Thông tin tài liệu
Ñeà cöông toaùn THPT 2016 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chủ đề 1: Bài toán tiếp tuyến 1.1 Dạng 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M( x0 , y0 ) (C ) : y f ( x ) * Tính y ' f ' ( x) ; tính k f ' ( x0 ) (hệ số góc tiếp tuyến) * Tiếp tuyến đồ thị hàm số y f ( x) điểm M x0 ; y0 có phương trình y y0 f ' ( x0 ) x x0 với y0 f ( x0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hoành độ x = c) Tại điểm có tung độ y =5 Giải: a) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng: y y0 f '( x0 )( x x0 ) Ta có y ' 3x y '( 1) Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(-1; 7) là: y hay y = b) Từ x y y’(2) = Do phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hoành độ x = là: y 9( x 2) y x 18 y x 11 x c) Ta có: y x x x3 3x x x +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm (0; 5) Ta có y’(0) = -3 Do phương trình tiếp tuyến là: y 3( x 0) hay y = -3x +5 +) Phương trình tiếp tuyến (C) điểm ( 3;5) y '( 3) 3( 3) Do phương trình tiếp tuyến là: y 6( x 3) hay y x +) Tương tự phương trình tiếp tuyến (C) ( 3;5) là: y x Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) hàm số y x x x a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hoành b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 1|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Giải: Ta có y ' 3x x Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến có phương trình: y y0 y '( x0 )( x x0 ) y y '( x0 )( x x0 ) y0 (1) a) Khi M (C ) Ox y0 = x0 nghiệm phương trình: x x x x ; y’(2) = 6, thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y 6( x 2) b) Khi M (C ) Oy x0 = y0 y (0) 4 y '( x0 ) y '(0) , thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y x c) Khi x0 nghiệm phương trình y”= Ta có: y” = 6x – 88 2 2 y” = x x x0 y0 y ; y '( x0 ) y ' 27 3 3 Thay giá trị biết vào (1) ta phương trình tiếp tuyến: y 100 x 27 Ví dụ 3: Cho hàm số y x 3x (C) a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2 b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) điểm N, tìm tọa độ điểm N Giải a) Tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) có hoành độ x0 y0 Ta có y '( x ) 3x y '( x0 ) y '(2) Phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y y '( x0 )( x x0 ) y0 y 9( x 2) y x 15 Vậy phương trình tiếp tuyến d điểm M đồ thị (C) y x 15 b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) N x Xét phương trình x x x 15 x 12 x 16 x x x x 4 Vậy N 4; 51 điểm cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y x x (C ) điểm A( x0 , y0 ) (C), tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A cắt (C) điểm B khác điểm A tìm hoành độ điểm B theo x0 Lời giải: Vì điểm A( x0 , y0 ) (C) y0 x03 x0 , y ' 3x y ' ( x0 ) x02 Tiếp tuyến đồ thị hàm có dạng: y y ' ( x0 )( x x0 ) y0 y (3 x02 3)( x x0 ) x03 x0 y (3 x02 3)( x x0 ) x03 ( d ) Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): 2|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 x x (3 x 3)( x x0 ) x03 x3 x02 x x03 ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) x x0 ( x0 0) x x x x 0 Vậy điểm B có hoành độ xB 2 x0 hoctoancapba.com x x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 thỏa mãn y '' ( x0 ) chứng minh d tiếp tuyến (C) có hệ số góc Ví dụ 5: Cho hàm số y nhỏ Giải ' '' Ta có y x x y x y ''( x0 ) x0 x0 M (2; ) ' Khi tiếp tuyến M có hệ số góc k0 y ( x0 ) y ' (2) 1 2 Vậy tiếp tuyến d đồ thị (C) điểm M 2; có phương trình y y0 f ' ( x0 ) x x0 3 suy y 1 x hay y x 3 Tiếp tuyến d có hệ số góc k0 -1 Mặt khác tiếp tuyến đồ thi (C) điểm kỳ (C) có hệ số góc k y ' ( x) x x x 1 k0 2 Dấu “=” xảy x nên tọa độ tiếp điểm trùng với M 2; 3 2 Vậy tiếp tuyến d (C) điểm M 2; có hệ số góc nhỏ 3 Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y x2 giao điểm (C) với x 1 đường thẳng (d): y x Giải + Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): x2 x x (3 x 2)( x 1) (x = nghiệm phương trình) x 1 3x x x ( y 2) x ( y 4) Vậy có hai giao điểm là: M1(0; -2) M2(2; 4) 3 + Ta có: y ' ( x 1) 3|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 + Tại tiếp điểm M1(0; -2) y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3x + Tại tiếp điểm M2(2; 4) y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y 3 x 10 Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán là: y 3x y 3 x 10 m x x (Cm).Gọi M điểm thuộc đồ thị (Cm) có hoành độ 3 -1 Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) M song song với đường thẳng d: 5x-y=0 Giải Ta có y ' x mx Đường thẳng d: 5x-y=0 có hệ số góc bẳng 5, nên để tiếp tuyến M song song với đường thẳng d trước hết ta cần có y ' ( 1) m m Ví dụ 7: Cho hàm số y x x ta có x0 1 y0 2 3 ' Phương trình tiếp tuyến có dạng y y ( x0 )( x x0 ) y0 y 5( x 1) y x Khi m ta có hàm số y Rõ ràng tiếp tuyến song song với đường thẳng d Vậy m giá trị cần tìm Ví dụ 8: Cho hàm số y x 3x m (1) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (1) điểm có hoành độ cắt trục Ox, Oy điểm A B cho diện tích tam giác OAB Giải Với x0 y0 m M(1 ; m – 2) - Tiếp tuyến M d: y (3 x02 x0 )( x x0 ) m d: y = -3x + m + m2 - d cắt trục Oy B: yB m B (0 ; m 2) - d cắt trục Ox A: 3 x A m x A - SOAB m2 A ; 0 3 m2 | OA || OB | | OA || OB | m ( m 2) 2 m m m 3 m 5 Vậy m = m = - 1.2 Dạng 2: Viết tiếp tuyến đồ thi hàm số y f ( x) (C) biết trước hệ số góc + Gọi M ( x0 , y0 ) tiếp điểm, giải phương trình f ' ( x0 ) k x x0 , y0 f ( x0 ) + Đến trở dạng 1,ta dễ dàng lập tiếp tuyến đồ thị: y k ( x x0 ) y0 Các dạng biểu diễn hệ số góc k:hoctoancapba.com 4|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 *) Cho trực tiếp: k 5; k 1; k 3; k 2 *) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc , với 150 ;300 ; 450 ; ; Khi 3 hệ số góc k = tan *) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi hệ số góc k = a 1 *) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ka 1 k a k a *) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng (d): y = ax + b góc Khi đó, tan ka Ví dụ 9: Cho hàm số y x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 Giải: Ta có: y ' 3x x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc k f ' ( x0 ) x02 x0 Theo giả thiết, hệ số góc tiếp tuyến k = - nên: x02 x0 3 x02 x0 x0 Vì x0 y0 2 M (1; 2) Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 3( x 1) y 3x Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Giải: Ta có: y ' 3x x Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm Tiếp tuyến M có hệ số góc k f ' ( x0 ) x02 x0 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + +6 tiếp tuyến có hệ số góc k x 1 M (1; 3) = x02 x0 x02 x0 x0 M (3;1) Phương trình tiếp tuyến (C) M(-1;-3) là: y 9( x 1) y x (loại) Phương trình tiếp tuyến (C) M(3;1) là: y 9( x 3) y x 26 Ví dụ 11: Cho hàm số y x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 1 x Giải: Ta có y ' x Do tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y 1 x nên hệ số góc tiếp tuyến k = 9 5|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Do y ' k x x x 2 +) Với x = y Pttt điểm có hoành độ x = là: y 9( x 2) y x 14 +) Với x 2 y Pttt điểm có hoành độ x = - là: y 9( x 2) y x 18 Vậy có hai tiếp tuyến củả (C) vuông góc với đường thẳng y 1 x là: y =9x - 14 y = 9x + 18 Ví dụ 12: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y x x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x y 2010 Giải: 1 (d) có phương trình: y x 402 nên (d) có hệ số góc - 5 Gọi tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k k 1 k ( ( d )) Ta có: y ' x x nên hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: x x x3 x ( x 1)( x x 5) x x y 9 Vậy tiếp điểm M có tọa độ M 1; 4 11 Tiếp tuyến có phương trình: y 5( x 1) y x 4 11 Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình: y x x2 Ví dụ 13: Cho hàm số y (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến 2x cắt trục hoành A, trục tung B cho tam giác OAB vuông cân O, O góc tọa độ Giải 1 Ta có: y ' (2 x 3) Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân nên hệ số góc tiếp tuyến là: k 1 Khi gọi M x0 ; y0 tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) ta