Bài giảng nguyên hàm luyện thi THPT quốc gia

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân hàm số y = f(x) kí hiệu dy cho công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ: d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân ta dễ dàng thu số kết sau d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) x  1 xdx = d   = d x = d x ± a = − d a − x   2   ( ) ( ) ( )  x3  1 x dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3   3   dx d ( ax + b ) dx = = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  → sin xdx = − d ( cos2 x ) a a 1 cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  → cos xdx = d ( sin x ) a a 1 eax +b dx = e ax +b d ( ax + b ) = d e ax +b  → e2 x dx = d e x a a dx d ( ax + b ) dx = = d  tan ( ax + b )   → = d ( tan x ) 2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos x ( ) ( ) ( dx sin ( ax + b ) = ( ) ) ( ) d ( ax + b ) dx = − d cot ( ax + b )   → = − d ( cot x ) a sin ( ax + b ) a sin x II KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) Hàm F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) F’(x) = f(x) viết ∫ f ( x)dx Từ ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C số ta có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , F(x) + C gọi họ nguyên hàm hàm số f(x) Với giá trị cụ thể C ta nguyên hàm hàm số cho Ví dụ: Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm F(x) = x2 + C, (x2 + C)’ = 2x Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm F(x) = –cosx + C, (–cosx + C)’ = sinx III CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) g(x) liên tục tồn nguyên hàm tương ứng F(x) G(x), ta có tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Chứng minh: Do F(x) nguyên hàm hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm vế phải nguyên hàm f(x) + g(x) ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ Từ ta có Chứng minh: ( ) ′ Tương tự tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k f ( x)  → ∫ k f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du d) Tính chất 4: Tính chất gọi tính bất biến nguyên hàm, tức nguyên hàm hàm số phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến IV CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, ( x + C )′ = ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ du = u + C Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C Thật vậy,  n +1  n +1  Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ u n du = u n +1 +C n +1 dx dx du +) Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = x + C ← →∫ =2 u +C x x u dx du +) Với n = −2 ⇒ ∫ = − + C ← →∫ = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x dx = + C x5 b) ∫ ( x + x ) dx = ∫ x dx + ∫ xdx = + x + C c) ∫ − x − x2 x3 x2 x x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x dx − = − + C = 33 x − + C x x 2 ( x + 1) + C u n du d) I = ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( x + 1) d ( x + 1)  →I = 5 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG e) I = ∫ (1 − 3x ) f) I = ∫ Facebook: LyHung95 (1 − 3x ) + C 2010 u n du dx = − ∫ (1 − x ) d (1 − x )  →I = − 2011 du d ( x + 1) u 1 = ∫ → I = − +C =− +C 2 ( x + 1) 2x + ( x + 1) 2011 2010 dx ( x + 1) g) I = ∫ x + 5dx = Công thức 3: ∫ 3 1 +C = +C x + d x + ⇒ I = x + x + 5 5 ( ) ( ) ( ) 4∫ dx = ln x + C x Chứng minh: dx Thật vậy, ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta du ∫u = ln u + C  dx = ln x + k + C d ( ax + b ) dx  ∫ 2x + k + ∫ = = ln ax + b + C  → ax + b a ∫ ax + b a  dx = − ln k − x + C  ∫ k − x Ví dụ: 1 dx x  a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + x + ln x + C x x x x  du dx d ( 3x + ) u = ∫ → I = ln 3x + + C 3x + 3x + 2x2 + x + 3 dx d ( x + 1)   c) ∫ dx = ∫  x + = x2 + ∫ = x + ln x + + C  dx = ∫ xdx + 3∫ 2x + 2x +  2x + 2x +  b) I = ∫ Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  → ∫ sin xdx = − cos2 x + C ∫ a a Ví dụ:  dx d ( x − 1)  a) ∫  x x + s inx + = ∫ x dx − cos x + ∫ =  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ 2x −1  2x −1 2x −1  2x = − cos x + ln x − + C  dx d ( x − 3)  = ∫ sin xd ( x ) + ∫ = − cos2 x + ln x − + C b) ∫  sin x +  dx = ∫ sin xdx +3∫ 4x −  4x − 4x −  x   c) ∫  sin + sinx + sin x  dx   1  x x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( x ) = 2dx ⇒ dx = d ( x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 2 T : x x x  x   ∫  sin + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin dx + ∫ sin xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin d   + ∫ sin xd ( x ) + ∫ sin 3xd ( 3x ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 x 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos2 xdx = sin x + C ∫ a a Ví dụ: 4x −     a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  −  dx = sinx + cos x + x − 5ln x + + C x +1  x +1   x2 b) ∫ ( cos x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin x − cos x − + C 2 − cos2 x 1 1 1  c) ∫ sin xdx = ∫ dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( x ) = x − sin x + C 2 4 2  Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos x Chứng minh: Thật vậy, ( tan x + C )′ = dx ⇒∫ = tan x + C cos x cos x Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta +) dx d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C dx = tan x + C 2x ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 Ví dụ: dx   a) ∫  + cos x − sin x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin xdx = tan x + sin x + cos x + C 2 cos x  cos x    dx dx d ( x − 1) d (5 − 4x) b) I = ∫  + + 2∫ = ∫ − ∫  dx = ∫ 2 cos ( x − 1) − x cos ( x − 1) − 4x  cos ( x − 1) − x  du 1 tan ( x − 1) − ln − x + C 2 du dx d (3 − 2x ) cos u c) I = ∫ =− ∫  → I = − tan ( − x ) + C 2 cos ( − x ) cos ( − x )  →= cos2 u Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin x Chứng minh: Thật vậy, ( − cot x + C )′ = dx ⇒ ∫ = − cot x + C sin x sin x Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta +) dx d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C dx = − cot x + C 2x ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 Ví dụ: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 dx x6   a) ∫  cos x − + x5  dx = ∫ cos xdx − ∫ + ∫ x dx = sin x + cot x + + C sin x sin x   du dx d (1 − x ) 1 sin u b) I = ∫ =− ∫  → I = − − cot (1 − x )  + C = cot (1 − 3x ) + C sin (1 − 3x ) sin (1 − x ) 3  x d  du dx  x sin u c) I = ∫ = ∫    → I = −2 cot   + C x x     2 sin   sin   2 2 Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ eu du = eu + C  x+ k e dx = e x + k + C ∫  1  → +) ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C  a a  e k − x dx = − e k − x + C  ∫ Ví dụ:  dx 1 d ( 3x )  a) ∫  e −2 x +1 − + dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ + 4.2 x  sin 3x sin x sin x x x  1 = − e −2 x +1 + cot 3x + x + C b) ∫ ( 4e x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = ∫ e3 x + dx + ∫ cos (1 − x ) dx = 3x+2 e d ( 3x + ) − ∫ cos (1 − x ) d (1 − x ) ∫ 3 = e3 x + − sin (1 − x ) + C 3 Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy,  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a  ln a  Chú ý: +) Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta ∫ a u du = a u + C +) ∫ a kx + m dx = kx + m a d ( kx + m ) = a kx + m + C ∫ k k Ví dụ: 3x 2x 23 x 32 x a u du d x + d x  → I = + +C ( ) ∫ ( ) 3∫ 3ln 2ln 3 21− x x + − e x + ) dx = ∫ 21− x dx − ∫ 3e x + dx = − ∫ 21− x d (1 − x ) − ∫ e x + d ( x + 3) = − + e +C 2ln a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ a x dx = • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx = • x α +1 α +1 ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ cos xdx = sin x + C + C, (α ≠ −1) • ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ x dx = ln x + C • ∫ e x dx = e x + C • ∫ • ∫ cos2 x sin2 x dx = tan x + C dx = − cot x + C • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) a • ∫ eax + b dx = • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) a • 1 ax + b e + C , (a ≠ 0) a ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1: [ĐVH] Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x) biết  F ( x) = (4 x − 5)e x a)  x  f ( x) = (4 x − 1)e  F ( x) = tan x + x − b)   f ( x) = tan x + tan x +   x2 +   F ( x) = ln     x +3 c)  −2 x  f ( x) =  ( x + 4)( x + 3)   F ( x) = ln  d)   f ( x) =  x2 − x + x2 + x + 2( x − 1) x4 + Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm sau 1  1) ∫  x – x +  dx = x  2) ∫ 3) x4 + dx = x2 ∫ x −1 dx = x2 ( x − 1)2 4) ∫ dx = x2 5) ∫ ( ) x + x + x dx =   6) ∫  −  dx = x  x 7) ∫ 2sin x dx = Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 8) ∫ tan xdx = 9) ∫ cos xdx = 10) ∫ dx = sin x.cos x 11) ∫ cos x dx = sin x.cos x 12) ∫ 2sin x cos xdx = 13) ∫ e x ( e x – 1) dx =  e− x  14) ∫ e x  +  dx = cos x   2x   15) ∫  e3 x +1 +  dx = x −1   Ví dụ 3: [ĐVH] Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x − x + 5; c) f ( x ) = e) f ( x ) = − 5x ; x x3 − x2 ; g) f ( x ) = sin x.cos x; i) f ( x ) = F (1) = b) f ( x ) = − cos x; F ( e) = d) f ( x ) = F (−2) = f) f ( x ) = x x + π F '  = 3 h) f ( x ) = x3 + 3x3 + 3x − ( x + 1)2 ; F (0) = x2 + ; x F (π) = F (1) = ; x 3x − x + x2 F (1) = −2 ; F (1) = x π π k) f ( x) = sin ; F   = 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; π F  =3 2 b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (π) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F (2) = −2 Bài 2: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  F ( x ) = mx + (3m + 2) x − x + a)  Tìm m  f ( x ) = x + 10 x −  F ( x ) = ln x − mx +  b)  Tìm m 2x +  f (x) = x + 3x +  Bài 3: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x): Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG  F ( x ) = (ax + bx + c) x − x a)  Tìm a, b, c  f ( x ) = ( x − 2) x − x Facebook: LyHung95  F ( x ) = (ax + bx + c)e x b)  Tìm a, b, c x  f ( x ) = ( x − 3)e Bài 4: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  F ( x ) = (ax + bx + c)e−2 x a)  Tìm a, b, c −2 x  f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e  F ( x ) = (ax + bx + c)e − x b)  Tìm a, b, c −x  f ( x ) = ( x − x + 2)e Bài 5: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x):  b c  a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x Tìm a, b, c  f ( x ) = cos x  F ( x ) = (ax + bx + c) x −  b)  Tìm a, b, c 20 x − 30 x + f ( x ) =  2x −  Bài 6: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 1) I1 = ∫(x ) + x dx   2) I =  − 3 x  dx x   x − x +  dx 4) I =   x   x ∫ ∫( ∫ 3) I =   5) I = ∫  x + dx x  6) I = ∫ ) x − x3 + x3 dx x4 + dx x2 Bài 7: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 7) I = ∫ ( ) x −1 dx x x + x3 − x + 10) I10 = ∫ dx x2 8) I = ∫ ( x − 1) dx 11) I11 = ∫ 9) I = ∫ x2 − x x − x dx x (x 16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx   14) I14 = ∫  x +  dx x  17) I17 = dx (2 x − 3)5 ∫ + 4) dx x2   12) I12 = ∫  −  dx x  x Bài 8: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau:   13) I13 = ∫  x −  dx x  ( x − 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) x x +1 ) dx dx Bài 9: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: x  x π  19) I19 = sin  +  dx 20) I 20 =  sin x + sin  dx 3 2 7    π x +1 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4    ∫ ∫ ∫ x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx   x 24) I 24 = ∫ sin dx Bài 10: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 26) I 26 = ∫ dx cos x 29) I 29 = ∫ tan x dx 27) I 27 = ∫ dx cos ( x − 1) 30) I 30 = ∫ cot x dx 28) I 28 = ∫ ( tan x + x ) dx 31) I 31 = ∫ dx sin ( x + 3) Bài 11: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 32) I 32 = ∫ dx − cos x   35) I 35 = ∫  sin x −  dx − 5x     33) I 33 = ∫  x + + cot x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3   34) I 34 = ∫  x +  dx 3x +   2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + Bài 12: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG x dx − 5x 3x + x + x + 41) I 41 = ∫ dx x+2 38) I 38 = ∫ x + x + 11 dx x+3 x3 + x − 42) I 42 = ∫ dx 2x + 39) I 39 = ∫ Bài 13: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 44) I 44 = ∫ e −2 x + dx 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx   47) I 47 = ∫  e− x +  dx sin (3 x + 1)    e− x  48) I 48 = ∫ e x  +  dx cos x   Facebook: LyHung95 2x2 − x + dx x −1 x2 + 6x + 43) I 43 = ∫ dx 2x + 40) I 40 = ∫ 46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx 49) I 49 = ∫ ( 21− x − e x + ) dx Bài 14: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 50) I 50 = ∫ dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02 PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 xdx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x ) 2 dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin x 1 x dx = d ( x ) = d ( x ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 dx =d x sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos x ( x) = d( ) ( x ± a = −d a − x ) dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x 10 dx = 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) I1 = ∫ x dx + x2 ∫ c) I = ∫ b) I = x(1 + x )10 dx Lời giải:  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a  2   a) Sử dụng công thức vi phân   du  u = d ( ln u ) ( ) ( ) ( ( x dx x3 + ) ) 2 du x d x d x +1 ∫ u = ∫ d (ln u ) =ln u +C I = ln x + + C dx = = ←→ + x2 2 + x2 + x2  x  1 2  xdx = d   = d x = d x ± a 2    b) Sử dụng công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  Ta có I1 = ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I = x + x ) 10 dx = ∫ (1 + x ) d ( x 10 ) +1 ( (1 + x ) = ) 11 22   x3   x dx = d   = d x ± a   3 c) Sử dụng công thức vi phân   du 2 u = d u  ( ) + C ) ( ) 3 d ( x + 1) d ( x + 1) x3 + = ∫ x + ∫ x3 + = + C x3 + Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx a) I = ∫ x − x dx b) I = ∫ 2x −1 Ta có I = ∫ x dx = c) I = ∫ − x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Tuy nhiên, với toán có đặc điểm riêng mà ta trình bày cách giải ngắn gọn sau: dx tan x I = ∫ ( tan x + tan x ) dx = ∫ ( tan x + 1) tan x dx = ∫ tan x = ∫ tan x.d ( tan x ) = + C cos x dx dx tan x d) I = ∫ = = + tan x d tan x = tan x + + C ( ) ( ) cos x ∫ cos x cos x ∫ Bình luận: Với nguyên hàm có xuất tanx kèm theo cos2nx mẫu số ta sử dụng phép phân tích sau n −1 1   cos n x = cos n − x cos x = ( tan x + 1) cos x   dx = d ( tan x )  cos x Dựa phép phân tích ta mở rộng thêm số toán sau: 2 dx dx tan x tan x   dx = = = + tan x d tan x = + + tan x + C ( ) ( )   cos6 x ∫ cos x cos x ∫  cos x  cos x ∫ tan 2010 x dx tan 2013 x tan 2011 x 2010 2010 J2 = ∫ dx = tan x = tan x + tan x d tan x = + + C ( ) ( ) ∫ cos x cos x cos x ∫ 2013 2011 J1 = ∫ Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: dx a) I = ∫ sin x.cos5 x c) I = ∫ b) I = ∫ dx 2sin x − 5sin x cos x − 3cos x d) I8 = ∫ dx sin x.cos x dx ( cos x − sin x ) Hướng dẫn giải: dx a) I = = sin x.cos5 x ∫ = ∫ ∫ ( dx sin x cos x + 3tan x + 3tan x + tan x =− tan x 2tan x ∫ + 3ln tan x + dx sin x.cos x = ∫ ∫ (1 + tan x )3 ( tan x )3 d ( tan x ) = 3  −3  d ( tan x ) = ( tan x ) + + 3tan x + tan x  d ( tan x ) = tan x   ∫ b) I = ) cos x 3   dx = =   tan x  cos x  cos x 4 3tan x tan x 3tan x tan x + + C  → I5 = − + 3ln tan x + + + C 2 4 2tan x ∫ ( sin x cos x ) ⋅ −5 −2 −3 ( ) d ( tan x ) = − ( tan x ) + C = = tan x + C 2 cos x tan x dx ∫ Bình luận: Trong hai nguyên hàm I5 I6 dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung hai nguyên hàm mẫu số có chứa sinx cosx với tổng lũy thừa số chắn Phương pháp giải cách giải tổng quát cho dạng nguyên hàm Tuy nhiên, tổng lũy thừa lớn toán trở nên phức tạp nhiều! dx c) I = ∫ 2sin x − 5sin x cos x − 3cos x Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx cosx Trong chuyên đề phương trình lượng giác ta biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm tương tự Chia tử mẫu số dx d ( tan x ) dt cos x cho cos x ta được: I = ∫ =∫ =∫ ; (t = tan x ) 2 2sin x 5sin x cos x 3cos x tan x − tan x − 2t − 5t − − − cos x cos x cos x dt t −3 (2t + 1) − 2(t − 3) dt 2dt 1 tan x −  → I7 = ∫ =∫ dt = ∫ − ∫ = ln + C = ln + C (t − 3)(2t + 1) 7.(t − 3)(2t + 1) t − 2t + 2t + tan x + dx d ( tan x ) dx −1 d − tan x cos x d) I8 = = = = = + C 2 2 − tan x − tan x cos x − sin x − tan x − tan x ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( ( ) ) ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bình luận: Mẫu số nguyên hàm có dạng biểu thức lượng giác đặc biệt, nên ta tìm 1  π  sin x  = 2cos  x +  cách giải đặc biệt khác Thật vậy, cos x − sin x =  cos x − 3  2  Từ I = ∫ ( cos x − dx sin x ) π  dx+  dx 1 π 3  =∫ = ∫  = tan  x +  + C π π 3      cos  x +  cos  x +  3     Bằng phép biến đổi lượng giác cho cách giải trên, khai triển công thức lượng giác cho cách giải ta thu kết Nếu em không tự tin với khẳng định thầy chứng minh điều 1 π − − tan x + + tan x + tan π  3 +C = + C = tan x + + C = Thật vậy, tan  x +  + C = π 4 − tan x   − tan x − tan x.tan 1 1 ′  ′ =− + +C = +C − , rõ ràng  C −  = ( C ) = 4 − tan x 4 3 − tan x  ( ( ) ( ( ) ) ) Ví dụ 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ cot x dx b) I10 = ∫ cos x dx sin x Hướng dẫn giải: c) I11 = ∫ dx + sin x dx   a) I = ∫ cot x dx = ∫ cot x.cot x dx = ∫  − 1 cot x dx = ∫ cot x − ∫ cot x dx = sin x  sin x  − cot x dx − cot x   = − ∫ cot x d ( cot x ) − ∫  − 1 dx = − ∫ + ∫ dx = + cot x + x + C sin x  sin x  cos x dx 2) Xét I10 = ∫ sin x Cách 1: cos x dx d (sin x) −1 I10 = ∫ =∫ = + C 5 sin x sin x 4sin x Cách 2: cos x dx cos x dx dx cot x cot x = = cot x = − cot x + cot x d (cot x ) = − − + C ( ) ∫ sin x sin x ∫ ∫ sin x sin x sin x Bình luận: Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta thu kết với hai cách giải Tương tự nguyên hàm tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin2nx ta sử dụng thủ thuật phân tích n −1 1   sin n x = sin n − x sin x = + cot x sin x để đưa nguyên hàm có chứa cotx cot2x biết   dx = − d ( cot x )  sin x I10 = ∫ ( c) I11 = ∫ dx dx =∫ + sin x ( sin x + cos x ) ) π  dx+  dx 1 π 4  =∫ = ∫  = − cot  x +  π π 4    2sin  x +  sin  x +  4     d ( A sin x + B cos x + C ) = ( Acos x − B sin x ) dx Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  d ( A' sin x − B' cos x + C' ) = ( A' cos x + B' sin x ) dx Cách giải: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 ± sin x = ( sin x ± cos x ) Các nguyên hàm dạng thường sử dụng số công thức lượng giác  2 cos x = cos x − sin x Để tìm nguyên hàm, ta thường tìm vi phân mẫu số: d ( A sin x + B cos x + C ) = ( A cos x − B sin x ) dx Ví dụ 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: cos x − sinx a) I1 = ∫ dx sinx + cos x cos x dx c) I = ∫ ( sin x + cos x ) b) I = ∫ d) I = ∫ cos x dx + sin x ( sin x + 2cos x ) dx cos x − sin x Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( sin x + cos x ) = ( cos x − sin x ) dx  → I1 = ∫ d ( sin x + cos x ) = ln sin x + cos x + C sin x + cos x d ( sin x + cos x ) cos x dx cos x − sin x cos x − sin x b) I = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = ln sin x + cos x + C + sin x sin x + cos x sin x + cos x ( sin x + cos x ) Bình luận: 1 Do cos2xdx = d ( sin 2x ) = d ( + sin 2x ) nên ta giải theo cách lấy vi phân trực tiếp sau: 2 d + sin 2x ) ( cos2x dx 1 I2 = ∫ = ∫ = ln + sin 2x + C = ln ( sin x + cos x ) + C = ln sin x + cos x + C + sin 2x + sin 2x 2 d ( sin x + cos x ) cos x dx cos x − sin x cos x − sin x −1 c) I = ∫ =∫ dx = ∫ dx = ∫ = + C 3 2 ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) ( sin x + cos x ) sin x + cos x d) Xét I = ∫ ( sin x + 2cos x ) dx cos x − sin x Vi phân mẫu số ta có d ( cos x − sin x ) = ( −2sin x − 4cos x ) dx  → ( sin x + 2cos x ) dx = − Từ ta I = ∫ ( sin x + 2cos x ) dx = − cos x − sin x 2∫ d ( cos x − sin x ) cos x − sin x d ( cos x − sin x ) = − ln cos x − sin x + C d( A sin x ± B cos x ± C ) ←  → ( A ∓ B ) sin x dx   Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân  4  → − sin x dx d sin x + cos x ←  ( ) Cách giải: 1 − cos x Ta có sin x + cos x = ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x = − sin 2 x = − = + cos x 2 4   Từ d ( sin x + cos x ) = d  + cos4 x  = − sin x dx 4   Dạng nguyên hàm thường “ngụy trang” vào hàm số phức tạp, nên bạn cố gắng nhớ vi phân Với nguyên hàm lượng giác mà mẫu số “dài dòng” kinh nghiệm em lấy vi phân mẫu số xem tử số có quan hệ với vi phân hay không ? Chú ý: Ngoài hai công thức trên, dạng nguyên hàm chứa sin6 x + cos x = − sin 2x Ví dụ 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: sin x sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ dx 2sin x − 4cos x + 5cos x cos x + 4sin x Hướng dẫn giải: a) Ta có d ( cos x + 4sin x ) = ( −2sin x.cos x + 8sin x.cos x ) dx = 6sin x.cos x dx = 3sin x dx 2 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  → sin x dx = d ( cos x + 4sin x ) 2 2 sin x d ( cos x + 4sin x ) d ( cos x + 4sin x ) Từ I1 = ∫ dx = ∫ = ∫ = cos x + 4sin x + C 2 2 2 3 cos x + 4sin x cos x + 4sin x cos x + 4sin x Bình luận: Ngoài cách giải trên, mạnh dạn vận dụng kiến thức lượng giác để biến đổi mẫu số gọn gàng + cos2x − cos2x + = − cos2x + sau cos x + sin x = 2 2 5 5   d  − cos2x +  d  − cos2x +  sin 2x dx 2 2 Khi I1 = ∫ = ∫  = ∫  = − cos2x + + C 3 2 3 5 − cos2x + − cos2x + − cos2x + 2 2 2 Rõ ràng hai kết thu hoàn toàn giống nhau! 5 b) Ta có 2sin x − 4cos x + 5cos x = (1 − cos x ) − 4cos x + (1 + cos x ) = − cos x + 2 sin x dx sin x dx d ( 5cos x − ) Khi I = ∫ = −2 ∫ = ∫ = ln 5cos x − + C x − x − 5cos 5cos − cos x + 2 Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: 2sin x dx sin x dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 2010 4 sin x + cos x ( sin x + cos x ) c) I = ∫ sin x + 2cos x dx sin x + cos x d) I = sin x cos x dx x + cos6 x ∫ sin Hướng dẫn giải: Bình luận: Ngoài cách giải truyền thống cho loại nguyên hàm cách lấy vi phân trực tiếp cho biểu thức mẫu số, thầy giới thiệu cách làm thiên biến đối lượng giác kết hợp với vi phân 1 − cos x 2sin x dx 4sin x dx a) Ta có sin x + cos x = − sin 2 x = − = + cos x  → I1 = ∫ =∫ = 2 4 3 + cos x + cos x 4 d (cos x) d (3 + cos x) = −∫ = −2 ∫ = −2 + cos x + C  → I1 = −2 + cos x + C + cos x + cos x d ( cos x ) sin x dx b) Tương tự, thay sin x + cos x = + cos x  → I2 = ∫ =− ∫ = 2010 2010 4 3 3    + cos x   + cos x  4  4    d  cos x +  1 4  = −∫ = +C = + C 2010 2009 2009 4 3  3  2009 sin x + cos x ( ) 2009  + cos x   + cos x  4  4  sin x + 2cos x sin x + 2cos x 2sin x + 4cos x 2sin x 4cos x c) I = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx 4 2 sin x + cos x − sin x − sin x − sin 2 x − sin 2 x 2sin x 2sin x 2sin x d (cos x) ∫ − sin 2 x dx = ∫ − (1 − cos 2 x ) dx = ∫ + cos2 x dx = − ∫ + cos 2 x = arctan ( cos x ) + C1 ( ) ( )( ) ) t+ − t− 4cos x d (sin x) dt −2 −1  1  dx = = = ∫ − sin 2 x ∫ − sin 2 x ∫ − t 2 ∫ t − t + dt = ∫  t − − t +  dt = = ( −1 t − −1 sin x − ln ln + C2 = + C2 t+ 2 sin x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Từ ta I = arctan ( cos2 x ) + C1 + Facebook: LyHung95 −1 sin x − sin x − ln + C2 = arctan ( cos2 x ) − ln + C sin x + 2 sin x +  sin x sin x cos x = sin x −d (cos x) 2sin x d) Ta có   → I4 = dx = dx = − 3sin x − + 3cos 2 x sin x + cos6 x = − sin 2 x − sin 2 x  ∫ ∫ −dt =− + 3t =− arctan Đặt t = cos x → I = ∫ ( dt ( ) 3t +1 =− ∫ ( 3t ) = − ∫ 3t + ( ) d ∫ arctan ( 3t ) + C ) cos x + C BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x dx + cos x b) I = ∫ dx sin x cos3 x c) I = ∫ dx (sin x − 2cos x ) Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ dx sin x − 6cos x b) I = ∫ sin dx x − 9cos x c) I = ∫ sin dx x − 2cos x + Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ ( cot x + cot x ) dx b) I = ∫ 2cos x − 3sin x dx 2sin x − 3cos x + c) I = ∫ dx sin x − c) I = ∫ sin x dx sin x + cos x Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x dx 3sin x + cos x b) I = ∫ cos x sin xdx a sin x + b cos x 2 2 Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x dx cos ( sin x + cos x ) b) I = ∫ sin x dx tan ( sin x + cos x ) Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 07 NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN x    → dx ←  →  + tan x  dx Dạng Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân d  tan  ←   x 2 2 2  cos 2 Cách giải: Xét nguyên hàm I1 = dx ∫ A sin x + B cos x + C Để tính nguyên hàm ta xét hai trường hợp: Nếu C = ± A2 + B  → A sin x + B cos x + C = A sin x + B cos x ± A2 + B = A2 + B cos ( x + φ ) ± A2 + B Ở đây, ta biết phép biến đổi lượng giác A sin x + B cos x = A2 + B cos ( x + α ) A2 + B cos ( x + β ) A +B Khi I1 = ∫ dx A + B cos ( x + α ) ± A + B 2 2 = A +B 2 ∫ dx ∫ cos ( x + α ) ± = −1 A2 + B ∫ dx  x+α 2cos     dx  x+α 2sin     dx 1 x 2dt = 1 + tan  dx  → dx = cos x  2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Nếu C ≠ ± A2 + B ta đặt t = tan x  → Thay vào ta tính I1 nguyên hàm theo ẩn t Chú ý: Một số công thức tính nhanh: π π   sin x + cos x = sin  x +  = cos  x −  4    π π   sin x + cos x = sin  x +  = cos  x −  6 3   π π   sin x − cos x = sin  x −  = −2 cos  x +  3 6   Ví dụ 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ sin x + cos x + sin x − cos x − dx dx c) I = ∫ d) I = 3sin x + cos x + sin x − cos x − Hướng dẫn giải: dx a) I1 = ∫ sin x + cos x + π    → sin x + cos x =  sin x + cos x  = cos  x −  Ta có 12 + 12 =  4    ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  x π d −  dx dx dx   = tan  x − π  + C I1 = ∫ = = =   ∫ ∫ ∫ π π x π      + cos x − 2cos 2 cos  x − π  2 8 cos  x −  + −       4 4   2 8 2 8  x π Vậy I1 = tan  −  + C 2 8 Bình luận: Trong nguyên hàm trên, biểu thức sinx + cosx ta thống chuyển hàm cos để sử dụng công thức lượng giác a dx dx + cos a = cos  → = a + cos a cos 2   π  sin x − cos x  = −2cos  x +  b) Ta có sin x − cos x =  3     x π d +  dx dx dx 1 6  x π I2 = ∫ =∫ =− ∫ =− ∫  = − tan  +  + C π π 2    x π sin x − cos x − 2 6 −2cos  x +  − + cos  x +  cos  +  3 3   2 6 x dx 1 x 2dt c) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan  dx  → dx = x 2 cos 2 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt 2dt 2dt d (6t + 2) 1 x + t2 Khi I = ∫ =∫ =∫ = ∫ = ln 6t + + C = ln tan + + C 2 6t 1− t2 6t + − t + + t 6t + 6t + 3 + +1 1+ t2 1+ t2 x dx 1 x 2dt d) Đặt t = tan ⇒ dt = = 1 + tan  dx  → dx = x 2 cos 2 2 1+ t2 2t 1− t2 Ta có sin x = ; cos x = 1+ t2 1+ t2 2dt dx 2dt dt x + t2 Khi I = = = = = ln t + C = ln tan + C 2 sin x − cos x − t 2t 1− t 2t − + t − − t − −1 2 1+ t 1+ t Ví dụ 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: dx dx a) I1 = ∫ b) I = ∫ 3sin x − cos x + 2sin x − cos x − dx dx c) I = ∫ d) I = ∫ + sin x sin x − cos x + ∫ ∫ ∫ ∫ Xét nguyên hàm I = ∫ ∫ A sin x + B cos x + C ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ dx Với dạng nguyên hàm ta sử dụng phương pháp đồng với nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ xét m ( A′ cos x − B′ sin x ) + n ( A′ sin x + B′ cos x + C ′ ) + p A sin x + B cos x + C việc phân tích: = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′  A = −mB′ + nA′ m   Đồng theo hệ số sinx cosx ta  B = mA′ + nB′  → n C = nC ′ + p p   m ( A′ cos x − B′ sin x ) dx A sin x + B cos x + C dx Từ ta I = dx = + n dx + p = A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B′ cos x + C ′ A′ sin x + B ′ cos x + C ′ ∫ ∫ ∫ ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG = m ln A′ sin x + B′ cos x + C ′ + nx + p Facebook: LyHung95 dx ∫ A′ sin x + B′ cos x + C ′ Ví dụ 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: sin x + 3cos x − a) I1 = ∫ dx sin x + cos x + b) I = ∫ 7sin x − 5cos x ( 3sin x + 4cos x ) dx Hướng dẫn giải: 1 = − A + B A =1 sin x + 3cos x − A(cos x − sin x) + B (sin x + cos x + 2) + C   a) Ta có phân tích =  → 3 = A + B ⇔  B = sin x + cos x + sin x + cos x +  −1 = B + C C = −5   (cos x − sin x) + 2(sin x + cos x + 2) − (cos x − sin x)dx dx Từ I1 = ∫ + ∫ dx − 5∫ = dx = ∫ sin x + cos x + sin x + cos x + sin x + cos x + d (sin x + cos x + 2) =∫ + x − J = ln sin x + cos x + + x − J sin x + cos x + dx 1 x 2dt = 1 + tan  dx  → dx = dt = cos x  2 1+ t2 dx x 2t Xét J = ∫ Đặt t = tan  → sin x = sin x + cos x + 2 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 2dt 2d ( t + 1) dx 2dt 2dt 1+ t2 =∫ =∫ =∫ =∫ = Khi J = ∫ 2 2 2t 1− t sin x + cos x + 2t + − t + + 2t t + 2t + t + + ( ) + +2 1+ t2 1+ t2 x x      tan +   tan +   t +1 = arctan  → I1 = ln sin x + cos x + + x − arctan   + C1   + C  + C = arctan  2           43  A=−  A ( 3cos x − 4sin x ) + B ( 3sin x + 4cos x ) 7 = −4 A + 3B sin x − 5cos x  25 b) Ta có phân tích =  → ⇔ 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x )  −5 = A + B B =  25 43 − ( 3cos x − 4sin x ) + ( 3sin x + 4cos x ) 7sin x − 5cos x 25 25 Từ ta có I = ∫ dx = ∫ dx = 2 ( 3sin x + 4cos x ) ( 3sin x + 4cos x ) ( ) =− = 43 ( 3cos x − 4sin x ) dx dx 43 d ( 3sin x + 4cos x ) dx dx + ∫ =− ∫ + ∫ = 2 ∫ 25 ( 3sin x + 4cos x ) 25 3sin x + 4cos x 25 ( 3sin x + 4cos x ) 25 3sin x + 4cos x 43 + J 25 ( 3sin x + cos x ) 25 dx 1 x 2dt = 1 + tan  dx  → dx = x cos 2 2 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 1− t2 cos x = 1+ t2 dt = Xét J = ∫ dx x Đặt t = tan  → 3sin x + cos x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2dt dt dt (2t − 1) − 2(t + 2) 1+ t2 = = =− dt = 2 (2t − 1)(t + 2) (2t − 1)(t + 2) 6t 4(1 − t ) 2t + 3t − − 1+ t2 1+ t2 x tan − 1 dt 1 2t − 1 = − ln t + + = − ln t + + ln 2t − + C1 = ln + C = ln + C1 x 5 2t − 5 t+2 tan + 2 x tan − 43 Vậy I = + ln + C x 25 ( 3sin x + 4cos x ) 125 tan + 2 dx J= = 3sin x + 4cos x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ 8cos x − sin x + dx 3sin x + cos x + b) I = ∫ 5cos x − sin x + dx sin x + cos x + b) I = ∫ 5sin x − dx 2sin x − cos x − b) I = ∫ cos x − 3sin x + dx (sin x + cos x + 2)2 b) I = ∫ cos x dx sin x − cos x b) I = ∫ sin x + 3cos x − dx sin x + cos x + Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: c) I = ∫ 4sin x − 3cos x + dx (2sin x + cos x + 2)2 Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ sin x − 3cos x + dx 2sin x − cos x − Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x dx sin x + cos x Bài 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ sin x − cos x + dx sin x + cos x + Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP: Công thức nguyên hàm phần I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu Độ ưu tiên lựa chọn đặt u: Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ ( ) Nếu I có chứa ln n [ g ( x)] đặt u = ln n [ g ( x)]  → du = ln n [ g ( x)] ' Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) đặt u = P(x) Nếu I có chứa hàm lượng giác hàm mũ ta đặt tùy ý, nhiên qua trình tính gồm vòng lặp Để việc tính toán vòng lặp, thao tác đặt u phải dạng hàm với Chú ý: Với toán tìm nguyên hàm phần, sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính dạng ∫ udv ) mà không cần đặt u, v Tuy nhiên cách giải nhanh dùng học sinh phải thành thạo vi phân Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ ∫ a) I1 = x sin x dx ∫ b) I = xe3 x dx c) I = x cos x dx ∫ d) I = x ln x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I1 = x sin x dx u = x du = dx Cách 1: Đặt  ← → sin xdx = dv v = − cos x ∫ ∫  → I1 = x sin xdx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x + C Cách 2: I1 = x sin x dx = − xd (cos x) = −  x cos x − cos x dx  = − x cos x + sin x + C   ∫ ∫ ∫ ∫ b) I = xe3 x dx du = dx u = x  ← → Cách 1: Đặt  x 3x e dx = dv v = e 1 1 3x 1  → I = xe3 x dx = xe3 x − e3 x dx = xe3 x − e d (3 x) = xe3 x − e3 x + C 3 9 1 1   1  Cách 2: I = xe3 x dx = x d e3 x =  xe3 x − e3 x dx  =  xe3 x − e3 x d (3 x)  =  xe3 x − e3 x  + C  3 3 3   3 -c) I = x cos x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ u = x  du = xdx ← → Cách 1: Đặt  cos x dx = dv v = sin x ∫ ∫ Khi I = x cos x dx = x sin x − x sin x dx = x sin x − J u = x  du = dx Xét J = ∫ x sin x dx Đặt  ← →  → J = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x sin x dx = dv v = − cos x  → I = x sin x − ( − x cos x + sin x ) + C ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: I = x cos x dx = x d (sin x) = x sin x − sin x d ( x ) = x sin x − x sin x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∫ Facebook: LyHung95 ∫ = x sin x + xd (cos x) = x sin x + x cos x − cos x dx = x sin x + x cos x − 2sin x + C -d) I = x ln x dx ∫ dx   du = x u = ln x x2 x dx x x2 ← →  → I = x ln x dx = ln x − = ln x − + C Cách 1: Đặt  2 x  x dx = dv v = x  ∫ ∫  x2  x2 x2 x2 x dx x x2 Cách 2: I = x ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C 2 x   Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ ∫ = ∫ ln ( x + ∫ a) I = x ln x dx c) I ∫ ∫ b) I = x ln ( x + 1) dx ) + x dx d) I8 ∫ = ∫e x sin x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I = x ln x dx dx  du =  u = ln x x3 x dx x x3 x  ← →  → I = x ln x dx = ln x − = ln x − + C Cách 1: Đặt  3 x  x dx = dv v = x  ∫ ∫  x3  x3 x3 x3 x3 dx x3 x3 d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C Cách 2: I = x ln x dx = ln x d   = ln x − 3 x   -b) I = x ln ( x + 1) dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  x2  x2 x2 Ta có I = x ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) d   = ln ( x + 1) − d ln ( x + 1)   2 2 x x 2ln ( x + 1) x x x2 = ln ( x + 1) − dx = ln ( x + 1) − ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) − J 2 x +1 x +1 2 x ( x − 1) + 1   Xét J = ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) dx =  x − +  ln ( x + 1) dx = x +1 x +1 x +1  ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫  x2  dx = ln ( x + 1) d  − x  + ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) = x +1   2 x  x  ln ( x + 1)  x  ln ( x + 1) x2 − x =  − x  ln ( x + 1) −  − x  d ( ln ( x + 1) ) + =  − x  ln ( x + 1) − dx + 2 x +1       2 x − 2x  x  dx =  x − + Xét K = − 3x + 3ln x +  dx = x +1 x +1  = ∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ln ( x + 1) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  x2   ln ( x + 1)  x2  → J =  − x  ln ( x + 1) −  − 3x + 3ln x +  + + C 2 2    x ln ( x + 1)  x   ln ( x + 1)  x2 Từ ta I = −  − x  ln ( x + 1) +  − 3x + 3ln x +  − + C 2 2    ∫ ( ) c) I = ln x + + x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ) ( Facebook: LyHung95 ) ( ) ∫ ( ) d x +1 = x ln x + + x − + x + C 2 1+ x ( ) 1+ ( x + x x dx Ta có I = ln x + + x dx = x ln x + + x − xd  ln x + + x  = x ln x + + x −   x + + x2 ∫ ( ) = x ln x + + x − ( ∫ x dx + x2 ) = x ln x + + x − ∫ ( ) ∫ ) ( Vậy I = x ln x + + x − + x + C -d) I8 = e x sin x dx ∫ ( ) ( ) Ta có I8 = e x sin x dx = sin x d e x = e x sin x − e x d ( sin x ) = e x sin x − e x cos x dx = e x sin x − cos x d e x = ex ∫ ∫ sin x − ∫ cos x d ( e ) = e x x ∫ ∫ ∫ sin x − e x cos x − e x d ( cos x )  = e x sin x −  e x cos x + e x sin x dx      ∫ ∫ e x sin x − e x cos x + C Nhận xét: Trong nguyên hàm I8 thấy rõ việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, vòng ta quán đặt u hàm lượng giác (sinx cosx) việc tính toán tính trực tiếp = e x sin x −  e x cos x + I8  = e x sin x − e x cos x − I8  → I8 = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau:   1 a) I1 = ∫  x +  ln x dx x b) I = ∫ x ln(3 + x )dx c) I = ∫ ( x + x)sin x dx d) I = ∫ ln ( x + x ) dx  Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ x ln( x + 1) dx b) I = ∫ x tan x dx c) I = ∫ x ln( x + 1) dx d) I8 = ∫ x sin x dx Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ ln( x − 1) dx (2 x + 1)2 c) I11 = ∫ x.sin x.cos x dx b) I10 = ∫ ln(2 x + 1) dx (1 − x)2 d) I12 = ∫ x2e x dx ( x + 2) Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I13 = ∫ x.ln c) I15 = ∫ 1+ x dx 1− x x ln( x + + x ) + x2 b) I14 = ∫ ln( x + + x ) dx dx d*) I16 = ∫ x ln( x + + x ) x + + x2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: x ln x dx ( x + 1) a) I17 = ∫ x ln( x + + x ) dx b) I18 = ∫ c) I19 = ∫ cos(ln x)dx  d) I 20 = ∫  −  dx  ln x ln x  1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 PP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP: Công thức nguyên hàm phần I = ∫ P ( x).Q ( x)dx = ∫ udv = uv − ∫ vdu Độ ưu tiên lựa chọn đặt u: Hàm logarith, lnx → hàm đa thức → hàm lượng giác = hàm mũ ( ) Nếu I có chứa ln n [ g ( x)] đặt u = ln n [ g ( x)]  → du = ln n [ g ( x)] ' Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) đặt u = P(x) Nếu I có chứa hàm lượng giác hàm mũ ta đặt tùy ý, nhiên qua trình tính gồm vòng lặp Để việc tính toán vòng lặp, thao tác đặt u phải dạng hàm với Chú ý: Với toán tìm nguyên hàm phần, sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính dạng ∫ udv ) mà không cần đặt u, v Tuy nhiên cách giải nhanh dùng học sinh phải thành thạo vi phân Ví dụ 1: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ ∫ a) I1 = x sin x dx ∫ b) I = xe3 x dx c) I = x cos x dx ∫ d) I = x ln x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I1 = x sin x dx u = x du = dx Cách 1: Đặt  ← → sin xdx = dv v = − cos x ∫ ∫  → I1 = x sin xdx = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x + C Cách 2: I1 = x sin x dx = − xd (cos x) = −  x cos x − cos x dx  = − x cos x + sin x + C   ∫ ∫ ∫ ∫ b) I = xe3 x dx du = dx u = x  ← → Cách 1: Đặt  x 3x e dx = dv v = e 1 1 3x 1  → I = xe3 x dx = xe3 x − e3 x dx = xe3 x − e d (3 x) = xe3 x − e3 x + C 3 9 1 1   1  Cách 2: I = xe3 x dx = x d e3 x =  xe3 x − e3 x dx  =  xe3 x − e3 x d (3 x)  =  xe3 x − e3 x  + C  3 3 3   3 -c) I = x cos x dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ u = x  du = xdx ← → Cách 1: Đặt  cos x dx = dv v = sin x ∫ ∫ Khi I = x cos x dx = x sin x − x sin x dx = x sin x − J u = x  du = dx Xét J = ∫ x sin x dx Đặt  ← →  → J = − x cos x + cos xdx = − x cos x + sin x sin x dx = dv v = − cos x  → I = x sin x − ( − x cos x + sin x ) + C ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2: I = x cos x dx = x d (sin x) = x sin x − sin x d ( x ) = x sin x − x sin x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ∫ Facebook: LyHung95 ∫ = x sin x + xd (cos x) = x sin x + x cos x − cos x dx = x sin x + x cos x − 2sin x + C -d) I = x ln x dx ∫ dx   du = x u = ln x x2 x dx x x2 ← →  → I = x ln x dx = ln x − = ln x − + C Cách 1: Đặt  2 x  x dx = dv v = x  ∫ ∫  x2  x2 x2 x2 x dx x x2 Cách 2: I = x ln x dx = ln x d   = ln x − d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C 2 x   Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ ∫ = ∫ ln ( x + ∫ a) I = x ln x dx c) I ∫ ∫ b) I = x ln ( x + 1) dx ) + x dx d) I8 ∫ = ∫e x sin x dx Hướng dẫn giải: ∫ a) I = x ln x dx dx  du =  u = ln x x3 x dx x x3 x  ← →  → I = x ln x dx = ln x − = ln x − + C Cách 1: Đặt  3 x  x dx = dv v = x  ∫ ∫  x3  x3 x3 x3 x3 dx x3 x3 d ( ln x ) = ln x − = ln x − + C Cách 2: I = x ln x dx = ln x d   = ln x − 3 x   -b) I = x ln ( x + 1) dx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  x2  x2 x2 Ta có I = x ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) d   = ln ( x + 1) − d ln ( x + 1)   2 2 x x 2ln ( x + 1) x x x2 = ln ( x + 1) − dx = ln ( x + 1) − ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) − J 2 x +1 x +1 2 x ( x − 1) + 1   Xét J = ln ( x + 1) dx = ln ( x + 1) dx =  x − +  ln ( x + 1) dx = x +1 x +1 x +1  ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫  x2  dx = ln ( x + 1) d  − x  + ln ( x + 1) d ( ln ( x + 1) ) = x +1   2 x  x  ln ( x + 1)  x  ln ( x + 1) x2 − x =  − x  ln ( x + 1) −  − x  d ( ln ( x + 1) ) + =  − x  ln ( x + 1) − dx + 2 x +1       2 x − 2x  x  dx =  x − + Xét K = − 3x + 3ln x +  dx = x +1 x +1  = ∫ ( x − 1) ln ( x + 1) dx + ln ( x + 1) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  x2   ln ( x + 1)  x2  → J =  − x  ln ( x + 1) −  − 3x + 3ln x +  + + C 2 2    x ln ( x + 1)  x   ln ( x + 1)  x2 Từ ta I = −  − x  ln ( x + 1) +  − 3x + 3ln x +  − + C 2 2    ∫ ( ) c) I = ln x + + x dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ) ( Facebook: LyHung95 ) ( ) ∫ ( ) d x +1 = x ln x + + x − + x + C 2 1+ x ( ) 1+ ( x + x x dx Ta có I = ln x + + x dx = x ln x + + x − xd  ln x + + x  = x ln x + + x −   x + + x2 ∫ ( ) = x ln x + + x − ( ∫ x dx + x2 ) = x ln x + + x − ∫ ( ) ∫ ) ( Vậy I = x ln x + + x − + x + C -d) I8 = e x sin x dx ∫ ( ) ( ) Ta có I8 = e x sin x dx = sin x d e x = e x sin x − e x d ( sin x ) = e x sin x − e x cos x dx = e x sin x − cos x d e x = ex ∫ ∫ sin x − ∫ cos x d ( e ) = e x x ∫ ∫ ∫ sin x − e x cos x − e x d ( cos x )  = e x sin x −  e x cos x + e x sin x dx      ∫ ∫ e x sin x − e x cos x + C Nhận xét: Trong nguyên hàm I8 thấy rõ việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, vòng ta quán đặt u hàm lượng giác (sinx cosx) việc tính toán tính trực tiếp = e x sin x −  e x cos x + I8  = e x sin x − e x cos x − I8  → I8 = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau:   1 a) I1 = ∫  x +  ln x dx x b) I = ∫ x ln(3 + x )dx c) I = ∫ ( x + x)sin x dx d) I = ∫ ln ( x + x ) dx  Bài 2: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ x ln( x + 1) dx b) I = ∫ x tan x dx c) I = ∫ x ln( x + 1) dx d) I8 = ∫ x sin x dx Bài 3: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I = ∫ ln( x − 1) dx (2 x + 1)2 c) I11 = ∫ x.sin x.cos x dx b) I10 = ∫ ln(2 x + 1) dx (1 − x)2 d) I12 = ