Hướng dẫn giải một số bài toán nâng cao về ứng dụng của tích phân

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Biên soạn: Vũ Hồng Quý Bài toán Cho hình vuông có cạnh Tại bốn đỉnh ng ười ta vẽ bốn đường tròn có bán Tính thể tích phần tô màu kính quay hình phẳng xung quanh trục    A     B  C     D     Bài toán Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo A   B Bài toán Cho khối chỏm cầu      B         C      D         A        có bán kính C chiều cao  Tính thể tích D  khối chỏm cầu r R    Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang   CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Bài toán (Sở GD Hà Tĩnh) Ta vẽ nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính đường tròn lớn gấp đôi đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa hình tròn  đường kính có diện tích  Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng   (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng  A  C B  D  Bài toán (Quốc học Huế-L2) Người ta dựng lều vải   có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy    Chiều cao hình lục giác cạnh ( vuông góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên   sợi dây nằm đường parabol có trục đối xứng song song với   với mặt phẳng Giả sử giao tuyến (nếu có)   qua trung điểm Tính thể tích phần không gian lục giác có cạnh nằm bên lều   A   B C   D     Bài toán (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h bán kính đáy Khi đặt thùng nước nằm ngang hình khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước (mặt nước thấp trục hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng hình chiều cao mực nước thùng Tính tỉ số Hình Hình A  B  C  D Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Bài toán Câu lạc bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ có tên Stadio della Roma để làm sân nhà đội bóng thay cho sân bóng Olimpico Hệ thống mái SVĐ Stadio della Roma dự định xây dựng có dạng hai hình elip hình bên với hình elip lớn bên có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn mét, độ dài trục mét Giả sử chi phí vật liệu mét nhỏ vuông Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân  A B  D C Bài toán Một khối nón   có bán kính đáy , thiết diện qua đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy tam giác Cắt khối nón mặt phẳng qua đường kính đáy vuông góc với đường sinh khối nón để lấy nêm (xem hình vẽ) Kí hiệu A  thể tích nêm Thể tích B  ? C   D   ĐÁP ÁN 1-D 2-A 3-B 4-B 5-D 6-A 7-D Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths 8-A Trang CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 LỜI GIẢI CHI TIẾT Bài toán Cho hình vuông có cạnh Tại bốn đỉnh ng ười ta vẽ bốn đường tròn có bán kính Tính thể tích phần tô màu quay hình phẳng xung quanh trục    A     B  C     D     Hướng dẫn giải Trước đến với lời giải toán giải Bài toán sau: Bài toán Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo   A   B C  D  Hướng dẫn giải Xét hệ trục toạ độ hình vẽ Khi hình xuyến dạng phao tạo ta quay đường tròn tâm   bán kính xung quanh trục  Phương trình đường tròn                               Đặt                 Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017                       Đáp án A Vậy ta có công thức tính thể tích hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ là:   Quay trở lại với Bài toán ta có vật thể tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục có hình dạng hình bên Khi thể tích vật thể tạo thành tổng thể tích hình trụ có bán kính  , chiều cao  hình xuyến dạng  phao có  trừ lần thể tích  xuyến dạng phao có Vậy Với              thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có   thể tích nửa hình tròn tâm     , bán kính  quay hình vẽ xung quanh trục  nửa bên hình                (Cách tính tương tự tính thể tích phao trên) Vậy                  Bài toán Cho khối chỏm cầu A          Đáp án D có bán kính chiều cao    B         C      D         Tính thể tích khối chỏm cầu r R    Hướng dẫn giải Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang   CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Ta có khối chỏm cầu thu quay hình phẳng giới hạn                             h                      Đáp án B Chú ý: Ta mở rộng công thức đề cho         đáy chỏm cầu)  y quanh trục  khác: y   (với  OO R-h R-h    RR xx kiện theo cách bán kính đường tròn Bài toán (Sở GD Hà Tĩnh) Ta vẽ nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính đường tròn lớn gấp đôi đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa  hình tròn đường kính có diện tích  Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng đường thẳng    A B  D   C (phần tô đậm) xung quanh Hướng dẫn giải Cách Dựng hệ trục toạ độ                      :    Ta có   hình vẽ      phương trình đường thẳng  Vậy thể tích vật thể cần tính là:                        Đáp án B Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Cách Ta tích vật thể cần tính tổng thể tích khối nón cụt có bán kính đáy lớn đáy nhỏ  , chiều cao  khối chỏm cầu có chiều cao cầu có chiều cao  , bán kính       Vậy suy            , bán kính              , bán kính trừ thể tích khối chỏm   Đáp án B Bài toán (Quốc học Huế-L2) Người ta dựng lều vải   có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy cạnh   hình lục giác  Chiều cao ( vuông góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên   sợi dây nằm đường parabol có trục đối xứng song song với   (nếu có) của Giả sử giao tuyến với mặt phẳng   lục giác có cạnh qua trung điểm Tính thể tích phần không gian nằm bên lều A   B C   D       Hướng dẫn giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ Gọi phương trình parabol  Khi cắt   cạnh Do    mặt phẳng vuông góc với trục                                 điểm có tung độ ta thiết diện hình lục giác có độ dài  xác định    là:     Vậy thể tích túp lều là:                                 Đáp án D Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Bài toán (Sở GD Vĩnh Phúc): Một thùng đựng nước có dạng hình trụ có chiều cao h bán kính đáy Khi đặt thùng nước nằm ngang hình khoảng cách từ trục hình trụ tới mặt nước (mặt nước thấp trục hình trụ) Khi đặt thùng nước thẳng đứng hình thùng Tính tỉ số  A chiều cao mực nước   B   C  là: là:  D Hướng dẫn giải   y R  diện tích chỏm cầu hình bên  Trong Hình Thể tích lượng nước có thùng hình Thể tích lượng nước có thùng hình Do Hình     O R R   Đặt                                                                 với             Đáp án A    Chú ý: Ta có CT tính nhanh diện tích, thể tích chỏm cầu   có bán kính Vậy suy           chiều cao h sau: Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang x CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Bài toán Câu lạc bóng đá AS Roma dự định xây dựng SVĐ có tên Stadio della Roma để làm sân nhà đội bóng thay cho sân bóng Olimpico Hệ thống mái SVĐ Stadio della Roma dự định xây dựng có dạng hai hình elip hình bên với hình elip lớn bên có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét, hình elip nhỏ bên có độ dài trục lớn mét, độ dài trục nhỏ mét Giả sử chi phí vật liệu mét vuông Tính chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân  A B  C D Hướng dẫn giải Cách 1: Dùng ứng dụng tích phân Hình elip lớn có độ dài trục lớn , độ dài trục nhỏ     PT       Hình elip nhỏ có độ dài trục lớn       PT       , độ dài trục nhỏ     Do tính đối xứng hình elip nên ta có diện tích hệ thống mái SVĐ là:                  Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân Cách 2: Áp dụng CT tính diện tích hình elip          +) Hình elip nhỏ có               Đáp án D    Đáp án D   +) Hình elip lớn có    Vậy diện tích hệ thống mái SVĐ là:   Chi phí cần thiết để xây dựng hệ thống mái sân   Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN THỰC TẾ 2017 Bài toán Một khối nón   có bán kính đáy , thiết diện qua đỉnh vuông góc với mặt phẳng đáy tam giác Cắt khối nón mặt phẳng qua đường kính đáy vuông góc với đường sinh khối nón để lấy nêm (xem hình vẽ) Kí hiệu A thể tích nêm Thể tích   B ?  C D   Hướng dẫn giải hình vẽ cắt nêm mặt Chọn hệ trục toạ độ phẳng vuông góc với trục điểm có hoành độ hình vẽ thiết diện tam giác vuông  Thể tích   nêm cần tính là: ta    với     vuông  OAC vuông        Vậy       B                60°     A           C  Đáp án A CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU Biên soạn: Vũ Hồng Quý-Fb: https://www.facebook.com/vuhongquy.maths Trang 10 ...  Hướng dẫn giải Trước đến với lời giải toán giải Bài toán sau: Bài toán Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ Tính thể tích hình theo   A   B C  D  Hướng dẫn giải Xét hệ... thẳng ứng hình thùng Tính tỉ số  A chiều cao mực nước   B   C  là: là:  D Hướng dẫn giải   y R  diện tích chỏm cầu hình bên  Trong Hình Thể tích lượng nước có thùng hình Thể tích. ..  Bài toán Cho khối chỏm cầu A          Đáp án D có bán kính chiều cao    B         C      D         Tính thể tích khối chỏm cầu r R    Hướng dẫn giải