoảng thời gian ∆t rất ngắn, phần  khối lượng  rơi đến mặt đất và đứng n. Xung lực của mặt đất tác dụng vào  là: Áp dụng cơng thức :  Vì  rất là nhỏ nên ta xem  Do đó ta có :   Như vậy:  Vì  là vận tốc tức thời của dây xích nên ta có:  (1) Vận tốc v tại thời điểm t là vận tốc tức thời của dây xích khi rơi xuống độ  dài là x, tức là . Thay vào cơng thức (1) ta có:   Đây chính là lực do phần dây xích chuyển động tác dụng lên mặt đất tại thời   điểm t. Ngồi ra, áp lực của dây xích lên mặt đất cịn thêm phần trọng lực của phần   dây xích đã rơi trên mặt đất trước thời điểm t  là  .  Do đó, áp lực của dây xích tác dụng lên mặt đất là:  6 Bài tốn 3. Một sợi dây khơng giãn, khối lượng khơng đáng kể được vắt qua  một đĩa cố định, bán kính R. Hai đầu dây có treo hai vật M và m. Tìm mật độ phản   lực tác dụng lên dây. Bỏ qua ma sát giữa dây và đĩa Giải Mật độ  phản lực của đĩa tác dụng lên dây là phản lực của đĩa tác dụng lên  một đơn vị chiều dài của dây. Chia sợi dây vắt lên rịng rọc thành nhiều phần nhỏ,   mỗi phần nhỏ  có thể  coi là một chất điểm. Vì dây khơng giãn, khối lượng khơng   đáng kể, bỏ qua ma sát giữa đĩa và dây nên lực căng tác dụng lên hai đầu mỗi đoạn   nhỏ bất kì đều bằng nhau, nhưng vec tơ phản lực ở các điểm khác nhau trên dây lại   khơng như  nhau nên ta khơng thể  xét tổng thể  tồn bộ  dây mà phải xét từng phần   nhỏ trên dây Trên phần dây tiếp xúc với đĩa (nữa đường trịn) lấy một đoạn  rất nhỏ  có   góc ở tâm tương ứng là  (hình vẽ). Đoạn chịu tác dụng của hai lực căng  ở hai đầu  và phản lực  theo phương pháp tuyến của đĩa. Vì khối lượng của dây khơng đáng     kể, hợp lực theo phương pháp tuyến bằng khơng và T = T’, nên từ hình vẽ ta có: Vì  rất nhỏ nên ,  ; và  . Nên ta có mật độ phản lực tác dụng lên dây là: (1) Áp dụng định luật II Niu – tơn lần lượt cho hai vật ta có: Mg – T = Ma (2) T – mg = ma (3) Từ  (2) và (3) ta có:  thay vào (1) ta được mật độ  phản lực tác dụng lên dây   là :  7 Bài tốn 4. Một bình đựng khơng khí có áp suất p nhỏ hơn áp suất khí quyển.  Trên bình có một lỗ nhỏ được đậy kín. Tháo nắp đậy lỗ nhỏ ra cho khơng khí tràn  vào bình. Hỏi vận tốc của khơng khí ngay lúc bắt đầu đi vào bình là bao nhiêu ?  Biết áp suất khơng khí bên ngồi là p0, khối lượng riêng của khơng khí là  Giải Vì khơng biết ban đầu có bao nhiêu phân tử  khí vào bình, khơng biết chúng   phân bố  như  thế  nào và cũng khơng biết sau khi các phân tử  khí đi vào áp suất sẽ  biến đổi ra sao nên chúng ta khó tìm ra đường lối để giải. Cần chú ý đến từ ‘‘ngay   lúc ban đầu’’ gợi cho chúng ta thấy ban đầu có một lớp khơng khí rất mỏng nằm   ngay miệng lỗ  nhỏ  tràn vào bình và làm cho áp suất trong bình tăng lên rất ít xem  như khơng thay đổi Gọi diện tích lỗ  nhỏ là S, xét một lớp khơng khí rất mỏng ngay sát ngồi lỗ  nhỏ, độ  dày và khối lượng của nó là và . Trong q trình lớp khí này tiến vào bình   thì áp suất khơng khí trong bình xem như  khơng biến đổi, do đó lớp khí mỏng này   chịu tác dụng của ngoại lực khơng đổi. Từ phân tích trên ta có lực tác dụng lên lớp  khí nói trên là : F = (p – p0)S (1) Theo định lí về động năng ta có : (2) Trong đó,  (3) Từ (1), (2), (3) ta có vận tốc khơng khí ngay lúc đầu đi vào bình là : Bài tốn 5.  Bên trong một mặt cầu bán kính R người ta tạo một áp suất dư  p. Hỏi bề  dày của mặt cầu phải bằng bao nhiêu để  khi đó mặt cầu khơng bị  xé   rách? Biết rằng điều đó xẩy ra khi ứng suất có giá trị bằng   8 Giải Ta xét một diện tích (rất nhỏ) ở trên mặt cầu (hình vẽ) Từ điều kiện cân bằng của bán cầu suy ra rằng lực đàn hồi tại tiết diện đáy   bằng tổng hợp các áp lực: (1) Để  tính lực tổng hợp này cần lưu ý rằng nó hướng theo trục đối xứng của  bán cầu (hình vẽ) (2) Thay vì chiếu lực, ta chiếu yếu tố diện tích trên mặt phẳng mà bán cầu tựa   trên nó (tức là ta "uốn phẳng" bán cầu).  Thay (2) vào (1) ta được:  Từ điều kiện , suy ra   9 Bài tốn 6. Hai đường ray dẫn điện song song, nằm ngang và cách nhau một   khoảng L, được nối với nhau bởi một điện trở  R   một đầu.  Một thanh kim loại   khối lượng m được đặt trên hai đường ray. Điện trở  của đường ray và thanh kim   loại khơng đáng kể. Tồn bộ  hệ thống được đặt trong một từ  trường đều có cảm   ứng từ   thẳng góc với mặt phẳng chứa hai đường ray. Truyền cho thanh kim loại   một vận tốc ban đầu v0 theo phương nằm ngang hướng sang phải. Hỏi thanh kim   loại dịch chuyển sang phải một đoạn tối đa là bao nhiêu ? Giả  thiết đường ray đủ  dài Giải Trong q trình chuyển động, thanh kim loại chịu tác dụng của các lực như  hình vẽ, trong đó  là lực từ do từ trường tác dụng vào thanh. Đây là một bài tập tìm   vị trí dịch chuyển của vật dưới tác dụng của lực biến đổi.  Giả sử tại thời điểm t bất kì, thanh có vận tốc v và đang chuyển động chậm  dần dưới tác dụng của . Xét hệ  thống trong khoảng thời gian   (rất nhỏ) sau thời   điểm t thanh chuyển động được một đoạn nhỏ ; khi đó từ thơng qua mạch biến đổi  một lượng là : Cường độ dịng điện trong mạch khi đó là : Lực từ tác dụng lên thanh là : Vì  rất nhỏ nên có thể xem F khơng đổi. Chọn chiều dương hướng sang phải,    trong khoảng thời gian  xung lượng của lực từ là :  10 Để có được độ dịch chuyển có thể lấy tổng các xung lượng của lực từ là : (1) Trong đó x là khoảng dịch chuyển lớn nhất của thanh. Mặt khác, áp dụng  định luật biến thiên động lượng của thanh kim loại từ  khi chuyển động đến lúc   dừng lại ta có : I = 0 – mv0 (2) Từ (1) và (2) ta tìm được : Bài tốn 7. Cho mạch điện như hình vẽ. Nguồn điện có suất điện động E, tụ  điện có điện dung C, khóa K. MN và PQ là hai đường ray dẫn điện trơn nhẵn, song   song nằm trên mặt phẳng ngang, khoảng cách giữa chúng là L. Đường ray đặt trong   từ trường đều, có cảm ứng từ B hướng thẳng góc với mặt phẳng chứa hai thanh ray   và có hướng đi vào trong mặt phẳng hình vẽ. L1 và L2 là hai thanh nhỏ dẩn điện đặt  trên hai thanh ray, khối lượng của chúng lần lượt là m 1  và m2  (m1 0 đặt trong khơng   khí a) Tính cường độ điện trường tại tâm O của vịng dây b) Tính cường độ điện trường tại M trên trục vịng dây cách O một đoạn h. Xác   định h để E đạt cực đại và tính giá trị cực đại đó Giải Để giải được bài tốn này nếu ta xét tồn bộ vịng dây thì sẽ khơng thể giải   được. Do đó ta chia vịng dây ra nhiều đoạn nhỏ, mỗi đoạn coi như  nột điện tích  điểm có điện tích  a) Xét tại tâm vịng dây Hai điện tích điểm nằm   vị  trí xun tâm, đối xứng nhau trên vịng dây sẽ  gây nên ở O hai điện trường ngược chiều, cùng độ lớn. Hai điện trường này sẽ triệt   tiêu nhau. Do đó cường độ  điện trường tổng hợp do cả vịng dây gây nên ở  tâm O  sẽ bằng khơng b) Tại điểm M trên trục vịng dây ­ Xét hai điện tích điểm  nằm  ở vị trí xun tâm đối xứng với nhau trên vịng  dây. Cường độ điện trường tổng hợp do chúng gây nên tại điểm M là: Vì  nên: nằm trên OM và hướng  raxa O  13 ­ Cường độ điện trường tổng hợp do cả vịng dây gây nên ở M: nằm trên OM và hướng ra xa O, độ lớn: ­ Tìm h để EM cực đại Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: Từ đó ta có:  Vậy để  thì   14 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Một vịng dây trịn bán kính R = 6cm tích điện đều q = 10­6C. Tính điện thế  tại: a. Tâm O của vịng dây b. Điểm M trên trục vịng dây cách tâm vịng dây khoảng a = 8cm Đáp số:  a) VO = 1500V; b) VM = 900V Một điện tích điểm q đặt ở tâm của một vành mỏng bán kính R. Trên vành có  điện tích Q phân bố đều cùng dấu với q. Hãy tìm lực căng của vành. Bỏ  qua   tương tác giữa các điện tích trên vành Đáp số:  Một dây dẫn có dạng nửa đường trịn bán kính 20cm được đặt trong mặt   phẳng vng góc với cảm  ứng từ    của một từ  trường đều có độ  lớn B =  0,4T. Cho dịng điện I = 5A đi qua dây. Tìm lực từ  F tác dụng lên dây dẫn   này? Đáp số: F = 0,8N Một vành nhơm mỏng bán kính R= 10cm quay xung quanh trục của nó. Hỏi  với vận tốc góc bằng bao nhiêu thì vịng sẽ bị đứt gãy? Biết rằng điều này sẽ  xẩy ra khi vịng phải chịu một  ứng suất cơ  học  . Khối lượng riêng của   nhơm  Đáp số:  Một quả  chng mỏng hình bán cầu bán kính R đặt trên mặt phẳng nằm  ngang. Qua một lỗ nhỏ ở đỉnh, người ta rót nước vào trong chng. Xác định  khối lượng của chng, biết rằng tại thời điểm chốn đầy chng, nước sẽ  chảy ra ngồi? Đáp số:   15  16 C. KẾT LUẬN Như vậy, những bài tập vật lí mà trong đó, các q trình diễn ra một cách  phức tạp, liên tục thì dùng phương pháp chia nhỏ là một phương pháp hữu hiệu  nhất. Nhờ phương pháp này mà ta đã làm sáng tỏ bản chất vật lí trong từng bài tốn,  làm cho bài tốn trở nên đơn giản và dễ hiểu hơn Trong q trình giảng dạy tơi đã tìm tịi và hệ thống được một số bài tốn mà  có thể sử dụng phương pháp chia nhỏ để giải, qua đó giúp các em có thể  nâng cao   kiến thức, kĩ năng giải bài tập vật lí. Từ đó, các em có thể nhận dạng và giải được  rất nhiều bài tốn tưởng chừng rất phức tạp nhưng thực tế cách giải rất ngắn gọn   và dễ hiểu. Đồng thời từ những hệ quả và nhận xét rút ra từ các bài tập giúp các em   hiểu rõ hơn bản chất vật lí trong mỗi bài tốn, truyền cho các em niềm đam mê với  bộ mơn vật lí  17 ... Sau khi áp? ?dụng? ?đề tài dụng? ?đề tài % H/S biết? ?vận? ? % H/S chưa biết   3 % H/S? ?vận? ? % H/S chưa? ?vận? ? dụng? ?phương? ? vận? ?dụng? ? dụng? ?tốt  tốt? ?dụng? ? pháp? ?chia? ?nhỏ phương? ?pháp? ? phương? ?pháp? ? phương? ?pháp? ? chia? ?nhỏ. .. củng cố, nâng cao? ?kiến? ?thức, nâng cao năng lực? ?giải? ?bài? ?tập? ?vật? ?lí Để ? ?vận? ?dụng? ?thành cơng? ?phương? ?pháp? ?chia? ?nhỏ  ta có thể  sử ? ?dụng? ?phương   pháp? ?vi phân hoặc tích phân trong tốn học? ?để? ?tìm ra kết quả của? ?bài? ?tốn Phương? ?pháp? ?vi phân... Trong q trình giảng dạy tơi đã tìm tịi và hệ thống được? ?một? ?số? ?bài? ?tốn mà  có thể sử? ?dụng? ?phương? ?pháp? ?chia? ?nhỏ? ?để? ?giải,  qua đó giúp các em có thể  nâng cao   kiến? ?thức, kĩ năng? ?giải? ?bài? ?tập? ?vật? ?lí.  Từ đó, các em có thể nhận dạng và? ?giải? ?được  rất nhiều? ?bài? ?tốn tưởng chừng rất phức tạp nhưng thực tế cách? ?giải? ?rất ngắn gọn