có y ' ( x0 ) 1 6|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 x0 2 1 x 1 (2 x0 3) Với x0 1 y0 lúc tiếp tuyến có dạng y x (trường hợp loại tiếp tuyến qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB) Với x0 2 y0 4 lúc tiếp tuyến có dạng y x Vậy tiếp tuyến cần tìm y x 2x có đồ thị (C) x 1 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) cho tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy điểm A B thỏa mãn OA = 4OB Giải Giả sử tiếp tuyến d (C) M ( x0 ; y0 ) (C ) cắt Ox A, Oy B cho OA 4OB Ví dụ 14: Cho hàm số y = OB 1 Hệ số góc d OA 4 x ( y ) 0 1 Hệ số góc d y ( x0 ) 0 ( x0 1) ( x0 1) x (y 5) y ( x 1) y x Khi có tiếp tuyến thỏa mãn là: y ( x 3) y x 13 4 Do OAB vuông O nên tan A 1.3 Dạng 3: Tiếp tuyến qua điểm Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A( ; ) Cách giải + Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 ) , (với x0 hoành độ tiếp điểm) + Tiếp tuyến qua A( ; ) nên f ( x0 ) f '( x0 )( x0 ) (*) + Giải phương trình (*) để tìm x0 suy phương trình tiếp tuyến Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): y x 3x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(-2; -1) Giải: Ta có: y ' x Gọi M x0 ; x03 3x0 1 tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) x02 Phương trình tiếp tuyến với (C) M : y x03 x0 1 (3 x02 3)( x x0 ) 7|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 qua A(-2;-1) nên ta có: 1 x03 x0 1 (3x02 3)(2 x0 ) x03 x02 x y0 1 ( x0 1)( x02 x0 4) x0 2 y0 1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: : y 1 ; : y x 17 1.4 Dạng Một số toán tiếp tuyến nâng cao Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y x x cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài đoạn AB = Giải: Gọi A(a; a 3a 2) , B (b; b3 3b 2) , a b hai điểm phân biệt (C) Ta có: y ' x nên tiếp tuyến với (C) A B có hệ số góc là: y '(a ) 3a y '(b) 3b Tiếp tuyến A B song song với khi: y '( a ) y '(b) 3a 3b ( a b)( a b) a b (vì a b a b 0) AB AB 32 (a b) (a 3a 2) (b3 3b 2) 32 2 ( a b) (a b3 ) 3( a b) 32 ( a b) (a b)(a ab b ) 3(a b) 32 ( a b) (a b) (a ab b ) 3 32 , thay a = -b ta được: 2 4b 4b b 3 32 b b b 3 b 6b 10b b a 2 (b 4)(b 2b 2) b b 2 a - Với a 2 b A(2;0) , B (2; 4) - Với a b 2 A(2;4) , B (2;0) Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: (2; 0) (2; 4) Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) hàm số: y 2x 1 cho tiếp tuyến x 1 (C) A B song song với độ dài đoạn AB = 10 Giải: Hàm số viết lại: y x 1 Gọi A a;2 , B b;2 cặp điểm đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu toán a 1 b 1 Với điều kiện: a b, a 1, b 1 8|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Ta có: y ' y '( a ) nên hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B là: ( x 1)2 3 y '(b) (a 1) (b 1) Tiếp tuyến A B song song khi: y '( a ) y '(b) 3 (a 1) (b 1) a b a b a b (1) (do a b ) a b a b AB 10 AB 40 ( a b) 40 b 1 a 1 2 2 ( 2b 2) 40 4(b 1) 40 ( thay a (1) ) b b b 1 (b 1) b b 1 (b 1) 10(b 1) b b (b 1) b a 2 b 2 a b a 4 b 4 a Cặp điểm A B cần tìm có tọa độ là: (2;5) (0; 1) ; (2;1) ( 4;3) Ví dụ 18: Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + có đồ (Cm); (m tham số) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0, 1), D, E cho tiếp tuyến (C m) D E vuông góc với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = là: x x3 + 3x2 + mx + = x(x2 + 3x + m) = (2) x 3x m * (Cm) cắt đường thẳng y = C(0, 1), D, E phân biệt: Phương trình (2) có nghiệm xD, xE m 4m 0 m m Lúc tiếp tuyến D, E có hệ số góc là: kD = y’(xD) = xD2 xD m ( xD 2m); kE = y’(xE) = xE2 xE m ( xE 2m) Các tiếp tuyến D, E vuông góc khi: kDkE = –1 9|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 (3xD + 2m)(3xE + 2m) = 9xDxE+6m(xD + xE) + 4m2 = –1 9m + 6m (–3) + 4m2 = –1; (vì xD + xE = –3; xDxE = m theo định lý Vi-t) 4m2 – 9m + = m = 65 1 ĐS: m = 65 hay m 65 8 2x Ví dụ 19: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: y , biết x 1 khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến lớn Giải: 2a Gọi tiếp tuyến đồ thị (C) tiếp điểm M a; , M (C ) a 1 Ta có: y ' 4 y '( a) , a 1 ( x 1) ( a 1) Vậy : y 2a ( x a) x ( a 1) y 2a 4a (*) a (a 1) d I; 4(1) ( a 1) 2 2a 4a (a 1) a 1 (a 1) Ta có: ( a 1) 22 ( a 1) 2.2(a 1) ( a 1) 2.2( a 1) a d I; a 1 Vậy d I ; lớn d I ; = a 1 a a 2 ( a 1) Cả hai giá trị thỏa mãn a a a + Với a = thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: x y x y + Với a = -3 thay vào (*) ta phương trình tiếp tuyến là: x y 28 x y Tóm lại: Có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: x y ; x y x 1 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết 2x tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung tương ứng điểm A, B thỏa mãn OAB vuông cân gốc tọa độ O Giải: Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) M phải thỏa mãn song song với Ví dụ 20: Cho (C) đồ thị hàm số y đường thẳng y = x y = -x 1 Ta có: y ' nên tiếp tuyến với (C) M có hệ số góc là: y '( x ) 0 (2 x 1) (2 x0 1) Vậy tiếp tuyến với (C) M song song với đường thẳng d: y = -x 10 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 2(1 2i ) 8i Tìm môđun số phức w = z + + i 1 i Bài 10 Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo z 2i Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn 1 2i z i z Tìm tọa độ điểm biểu diễn z 1 i mặt phẳng tọa độ Oxy Bài 12 Tìm số phức z biết z3 = 18 + 26i, z = x + yi (x,y Z) 2.2 Dạng 2: Tính i n áp dụng Bài Cho z thỏa mãn (2 + i)z + Chú ý: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; n N*Vậy in {-1;1;-i;i}, n N* (1 i ) 2i ; 1 i 2i ; 3 Ví dụ 1: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Ta có i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 2: Tính số phức sau: 16 1 i 1 i b) z = 1 i 1 i a) z = (1+i)15 Giải: a) Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i b) Ta có: i (1 i )(1 i ) 2i i 1 i 2 16 1 i 1 i i 16 i Vậy =i +(-i)8 = 1 i 1 i 1 i Ví dụ 3: Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 1 i 1 i 1 i 1 i Giải: 63 | P a g e 20 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 P 1 i 1 i 1 i 20 1 i 21 1 i 20 10 1 i 1 i 2i 1 i 210 1 i 210 1 i P 210 210 1 i i Vậy phần thực 210 phần ảo 210 Bài tập tự luyện Bài Tìm phần thực, phần ảo số phức sau: 1 i 21 10 1 i z= 1 i 3i 3i i 1 i Bài Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn: Bài z 3i 1 i (1 i)2011 Tìm phần thực, phần ảo số phức z = (1 i )19 2.3 Dạng 3: Tìm số phức dựa vào Dạng đại số số phức Nếu hệ thức tìm số phức z xuất hay nhiều đại lượng sau: z , z , z , ta sử dụng Dạng đại số z z x yi với x, y R Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z 3i z 9i Giải: Gọi z= a+ bi (a,b R ) ta có: z 3i z 9i a bi 3i a bi 9i a 3b a a 3b 3a 3b i 9i 3a 3b b 1 Vậy z= 2-i Ví dụ 2: Tính mô đun số phức z biết rằng: z 11 i z 1 i 2i Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) Ta có z 11 i z 1 1 i 2i 2a 1 2bi 1 i a 1 bi 1 i 2i 2a 2b 1 2a 2b 1 i a b 1 a b 1 i 2i a 3a 3b 3a 3b a b i 2i a b 2 b 64 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Suy mô đun: z a b 2 Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn: z z.z z z z Giải 2 Gọi z = x + iy (x, yR), ta có z x iy; z z z z x y 2 z z.z z 4( x y ) ( x y ) (1) z z x x (2) Từ (1) (2) tìm x = ; y = 1 Vậy số phức cần tìm + i - i Ví dụ 4: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z 2i z 4i ảo Giải Đặt z= x+ yi (x,y R ) Theo ta có x y 2 i x y i 2 2 x 1 y x 3 y y x z 2i x y i x y y 1 x y i Số phức w x 1 y i zi x y 1 x y y 1 12 x w số ảo x y 1 y x y 23 12 23 Vậy z i 7 Ví dụ 5: Tìm tất số phức z biết z z z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) ta có: 65 | P a g e z 2i số zi Ñeà cöông toaùn THPT 2016 2 2 z z z a bi a b a bi a b 2abi a b a bi a b 2 2 a 2b a b a b a a ; b b 2a 1 2ab b a ; b 1 1 Vậy z=0; z i; z i 2 2 1 Ví dụ 6: Tìm số phức z thỏa mãn z z2 số ảo Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) Ta có z a b z a b 2abi a b a a 1 Yêu cầu toán thỏa mãn a b b b 1 Vậy số phức cần tìm 1+i; 1-i; -1+i; -1-i Ví dụ 7: Tìm số phức z biết z 5i 1 z Giải: Gọi z= a+ bi (a, b R ) a b ta có 5i 5i a bi a b i a bi z a bi a b a 2 a b a 5 b i b z a 1; b a a b a 2; b Vậy z 1 i z i Ví dụ 8: Tìm số phức z thỏa mãn z i z 1 z i số thực Giải: Giả sử z= x+ yi (x, y R ) Khi đó, z i x y 1 1 z 1 z i x yi x y 1 i x x 1 y y 1 x y 1 i 66 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 z 1 z i R x y Từ (1) (2) ta có x=1; y=0 x=-1; y=2 Vậy z=1; z=-1+ 2i Bài tập tự luyện Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z i Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Bài Tìm số phức z thỏa mãn: | z | - iz = – 2i Bài Tìm số phức z thỏa mãn: z i 10 z.z 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn z 1 2i 26 z.z 25 Bài Tìm số phức z thỏa mãn trường hợp: a) z z số ảo b) z phần thực z hai lần phần ảo Bài Tìm số phức z thoả mãn z z2 số ảo Bài Giải phương trình: a) z z b) z z z Bài Tìm số phức z biết ( z 1)(1 i ) z 1 | z |2 1 i Bài Tìm số phức z biết: z (1 i )( z 1) có phần ảo _ _ Bài 10 Tìm số phức z thỏa mãn: z 17( z z ) z z z Bài 11 Tìm số phức z thỏa mãn z i 1 i 2.4 Dạng 4: Biểu diễn hình học số phức Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z Trong dạng này, ta gặp toán biểu diễn hình học số phức hay gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thỏa mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải toán sau: Giả sử z = x+yi (x, y R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Ví dụ 1: Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau đây: a) z i =2 b) z i c) z 4i z 4i 10 Giải: Đặt z = x +yi (x, y R) biểu diễn điểm M(x;y) a) Xét hệ thức: z i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y R) z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ( x 1)2 ( y 1)2 67 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 (x-1) + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn (1) đường tròn có tâm I(1;-1) bán kính R = y b) Xét hệ thức z z i |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 4x + 2y + = Vậy tập hợp điểm M đường thẳng 4x + 2y + = B x A -2 Nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = đường trung trực đoạn AB c) Xét hệ thức: z 4i z 4i 10 O -1 -1 -2 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: z 4i z 4i 10 MF1 + MF2 = 10 Ta có F1F2 = Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y2 1 16 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z i 1 i z Giải: Đặt z= x+ yi (x,y R ) Ta có: z i 1 i z x y 1 i x y x y i 2 x y 1 x y x y 2 x y xy x y 1 2 Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn có phương trình x y 1 1 3i Ví dụ 3: Cho số phức z (1 i )5 Tìm tập hợp điểm biểu diễn A z 2iz , biết x y Giải t t 4t t t B 0; 1 , C 4; 1 t B 4; 1 , C 0; 1 Giả sử z2 x yi x, y R biểu diễn điểm M(x;y) Khi ta có: nP a, b, c , a b c 68 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z2 đường tròn tâm O, bán kính Ví dụ 4: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi (x,y R) biểu diễn điểm M(x;y) Ta có x ( y 4)i x ( y 2)i (1) ( x 2) ( y 4) x ( y 2) y x Do tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn (1) đường thẳng x + y = Mặt khác z x y x x x 16 x x 16 Hay z x 2 Do z x y Vậy z 2i Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn u z i z 3i số thực Tìm giá trị nhỏ z Giải Đặt z= x+ yi (x, y R ) ta có u x 3 y 1 i x 1 y 3 i x y x y x y i Ta có: u R x y Tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng d: x-y-4=0, M(x;y) điểm biểu diễn z mô đun z nhỏ độ dài OM nhỏ OM d Tìm M(-2;2) suy z=-2+2i Ví dụ 6: Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện Z 1 i 2i 13 Giải Gọi z x yi ( x, y R ) z x yi 13 39 x2 y x y 0 Gọi M (x;y) điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Oxy M (C ) đường tròn có tâm z (1 i ) 2i 26 I ( ; ) bán kính R 2 Gọi d đường thẳng qua O I d : y x 15 Gọi M1, M2 hai giao điểm d (C) M ( ; ) M ( ; ) 4 4 OM OM Ta thấy OM OI R OM ( M (C )) 69 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z 15 i 4 Ví dụ 7: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho u z 3i số ảo z i Giải Đặt z= x+ yi (x, y R ), đó: u x y 3 i x 2 y 3 i x y 1 i x y 1 i x y 1 x y x y 3 x y 1 i x y 1 2 x y x y x 1 y 1 u số ảo x y x; y 0;1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn tâm I(-1;-1), bán kính trừ điểm (0;1) Bài tập tự luyện Bài Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z (1 3i ) z 2i b) z i z z 2i c) z 4i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều Bài Trong số phức thỏa mãn z 3i kiện: z i z 3i Trong số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có môdun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 4i z 2i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 5i z i Tìm số phức z có môđun nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn z i 52 , tìm số phức z mà z 2i nhỏ Bài Tìm số phức Z có mô đun lớn thỏa mãn điều kiện Trong tất số phức z thỏa mãn z 2i , tìm số phức có z nhỏ Bài Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhất, lớn 70 | P a g e 1 i z Tìm số phức có mô đun nhỏ 1 i Ñeà cöông toaùn THPT 2016 2.5 Dạng Phương trình bậc hai tập số phức 2.5.1 Vấn đề Tìm bậc hai số phức (Đọc thêm) Cho số phức w = a + bi Tìm bậc hai số phức Phương pháp: +) Nếu w = w có bậc hai +) Nếu w = a > (a R) w có hai bậc hai a - a +) Nếu w = a < (a R) w có hai bậc hai ai - ai +) Nếu w = a + bi (b 0) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w z2 = w (x+yi)2 = a + bi x2 y2 a 2 xy b Để tìm bậc hai w ta cần giải hệ để tìm x, y Mỗi cặp (x, y) nghiệm phương trình cho ta bậc hai w Nhận xét: Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối Ví dụ: Tìm bậc hai số phức sau: a) + i b) -1-2 i Giải: 1) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = + i 2 y (1) x y 2 x Khi đó: z = w (x+yi) = + i x 45 (2) 2 xy x2 (2) x4 – 4x2 – 45 = x2 = x = ± x=3y= x = -3 y = - Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = + i z2 = -3 - i 2) Giả sử z = x +yi (x, y thuộc R) bậc hai w = -1-2 i 2 y (1) x y 2 x Khi đó: z = w (x+yi) = -1-2 i x 1 (2) 2 xy 2 x2 (2) x4 + x2 – = x2 = x = ± x= y=- x=- y= Vậy số phức w = + i có hai bậc hai là: z1 = - i z2 = - + i 2.5.2 Vấn đề 2: Giải phương trình bậc hai 71 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Cho phương trình bậc hai: Az2 +Bz +C = (1) (A, B, C C, A 0) Phương pháp: Tính = B2 – 4AC *) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 = B B , z2 = 2A 2A (trong bậc hai ) *) Nếu = phương trình (1) có nghiệm kép: z1 = z2 = Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức a) z z b) x x B 2A c) z z Giải: a) z z 3 3i bậc hai i Phương trình có nghiệm: z1 1 i 3 i, z2 i 2 2 b) x x 20 16 16i Căn bậc hai 4i Phương trình có nghiệm: x1 1 2i, x2 1 2i c) z z Đặt t = z2 Phương trình trở thành: z2 z 1 t t 2t t z i z 3 Vậy phương trình có nghiệm: -1, 1, i 3, i Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau: a) z2 + 2z + = b) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = (tham khảo) Giải: a) Xét phương trình: z2 + 2z + = Ta có: = -4 = 4i2 phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i z2 = -1 – 2i b) Ta có: = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2 nên 1+i bậc hai số phức 2i Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 72 | P a g e 3i i 3i i 2i ; z2 = 1 i 2 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Ví dụ 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z z 10 Tính giá trị biểu thức A z1 z2 Giải: Ta có 2 z z 10 z 1 9 z 1 3i z 1 3i z 1 3i z1 1 3i z1 1 32 10 z2 1 3i z2 10 2 Vậy A z1 z2 20 Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z z 13 Tính z zi Giải: z 2i 2 z z 13 z 3 4 z 3 2i z 2i Với z 2i ta có z 6 2i i 17 zi 3i Với z 2i ta có z 6 2i 24 7i zi 3i Ví dụ 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức: z 7i z 2i (tham khảo) z i Giải Điều kiện: z 1 Phương trình cho tương đương với z 3i z 7i Phương trình có biệt thức 3i 1 7i 4i i Phương trình có hai nghiệm là: z 2i z i Bài tập tự luyện Bài Cho z1 , z2 nghiệm phức phương trình z z 11 Tính giá trị 2 z z2 biểu thức A = ( z1 z ) (1 i ) 2009 Bài Giải phương trình: z z 2i tập số phức (Tham khảo) (1 i ) 2008 73 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Bài Gọi z1; z2 nghiệm phức phương trình: z z Tính: ( z1 1) 2011 ( z2 1) 2011 2.5.3 Vấn đề 3: Phương trình quy bậc hai - Đối với dạng ta thường gặp phương trình bậc phương trình bậc dạng đặc biệt quy bậc hai - Đối với phương trình bậc (hoặc cao hơn), nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử ( để đưa phương trình tích) từ dẫn đến việc giải phương trình bậc bậc hai - Đối với số phương trình khác, ta đặt ẩn phụ để quy phương trình bậc hai mà ta biết cách giải a Phương pháp phân tích thành nhân tử Ví dụ 1: Giải phương trình: z3 – 27 = z z 1 Giải: z – 27 = (z – 1) (z + 3z + 9) = z 3 3i z 3z 2,3 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình tập hợp số phức: z z z z 16 Giải: Nhận biết hai nghiệm z=-1 z=2 Phương trình cho tương đương với z z 1 z Giải ta bốn nghiệm: z 1; z 2; z 2 2i Ví dụ 3: Cho phương trình sau: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (1)biết phương trình có nghiệm ảo (Tham khảo) Giải: Đặt z = yi với y R Phương trình (1) có dạng: (iy)3 + (2i-2)(yi)2 + (5-4i)(yi) – 10i = -iy3 – 2y2 + 2iy2 + 5iy + 4y – 10i = = + 0i đồng hoá hai vế ta được: 2y 4y giải hệ ta nghiệm y = y y y 10 Suy phương trình (1) có nghiệm ảo z = 2i * Vì phương trình (1) nhận nghiệm 2i vế trái (1) phân tích dạng: z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b R) 74 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 đồng hoá hai vế ta giải a = b = z 2i z 2i z 1 2i (1) (z – 2i)(z +2z + 5) = z 2z z 1 2i Vậy phương trình (1) có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình z i z i z 16 2i biết phương trình có nghiệm thực (Tham khảo) Giải Gọi nghiệm thực z0 ta có: z0 i z02 i z0 16 2i z03 z02 z0 16 z 2 zo z0 Khi ta có phương trình z z i z i Tìm nghiệm phương trình z= -2; z= 2+ i; z= 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình z 3i z 1 2i z 9i biết phương trình có nghiệm ảo (tham khảo) Giải Giả sử phương trình có nghiệm ảo bi, b R Thay vào phương trình ta được: bi 3i bi 1 2i bi 9i 2b 6b 2b 6b b 3b 3b i b 3 b 3b 3b z 3i Phương trình phân tích thành z 3i z z 3 Các nghiệm phương trình z= -3i; z 2i b Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + z)2 + 4(z2 + z) -12 = Giải: Đặt t = z2 + z, phương trình cho có dạng: 75 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2016 1 23i z z z 6 t 6 1 23i t2 + 4t – 12 = z t z z z z 2 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình sau tập số phức (z2 + 3z +6)2 + 2z(z2 + 3z +6) – 3z2 = Giải: Đặt t = z2 + 3z +6 phương trình cho có dang: t z t2 +2zt – 3z2 = (t – z)(t+3z) = t 3z z 1 5i + Với t = z z2 + 3z +6 –z = z2 + 2z + = z 1 5i z 3 + Với t = -3z z2 + 3z +6 +3z = z2 + 6z + = z 3 Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: ( z z )( z 3)( z 2) 10 , z C Giải: PT z ( z 2)( z 1)( z 3) 10 ( z z )( z z 3) Đặt t z z Khi phương trình (8) trở thành: Đặt t z z Khi phương trình (8) trở thành t 3t 10 t 2 z 1 i t z 1 Vậy phương trình có nghiệm: z 1 ; z 1 i Ví dụ 4: Giải phương trình sau tập số phức z z z2 z 1 Giải: Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z 1 Chia hai vế PT (1) cho z2 ta được: ( z ) ( z ) (2) z z 76 | P a g e (tham khảo) Ñeà cöông toaùn THPT 2016 1 Khi t z z t z z z Phương trình (2) có dạng: t2-t+ (3) 9 9i 2 3i 3i PT (3) có nghiệm t= ,t= 2 3i 1 3i Với t= ta có z z (1 3i ) z (4) z 2 Có (1 3i ) 16 6i 6i i (3 i ) Đặt t=z- (1 3i ) (3 i ) (1 3i ) (3 i ) i i ,z= 4 3i 1 3i Với t= ta có z z (1 3i ) z (4) z Có (1 3i ) 16 6i 6i i (3 i ) PT(4) có nghiệm: z= (1 3i ) (3 i) (1 3i ) (3 i ) i i ,z= 4 i 1 i Vậy PT cho có nghiệm: z=1+i; z=1-i ; z= ; z= 2 Bài tập tự luyện PT(4) có nghiệm: z= Bài Giải phương trình z3 + (1 – 2i)z2 + (1 – i)z – 2i = 0., biết phương trình có nghiệm ảo.(tham khảo) Bài Cho phương trình: z3 – (4 + i)z2 + (3 + 8i)z – 15i = Biết phương trình có 2 nghiệm thực Gọi z1, z2, z3 nghiệm phương trình Hãy tính z1 z2 z3 Bài Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phương trình z z z z tập số phức tính tổng S 1 1 z12 z22 z32 z42 Bài Giải phương trình tập số phức: zi a) 1 iz b) (z2+1)2+(z+3)2=0 c) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = 77 | P a g e [...]... t1 t2 2 m 1 , t1t2 2m 1 Từ t1 x 2 x t1 ; t2 x 2 x t2 Đặt x A t1 , xB t1 , xC t2 , xD t2 A t1 ;1 , B t1 ;1 , C OA OB OC OD 2 1 t1 2 1 t1 Theo đề 2 1 t1 2 1 t2 4 2 2 1 t1 1 t2 2 2 1 t1 1 t 2 2 64 2 t1 t2 2 t1t2 t1 t2 1 4 4 2 31 | P a g e t1 ;1 , D t2 ;1 Ñeà cöông toaùn THPT. .. toaùn THPT 2 016 Do đó, 1 1 1 (2 x0 1) 2 1 ; ( x0 không là nghiệm phương trình) 2 2 (2 x0 1) 2 x 1 1 x 0 y0 1 0 0 Vậy có hai tiếp điểm là: M 1 (0 ;1) , M 2 ( 1; 0) 2 x 1 1 x 1 y 0 0 0 0 + Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d + Tại điểm M2( -1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa... x2 ; y2 với x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: x 2 4 x 4 k 0 Còn y1 kx1 k ; y2 kx2 k Ta có: BC x2 x1; k x2 x1 BC Khoảng cách từ O đến đường thẳng d: h x2 x1 2 1 k x 2 2 x1 1 k 2 k 1 k2 Vậy theo giả thi t: 1 1 k 1 1 1 S h.BC 2 k 1 k2 2 k3 1 k3 k3 k 3 2 2 1 k2 2 4 4 Ví dụ 5 Cho hàm số y 2x 1 C Tìm tham... 2 2 2 ( x0 1) 4 1 2 x02 x0 1 2 x02 x0 1 0 x0 y0 2 4 x ( x0 1) 2 2 2 2 x0 x0 1 2 x0 1x0 1 (vn) x0 1 y0 1 4 0 2 1 Vậy tìm được hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán: M 1 ( ; 2) ; M 2 (1, 1) 2 Bài tập tự luyện Bài 1 Cho hàm số y x 3 3x 2 2 x 5 (C ) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 1 3 2 x x , viết... trị tại x1 , x2 sao cho x1 x2 2 Giải Ta có y ' 3x 2 6( m 1) x 9 Hàm số có cực đại, cực tiểu x1, x2 PT y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 x 2 2( m 1) x 3 0 có hai nghiệm phân biệt là x1 , x2 ' (m 1) 2 3 0 m 1 3 m 1 3 (1) 2 Theo đề ta có: x1 x2 2 x1 x2 4 x1 x2 4 Theo định lý Viet ta có: x1 x2 2(m 1) ; x1 x2 3 18 | P a... (a ).( x a ) a2 3 a 2 4a 2 y x a 1 ( a 1) 2 ( a 1) 2 a5 Các giao điểm của (d) với các tiệm cận là: A 1; , B (2a 1; 1) a 1 6 6 IA ; IB (2a 2;0) IB 2 a 1 IA 0; a 1 a 1 11 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2 016 1 IA.IB = 6 (đvdt) ĐPCM 2 2x 3 Ví dụ 23: Cho hàm số y x2 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2) Cho M là... có phương trình x0 1 3 3 y2 ( x x0 ) hay 3( x x0 ) ( x0 1) 2 ( y 2) 3( x0 1) 0 2 x0 1 ( x0 1) 12 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2 016 Khoảng cách từ I ( 1; 2) tới tiếp tuyến là d 3( 1 x0 ) 3( x0 1) 9 x0 1 6 x0 1 4 9 ( x0 1) Theo bất đẳng thức Côsi 4 6 9 ( x0 1) 2 2 ( x0 1) 9 ( x0 1) 2 2 9 6 , vây d 6 2 ( x0 1) Khoảng cách d lớn... là t 1, t m , do m 1 nên 4 nghiệm phân biệt của (1) theo thứ tự tăng là: m , 1, 1, m Hàm số là chẵn nên hình phẳng trong bài toán nhận Oy làm trục đối xứng Khi đó đồ thị có dạng như hình bên Bài toán thỏa mãn 30 | P a g e Ñeà cöông toaùn THPT 2 016 S H1 S H 2 1 m 4 2 x m 1 x m dx x 4 m 1 x 2 m dx 0 1 1 m x 4 m 1 x 2 m dx x 4 m 1 x 2... 1) 2 x0 1 3 x0 1 3 2 ( x0 1) Vậy có hai điểm M: M 1 3; 2 3 hoặc M 1 3; 2 3 2x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp x 1 tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2) Giải Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm ( x0 1 ) Ví dụ 25: Cho hàm số y PTTT (d) là y 1 2x 1 ( x x0 ) 0 x ( x0 1) 2 y 2 x02 2 x0 1 0 2 ( x0 1) x0 1. .. luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B Gọi A x1 ; 2 x1 m ; B x2 ; 2 x2 m Với: x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình (1) 2 2 Ta có AB x2 x1; 2 x1 x2 AB x2 x1 4 x2 x1 x2 x1 5 Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, thì khoảng cách từ O đến d là h: m m h 5 22 1 1 1 x2 x1 1 1 Theo giả thi t: S AB.h 5 m2 8 3 2 2 2 2 4 5 ... OD t1 t1 Theo đề t1 t2 2 t1 t2 t1 t 64 t1 t2 t1t2 t1 t2 31 | P a g e t1 ;1 , D t2 ;1 Ñeà cöông toaùn THPT 2 016 m 1 2m... x 11 x x 10 x lg(7 x 1) lg (10 x 11 x 1) x 10 x 11 x 10 x 18 x x 9 Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm S 0; 1; 10 ... x x 4 4 x 10 x 1 x 1 4 8) x2 10 ) x 52 3 x x 1 22 x 1 52 x 1 x 1 x 1 16 0 11 ) 2.0,5 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t a x , t 12 ) x x.0 ,12 5 x 43
Ngày đăng: 21/03/2016, 20:39
Xem thêm: Đề cương toán luyện thi THPT Quốc gia Phần 1, Đề cương toán luyện thi THPT Quốc gia Phần 1
