1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bài giảng tích phân luyện thi THPT quốc gia

26 340 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 26
Dung lượng 594,65 KB

Nội dung

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 10 MỞ ĐẦU VỀ TÍCH PHÂN Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I TÍCH PHÂN CƠ BẢN Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: 1) ∫(x ) + x dx 2) ∫(x + )   3) ∫  x +  dx x 1 x + dx 4) ∫ ( ) x −1 x3 dx Lời giải: 1) ∫( 2) ∫( 4  x4  x4   44   14  989  − + = x + x dx =  + x  =  + x  = +   4       12  1 )  x2  x + x + dx =  + ( x ) + x  2  )  x2  =  + x x + x  2  = 24 − = 24 9 1 −   21  32  4    4  4  116 2 3) ∫  x + x +2 x = +  −  13 +  =  dx = ∫  x + x  dx =  x + x  =  x  3  3     3 1 1 4) ∫ ( ) x −1 x3 4 −    x − x +1 1 − 32 −2  −3  = − + = − + = − + dx = ∫ dx dx x x dx x − x       ∫1  x x5 x3  ∫1  x x3   x  4       11 = − + −  = − + − −  −1 + − =− + =  x   43 2.4   96 96 13 2.1   x x Ví dụ 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: π ∫ 1) sin π x dx 2) π dx cos x ∫ 3) π tan x dx ∫π cos x 4) tan x dx ∫0 cos x Lời giải: π π x 1 1) sin dx = (1 − cos x ) dx = ( x − s inx ) 20 ∫ ∫ π dx 2) = ( tan x ) cos x ∫ π = tan π 4 π tan x dx tan x 3) ∫ = tan x d tan x = ( ) ∫π π cos x π tan x dx 4) ∫ =∫ cos x 0 0 π 1 π π π =  − sin  − ( − s in ) = − 2 4 π − tan = π π π tan x ( tan x + 1) dx cos x = − =1 2 π  tan x tan x  = ∫ ( tan x + tan x ) d (tan x) =  +    π = 35 33 14 + = 5 Ví dụ 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: e 1) x2 − x + dx x −1 ∫ 2) ∫ ln x dx x e 1   3) ∫  x + + + x  dx x x  1 Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1) 4 x ( x − 1) + x − + x2 − x +   dx = dx =  x + +  dx = x + x + 6ln x − x −1 x −1 x −1  2 2 ∫ ∫ e 2) e ln x dx = x ∫ ∫ ( ∫  ln x  ln x.d (ln x) =     e = ) = 20 + 6ln − = 14 + 6ln 1 −0= 8.3 24 e e  x2 1 x3  e2 e3  1  e3 e   3) ∫  x + + + x  dx =  + ln x − +  = + − + −  − +  = + − − 3 e x x x 31 e 2   1 II TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP VI PHÂN Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: 1) ∫ x x + dx 2) ∫ ( x ) x + dx dx x3 + 0 19 3x ∫ 3) 4) ∫ x dx x2 + Lời giải: 1) ∫ x ∫ 2) ∫ ( x ) x + dx = x3 + 19 4) 3x ∫ ∫ ) ( ) dx = x dx x +8 ∫ = 19 ∫ ) 0 d x + = x3 + ( ) ( ( d ( x2 + 8) = ∫ ( x3 + ) ( 2 x2 + d x2 + = x2 + 20 3) ( 1 x + dx = x + d x3 + = x3 + 30 3 2 = ( x + 8) 2 x2 + 19 ) ) ( ) x3 + 54 = = 2 (x = +4 ) 5 = 128 − 32 =2 −2 = 33 x + 8) ( 19 = 27 15 −3= 4 Ví dụ 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: π π sin x dx 1) cos3 x ∫ π ∫ 2) sin x cos x dx 3) π π ∫ sin x cos4 x dx 4) tan x dx x ∫ cos Lời giải: π π π sin x tan x tan x dx = dx = tan x d tan x = 1) ( ) cos3 x cos x 0 ∫ ∫ ∫ π π sin x 2) sin x cos x dx = sin x d ( sin x ) = π π ∫ ∫ 3) π = 1  3 = −   = − 5   160 π 14 sin x cos4 x dx = ∫ sin x d ( sin x ) = sin x 40 ∫ π 4) π π π ∫ π = ( sin x ) π =0 π 2  tan x 2 2 dx = tan x tan x + d tan x = tan x + tan x ( ) ( )  ∫ cos x 7  π = 20 21 Ví dụ 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: ln 1) ∫ e π x x dx 2) e 2tan x dx cos x ∫ e 3) dx ∫1 x ( 3ln x + 2) e 4) ∫ 1 + ln x dx x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Lời giải: ln ∫ 1) e x x π ln dx = ∫ e x π 2tan x x ( ) ln dx = ∫ d e x ln = 2e x π e tan x dx = e tan x d (tan x) = e d (2 tan x) = e tan x 2 cos x 0 2) ∫ 3) ∫ ∫ dx d ( 3ln x + ) ∫1 x ( 3ln x + ) = ∫1 3ln x + = ln 3ln x + e e e = + ln x dx = ∫ + ln x d (1 + ln x ) = (1 + ln x ) x e 4) = − 2e e ∫ π = ( ) e −1 ln − ln = ln 3 e = (1 + ln x ) e = −2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau 1) ∫ π dx x 2) ∫ x − 2x + dx 2− x π x π 3) sin  +  dx 2 3 ∫ π π ∫ 4) sin 2 x dx 5) ∫ ( cos x − sin x ) dx 6) 0 π ∫ dx cos x Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau π 2) ∫ π dx x 2 x −1 5) ∫ dx 4x + π − 4) π − dx 1) ∫ π sin x dx ∫0 x + 3) sin cot x dx ∫π sin x 6) ∫ 4x + dx 3− x Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau 1   1) ∫  x +  dx 3x +  0 e2 ln x 2) ∫ dx x ln 2 ln 4) ∫ x2 xe dx 5) ∫ 1 e x x dx ln 4) ∫e 2x dx  6) ∫  x − 3 x 1   dx  Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau 1) ∫ x x + dx 2) ∫ 3) 4) ∫ x 1− x dx dx −1 5) x+2 ∫ − x dx dx ∫ 2x + 22 6) −2 ∫ 3x + dx Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau 1) ∫ 5x ( x2 + 4) dx 2) ∫ x dx 1− x 3) 3x 1+ x3 ∫3 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 4) ∫ x x + dx Facebook: LyHung95 5) π cos x dx x π ∫ 6) ∫ cos x sin x dx Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau π 1) ∫ π sin x cos x dx 2) ∫ π π π cot x 4) ∫ dx π sin x 5) ∫ π 4 π sin x cos3 x dx 3) tan x ∫0 cos x dx π cot x dx sin x 6) 3cos x dx ∫ (1 − 5sin x ) π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau π 1) ∫ π cos x dx 4sin x − 1 4) ∫ x.e x +1 e 2) ln x dx x ∫ π dx 5) π e x sin x dx ∫ + 3cos x π 2 tan x ∫ cos 3) 6) dx ∫ (e sinx + cos x ) cos x dx Bài 8: [ĐVH] Tính tích phân sau e 1) ∫ e 4) ∫ e π 2ln x + x dx + ln x dx 2x + ln x dx x π π 2) ∫ cos x + 4sin x dx 5) cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) e 3) 6) ∫ ∫ 6cos x + 1sin x dx π Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC dx = a cos tdt x = a sin t  → Nếu f(x) có chứa a − x  2 2  a − x = a − a sin t = a cos t adt  dx =  a + x x = a tan t  cos t Nếu f(x) có chứa   →  a + x  a + x = a + a tan t = a  cos t −a cos dt  dx = a  x= sin t  sin t Nếu f(x) có chứa x − a  → a2  x2 − a2 = − a = a cot t  sin t Chú ý: Sau đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau a) I1 = ∫ − x dx b) I = ∫ dx + x2 d) I = ∫ e) I = ∫ + 3x dx x2 c) I = 2 ∫ x2 − x2 dx x2 − dx x3 Lời giải: dx = cos tdt a) Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  Đổi cận :  → cos t = cos t π   x = ⇒ t = π ⇒ I1 = ∫ − x dx = ∫ 0 π π π 1 π 1 6 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = + 20 2 0 12 2  3dt  dx =  cos t b) Đặt x = tan t ⇒   + x = + tan t =  cos t π   x = ⇒ t = Đổi cận :   → cos t = cos t x = ⇒ t = π  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π ∫ I2 = π 4 + 3x + tan t dx = dt = ∫π 3tan t cos2 t ∫π x2 π dt cos tdt = = = 2 2 ∫ ∫ sin t π cos t sin t π cos t sin t cos t.cos t 6 cos t π π Facebook: LyHung95 dt π π  d (sin t ) 1  1   d (sin t ) = 3∫ = + = + +   d (sin t ) =  2 2  ∫ ∫ sin t  2(1 + sin t ) sin t  π (1 − sin t ).sin t π  − sin t π  2(1 − sin t ) 6 π π π π π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) + sin t = ∫ + ∫ + 3∫ = ln 2 π − sin t π + sin t − sin t π sin t 6 π − sin t π  3 2+ =  ln − ln  + − 2 2− 2  dx = cos tdt c) Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  Đổi cận :  → cos t = cos t π  ⇒t = x =  π π π π π π sin t cos t 1 4 π I3 = ∫ =∫ dt = ∫ dt = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − 2 cos t 20 2 0 1− x − sin t 0 3dt   dx = cos t = (1 + tan t ) dt d) Đặt x = 3tan t ⇒  9 + x = (1 + tan t )  x dx sin t cos t π x = ⇒ t = dx (1 + tan t )dt π  Đổi cận :  → I4 = ∫ = 3∫ = t = π  + x2 + tan t 12 0  x = ⇒ t = 2cos tdt  dx = −  sin t  e) Đặt x = ⇒ sin t  x − = cos t = cot t  sin t π π   x = ⇒ t = Đổi cận :   → cot t = cot t x = ⇒ t = π 3  Ta có I = ∫ π π π π 2cos t.2cos t 1 1 x −4 2 π dx = − ∫ dt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = − π x 2π 4π 4 24 16  π sin t sin t 3 sin t BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau : 2 a) ∫ 1− x dx b) ∫ 0 x2 − x2 dx c) ∫ dx − x2 Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau : 2 a) 2 ∫ x − x dx b) ∫ dx (1 − x )3 c) ∫ 2 1− x dx x2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau : dx ∫ a) ∫ b) − x2 x 2 − x2 dx x2 ∫ c) − x2 dx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau : a) ∫x 2 2 b) 1− x dx ∫x x − x dx c) 0 2 ∫ 2− x dx x+2 Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau : a) x dx ∫ 4− x b) x dx ∫ + 2x − x Đ/.s: a) I = π 18 b) I = 2 c) ∫ − x − x dx π 3 + −4 2 Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) dx ∫0 + x b) ∫ dx (1 + x )3 c) ∫x xdx + x2 + Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: 1 dx a) ∫ x + x2 + dx b) ∫ (1 + x ) 0 c) ∫ −1 dx x + 2x + 2 Bài 8: [ĐVH] Tính tích phân sau: x2 − dx x a) ∫ x2 − dx x b) ∫ c) ∫ (1 + x ) dx Bài 9: [ĐVH] Tính tích phân sau 3 a) ∫ x x −9 1+ 2 dx b) ∫ x2 − x − dx x −1 c) ∫ x x +4 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ Trong biểu thức f(x)dx có chứa đặt t Trong biểu thức f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: I1 = ∫ e I = ∫ x dx I = ∫ x( x − 4) 20 dx + x2 I = ∫ x15 + 3x8 dx e3 + 3ln x ln x dx x I = ln x dx x ln x + ∫ I = − ∫ −2 x2 + x x2 + dx Lời giải:  xdx = 3t dt Đặt + x = t ⇔ + x = t ⇒   x = t −  x = ⇒ t = Đổi cận :   → I1 =  x = ⇒ t = ∫ x3 dx + x2 = ∫ 2  3t 3t  (t − 1)t 141 dt = ∫ (t − t )dt =  = ∫ − =  t 21  20 + x2  10 x xdx  dx = dt Đặt x − = t ⇒  x = t + 1  t 22 4t 21  x = ⇒ t = 109 Đổi cận :   → I = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + ∫ t 20 dt =  +  = x = ⇒ t =   22 21  462 0 tdt  7 24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12 Đặt + x8 = t ⇔ + x8 = t ⇒   x8 = t −  x = ⇒ t = Đổi cận :  x = ⇒ t =  → I3 = ∫ x 15 + x dx = ∫ x e I = ∫ 2 8 2 (t − 1) 1  t5 t3  29 + 3x x dx = ∫ t.tdt = ∫ (t − t )dt =  −  = 12 36 36   270 + 3ln x ln x dx = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) x e 3d (ln x) = 2tdt  Đặt + 3ln x = t ⇔ + 3ln x = t ⇒  t2 −1 ln x =  e 2  2t 2t  x = ⇒ t = t2 −1 2 116 Đổi cận :   → I = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t tdt = ∫ (t − t )dt =  −  = 3 91 x = ⇒ t =  45 27  135 1 e3 I = ∫ ln x x ln x + e3 dx = ∫ ln x ln x + d (ln x)  d (ln x) = 2tdt Đặt + ln x = t ⇔ + ln x = t ⇒  ln x = t − Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 e 2 x = ⇒ t =  t 2t  ln x (t − 1) 2t 76  → I = d x = dt = t − t + dt = +t = Đổi cận :  (ln ) ( 1)  − ∫ ∫ ∫ t ln x + 5  15 x = e ⇒ t = 1  xdx = tdt x2 + = t ⇔ x2 + = t ⇒  2 x = t −1 − x2 +  x = −2 ⇒ t = Đổi cận :   → I6 = ∫ dx =  x = − ⇒ t = −2 x x + Đặt = ∫ dt + dt ∫ t −1 − 5 dt  t −  ∫ t + =  t + ln t +  5 t2 ∫ t − dt = t −1 +1 ∫ t − dt = 3  ∫ 1 + t   dt −1 1 −1 −1 = − +  ln − ln  2 +1 +  Ví dụ 2: [ĐVH] Tính tích phân sau:   2  = ∫ x + −  dx =  ( x + ) − x +  = x+2 0 x+2 3 0 2 xdx I1 = ∫ 3 − I 2′ ( x − 1) − I 2′ = 3 Để tính I 2′ = ∫ ⇒ I 2′ = ∫ ( x − 1)dx ta đặt x−7 ( x − 1)dx x−7 x −1 = t ⇒ x = t2 + với I 2′ = ∫  2t dt  t−   =  =2 1 +  dt =  t + 3ln ∫ t −6 t −6 t +    Do đó: I = 48ln(2 − 3) − I = ∫ ) −1 3 ( x − 7) ( x − 1)dx x − 1dx ( x − 1)dx x x − 1dx =∫ +∫ = ∫ x − 1d ( x − 1) − ∫ x−7 x−7 x−7 x−7 1 1 I = ∫ = ( 2x + + 4x + ( + 3ln(2 − 3) ) 32 dx Đổi biến t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = 2dx tdt d (t + 1) d (t + 1)    ⇒ I3 = ∫ =∫ −∫ =  ln ( t + 1) +    = − + ln 12  t +1  t + 2t + (t + 1) (t + 1) 10 dx I = ∫5 = ln + (đổi biến t = x − ) x − x −1 5 5 I = ∫ x8 − x3 Đổi biến t = − x ⇒ t = − x3 ⇒ 2tdt = −3 x dx 1 2 2  t 2t t  ⇒ I = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ ( t − 2t + t ) dt =  − +  = 31 30 3 0 I = ∫ I = ∫ 3x + 2x + + dx (đổi biến t = x + + ) x2 − ( x + 2) x+2 dx = ∫ ( x + 2) − ( x + 2) + 3 ( x + 2)2 1 − −   dx = ∫ ( x + ) − ( x + ) + ( x + )  dx  1 1 −  2 =  ( x + 2) − ( x + 2) − ( x + 2)  = − 3 1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2 ∫ I = x = 2 ex dx = ∫ ex −1 2   x d ( ex ) = ∫  ex − +  d ( e − 1) x x e −1 e −1  0 e2 x I = ∫  t 2t t  t t − dt = +  = ( )  − ∫1 1 7 t = 1+ x + x dx Facebook: LyHung95 2  =  ( e x − 1) + ( e x − 1)  = e −1 ( e + 2) 3  0 ln ex ∫ 10 I10 = (e x ⇒ I10 = 2tdt ∫ t3 = e 11 I11 = ∫ + 1) dx Đặt t = e x + ⇒ t = e x + ⇒ 2tdt = e x dx 2dt ∫ t2 = − t 2 = −1 − ln x dx x + ln x dx x Đặt t = ln x + ⇒ t = ln x + ⇒ tdt = ⇒ I11 = ∫ − t2 tdt = t  t3  10 11 − t dt = t − − ( )   = ∫1 1 3  2 2x + dx + x + 12 I12 = ∫ Đặt t = + x + ⇒ ( t − 1) = x + ⇒ dx = ( t − 1) dt 4  t2  t −1 ⇒ I12 = ∫ ( t − 1) dt = ∫  t − +  dt =  − 2t + ln t  = + ln t t 2 2 2  x3 13 I13 = ∫  xe x − − x2 0 1  1 x2 2x dx xd e d ( − x2 ) = + ( )  ∫ ∫ 2 4− x 0  4 1 e2 x  4−t  e2   32  dt t t  =  xe2 x − − = + − −     2  ∫3 t 2 2 2 3 = e + 1  32 61  e −  −6 3 = +3 − 2 12  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: ∫ x x + 2dx 3x − dx 4− x a) b) ∫ c) ∫ −4 3x − dx 4− x Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) ∫ x2 + dx x +1 ∫ b) x3 1+ x dx c) ∫x + x dx Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) ∫ x +1 dx 3x + b) ∫ − 4xdx c) ∫x x + 1dx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 12 CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN DẠNG PP TỪNG PHẦN b b Công thức tích phân phần I = ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu b a a Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga, ln → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: e ln x dx ( x + 1) b) I = ∫ a) I1 = ∫ e x sin xdx e c) I = ∫ x ln xdx e 1 d) I = ∫ x ln(1 + x )dx e) I = ∫ x e x dx 0 Lời giải: 1 e = u e dx = du a) Đặt  ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv  − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx x x Đặt  ⇒ ⇒ J = cos xe dx = e sin x − sin xe x dx = e x sin x 10 − I1 ( )  ∫ ∫ x x ' u = e  du = e dx 0 1 − e (sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0  dx ln x = u = du e e e ln x ln x dx   x b) Đặt  dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ dx = − + ∫ x + 1 x( x + 1) ( x + 1)  ( x + 1) = dv v = − e  e e x +1  x =− ln x x +1 e e x e e e e e e e e dx dx ln x x −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) +∫ dx  e e du = 2ln x e e e ln x = u   x2  dx  x 2  x 2 c) Đặt  ⇒ ⇒ I = x ln xdx = ln x − x ln x = ln x −     ∫1 ∫ ∫ x ln xdx x   1 1  xdx = dv v = x  dx  e e du = e e   x2   x2 u = ln x x2   x Xét J = ∫ x ln xdx Đặt  ⇒ ⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x −  1  xdx = dv v = x  1   e  x2 x2 x2  e2 −  → I =  ln x − ln x +  = 1  2 xdx  du = ln(1 + x ) = u  + x2 d) Đặt  ⇒  xdx = dv v = x  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1  x2  x dx  x x    ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x )  − ∫ = ln(1 + x ) −   x−  dx = ∫ x +1   0 1+ x  0 0 1 1 1  x2   x2    x2  xdx  x 1  =  ln(1 + x )  −   + ∫ =  ln(1 + x )  −   +  ln ( x + 1)  = ln − 0     0 x +1  0  0 2 1 1  du = xdx  x = u x x e) Đặt  x ⇒ ⇒ I = x e dx = x e − xe x dx = ( x e x ) − J ( ) ∫ ∫ x 0 0 e dx = dv v = e 1 1 x = u  du = dx x x Xét J = ∫ xe x dx Đặt  x ⇒ ⇒ xe dx = xe − e x dx = ( xe x − e x ) ( ) ∫ ∫ x 0 e dx = dv v = e 0 Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ ( x − 1) ln xdx e ln x dx x2 e ln x dx x2 b) I = ∫ c) I = ∫ π Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: ln( x + 1) dx (2 x − 1) 2 a) I1 = ∫ x + cos x dx + sin x π π b) I = ∫ (2 x − 1)e x dx c) I = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) I1 = ∫ x ln( x + x)dx x sin x b) I = ∫ dx cos x c) I = ∫ x cos x.sin xdx Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: xe x dx ( x + 1) a) I1 = ∫ HD: Đặt u = xe x x2ex dx ( x + 2) b) I = ∫ π c) I = ∫ d) I = ∫ x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x HD: Đặt u = x e x HD: Đạo hàm biểu thức mẫu số để tìm mối quan hệ với tử số x2 + e x + x2e x dx + 2e x Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: π x + tan x a) I1 = ∫ dx cos x(tan x + 1)2 π tan x + x tan x dx cos 2 x π x dx + sin x b) I = ∫ c) I = ∫ π π2 Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: e2   a) I1 = ∫  −  dx ln x ln x  e  b) I = ∫ π x sin x + ln(sin x) dx cos x c) I = ∫ sin xdx π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e2 x ln x − x a) I1 = ∫ dx 2ln x e π ln(sin x + cos x) dx cos x b) I = ∫ Facebook: LyHung95 + x ln x dx x + 2ln x e c) I = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU x2 x − x + 12 I = ∫ dx 2  16  Ta có I = ∫  + − dx = ( x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln x −4 x −3  dx I = ∫ x + x3 1 Ta có: x ( x + 1)  ⇒ I =  − ln x −  I = ∫ 1 x + + x x x +1 =− 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x2 1 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 1 Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = ( x + 1)3 ( x + 1)3 I = ∫ x (1 − x )6 dx Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = I = ∫ 11  t t8  t (1 − t ) dt =  − = ∫ 30   168 dx x ( x + 1) 2 dx x.( x10 + 1)2 1  x dx x ( x10 + 1)2 − x7 x (1 + x ) t  ∫  t − t + dt = ln 2 Ta có I = ∫ I = ∫ 3x ⇒I = Đặt t = x ⇒ I = I = ∫ −dt  Đặt t = x ⇒ I = 32 dt ∫ t (t + 1)2 dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = ∫ dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) Ta viết lại I dạng I = ∫ (1 − x ).x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I = Facebook: LyHung95 dx ∫ x (1 + x ) Đặt : x = ⇒ I =− t 3 ∫ t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   ∫ I = ∫ 1+ x 11+ Ta có: x4 1+ x 1+ x dx 1+ x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx   x x2   x2 + x2 = 2  −1  t− ⇒ I=∫ = − ln ln   2=   dt = ∫  +1 2 2 t t − t + 2 + 2 2 t −   1   1 dt − x2 10 I = ∫ 11+ x4 1− x 1 dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ x + x4 x2 + t + x2   x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u Ta có: 2 ⇒I= u2 ∫ du = u1 1− x 11 I = ∫ 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   dx −1 x Ta có: I = ∫ dx Đặt t = x + ⇒ I = ln x +x x 12 I = ∫ x4 + x +1 x4 + Ta có: x6 + 1 ⇒ I =∫ 13 I = dx = x2 + x6 + dx + 3 x2 x4 −1 ∫ ( x − x + 1) + x = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π dx = + = ∫ ( x )2 + 4 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 Ta có I = ∫ ( x − 1)( x + 1) x xdx 14 I = ∫ x + x +1 dx = 3  ∫ 1  π + dx = ln(2 − 3) +   12  x − x2 +  1 dt 11 Đặt t = x ⇒ I = ∫ = t + t + 0∫ dt 15 I = 1+ x2 + ∫ x4 − x2 + 1 Ta có: x +1 x − x +1 ⇒ I =∫ 0t Facebook: LyHung95 = π dx 1+ =  1  3  t +  +   2   x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = ∫ du = π BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: x2 + ∫1 x + dx a) b) 1 ∫1 x + dx c) ∫x dx + x2 + Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: x4 − ∫0 x + dx a) b) ∫1 x + x3 dx c) x ∫ (1 + x ) dx Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) x dx ∫ (1− x ) b) ∫ ( 3x + 2) x2 + x3 + x2 + x + dx ∫0 x2 + dx c) Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: x3 + x + ∫ x + dx a) − x 2010 ∫ x + x 2010 dx b) ( ) x4 c) ∫ (x ) −1 2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: − x4 ∫ + x dx a) b) ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx c) ∫x 1 (1 + x ) dx Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) dx ∫ x4 + x2 + 4 b) dx ∫ x3 − x c) dx − 1) ∫ x( x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 14 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN π sin x.cos x dx + cos x I= Câu ∫ π sin x.cos2 x (t − 1)2 dx Đặt t = + cos x ⇒ I = ∫ dt = ln − 1 cos x t + Ta có: I = ∫ π I = ∫ sin x tan xdx Câu π π Ta có: I = ∫ sin x sin x dx = cos x (1 − cos2 x )sin x dx Đặt t = cos x ∫ x cos − u2 du = ln − u ⇒ I = −∫ π I = ∫ sin2 x (2 − + cos2 x )dx Câu π π π Ta có: I = ∫ 2sin xdx − ∫ sin2 x + cos2 xdx = H + K π π 2 π π + Xét H = ∫ 2sin xdx = ∫ (1 − cos x )dx = π − π π 2 π = π π π π π π π 2 + Xét K = ∫ sin2 x cos2 x = − ∫ sin2 x cos xdx = − ∫ sin2 xd (sin x ) = ⇒I = π 2 3 − π I= Câu dx ∫ sin2 x.cos4 x π π I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos2 x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I= ∫ (1 + t )2 dt t2 = ∫ Facebook: LyHung95  1 t3  3−4 2 + + t dt = − + t +   =   1  t t  π Câu I=∫ sin x ( + sin x ) dx π Ta có: I = π sin x ∫ (2 + sin x )2 ⇒ I = 2∫ t−2 t2 sin x cos x dx = ∫ (2 + sin x ) dx Đặt t = + sin x 3 1   2 dt = ∫  −  dt =  ln t +  = ln − t t2  t 2  2 π Câu I= sin x ∫ cos x dx π I= π sin x sin x ∫ cos x dx = ∫ cos2 x − dx Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx 0 Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = Ta I = − ∫ 1 2t − dt = π ⇒t= 2 ln 2t − 2t + = 2 ln 3−2 5−2 π Câu I = ∫ esin x sin x.cos3 x dx • Đặt t = sin x ⇒ I = 11 t e (1 − t )dt = e − ∫ 20 π Câu I = ∫ sin x ⋅ sin2 x + dx π • Đặt t = cos x I = (π + 2) 16 π Câu I= sin x ∫ sin6 x + cos6 x dx π I= ∫ sin x − sin 2 x 4 dx Đặt t = − sin 2 x ⇒ I = ∫  − t 1  t dt =  1 = π Câu 10 I = ∫ sin x ( sin x + cos x ) dx  π Ta có: sin x + cos x = cos  x −  ; 6  Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95   π π π π  sin x = sin   x −  +  = sin  x −  + cos  x −  6 6 6 6     π π π sin  x −  dx 6 3 dx  ⇒I= = + ∫ ∫   16 π  16 π cos3  x −  cos2  x −  6 6   π Câu 11 I = ∫ − sin x − cos2 x cos2 x π π sin x ∫ − = − π I= π cos2 x dx + ∫ sin x cos2 x sin x ∫ − π sin x − cos2 x dx = ∫ − cos2 x π dx dx = π cos2 x sin x dx = ∫ − π π sin x cos2 x sin x dx + ∫ sin x −0 cos x sin x dx 7π − −1 12 π Câu 12 I = ∫ sin x + cos x dx  π sin  x +  1 16  dx  I=∫ dx = ∫ dx = ∫ 20  20  π π sin x + cos x sin  x +  − cos2  x +  3 3   π π π 1   π π 1 Đặt t = cos  x +  ⇒ dt = − sin  x +  dx ⇒ I = ∫ dt = ln 3 3 1− t   π Câu 13 I = ∫ − sin x + cos2 xdx π π Ta có I = ∫ sin x − cos x dx = I = ∫ sin x − π cos x dx + ∫ sin x − cos x dx = − π π Câu 14 I = sin xdx ∫ (sin x + cos x )3 π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ⇒ 2I = cos tdt dx = cos xdx ∫ (sin t + cos t )3 ∫ (sin x + cos x )3 π π π = − cot( x + ) = ⇒ I = π sin ( x + ) ∫ (sin x + cos x )2 = ∫ π π 2 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 π Câu 15 I = 7sin x − 5cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π Xét: I1 = ∫ π Đặt x = π sin xdx ( sin x + cos x ) ; I2 = cos xdx ( sin x + cos x ) ∫ − t Ta chứng minh I1 = I2 π dx ( sin x + cos x ) ∫ Tính I1 + I2 = ⇒ I1 = I = π 2 = dx cos2 ( x − ) ∫ π = π π tan( x − ) = ⇒ I = 7I1 – 5I = π Câu 16 I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 dx π π Đặt x = − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = 2 π 3cos t − 2sin t ∫ (cos t + sin t )3 dt = π ⇒ 2I = I + I = 3sin x − cos x ∫ (sin x + cos x )3 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx π dx + Câu 17 I = 2 π 3cos x − 2sin x ∫ (cos x + sin x )3 dx = ∫ (sin x + cos x )2 dx = ⇒ I= x sin x ∫ + cos2 x dx π Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = ∫ π π sin t ⇒ 2I = π ∫ + cos π Câu 18 I = t (π − t )sin t + cos2 t π dt = π ∫ sin t + cos t dt − I π π  π2 =π  + ⇒ I = 4 4 + cos t dt = −π ∫ d (cos t ) cos4 x sin x ∫ cos3 x + sin3 x dx Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt ⇒ I = − ∫ π π sin t cos t cos3 t + sin3 t dt = sin x cos x ∫ cos3 x + sin3 x dx π ⇒ 2I = π cos x sin x + sin x cos x sin3 x + cos3 x ∫ dx = 3 sin x cos x (sin x + cos x ) sin3 x + cos3 x ∫ π dx = 12 1 sin xdx = ⇒ I = ∫ 20 π Câu 19 I = Đặt x = π 2   ∫  cos2 (sin x ) − tan  (cos x ) dx  − t ⇒ dx = −dt Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π Facebook: LyHung95 π 2    1 ⇒ I=∫ − tan (sin t ) dt = ∫  − tan (sin x ) dx  cos2 (cos t )   cos (cos x )  0 0 π π 2   1 π + − tan (cos x ) − tan (sin x ) dx = ∫ dt = π ⇒ I = Do đó: 2I = ∫  2  cos (sin x ) cos (cos x )  0 π Câu 20 I = cos x − sin x − sin x ∫ dx π Đặt u = sin x + cos x ⇒ I = du ∫ 4−u Đặt u = 2sin t ⇒ I = ∫ π π cos tdt − 4sin t = ∫ dt = π π 12 π Câu 21 I = sin x ∫ cos x + sin x − cos2 x Ta có: cos2 x = − t dt = Đặt t = + sin x = I= π π 3 ∫ = dx sin x cos x + sin2 x 15 t+2 ln t−2 Câu 22 I = ∫π sin3 x + sin2 x 2π +) Tính I1 = ∫π 2π +) Tính I =∫π π dx + ∫π sin x Vậy: I = 2π x Ta có I = ∫π cos2 x + sin2 x x + ( x + sin x )sin x 2π sin x.cos x ∫ 1 15 +  ln − ln  15 −  = 2π dx = 15 ∫ dx = dt − t2 = sin x cos x + sin2 x dx 15  ∫ 1  −  dt t+2 t−2 3+2  (  = ln 15 + ) − ln ( + ) −  ( ) dx dx + sin x u = x π  du = dx dx ⇒  ⇒ I1 = dx Đặt  dv = v = − cot x sin x  sin x x 2π dx = ∫π3 + sin x 2π dx dx = ∫π3 =4 − π  x 2π + cos  − x  cos  −  2   2 +4−2 π Câu 23 I=∫ π I=∫ sin x 2 dx cos x + 4sin x udu 2sin x cos x 22 dx Đặt u = 3sin x + ⇒ I = ∫ = ∫ du = u 31 3sin2 x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  π tan  x −   dx cos2 x π Câu 24 I = ∫ π I= ∫ Facebook: LyHung95 π  π tan  x −   dx = − tan x + dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx = (tan x + 1)dx ∫ cos x cos2 x (tan x + 1) ⇒ I =− ∫ dt (t + 1) = 1− = t +1 π Câu 25 I = cot x dx π sin x.sin  x + π   4 ∫ π I = 2∫ π cot x sin x (1 + cot x ) dx Đặt + cot x = t ⇒ sin x dx = − dt ⇒ I= +1 t −1 dt = ( t − ln t ) t ∫ +1 +1 +1   = 2 − ln    π Câu 26 I = dx ∫ sin2 x.cos4 x π π Ta có: I = ∫ π dx 2 sin x.cos x Đặt t = tan x ⇒ dx = dt + t2 (1 + t )2 dt 1 t3 = ∫ ( + + t )dt = (− + 2t + ) ⇒ I= ∫ t t2 1 t π Câu 27 I = ∫π2 sin x − cos x + sin x = 3−4 dx π π  Ta có: + sin x = sin x + cos x = sin x + cos x (vì x ∈  ;  ) 4 2 π ⇒ I = ∫π2 ⇒I =∫ sin x − cos x dx Đặt t = sin x + cos x ⇒ dt = (cos x − sin x )dx sin x + cos x 21 t dt = ln t = ln 2 Câu 28 I = ∫ − cos3 x sin x.cos5 xdx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Đặt t = − cos3 x ⇔ t = − cos3 x ⇒ 6t 5dt = 3cos2 x sin xdx ⇒ dx = 2t 5dt cos2 x sin x  t t13  12 ⇒ I = ∫ t (1 − t )dt =  −  =  13  91 6 π Câu 29 I = tan xdx cos x + cos2 x ∫ π Ta có: I = tan xdx ∫ 2 cos x tan x + Đặt t = + tan x ⇒ t = + tan x ⇒ tdt = ⇒ I= tdt ∫2 t = tan x dx cos x ∫ dt = 3− 2 π Câu 30 I = cos2 x ∫ (cos x − sin x + 3)3 dx t −3 dt = − 32 t Đặt t = cos x − sin x + ⇒ I = ∫ π Câu 31 I = ∫ sin x dx cos x tan x + π Ta có: I = ∫ sin x 4 sin x + cos x dx Đặt t = sin x + cos4 x ⇒ I = −2 2 ∫ dt = − BÀI TẬP LUYỆN TẬP π 1) ∫ sin x dx π 2) ∫ sin x dx 3) ∫ sin x dx 0 π π π 4) ∫ cos3 x dx 7) π 5) ∫ sin x dx 0 π π ∫ tan x dx 8) 6) π ∫ tan x dx π tan x dx 10) ∫ cos x 11) π π π 13) ∫ sin x.cos x dx ∫ ( cot 14) 9) ) x + dx + sin x dx cos x ∫ x dx π π π ∫ tan tan x ∫0 cos2 x dx π cot x dx 12) ∫ π sin x π 15) ∫ sin x cos3 x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 16) dx ∫π sin x.cos3 x π 19) π sin x 20) π sin x 22) ∫ dx cos x + 23) sin x.cos x dx + cos x ∫ π 28) ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx π 31) ∫ sin x.tan x dx π 37) 40) ∫ ( sin π π π − x 24) dx π sin x 27) ∫ sin x cos x (1 + cos x ) dx dx π π 30) dx x x π sin cos 2 ∫ sin x cos x − cos x 46) ∫ dx + cos x 33) 4sin x ∫0 + cos x dx π 36) ∫ ( sin ) x + cos3 x dx x − sin x ) dx 41) ∫ sin x (1 + sin x ) dx π 39) ∫ ( cos π 42) ) x.sin x dx dx ∫π sin x.cos x 44) ∫ sin π π 47) π dx x.cos3 x 45) dx ∫ ( tan x − cot x ) π dx + sin x + cos x dx sin x + cos x π π π 50) ∫ sin x (1 + sin x ) π − π π 49) ∫ cos x.cos x dx x π dx 4 π sin x 32) ∫ dx x cos ∫ ( cos dx ∫ cos π 38) sin x 29) ∫ dx sin x + π sin x ∫ + cos x dx π π ∫ ( + sin x ) π π π sin x ∫ + cos 21) sin x 35) ∫ dx + cos x x + cos x ) dx cos x ∫ + 2sin x dx ∫ cos x ∫ − sin x dx π 43) π π cos3 x 34) ∫ dx cos x + π 0 26) 18) ∫ sin x cos5 x dx 0 π 25) π 17) ∫ sin x cos x dx ∫ + 3cos x dx Facebook: LyHung95 ∫ − 2sin x 48) ∫ dx + sin x π 51) sin x ∫ cos x + sin x dx 52) ∫ cos x + sin x + sin x dx 53) ∫π sin x − cos x + sin x π 54) dx ∫ − cos x sin x.cos5 xdx π 55) ∫ − cos x sin x.cos5 x dx π 56) ∫ cos x π π tan x + cos x dx 57) ∫ cos x dx + cos x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG π 58) ∫ sin x cos x − cos x dx 61) π 59) 0 π π ∫ cos x dx + cos x 62) − dx π  cos x.cos  x +  4  ∫ 71) 66) cos x dx ∫ ( sin x + cos x ) π 69) sin x − 5cos x dx π  sin x.cos  x +  4  72) dx π  sin x.sin  x +  6  ∫π sin x sin x dx 75) ∫ ∫ (e tan x dx cos x e ) eπ π sin x + cos x cos x dx ln(sin x) dx π cos x π 6 π ∫ cos(ln x)dx 80) 83) dx sin xdx (sin x + cos x 78) π ) 84) π dx ∫0 cos2 x + 4sin x 92) sin x − cos x + ∫0 sin x + cos x + dx π π sin x ∫0 cos8 x dx dx ∫0 sin x + 2sin x cos x − cos2 x 95) dx π cos x 87) ∫ dx sin x + cos x π ∫ ( sin 90) x + cos5 x ) dx π π cos x − 4sin x ∫ (cos x + sin x) π 89) ∫ 81) ∫ sin x.ln(cos x) dx sin xdx 86) ∫ sin x + cos x π sin x ∫0 + sin x dx ∫ π 1+ cos x sin x ∫0 sin x + cos6 x dx ∫ dx π 77) π ∫π π sin x cos3 xdx ∫ ( 3sin x + cos x ) 2x π (1 + sin x) 85) ∫ ln + cos x 94) π sin(ln x) dx x sin ∫e π 91) ( cos x − sin x ) π 74) ∫ e dx 82) ∫ sin x + cos x 88) ) dx 63) ∫ π tan x + e 73) ∫ cos x 79) sin x sin x − cos x + 68) ∫ dx π sin x + cos x + π 76) ( cos x + dx π sin x 67) ∫ dx sin x + cos x π ∫ sin x + sin x dx + 3cos x ∫ π cos x dx 65) ∫ + sin x π π + cos x π cos x − sinx 64) ∫ dx sinx + cos x 70) 60) π π cos x dx ∫ Facebook: LyHung95 sin x + cos x dx + 2sin x 93) ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... 1 + sin x 0 b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ π 4 π2 4 Bài 6: [ĐVH] Tính các tích phân sau: e2 1   1 a) I1 = ∫  − 2  dx ln x ln x  e  b) I 2 = ∫ π 3 x sin 2 x + ln(sin x) dx cos 2 x c) I 3 = ∫ sin xdx π 4 Bài 7: [ĐVH] Tính các tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e2 2 x ln x −... Facebook: LyHung95 1 + x 2 ln x dx x + 2ln x 1 e c) I 3 = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU 2 x2... x4 3 c) ∫ 2 (x ) −1 2 2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 − x4 ∫ 1 + x 2 dx 0 1 a) 2 1 b) 1 ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx 0 c) ∫x 1 1 (1 + x ) 4 dx Bài 6: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 1 a) dx ∫ x4 + x2 + 1 0 4 4 b) dx ∫ x3 − 4 x 3 c) dx 2 − 1) ∫ x( x 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT... Bài 12: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 3 a) ∫ 0 x5 + x3 1+ x 2 π 3 0 dx b) ∫ x (e 2x + 3 x + 1)dx c) −1 ∫ 0 cos 2 x + 2 3 tan x cos 2 x dx cos 2 x Bài 13: [ĐVH] Tính các tích phân sau: π ln 2 a) ∫ 0 e x dx (e x + 1) 3 ln 2 b) ∫ 0 e 2 x dx ex +1 2 c) ∫ 0 sin 2 x + sin x 1 + 3 cos x dx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc. .. 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính các tích phân sau: x2 + 1 ∫1 x 4 + 1 dx 3 a) 3 b) 1 1 ∫1 x 4 + 1 dx c) ∫x 4 0 1 dx + 4 x2 + 3 Bài 2: [ĐVH] Tính các tích phân sau: x4 − 1 ∫0 x 2 + 9 dx 3 a) 1 2 b) 1 ∫1 x + x3 dx c) x ∫ (1 + 2 x ) 3 dx 0 Bài 3: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 3 a) 3 x 2 dx ∫ (1− x ) 9 b) 2 ∫ ( 3x 2 + 2) x2 + 1 0 x3 + 2 x2 + 4 x + 9 dx ∫0 x2 + 4 2 dx c) Bài 4: [ĐVH] Tính các tích phân. ..Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 1 a) 1 dx 3 − 2x ∫ 0 Facebook: LyHung95 5 b) ∫ x 2 x − 1dx 2 c) 1 2 ∫x 4 − x 2 dx 0 Bài 5: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 a) 23 3 ∫ x x − 8dx 2 b) 0 4 x2 ∫ 3 0 1+ x 3 dx c) ∫x x 2 + 9dx 0 Bài 6: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 4 a) 1 dx 1+ x ∫ 0 1 1 b) ∫ dx + x 1 0 3 c) ∫ ( x − 1) 2 x +1 0 dx Bài 7: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 3 ∫... 2 dx 4 x 2 + 12 x + 5 Bài 8: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 a) ∫x 1 2 dx x3 + 1 b) ∫ 2 x 2 + 2013dx 6 1 dx ∫ x 2 + 2013 1 Bài 9: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 1 a) 2 2 ∫ x 1 + x dx 1 b) 0 ∫ x2 +1 3 (1 − x 2 ) 3 dx c) 0 ∫x 1 2 x2 +1 dx Bài 10: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 2 2 a) ∫ 0 1+ x dx 1− x 1 b) 2 2 dx ∫ (1 + x ) 2 3 0 c) ∫ 0 dx (1 − x 2 ) 3 Bài 11: [ĐVH] Tính các tích phân sau: 1 a) ln 3 dx... t (t 2 + 1)2 dx 2 1 128 1 − t dx Đặt t = x 7 ⇒ I = ∫ dt 7 7 7 1 t (1 + t ) 1 x (1 + x ) Ta viết lại I dưới dạng I = ∫ (1 − x 7 ).x 6 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 8 I = Facebook: LyHung95 dx ∫ 6 x (1 + x 2 ) 1 Đặt : x = 1 ⇒ I =− t 3 3 ∫ 1 t6 dt = t2 + 1 1  4 2 117 − 41 3 π 1... x4 − x2 + 1 ( x 2 + 1)( x 4 − x 2 + 1) + x2 x6 + 1 = 1 x2 + 1 + x2 x6 + 1 1 1 d (x3 ) π 1 π π dx = + = ∫ 3 0 ( x 3 )2 + 1 4 3 4 3 dx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 3 Ta có I = ∫ ( x 2 − 1)( x 2 + 1) 0 1 x xdx 14 I = ∫ 2 4 2 0 x + x +1 dx = 1 2 3 3  ∫ 0 1 1  1 π + dx = ln(2 −...  e2 − 1  → I 3 =  ln 2 x − ln x +  = 2 4 1 4  2 2 xdx  du = ln(1 + x 2 ) = u  1 + x2 d) Đặt  ⇒ 2  xdx = dv v = x  2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 1 Facebook: LyHung95 1 1 1  x2  x 3 dx  x 2 x   2  ⇒ I 4 = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x 2 )  − ∫ = ln(1 + x ... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau... cos x c) I = ∫ sin xdx π Bài 7: [ĐVH] Tính tích phân sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT... Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU

Ngày đăng: 21/03/2016, 22:46

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w