Chuyên đề ứng dụng của tích phân luyện thi THPT quốc gia

Tailieumontoan.com  Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Tài liệu sưu tầm, ngày tháng 12 năm 2020 Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn a; b , trục hoành b hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S  f ( x) dx a y y = f (x) O a c1 c2 y = f (x)  y = (H )  x = a  x = b c3 b x b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục đoạn a; b b hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S  f ( x)  g ( x) dx a y (C1 ) : y = f1 ( x )  (C ) : y = f2 ( x ) (H )  x = a x = b  (C1 ) (C2 ) b c2 a c1 O S x = b ∫ f1 ( x ) − f ( x ) dx a Chú ý: b b a a - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì:  f ( x) dx   f ( x)dx - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , x  h( y ) hai đường thẳng y  c , d y  d xác định: S  g ( y )  h( y ) dy c Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a  x  b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] (V ) O x a b b x V = ∫ S ( x )dx a S(x) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S ( x)dx a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 1/34 Website: tailieumontoan.com b) Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y = f (x) O a (C ) : y = f ( x )  b (Ox ) : y = V = π  x ∫a [ f ( x )] dx x x = a  x = b b Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d O c (C ) : x = g( y )  (Oy ) : x =  y = c  y = d x d V y = π ∫ [ g ( y )] dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , y  g ( x) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V   f ( x)  g ( x) dx a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 2/34 Website: tailieumontoan.com B CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: Những điểm cần lưu ý: Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đường y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b S  f ( x)  g ( x) dx a Phương pháp giải tốn +) Giải phương trình f ( x)  g ( x) (1) b +) Nếu (1) vô nghiệm S   f ( x)  g ( x) dx a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc a; b giả sử   b a  S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x)  g ( x) đoạn a; b dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn  đường y  f ( x), y  g ( x) S  f ( x)  g ( x) dx Trong  ,  nghiệm nhỏ lớn  phương trình f ( x)  g ( x) a      b Phương pháp giải toán Bước Giải phương trình f ( x)  g ( x) tìm giá trị  ,   Bước Tính S  f ( x)  g ( x) dx trường hợp  Câu Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục [a ; b] hai đường thẳng x  a , x  b (a  b) là: A S  a f ( x)  g ( x) dx B S a ( f ( x)  g ( x))dx C S a ( f ( x)  g ( x)) dx D S a f ( x)  g ( x) dx b b b b Câu Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , liên tục [a ; b] trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b a  b cho công thức: b A S  f  x dx a b B S  f  xdx b b C S   f  x dx a D S   f  xdx a a Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  11x  6, y  x , x  0, x  (Đơn vị Câu diện tích) A B C 3 Diện tích hình phẳng giới hạn y  x , y  x là: Câu A B C 12 D 13 Cho hàm số y  f ( x) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang D 18 23 cong giới hạn đồ thị y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo cơng thức Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 3/34 Website: tailieumontoan.com b B S   f ( x)dx b C S   f ( x)dx a a a A S  f ( x)dx Câu b b D S  f ( x)dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo cơng thức b b A S  f ( x) dx B S  f ( x)dx a Câu b b D S   f ( x)dx C S  f ( x) dx a a a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b tính theo cơng thức b b A S  f ( x)  g ( x) dx B S [f ( x)  g ( x)]dx a a b b C S  f ( x)  g ( x) dx D S   f ( x)  g ( x) dx a Câu a Cho đồ thị hàm số y  f ( x) Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình) 1 A S  f ( x)dx  f ( x)dx B S  f ( x)dx 2 2 2 0 C S  f ( x)dx  f ( x)dx Câu D S  f ( x)dx  f ( x)dx 2 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x  A 19 B 18 C 20 D 21 Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x  A B 14 C 13 D 14 Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , trục hoành hai đường thẳng x  , x  45 45 45 45 A B C D Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  sin x , trục hoành hai đường thẳng x , x A 3 B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C D Trang 4/34 Website: tailieumontoan.com Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  tan x , trục hoành hai đường thẳng x   , x  6 B ln C  ln D  ln 3 3 2x Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  e , trục hoành hai đường thẳng A ln x  , x  e6 e6 e6 C D    3 3 2 [DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG] VẬN DỤNG THẤP Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x , trục hoành hai đường A e6  2 B thẳng x  , x  51 53 49 25 A B C D 4 4 Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  , trục hoành hai đường thẳng x  , x  142 A B 143 C 144 Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  D 141 x 1 , trục hoành đường thẳng x2 x  A  ln B  ln C  ln D  ln Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y   x đường thẳng y   x 9 B C D 2 Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành hai đường A thẳng x  0, x   A B C D Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  x  , trục hoành hai đường 71 A thẳng x  , x  73 B C 72 Câu 21 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  D 14 x 1 , trục hoành đường thẳng x2 x  A  ln B  ln C  ln D  ln 2 Câu 22 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y   x đường thẳng y   x 9 B C D 2 Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  cos x , trục hoành hai đường A thẳng x  0, x  A  B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C D Trang 5/34 Website: tailieumontoan.com Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x y  x 1 1 B C D 12 14 15 13 Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x3  x  A y  x  x  x  37 37 B C D 13 12 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  , đường thẳng x  , trục tung A trục hoành 22 32 25 23 A B C D 3 3 Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = y x − x , trục hoành hai đường thẳng x= −3, x = 202 201 203 201 B C D 4 Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x , trục hoành đường thẳng A x  e e2  e2  e2  e2  B C D 4 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  2, y  x  hai đường A Câu 29 thẳng x  2; x  Diện tích (H) 87 87 87 87 B C D 5 x Câu 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y   e x, y  1  e x Diện tích A (H) e 1 A   e2 e2 e 1 C D 2 VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO Câu 31 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  , y  x  Diện tích (H) B 71 73 70 74 A B C D 3 3 Câu 32 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  , y  x  Diện tích (H) 108 109 109 119 A B C D 5 6 Câu 33 Diện tích hình phẳng giới hạn ( P) : y  x  , tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x  trục tung A B C D 3 Câu 34 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  y  x  0, x  y  A B Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C D 11 Trang 6/34 Website: tailieumontoan.com Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; y  A 27 ln B 27 ln C 28ln 27 x ; y 27 x D 29 ln Câu 36 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau A B 11 C D 10 Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y  x, y  x đồ thị hàm số y  x3 Khi a  b b A 68 B 67 C 66 D 65 x2 Câu 38 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  1, y  x đồ thị hàm số y  a miền x  0, y  Khi b  a b A B C D  x, nÕu x  10  Câu 39 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y   y  x  x  x  2, nÕu x>1  a Khi a  2b b A 16 B 15 C 17 D 18  x  4x  Câu 40 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C ) : y  , tiệm cận xiêm (C ) hai x 1 đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích Khi a A  e5 B  e5 C  2e5 II-Câu hỏi tính tính thể tích vật tròn xoay giới hạn đường: D  2e5 Những điểm cần lưu ý: Tính thể tích khối trịn xoay: Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x) , y  , x  a b x  b (a  b) quay quanh trục Ox V   f (x)dx a Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 7/34 Website: tailieumontoan.com Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x), y  g(x) , b x  a x  b (a  b) quay quanh trục Ox V    f (x)  g2 (x) dx a NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU Câu 41 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y , y 0= , x 1= , x quanh trục ox là: = = x A 6π B 6π C 12π D 6π π quay xung quanh trục Câu 42 Cho hình phẳng giới hạn đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x = Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π2 B π2 C π 16 Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn đường = y f ( x), Ox= ,x Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ f ( x)dx a b b B V = π ∫ f ( x)dx C V = ∫ π f ( x)dx a y Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn đường = a= ,x a  π +1  D   π  16  b quay xung quanh trục b D V = ∫ f ( x)dx a x − ; trục Ox đường thẳng x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π B 3π C 2π D π Câu 45 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 79π 23π 5π B C D 9π 63 14 Câu 46 Cho hình phẳng giới hạn đường y 2= x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh trục A Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ xdx a B V = π ∫ b a xdx b C V = π ∫ xdx a D V = π ∫ b a xdx Câu 47 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x + 2x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 16π 64π 496π 4π A B C D 15 15 15 Câu 48 Cho hình phẳng giới hạn đường y =1 − x , y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 3π 2π π A B C D π 3 Câu 49 Thể tích khối trịn xoay khơng gian Oxyz giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = π có thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm ( x;0;0) đường trịn bán kính sin x là: A V = B V = π Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C V = 4π D V = 2π Trang 8/34 Website: tailieumontoan.com Câu 50 Cho hình phẳng giới hạn đường= y tan x,= y 0,= x 0,= x Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: π π π    A V π  −  B V π  −  C V π  −  = = = 3 3 3    π quay xung quanh trục π  D V π  −  = 3  Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn đường y = + x , Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 28 68 28 68 A π B π C π D π 3 3 VẬN DỤNG Câu 52 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường trịn x + y =(nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox 16 ta thiết diện hình vng Thể tích vật thể là: A ∫ (16 − x ) dx −4 B ∫ −4 4x 2dx C ∫ −4 4π x 2dx D ∫ −4 4π (16 − x ) dx Câu 53 Cho hình phẳng D giới hạn đường y = x đường thẳng x = Thể tích khối trịn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là: A 32π B 64π C 16π D 4π Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn đường= y ln x= , y 0,= x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: B π ( 2ln 2 + 4ln − ) A 2ln 2 − 4ln + C π ( 2ln 2 − 4ln + ) D π ( 2ln − 1) Câu 55 Cho hình phẳng giới hạn đường = y a.x = , y bx (a, b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b3  1  A V π  −  = a 3 5 B V = π b5 5a C V = π b5 3a3 b5  1  D V π  −  = a 3 5 Câu 56 Cho hình phẳng giới hạn đường y =4 − x , y = x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 24π 24π 28π 28π B V = C V = D V = 5 5 Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x= , y x= , x 0,= x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A V = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 9/34 Website: tailieumontoan.com A B Ta có cos x   x   C D Hướng dẫn giải   [0; ] Nên      1  1 2 S cos x dx  cos xdx cos xdx   sin x    sin x   2  2   0 4 Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x y  x A 12 Ta có B 13 14 Hướng dẫn giải C x  x  x  x  D 15 2 3  x  x dx  ( x  x )dx   x  x   3  12 1 Nên S  3 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  x3  x  Câu 25 y  x  x  x  A 37 13 B 37 12 C D Hướng dẫn giải x  2  Ta có x3  x   x3  x  x  1 x   x  1 Nên S  x  x  x dx  ( x  x  x)dx ( x3  x  x)dx 2 2  x x3       x  x  x   37 x    4      2   12 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  , đường thẳng x  , trục tung trục hoành 22 32 25 23 A B C D 3 3 Hướng dẫn giải Xét pt  x   đoạn 0;3 có nghiệm x  2 23 Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = y x − x , trục hoành hai đường thẳng Suy S  x  dx  x  dx  x= −3, x = 202 203 201 B C Hướng dẫn giải Xét pt x3  x  đoạn 3; 4 có nghiệm x  2; x  0; x  A Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 D 201 Trang 18/34 Website: tailieumontoan.com 2 201 3 2 Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x , trục hoành đường thẳng Suy S  x3  x dx  x3  x dx  x  x dx  x  x dx  x  e e2  e2  e2  Hướng dẫn giải Xét pt x ln x  khoảng 0;e có nghiệm x  A B C D e2  e2  Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  2, y  x  hai đường e Suy S x ln xdx  Câu 29 thẳng x  2; x  Diện tích (H) 87 Hướng dẫn giải Xét phương trình ( x  x  2)  ( x  2)   x    x  2 87 Suy S  x  dx  x  dx  2 A 87 87 B C  D 87  Câu 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y   e x x, y  1  e x Diện tích (H) e 1 A Hướng dẫn giải e2 B C e2 D e 1   e2 Suy S  x e  e  dx x e  e  dx  Xét pt  e x x  1  e x  có nghiệm x  0, x  1 x x 0 VẬN DỤNG CẤP ĐỘ CAO Câu 31 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  , y  x  Diện tích (H) 71 A 70 Hướng dẫn giải 73 B C D 74 Xét pt x   x  có nghiệm x  3, x  3    Suy S  x -1 - x  dx  2 x -1 -  x  5 dx -3 Bảng xét dấu x  đoạn 0;3 x x 1 -   +   Vậy S  2  x  x  dx  x  x  dx  73 Câu 32 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y  x  x  , y  x  Diện tích (H) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 19/34 Website: tailieumontoan.com A 108 B 109 109 Hướng dẫn giải C D 119 Xét pt x  x   x  có nghiệm x  0, x        Suy S   x  x dx  x  x  dx   x  x dx  Câu 33 109 Diện tích hình phẳng giới hạn ( P) : y  x  , tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x  trục tung A B 3 C D Hướng dẫn giải PTTT (P) x  y  x  x  Xét pt x   4 x  3   x  x    x       Suy S  x  x  dx    x3   8 x  x  dx    x  x 3   0  Câu 34 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  y  x  0, x  y  9 Hướng dẫn giải Biến đổi hàm số theo biến số y x   y  y, x   y A B C D 11 Xét pt tung độ giao điểm ( y  y )   y  có nghiệm y  0, y  3 0   Vậy S  y  y dy   y  y dy  Câu 35 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; y  A 27 ln B 27 ln C 28ln 27 x ; y 27 x D 29 ln Hướng dẫn giải Xét pthđgđ x  x2 27 x 27   x  0; x    x  3;  0 x9 27 x 27 x Suy Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 20/34 Website: tailieumontoan.com 9  x2  27 x     S  x  dx    dx  27 ln 27  27  0 3 x Câu 36 Diện tích hình phẳng hình vẽ sau A B 11 C D 10 Hướng dẫn giải  y  1 10 Ta có y  y    , Nên S ( y   y )dy  y  Câu 37 Diện tích hình phẳng nằm góc phần tư thứ nhất, giới hạn đường thẳng a y  x, y  x đồ thị hàm số y  x3 Khi a  b b A 68 B 67 C 66 D 65 Hướng dẫn giải Ta có x  x  x  x   x  0;8 x  x    ; x  x3    x  2 x   Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 21/34 Website: tailieumontoan.com 2   Nên S 8 x  xdx   x  x3 dx  63 Câu 38 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  1, y  x đồ thị hàm số y  miền x  0, y  A Hướng dẫn giải Ta có x    x  1; x  a Khi b  a b B C x2 D x2 x2   x  0;1  0 x 4 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 22/34 Website: tailieumontoan.com 1 2 x  x   Nên S  x  dx   dx       4 4 0 1  x, nÕu x  10  Câu 39 Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y   y  x  x   x  2, nÕu x>1 a Khi a  2b b A 16 B 15 C 17 D 18 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có 10 x  x2   x  x  10 x  x2  x   x  3 10  10  13 Nên S  x  x  x dx  x  x  x   dx    0 1  x2  4x  , tiệm cận xiêm (C ) hai x 1 đường thẳng x  0, x  a (a  0) có diện tích Khi a Câu 40 Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (C ) : y  A  e5 B  e5 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Ta có TCX : y   x  C  2e5 D  2e5 a     a Nên S (a )    dx  ln x   ln(1  a )  dx      a  x  1  x  1 Suy ln(1  a )   a   e5 Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 23/34 Website: tailieumontoan.com II-Câu hỏi tính tính thể tích vật trịn xoay giới hạn đường: Những điểm cần lưu ý: Tính thể tích khối trịn xoay: Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x) , y  , x  a b x  b (a  b) quay quanh trục Ox V   f (x)dx a Trường hợp Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y  f(x), y  g(x) , b x  a x  b (a  b) quay quanh trục Ox V    f (x)  g2 (x) dx a NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 41 Thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y , y 0= , x 1= , x quanh trục ox là: = = x B 6π C 12π D 6π A 6π Hướng dẫn giải Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần = tính là: V 4 π ( ) dx ∫= x Câu 42 Cho hình phẳng giới hạn đường y = cos 4x, Ox, x = 0, x = π 12π quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π2 Hướng dẫn giải B π2 C 16 π  π +1  D   π  16  π Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = Câu 43 Cho hình phẳng giới hạn đường = y f ( x), Ox= ,x Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ f ( x)dx a b B V = π ∫ f ( x)dx a π cos2 4xdx ∫= a= ,x b C V = ∫ π f ( x)dx a π2 16 b quay xung quanh trục b D V = ∫ f ( x)dx a Hướng dẫn giải b Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ f ( x)dx a y Câu 44 Cho hình phẳng giới hạn đường = x − ; trục Ox đường thẳng x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: A π B 3π C 2π Giao điểm hai đường= y D π x − y = A(1; 0) Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ (x − 1)dx = 2π Câu 45 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x + 1, y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 24/34 Website: tailieumontoan.com 79π 63 Hướng dẫn giải A B 23π 14 C 5π D 9π Theo công thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ ( x3 + 1) dx = 23π 14 Câu 46 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x, x= a, x= b (0 < a < b) quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b A V = π ∫ xdx a B V = π ∫ b a b C V = π ∫ xdx xdx D V = π ∫ a b a xdx Hướng dẫn giải Với x ∈ [ a; b ] y = x ⇔ y = x b Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ xdx a Câu 47 Cho hình phẳng giới hạn đường y = − x + 2x, y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 16π 496π 4π 64π A B C D 15 15 15 Hướng dẫn giải Giao điểm hai đường y = −x + 2x y = O(0; 0) A(2; 0) Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ (− x + x) dx = 16π 15 Câu 48 Cho hình phẳng giới hạn đường y =1 − x , y = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 3π 2π A B Hướng dẫn giải Giao điểm hai đường = y C π D π − x y = B(−1; 0) A(1; 0) Theo cơng thức ta 4π −1 Câu 49 Thể tích khối trịn xoay không gian Oxyz giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = π có tích khối trịn xoay cần tính là: V =π ∫ (1 − x )dx = thiết diện cắt mặt phẳng vng góc với Ox điểm ( x;0;0) đường trịn bán kính sin x là: A V = B V = π C V = 4π D V = 2π Hướng dẫn giải Khối trịn xoay đề có cách quay hình phẳng tạo đường sin x ; Ox quay trục Ox = x 0;= x = π; y π Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V π= = ∫ sin xdx 2π Câu 50 Cho hình phẳng giới hạn đường= y tan x,= y 0,= x 0,= x Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: π π π    A V π  −  B V π  −  C V π  −  = = = 3 3 3    Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 π quay xung quanh trục π  D V π  −  = 3  Trang 25/34 Website: tailieumontoan.com π π  Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V π ∫ tan= = xdx π  −  3  Câu 51 Cho hình phẳng giới hạn đường y = + x , Ox, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: 28 68 28 68 B π C π D π A π 3 3 Hướng dẫn giải 68π Theo cơng thức ta tích khối trịn xoay cần tính là: V =∫ π (1 + x )2dx = VẬN DỤNG Câu 52 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường tròn x + y =(nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vuông góc với trục Ox 16 ta thiết diện hình vng Thể tích vật thể là: A ∫ (16 − x ) dx −4 Hướng dẫn giải B ∫ −4 4x 2dx C ∫ −4 4π x 2dx D ∫ −4 4π (16 − x ) dx Thiết diện cắt trục Ox điểm H có hồnh độ x cạnh thiết diện 16 − x = V Vậy thể tích vật thể ∫ −4 = S(x)dx ∫ (16 − x ) dx −4 Câu 53 Cho hình phẳng D giới hạn đường y = x đường thẳng x = Thể tích khối trịn xoay sinh D xoay quanh trục Ox là: A 32π Hướng dẫn giải B 64π Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C 16π D 4π Trang 26/34 Website: tailieumontoan.com Giao điểm hai đường y = 4x x = D(4; −4) E (4; 4) Phần phía Ox đường y = 4x có phương trình y = x Từ hình vẽ suy thể tích khối trịn xoay cần = V tính là: π (2 x ) dx ∫= 32π Câu 54 Cho hình phẳng giới hạn đường= y ln x= , y 0,= x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: B π ( 2ln 2 + 4ln − ) A 2ln 2 − 4ln + C π ( 2ln 2 − 4ln + ) D π ( 2ln − 1) Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm hai đường y = ln x y = điểm C (1; 0) Vậy thể tích khối trịn = xoay cần tính là: V ∫ π ln ( ) xdx = π ln2 − ln + Câu 55 Cho hình phẳng giới hạn đường = y a.x = , y bx (a, b ≠ 0) quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng: b3  1  A V π  −  = a 3 5 B V = π b5 C V = π 5a b5 3a3 b5  1  D V π  −  = a 3 5 Hướng dẫn giải b b2 Tọa độ giao điểm hai đường y = ax y = bx điểm O(0; 0) A( ; ) Vậy thể a a b a b a 0 2 tích khối trịn xoay cần tính là: V = π ∫ π b x dx − ∫ π a x dx = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 b5 1 ( − ) a3 Trang 27/34 Website: tailieumontoan.com Câu 56 Cho hình phẳng giới hạn đường y =4 − x , y = x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 24π Hướng dẫn giải A V = B V = 28π Tọa độ giao điểm hai đường= y C V = − x y = Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: V = 28π D V = 24π x điểm A(− 3;1) B( 3;1) 3 ∫ π (4 − x − )dx − ∫ π x dx = − π 28 Câu 57 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x= x quay xung quanh trục Ox , y x= , x 0,= Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 8π 4π 2π B V = C V = D V = π 3 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường x = với y = x y = 3x điểm C (1;1) B(3;1) Tọa độ giao điểm đường y = 3x với y = x O(0; 0) Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: A V = V = 1 ∫ π 9x dx − ∫ π x dx = π 0 Câu 58 Gọi ( H ) hình phẳng tạo hai đường cong ( C1 ) : y = f ( x ) , ( C2 ) : y = g ( x ) , hai đường thẳng x = a , x = b , a < b Giả sử ( C1 ) ( C2 ) khơng có điểm chung [ a, b ] thể b ( tích khối tròn xoay sinh quay (H) quanh Ox ) V= π∫ f ( x )  − g ( x )  dx Khi a (1) : 2 f ( x ) > g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 28/34 Website: tailieumontoan.com f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b ] ( 2) : ( 3) : ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Số nhận định nhận định là: A B C Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta suy xảy hai trường hợp: ( ) : f ( x ) > g ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] D ( 3) : ≤ f ( x ) < g ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Do số nhận định khơng Câu 59 Cho hình phẳng giới hạn đường= y x ln x= x e quay xung quanh trục Ox Thể , y 0,= tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A π 4e3 + B π 4e3 − C π 2e3 + D π 2e3 − Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm đường x = e với y = x ln x điểm C (3; 3) Tọa độ giao điểm đường y = x ln x với y = A(1; 0) Vậy thể tích khối trịn xoay cần tính là: = V e π x ln xdx π ∫= 2e + Câu 60 Cho hình phẳng giới hạn đường y =x3 − x + x, y =0 quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A 729π 35 B 27π C 256608π 35 D 7776π Hướng dẫn giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 29/34 Website: tailieumontoan.com Tọa độ giao điểm đường y =x − x + x với y = điểm C (e;e) A(3; 0) Vậy ∫ π (x ) 729 35 Câu 61 Một vật có kích thước hình dáng hình vẽ Đáy hình trịn giới hạn đường trịn x + y =(nằm mặt phẳng Oxy), cắt vật mặt phẳng vng góc với trục Ox 16 ta thiết diện tam giác Thể tích vật thể là: = thể tích khối trịn xoay cần tính là: V − 6x + 9x dx = π y x O A V = 256 B V = 256 C V = 32 D V = 32 Hướng dẫn giải Giao điểm thiết diện Ox H Đặt OH = x suy cạnh thiết diện 16 − x Diện tích thiết diện H = S (x ) Vậy thể tích vật thể V= ∫ 4(16 − x ) 3(16 − x )dx= −4 256 Câu 62 Cho hình phẳng giới hạn đường = y 2= x , y x quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: A V = 88π B V = 9π 70 C V = 4π D V = 6π Hướng dẫn giải Với x ∈ 0;2  y = 4x ⇔ y = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 4x Trang 30/34 Website: tailieumontoan.com Tọa độ giao điểm đường y = x với y = 4x điểm O(0; 0) A(1;2) Vậy thể tích 1 khối trịn xoay cần tính là: V =∫ π 4xdx − ∫ π 4x 4dx =π 0 BÀI TẬP TỔNG HỢP ( Chỉ có phần đáp số) Câu 63 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong = ax y= ; ay x (a > cho trước) là: A S = a3 B S = a3 C S = 2a 3 D S = 4a 3 Câu 64 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị của: = y x − x , trục Ox đường thẳng x = 0, x = là: A B C D 3 Câu 65 Diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y = − x đường thẳng y = -x - A 11 B C  2 D Câu 66 Diện tích hình phẳng giới hạn ba đường: y = sinx, y = cosx x = A + B 2 + C D 2 − 1 x y  x  x là: C D Câu 67 Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol: y  A B Câu 68 Diện tích giới hạn đường cong: (C1 ) : y == f1 ( x) x + 1;(C2 ) : y == f ( x) x − x đường thẳng x = -1 x = A B 11 Câu 69 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol: M(3 ; 5) trục tung A B C 13 D  11 y = x − x + tiếp tuyến với parabol điểm C Câu 70 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x(x – 1)(x – 2), y = 1 A B C D D Câu 71 Cho D miền kín giới hạn đường y = 1, y = – x x = Tính diện tích miền D 1 A B C D Câu 72 Diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = cosx , y = 0, x=0, x  A B C  D Câu 73 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt sinh quay hình phẳng giới hạn bởi: y= 2x − x2 ; y = quay quanh Ox Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 Trang 31/34 Website: tailieumontoan.com A 14 15 B 16 15 C 17 15 D 48 15 Câu 74 Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường = y x= ;8 x y quay quanh trục Oy là: 21 23 24 48 B C D A 15 15 15 Câu 75 Thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox Parabol (C ) y = ax − x (a > 0) là: A  a5 30 B  a5 C 20  a4 D  a5 10 Câu 76 Thể tích khối trịn xoay tạo nên ta quay quanh trục Ox, hình phẳng S giới hạn đường: y = x.e x , x = 1, y = 0(0 ≤ x ≤ 1) là: A π (e + 1) B π (e − 1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2038 C π (e + 1) D    e2  12 Trang 32/34 ...Website: tailieumontoan.com CHỦ ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) liên tục đoạn... Ox 16 ta thi? ??t diện tam giác Thể tích vật thể là: = thể tích khối trịn xoay cần tính là: V − 6x + 9x dx = π y x O A V = 256 B V = 256 C V = 32 D V = 32 Hướng dẫn giải Giao điểm thi? ??t diện... y ) dy c Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thi? ??t diện vật thể bị cắt mặt phẳng