Bài giảng tích phân luyện thi THPT quốc gia

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 10 MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I TÍCH PHÂN CƠ BẢN Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: 1) ∫(x ) + x dx 2) ∫(x + )   3) ∫  x +  dx x 1 x + dx 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx Lời giải: 1) ∫( 2) ∫( 4  x4  x4   44   14  989  − + = x + x dx =  + x  =  + x  = +   4       12  1 )  x2  x + x + dx =  + ( x ) + x  2  )  x2  =  + x x + x  2  = 24 − = 24 9 1 −   21  32  4    4  4  116 2 3) ∫  x + x +2 x = +  −  13 +  =  dx = ∫  x + x  dx =  x + x  =  x  3  3     3 1 1 4) ∫ ( ) x −1 x3 4 −    x − x +1 1 − 32 −2  −3  = − + = − + = − + dx = ∫ dx dx x x dx x − x       ∫1  x x5 x3  ∫1  x x3   x  4       11 = − + −  = − + − −  −1 + − =− + =  x   43 2.4   96 96 13 2.1   x x Ví dụ 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: π ∫ 1) sin π x dx 2) π dx cos x ∫ 3) π tan x dx ∫π cos x 4) tan x dx ∫0 cos x Lời giải: π π x 1 1) sin dx = (1 − cos x ) dx = ( x − s inx ) 20 ∫ ∫ π dx 2) = ( tan x ) cos x ∫ π = tan π 4 π tan x dx tan x 3) ∫ = tan x d tan x = ( ) ∫π π cos x π tan x dx 4) ∫ =∫ cos x 0 0 π 1 π π π =  − sin  − ( − s in ) = − 2 4 π − tan = π π π tan x ( tan x + 1) dx cos x = − =1 2 π  tan x tan x  = ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) =  +    π = 35 33 14 + = 5 Ví dụ 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: e 1) x2 − x + dx x −1 ∫ 2) ∫ ln x dx x e 1   3) ∫  x + + + x  dx x x  1 Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1) 4 x ( x − 1) + x − + x2 − x +   dx = dx =  x + +  dx = x + x + 6ln x − x −1 x −1 x −1  2 2 ∫ ∫ e 2) e ln x dx = x ∫ ∫ ( ∫  ln x  ln x.d (ln x) =     e = ) = 20 + 6ln − = 14 + 6ln 1 −0= 8.3 24 e e  x2 1 x3  e2 e3  1  e3 e   3) ∫  x + + + x  dx =  + ln x − +  = + − + −  − +  = + − − 3 e x x x 31 e 2   1 II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP VI PHÂN Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: 1) ∫ x x + dx 2) ∫ ( x ) x + dx dx x3 + 0 19 3x ∫ 3) 4) ∫ x dx x2 + Lời giải: 1) ∫ x ∫ 2) ∫ ( x ) x + dx = x3 + 19 4) 3x ∫ ∫ ) ( ) dx = x dx x +8 ∫ = 19 ∫ ) 0 d x + = x3 + ( ) ( ( d ( x2 + 8) = ∫ ( x3 + ) ( 2 x2 + d x2 + = x2 + 20 3) ( 1 x + dx = x + d x3 + = x3 + 30 3 2 = ( x + 8) 2 x2 + 19 ) ) ( ) x3 + 54 = = 2 (x = +4 ) 5 = 128 − 32 =2 −2 = 33 x + 8) ( 19 = 27 15 −3= 4 Ví dụ 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: π π sin x dx 1) cos3 x ∫ π ∫ 2) sin x cos x dx 3) π π ∫ sin x cos4 x dx 4) tan x dx x ∫ cos Lời giải: π π π sin x tan x tan x dx = dx = tan x d tan x = 1) ( ) cos3 x cos x 0 ∫ ∫ ∫ π π sin x 2) sin x cos x dx = sin x d ( sin x ) = π π ∫ ∫ 3) π = 1  3 = −   = − 5   160 π 14 sin x cos4 x dx = ∫ sin x d ( sin x ) = sin x 40 ∫ π 4) π π π ∫ π = ( sin x ) π =0 π 2  tan x 2 2 dx = tan x tan x + d tan x = tan x + tan x ( ) ( )  ∫ cos x 7  π = 20 21 Ví dụ 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: ln 1) ∫ e π x x dx 2) e 2tan x dx cos x ∫ e 3) dx ∫1 x ( 3ln x + 2) e 4) ∫ 1 + ln x dx x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: ln ∫ 1) e x x π ln dx = ∫ e x π 2tan x x ( ) ln dx = ∫ d e x ln = 2e x π e tan x dx = e tan x d (tan x) = e d (2 tan x) = e tan x 2 cos x 0 2) ∫ 3) ∫ ∫ dx d ( 3ln x + ) ∫1 x ( 3ln x + ) = ∫1 3ln x + = ln 3ln x + e e e = + ln x dx = ∫ + ln x d (1 + ln x ) = (1 + ln x ) x e 4) = − 2e e ∫ π = ( ) e −1 ln − ln = ln 3 e = (1 + ln x ) e = −2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau 1) ∫ π dx x 2) ∫ x − 2x + dx 2− x π x π 3) sin  +  dx 2 3 ∫ π π ∫ 4) sin 2 x dx 5) ∫ ( cos x − sin x ) dx 6) 0 π ∫ dx cos x Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau π 2) ∫ π dx x 2 x −1 5) ∫ dx 4x + π − 4) π − dx 1) ∫ π sin x dx ∫0 x + 3) sin cot x dx ∫π sin x 6) ∫ 4x + dx 3− x Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau 1   1) ∫  x +  dx 3x +  0 e2 ln x 2) ∫ dx x ln 2 ln 4) ∫ x2 xe dx 5) ∫ 1 e x x dx ln 4) ∫e 2x dx  6) ∫  x − 3 x 1   dx  Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau 1) ∫ x x + dx 2) ∫ 3) 4) ∫ x 1− x dx dx −1 5) x+2 ∫ − x dx dx ∫ 2x + 22 6) −2 ∫ 3x + dx Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau 1) ∫ 5x ( x2 + 4) dx 2) ∫ x dx 1− x 3) 3x 1+ x3 ∫3 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 4) ∫ x x + dx Facebook: LyHung95 5) π cos x dx x π ∫ 6) ∫ cos x sin x dx Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau π 1) ∫ π sin x cos x dx 2) ∫ π π π cot x 4) ∫ dx π sin x 5) ∫ π 4 π sin x cos3 x dx 3) tan x ∫0 cos x dx π cot x dx sin x 6) 3cos x dx ∫ (1 − 5sin x ) π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau π 1) ∫ π cos x dx 4sin x − 1 4) ∫ x.e x +1 e 2) ln x dx x ∫ π dx 5) π e x sin x dx ∫ + 3cos x π 2 tan x ∫ cos 3) 6) dx ∫ (e sinx + cos x ) cos x dx Bài 8: [ĐVH] Tính tích phân sau e 1) ∫ e 4) ∫ e π 2ln x + x dx + ln x dx 2x + ln x dx x π π 2) ∫ cos x + 4sin x dx 5) cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) e 3) 6) ∫ ∫ 6cos x + 1sin x dx π Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC dx = a cos tdt x = a sin t  → Nếu f(x) có chứa a − x  2 2  a − x = a − a sin t = a cos t adt  dx =  a + x x = a tan t  cos t Nếu f(x) có chứa   →  a + x  a + x = a + a tan t = a  cos t −a cos dt  dx = a  x= sin t  sin t Nếu f(x) có chứa x − a  → a2  x2 − a2 = − a = a cot t  sin t Chú ý: Sau đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau a) I1 = ∫ − x dx b) I = ∫ dx + x2 d) I = ∫ e) I = ∫ + 3x dx x2 c) I = 2 ∫ x2 − x2 dx x2 − dx x3 Lời giải: dx = cos tdt a) Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  Đổi cận :  → cos t = cos t π   x = ⇒ t = π ⇒ I1 = ∫ − x dx = ∫ 0 π π π 1 π 1 6 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = + 20 2 0 12 2  3dt  dx =  cos t b) Đặt x = tan t ⇒   + x = + tan t =  cos t π   x = ⇒ t = Đổi cận :   → cos t = cos t x = ⇒ t = π  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π ∫ I2 = π 4 + 3x + tan t dx = dt = ∫π 3tan t cos2 t ∫π x2 π dt cos tdt = = = 2 2 ∫ ∫ sin t π cos t sin t π cos t sin t cos t.cos t 6 cos t π π Facebook: LyHung95 dt π π  d (sin t ) 1  1   d (sin t ) = 3∫ = + = + +   d (sin t ) =  2 2  ∫ ∫ sin t  2(1 + sin t ) sin t  π (1 − sin t ).sin t π  − sin t π  2(1 − sin t ) 6 π π π π π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) + sin t = ∫ + ∫ + 3∫ = ln 2 π − sin t π + sin t − sin t π sin t 6 π − sin t π  3 2+ =  ln − ln  + − 2 2− 2  dx = cos tdt c) Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  Đổi cận :  → cos t = cos t π  ⇒t = x =  π π π π π π sin t cos t 1 4 π I3 = ∫ =∫ dt = ∫ dt = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − 2 cos t 20 2 0 1− x − sin t 0 3dt   dx = cos t = (1 + tan t ) dt d) Đặt x = 3tan t ⇒  9 + x = (1 + tan t )  x dx sin t cos t π x = ⇒ t = dx (1 + tan t )dt π  Đổi cận :  → I4 = ∫ = 3∫ = t = π  + x2 + tan t 12 0  x = ⇒ t = 2cos tdt  dx = −  sin t  e) Đặt x = ⇒ sin t  x − = cos t = cot t  sin t π π   x = ⇒ t = Đổi cận :   → cot t = cot t x = ⇒ t = π 3  Ta có I = ∫ π π π π 2cos t.2cos t 1 1 x −4 2 π dx = − ∫ dt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = − π x 2π 4π 4 24 16  π sin t sin t 3 sin t BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau : 2 a) ∫ 1− x dx b) ∫ 0 x2 − x2 dx c) ∫ dx − x2 Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau : 2 a) 2 ∫ x − x dx b) ∫ dx (1 − x )3 c) ∫ 2 1− x dx x2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau : dx ∫ a) ∫ b) − x2 x 2 − x2 dx x2 ∫ c) − x2 dx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau : a) ∫x 2 2 b) 1− x dx ∫x x − x dx c) 0 2 ∫ 2− x dx x+2 Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau : a) x dx ∫ 4− x b) x dx ∫ + 2x − x Đ/.s: a) I = π 18 b) I = 2 c) ∫ − x − x dx π 3 + −4 2 Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) dx ∫0 + x b) ∫ dx (1 + x )3 c) ∫x xdx + x2 + Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: 1 dx a) ∫ x + x2 + dx b) ∫ (1 + x ) 0 c) ∫ −1 dx x + 2x + 2 Bài 8: [ĐVH] Tính tích phân sau: x2 − dx x a) ∫ x2 − dx x b) ∫ c) ∫ (1 + x ) dx Bài 9: [ĐVH] Tính tích phân sau 3 a) ∫ x x −9 1+ 2 dx b) ∫ x2 − x − dx x −1 c) ∫ x x +4 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ Trong biểu thức f(x)dx có chứa đặt t Trong biểu thức f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: I1 = ∫ e I = ∫ x dx I = ∫ x( x − 4) 20 dx + x2 I = ∫ x15 + 3x8 dx e3 + 3ln x ln x dx x I = ln x dx x ln x + ∫ I = − ∫ −2 x2 + x x2 + dx Lời giải:  xdx = 3t dt Đặt + x = t ⇔ + x = t ⇒   x = t −  x = ⇒ t = Đổi cận :   → I1 =  x = ⇒ t = ∫ x3 dx + x2 = ∫ 2  3t 3t  (t − 1)t 141 dt = ∫ (t − t )dt =  = ∫ − =  t 21  20 + x2  10 x xdx  dx = dt Đặt x − = t ⇒  x = t + 1  t 22 4t 21  x = ⇒ t = 109 Đổi cận :   → I = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + ∫ t 20 dt =  +  = x = ⇒ t =   22 21  462 0 tdt  7 24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12 Đặt + x8 = t ⇔ + x8 = t ⇒   x8 = t −  x = ⇒ t = Đổi cận :  x = ⇒ t =  → I3 = ∫ x 15 + x dx = ∫ x e I = ∫ 2 8 2 (t − 1) 1  t5 t3  29 + 3x x dx = ∫ t.tdt = ∫ (t − t )dt =  −  = 12 36 36   270 + 3ln x ln x dx = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) x e 3d (ln x) = 2tdt  Đặt + 3ln x = t ⇔ + 3ln x = t ⇒  t2 −1 ln x =  e 2  2t 2t  x = ⇒ t = t2 −1 2 116 Đổi cận :   → I = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t tdt = ∫ (t − t )dt =  −  = 3 91 x = ⇒ t =  45 27  135 1 e3 I = ∫ ln x x ln x + e3 dx = ∫ ln x ln x + d (ln x)  d (ln x) = 2tdt Đặt + ln x = t ⇔ + ln x = t ⇒  ln x = t − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 e 2 x = ⇒ t =  t 2t  ln x (t − 1) 2t 76  → I = d x = dt = t − t + dt = +t = Đổi cận :  (ln ) ( 1)  − ∫ ∫ ∫ t ln x + 5  15 x = e ⇒ t = 1  xdx = tdt x2 + = t ⇔ x2 + = t ⇒  2 x = t −1 − x2 +  x = −2 ⇒ t = Đổi cận :   → I6 = ∫ dx =  x = − ⇒ t = −2 x x + Đặt = ∫ dt + dt ∫ t −1 − 5 dt  t −  ∫ t + =  t + ln t +  5 t2 ∫ t − dt = t −1 +1 ∫ t − dt = 3  ∫ 1 + t   dt −1 1 −1 −1 = − +  ln − ln  2 +1 +  Ví dụ 2: [ĐVH] Tính tích phân sau:   2  = ∫ x + −  dx =  ( x + ) − x +  = x+2 0 x+2 3 0 2 xdx I1 = ∫ 3 − I 2′ ( x − 1) − I 2′ = 3 Để tính I 2′ = ∫ ⇒ I 2′ = ∫ ( x − 1)dx ta đặt x−7 ( x − 1)dx x−7 x −1 = t ⇒ x = t2 + với I 2′ = ∫  2t dt  t−   =  =2 1 +  dt =  t + 3ln ∫ t −6 t −6 t +    Do đó: I = 48ln(2 − 3) − I = ∫ ) −1 3 ( x − 7) ( x − 1)dx x − 1dx ( x − 1)dx x x − 1dx =∫ +∫ = ∫ x − 1d ( x − 1) − ∫ x−7 x−7 x−7 x−7 1 1 I = ∫ = ( 2x + + 4x + ( + 3ln(2 − 3) ) 32 dx Đổi biến t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = 2dx tdt d (t + 1) d (t + 1)    ⇒ I3 = ∫ =∫ −∫ =  ln ( t + 1) +    = − + ln 12  t +1  t + 2t + (t + 1) (t + 1) 10 dx I = ∫5 = ln + (đổi biến t = x − ) x − x −1 5 5 I = ∫ x8 − x3 Đổi biến t = − x ⇒ t = − x3 ⇒ 2tdt = −3 x dx 1 2 2  t 2t t  ⇒ I = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ ( t − 2t + t ) dt =  − +  = 31 30 3 0 I = ∫ I = ∫ 3x + 2x + + dx (đổi biến t = x + + ) x2 − ( x + 2) x+2 dx = ∫ ( x + 2) − ( x + 2) + 3 ( x + 2)2 1 − −   dx = ∫ ( x + ) − ( x + ) + ( x + )  dx  1 1 −  2 =  ( x + 2) − ( x + 2) − ( x + 2)  = − 3 1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2 ∫ I = x = 2 ex dx = ∫ ex −1 2   x d ( ex ) = ∫  ex − +  d ( e − 1) x x e −1 e −1  0 e2 x I = ∫  t 2t t  t t − dt = +  = ( )  − ∫1 1 7 t = 1+ x + x dx Facebook: LyHung95 2  =  ( e x − 1) + ( e x − 1)  = e −1 ( e + 2) 3  0 ln ex ∫ 10 I10 = (e x ⇒ I10 = 2tdt ∫ t3 = e 11 I11 = ∫ + 1) dx Đặt t = e x + ⇒ t = e x + ⇒ 2tdt = e x dx 2dt ∫ t2 = − t 2 = −1 − ln x dx x + ln x dx x Đặt t = ln x + ⇒ t = ln x + ⇒ tdt = ⇒ I11 = ∫ − t2 tdt = t  t3  10 11 − t dt = t − − ( )   = ∫1 1 3  2 2x + dx + x + 12 I12 = ∫ Đặt t = + x + ⇒ ( t − 1) = x + ⇒ dx = ( t − 1) dt 4  t2  t −1 ⇒ I12 = ∫ ( t − 1) dt = ∫  t − +  dt =  − 2t + ln t  = + ln t t 2 2 2  x3 13 I13 = ∫  xe x − − x2 0 1  1 x2 2x dx xd e d ( − x2 ) = + ( )  ∫ ∫ 2 4− x 0  4 1 e2 x  4−t  e2   32  dt t t  =  xe2 x − − = + − −     2  ∫3 t 2 2 2 3 = e + 1  32 61  e −  −6 3 = +3 − 2 12  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: ∫ x x + 2dx 3x − dx 4− x a) b) ∫ c) ∫ −4 3x − dx 4− x Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) ∫ x2 + dx x +1 ∫ b) x3 1+ x dx c) ∫x + x dx Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) ∫ x +1 dx 3x + b) ∫ − 4xdx c) ∫x x + 1dx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP TỪNG PHẦN b b Công thức tích phân phần I = ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: e ln x dx ( x + 1) b) I = ∫ a) I1 = ∫ e x sin xdx e c) I = ∫ x ln xdx e 1 d) I = ∫ x ln(1 + x )dx e) I = ∫ x e x dx 0 Lời giải: 1 e = u e dx = du a) Đặt  ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv  − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx x x Đặt  ⇒ ⇒ J = cos xe dx = e sin x − sin xe x dx = e x sin x 10 − I1 ( )  ∫ ∫ x x ' u = e  du = e dx 0 1 − e (sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0  dx ln x = u = du e e e ln x ln x dx   x b) Đặt  dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ dx = − + ∫ x + 1 x( x + 1) ( x + 1)  ( x + 1) = dv v = − e  e e x +1  x =− ln x x +1 e e x e e e e e e e e dx dx ln x x −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) +∫ dx  e e du = 2ln x e e e ln x = u   x2  dx  x 2  x 2 c) Đặt  ⇒ ⇒ I = x ln xdx = ln x − x ln x = ln x −     ∫1 ∫ ∫ x ln xdx x   1 1  xdx = dv v = x  dx  e e du = e e   x2   x2 u = ln x x2   x Xét J = ∫ x ln xdx Đặt  ⇒ ⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x −  1  xdx = dv v = x  1   e  x2 x2 x2  e2 −  → I =  ln x − ln x +  = 1  2 xdx  du = ln(1 + x ) = u  + x2 d) Đặt  ⇒  xdx = dv v = x  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1  x2  x dx  x x    ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x )  − ∫ = ln(1 + x ) −   x−  dx = ∫ x +1   0 1+ x  0 0 1 1 1  x2   x2    x2  xdx  x 1  =  ln(1 + x )  −   + ∫ =  ln(1 + x )  −   +  ln ( x + 1)  = ln − 0     0 x +1  0  0 2 1 1  du = xdx  x = u x x e) Đặt  x ⇒ ⇒ I = x e dx = x e − xe x dx = ( x e x ) − J ( ) ∫ ∫ x 0 0 e dx = dv v = e 1 1 x = u  du = dx x x Xét J = ∫ xe x dx Đặt  x ⇒ ⇒ xe dx = xe − e x dx = ( xe x − e x ) ( ) ∫ ∫ x 0 e dx = dv v = e 0 Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ ( x − 1) ln xdx e ln x dx x2 e ln x dx x2 b) I = ∫ c) I = ∫ π Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: ln( x + 1) dx (2 x − 1) 2 a) I1 = ∫ x + cos x dx + sin x π π b) I = ∫ (2 x − 1)e x dx c) I = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x ln( x + x)dx x sin x b) I = ∫ dx cos x c) I = ∫ x cos x.sin xdx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: xe x dx ( x + 1) a) I1 = ∫ HD: Đặt u = xe x x2ex dx ( x + 2) b) I = ∫ π c) I = ∫ d) I = ∫ x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x HD: Đặt u = x e x HD: Đạo hàm biểu thức mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số x2 + e x + x2e x dx + 2e x Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: π x + tan x a) I1 = ∫ dx cos x(tan x + 1)2 π tan x + x tan x dx cos 2 x π x dx + sin x b) I = ∫ c) I = ∫ π π2 Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: e2   a) I1 = ∫  −  dx ln x ln x  e  b) I = ∫ π x sin x + ln(sin x) dx cos x c) I = ∫ sin xdx π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e2 x ln x − x a) I1 = ∫ dx 2ln x e π ln(sin x + cos x) dx cos x b) I = ∫ Facebook: LyHung95 + x ln x dx x + 2ln x e c) I = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU x2 x − x + 12 I = ∫ dx 2  16  Ta có I = ∫  + − dx = ( x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln x −4 x −3  dx I = ∫ x + x3 1 Ta có: x ( x + 1)  ⇒ I =  − ln x −  I = ∫ 1 x + + x x x +1 =− 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x2 1 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 1 Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = ( x + 1)3 ( x + 1)3 I = ∫ x (1 − x )6 dx Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = I = ∫ 11  t t8  t (1 − t ) dt =  − = ∫ 30   168 dx x ( x + 1) 2 dx x.( x10 + 1)2 1  x dx x ( x10 + 1)2 − x7 x (1 + x ) t  ∫  t − t + dt = ln 2 Ta có I = ∫ I = ∫ 3x ⇒I = Đặt t = x ⇒ I = I = ∫ −dt  Đặt t = x ⇒ I = 32 dt ∫ t (t + 1)2 dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = ∫ dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) Ta viết lại I dạng I = ∫ (1 − x ).x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I = Facebook: LyHung95 dx ∫ x (1 + x ) Đặt : x = ⇒ I =− t 3 ∫ t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   ∫ I = ∫ 1+ x 11+ Ta có: x4 1+ x 1+ x dx 1+ x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx   x x2   x2 + x2 = 2  −1  t− ⇒ I=∫ = − ln ln   2=   dt = ∫  +1 2 2 t t − t + 2 + 2 2 t −   1   1 dt − x2 10 I = ∫ 11+ x4 1− x 1 dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ x + x4 x2 + t + x2   x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u Ta có: 2 ⇒I= u2 ∫ du = u1 1− x 11 I = ∫ 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   dx −1 x Ta có: I = ∫ dx Đặt t = x + ⇒ I = ln x +x x 12 I = ∫ x4 + x +1 x4 + Ta có: x6 + 1 ⇒ I =∫ 13 I = dx = x2 + x6 + dx + 3 x2 x4 −1 ∫ ( x − x + 1) + x = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π dx = + = ∫ ( x )2 + 4 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 Ta có I = ∫ ( x − 1)( x + 1) x xdx 14 I = ∫ x + x +1 dx = 3  ∫ 1  π + dx = ln(2 − 3) +   12  x − x2 +  1 dt 11 Đặt t = x ⇒ I = ∫ = t + t + 0∫ dt 15 I = 1+ x2 + ∫ x4 − x2 + 1 Ta có: x +1 x − x +1 ⇒ I =∫ 0t Facebook: LyHung95 = π dx 1+ =  1  3  t +  +   2   x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = ∫ du = π BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: x2 + ∫1 x + dx a) b) 1 ∫1 x + dx c) ∫x dx + x2 + Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: x4 − ∫0 x + dx a) b) ∫1 x + x3 dx c) x ∫ (1 + x ) dx Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) x dx ∫ (1− x ) b) ∫ ( 3x + 2) x2 + x3 + x2 + x + dx ∫0 x2 + dx c) Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: x3 + x + ∫ x + dx a) − x 2010 ∫ x + x 2010 dx b) ( ) x4 c) ∫ (x ) −1 2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: − x4 ∫ + x dx a) b) ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx c) ∫x 1 (1 + x ) dx Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) dx ∫ x4 + x2 + 4 b) dx ∫ x3 − x c) dx − 1) ∫ x( x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN π sin x.cos x dx + cos x I= Câu ∫ π sin x.cos2 x (t − 1)2 dx Đặt t = + cos x ⇒ I = ∫ dt = ln − 1 cos x t + Ta có: I = ∫ π I = ∫ sin x tan xdx Câu π π Ta có: I = ∫ sin x sin x dx = cos x (1 − cos2 x )sin x dx Đặt t = cos x ∫ x cos − u2 du = ln − u ⇒ I = −∫ π I = ∫ sin2 x (2 − + cos2 x )dx Câu π π π Ta có: I = ∫ 2sin xdx − ∫ sin2 x + cos2 xdx = H + K π π 2 π π + Xét H = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos x )dx = π − π π 2 π = π π π π π π π 2 + Xét K = ∫ sin2 x cos2 x = − ∫ sin2 x cos xdx = − ∫ sin2 xd (sin x ) = ⇒I = π 2 3 − π I= Câu dx ∫ sin2 x.cos4 x π π I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos2 x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I= ∫ (1 + t )2 dt t2 = ∫ Facebook: LyHung95  1 t3  3−4 2 + + t dt = − + t +   =   1  t t  π Câu I=∫ sin x ( + sin x ) dx π Ta có: I = π sin x ∫ (2 + sin x )2 ⇒ I = 2∫ t−2 t2 sin x cos x dx = ∫ (2 + sin x ) dx Đặt t = + sin x 3 1   2 dt = ∫  −  dt =  ln t +  = ln − t t2  t 2  2 π Câu I= sin x ∫ cos x dx π I= π sin x sin x ∫ cos x dx = ∫ cos2 x − dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0 Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = Ta I = − ∫ 1 2t − dt = π ⇒t= 2 ln 2t − 2t + = 2 ln 3−2 5−2 π Câu I = ∫ esin x sin x.cos3 x dx • Đặt t = sin x ⇒ I = 11 t e (1 − t )dt = e − ∫ 20 π Câu I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + dx π • Đặt t = cos x I = (π + 2) 16 π Câu I= sin x ∫ sin6 x + cos6 x dx π I= ∫ sin x − sin 2 x 4 dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫  − t 1  t dt =  1 = π Câu 10 I = ∫ sin x ( sin x + cos x ) dx  π Ta có: sin x + cos x = cos  x −  ; 6  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   π π π π  sin x = sin   x −  +  = sin  x −  + cos  x −  6 6 6 6     π π π sin  x −  dx 6 3 dx  ⇒I= = + ∫ ∫   16 π  16 π cos3  x −  cos2  x −  6 6   π Câu 11 I = ∫ − sin x − cos2 x cos2 x π π sin x ∫ − = − π I= π cos2 x dx + ∫ sin x cos2 x sin x ∫ − π sin x − cos2 x dx = ∫ − cos2 x π dx dx = π cos2 x sin x dx = ∫ − π π sin x cos2 x sin x dx + ∫ sin x −0 cos x sin x dx 7π − −1 12 π Câu 12 I = ∫ sin x + cos x dx  π sin  x +  1 16  dx  I=∫ dx = ∫ dx = ∫ 20  20  π π sin x + cos x sin  x +  − cos2  x +  3 3   π π π 1   π π 1 Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3 3 1− t   π Câu 13 I = ∫ − sin x + cos2 xdx π π Ta có I = ∫ sin x − cos x dx = I = ∫ sin x − π cos x dx + ∫ sin x − cos x dx = − π π Câu 14 I = sin xdx ∫ (sin x + cos x )3 π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ⇒ 2I = cos tdt dx = cos xdx ∫ (sin t + cos t )3 ∫ (sin x + cos x )3 π π π = − cot( x + ) = ⇒ I = π sin ( x + ) ∫ (sin x + cos x )2 = ∫ π π 2 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π Câu 15 I = 7sin x − 5cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π Xét: I1 = ∫ π Đặt x = π sin xdx ( sin x + cos x ) ; I2 = cos xdx ( sin x + cos x ) ∫ − t Ta chứng minh I1 = I2 π dx ( sin x + cos x ) ∫ Tính I1 + I2 = ⇒ I1 = I = π 2 = dx cos2 ( x − ) ∫ π = π π tan( x − ) = ⇒ I = 7I1 – 5I = π Câu 16 I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = 2 π 3cos t − 2sin t ∫ (cos t + sin t )3 dt = π ⇒ 2I = I + I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx π dx + Câu 17 I = 2 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx = ∫ (sin x + cos x )2 dx = ⇒ I= x sin x ∫ + cos2 x dx π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ π π sin t ⇒ 2I = π ∫ + cos π Câu 18 I = t (π − t )sin t + cos2 t π dt = π ∫ sin t + cos t dt − I π π  π2 =π  + ⇒ I = 4 4 + cos t dt = −π ∫ d (cos t ) cos4 x sin x ∫ cos3 x + sin3 x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ π π sin t cos t cos3 t + sin3 t dt = sin x cos x ∫ cos3 x + sin3 x dx π ⇒ 2I = π cos x sin x + sin x cos x sin3 x + cos3 x ∫ dx = 3 sin x cos x (sin x + cos x ) sin3 x + cos3 x ∫ π dx = 12 1 sin xdx = ⇒ I = ∫ 20 π Câu 19 I = Đặt x = π 2   ∫  cos2 (sin x ) − tan  (cos x ) dx  − t ⇒ dx = −dt Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π Facebook: LyHung95 π 2    1 ⇒ I=∫ − tan (sin t ) dt = ∫  − tan (sin x ) dx  cos2 (cos t )   cos (cos x )  0 0 π π 2   1 π + − tan (cos x ) − tan (sin x ) dx = ∫ dt = π ⇒ I = Do đó: 2I = ∫  2  cos (sin x ) cos (cos x )  0 π Câu 20 I = cos x − sin x − sin x ∫ dx π Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = du ∫ 4−u Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ π π cos tdt − 4sin t = ∫ dt = π π 12 π Câu 21 I = sin x ∫ cos x + sin x − cos2 x Ta có: cos2 x = − t dt = Đặt t = + sin x = I= π π 3 ∫ = dx sin x cos x + sin2 x 15 t+2 ln t−2 Câu 22 I = ∫π sin3 x + sin2 x 2π +) Tính I1 = ∫π 2π +) Tính I =∫π π dx + ∫π sin x Vậy: I = 2π x Ta có I = ∫π cos2 x + sin2 x x + ( x + sin x )sin x 2π sin x.cos x ∫ 1 15 +  ln − ln  15 −  = 2π dx = 15 ∫ dx = dt − t2 = sin x cos x + sin2 x dx 15  ∫ 1  −  dt t+2 t−2 3+2  (  = ln 15 + ) − ln ( + ) −  ( ) dx dx + sin x u = x π  du = dx dx ⇒  ⇒ I1 = dx Đặt  dv = v = − cot x sin x  sin x x 2π dx = ∫π3 + sin x 2π dx dx = ∫π3 =4 − π  x 2π + cos  − x  cos  −  2   2 +4−2 π Câu 23 I=∫ π I=∫ sin x 2 dx cos x + 4sin x udu 2sin x cos x 22 dx Đặt u = 3sin x + ⇒ I = ∫ = ∫ du = u 31 3sin2 x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  π tan  x −   dx cos2 x π Câu 24 I = ∫ π I= ∫ Facebook: LyHung95 π  π tan  x −   dx = − tan x + dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx ∫ cos x cos2 x (tan x + 1) ⇒ I =− ∫ dt (t + 1) = 1− = t +1 π Câu 25 I = cot x dx π sin x.sin  x + π   4 ∫ π I = 2∫ π cot x sin x (1 + cot x ) dx Đặt + cot x = t ⇒ sin x dx = − dt ⇒ I= +1 t −1 dt = ( t − ln t ) t ∫ +1 +1 +1   = 2 − ln    π Câu 26 I = dx ∫ sin2 x.cos4 x π π Ta có: I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dx = dt + t2 (1 + t )2 dt 1 t3 = ∫ ( + + t )dt = (− + 2t + ) ⇒ I= ∫ t t2 1 t π Câu 27 I = ∫π2 sin x − cos x + sin x = 3−4 dx π π  Ta có: + sin x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  ) 4 2 π ⇒ I = ∫π2 ⇒I =∫ sin x − cos x dx Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx sin x + cos x 21 t dt = ln t = ln 2 Câu 28 I = ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đặt t = − cos3 x ⇔ t = − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx = 2t 5dt cos2 x sin x  t t13  12 ⇒ I = ∫ t (1 − t )dt =  −  =  13  91 6 π Câu 29 I = tan xdx cos x + cos2 x ∫ π Ta có: I = tan xdx ∫ 2 cos x tan x + Đặt t = + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ tdt = ⇒ I= tdt ∫2 t = tan x dx cos x ∫ dt = 3− 2 π Câu 30 I = cos2 x ∫ (cos x − sin x + 3)3 dx t −3 dt = − 32 t Đặt t = cos x − sin x + ⇒ I = ∫ π Câu 31 I = ∫ sin x dx cos x tan x + π Ta có: I = ∫ sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 ∫ dt = − BÀI TẬP LUYỆN TẬP π 1) ∫ sin x dx π 2) ∫ sin x dx 3) ∫ sin x dx 0 π π π 4) ∫ cos3 x dx 7) π 5) ∫ sin x dx 0 π π ∫ tan x dx 8) 6) π ∫ tan x dx π tan x dx 10) ∫ cos x 11) π π π 13) ∫ sin x.cos x dx ∫ ( cot 14) 9) ) x + dx + sin x dx cos x ∫ x dx π π π ∫ tan tan x ∫0 cos2 x dx π cot x dx 12) ∫ π sin x π 15) ∫ sin x cos3 x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 16) dx ∫π sin x.cos3 x π 19) π sin x 20) π sin x 22) ∫ dx cos x + 23) sin x.cos x dx + cos x ∫ π 28) ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx π 31) ∫ sin x.tan x dx π 37) 40) ∫ ( sin π π π − x 24) dx π sin x 27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx dx π π 30) dx x x π sin cos 2 ∫ sin x cos x − cos x 46) ∫ dx + cos x 33) 4sin x ∫0 + cos x dx π 36) ∫ ( sin ) x + cos3 x dx x − sin x ) dx 41) ∫ sin x (1 + sin x ) dx π 39) ∫ ( cos π 42) ) x.sin x dx dx ∫π sin x.cos x 44) ∫ sin π π 47) π dx x.cos3 x 45) dx ∫ ( tan x − cot x ) π dx + sin x + cos x dx sin x + cos x π π π 50) ∫ sin x (1 + sin x ) π − π π 49) ∫ cos x.cos x dx x π dx 4 π sin x 32) ∫ dx x cos ∫ ( cos dx ∫ cos π 38) sin x 29) ∫ dx sin x + π sin x ∫ + cos x dx π π ∫ ( + sin x ) π π π sin x ∫ + cos 21) sin x 35) ∫ dx + cos x x + cos x ) dx cos x ∫ + 2sin x dx ∫ cos x ∫ − sin x dx π 43) π π cos3 x 34) ∫ dx cos x + π 0 26) 18) ∫ sin x cos5 x dx 0 π 25) π 17) ∫ sin x cos x dx ∫ + 3cos x dx Facebook: LyHung95 ∫ − 2sin x 48) ∫ dx + sin x π 51) sin x ∫ cos x + sin x dx 52) ∫ cos x + sin x + sin x dx 53) ∫π sin x − cos x + sin x π 54) dx ∫ − cos x sin x.cos5 xdx π 55) ∫ − cos x sin x.cos5 x dx π 56) ∫ cos x π π tan x + cos x dx 57) ∫ cos x dx + cos x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 58) ∫ sin x cos x − cos x dx 61) π 59) 0 π π ∫ cos x dx + cos x 62) − dx π  cos x.cos  x +  4  ∫ 71) 66) cos x dx ∫ ( sin x + cos x ) π 69) sin x − 5cos x dx π  sin x.cos  x +  4  72) dx π  sin x.sin  x +  6  ∫π sin x sin x dx 75) ∫ ∫ (e tan x dx cos x e ) eπ π sin x + cos x cos x dx ln(sin x) dx π cos x π 6 π ∫ cos(ln x)dx 80) 83) dx sin xdx (sin x + cos x 78) π ) 84) π dx ∫0 cos2 x + 4sin x 92) sin x − cos x + ∫0 sin x + cos x + dx π π sin x ∫0 cos8 x dx dx ∫0 sin x + 2sin x cos x − cos2 x 95) dx π cos x 87) ∫ dx sin x + cos x π ∫ ( sin 90) x + cos5 x ) dx π π cos x − 4sin x ∫ (cos x + sin x) π 89) ∫ 81) ∫ sin x.ln(cos x) dx sin xdx 86) ∫ sin x + cos x π sin x ∫0 + sin x dx ∫ π 1+ cos x sin x ∫0 sin x + cos6 x dx ∫ dx π 77) π ∫π π sin x cos3 xdx ∫ ( 3sin x + cos x ) 2x π (1 + sin x) 85) ∫ ln + cos x 94) π sin(ln x) dx x sin ∫e π 91) ( cos x − sin x ) π 74) ∫ e dx 82) ∫ sin x + cos x 88) ) dx 63) ∫ π tan x + e 73) ∫ cos x 79) sin x sin x − cos x + 68) ∫ dx π sin x + cos x + π 76) ( cos x + dx π sin x 67) ∫ dx sin x + cos x π ∫ sin x + sin x dx + 3cos x ∫ π cos x dx 65) ∫ + sin x π π + cos x π cos x − sinx 64) ∫ dx sinx + cos x 70) 60) π π cos x dx ∫ Facebook: LyHung95 sin x + cos x dx + 2sin x 93) ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... 1 + sin x 0 b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ π 4 π2 4 Bài 6: [ĐVH] Tính các tích phân sau: e2 1   1 a) I1 = ∫  − 2  dx ln x ln x  e  b) I 2 = ∫ π 3 x sin 2 x + ln(sin x) dx cos 2 x c) I 3 = ∫ sin xdx π 4 Bài 7: [ĐVH] Tính các tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e2 2 x ln x −... Facebook: LyHung95 1 + x 2 ln x dx x + 2ln x 1 e c) I 3 = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU 2 x2... x4 3 c) ∫ 2 (x ) −1 2 2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 − x4 ∫ 1 + x 2 dx 0 1 a) 2 1 b) 1 ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx 0 c) ∫x 1 1 (1 + x ) 4 dx Bài 6: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 1 a) dx ∫ x4 + x2 + 1 0 4 4 b) dx ∫ x3 − 4 x 3 c) dx 2 − 1) ∫ x( x 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT... Bài 12: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 3 a) ∫ 0 x5 + x3 1+ x 2 π 3 0 dx b) ∫ x (e 2x + 3 x + 1)dx c) −1 ∫ 0 cos 2 x + 2 3 tan x cos 2 x dx cos 2 x Bài 13: [ĐVH] Tính các tích phân sau: π ln 2 a) ∫ 0 e x dx (e x + 1) 3 ln 2 b) ∫ 0 e 2 x dx ex +1 2 c) ∫ 0 sin 2 x + sin x 1 + 3 cos x dx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc. .. 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính các tích phân sau: x2 + 1 ∫1 x 4 + 1 dx 3 a) 3 b) 1 1 ∫1 x 4 + 1 dx c) ∫x 4 0 1 dx + 4 x2 + 3 Bài 2: [ĐVH] Tính các tích phân sau: x4 − 1 ∫0 x 2 + 9 dx 3 a) 1 2 b) 1 ∫1 x + x3 dx c) x ∫ (1 + 2 x ) 3 dx 0 Bài 3: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 3 a) 3 x 2 dx ∫ (1− x ) 9 b) 2 ∫ ( 3x 2 + 2) x2 + 1 0 x3 + 2 x2 + 4 x + 9 dx ∫0 x2 + 4 2 dx c) Bài 4: [ĐVH] Tính các tích phân. ..Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 1 a) 1 dx 3 − 2x ∫ 0 Facebook: LyHung95 5 b) ∫ x 2 x − 1dx 2 c) 1 2 ∫x 4 − x 2 dx 0 Bài 5: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 a) 23 3 ∫ x x − 8dx 2 b) 0 4 x2 ∫ 3 0 1+ x 3 dx c) ∫x x 2 + 9dx 0 Bài 6: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 4 a) 1 dx 1+ x ∫ 0 1 1 b) ∫ dx + x 1 0 3 c) ∫ ( x − 1) 2 x +1 0 dx Bài 7: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 3 ∫... 2 dx 4 x 2 + 12 x + 5 Bài 8: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 a) ∫x 1 2 dx x3 + 1 b) ∫ 2 x 2 + 2013dx 6 1 dx ∫ x 2 + 2013 1 Bài 9: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 1 a) 2 2 ∫ x 1 + x dx 1 b) 0 ∫ x2 +1 3 (1 − x 2 ) 3 dx c) 0 ∫x 1 2 x2 +1 dx Bài 10: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 2 a) ∫ 0 1+ x dx 1− x 1 b) 2 2 dx ∫ (1 + x ) 2 3 0 c) ∫ 0 dx (1 − x 2 ) 3 Bài 11: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 1 a) ln 3 dx... t (t 2 + 1)2 dx 2 1 128 1 − t dx Đặt t = x 7 ⇒ I = ∫ dt 7 7 7 1 t (1 + t ) 1 x (1 + x ) Ta viết lại I dưới dạng I = ∫ (1 − x 7 ).x 6 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 8 I = Facebook: LyHung95 dx ∫ 6 x (1 + x 2 ) 1 Đặt : x = 1 ⇒ I =− t 3 3 ∫ 1 t6 dt = t2 + 1 1  4 2 117 − 41 3 π 1... x4 − x2 + 1 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) + x2 x6 + 1 = 1 x2 + 1 + x2 x6 + 1 1 1 d (x3 ) π 1 π π dx = + = ∫ 3 0 ( x 3 )2 + 1 4 3 4 3 dx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 3 Ta có I = ∫ ( x 2 − 1)( x 2 + 1) 0 1 x xdx 14 I = ∫ 2 4 2 0 x + x +1 dx = 1 2 3 3  ∫ 0 1 1  1 π + dx = ln(2 −...  e2 − 1  → I 3 =  ln 2 x − ln x +  = 2 4 1 4  2 2 xdx  du = ln(1 + x 2 ) = u  1 + x2 d) Đặt  ⇒ 2  xdx = dv v = x  2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 1 Facebook: LyHung95 1 1 1  x2  x 3 dx  x 2 x   2  ⇒ I 4 = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x 2 )  − ∫ = ln(1 + x ... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau... cos x c) I = ∫ sin xdx π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU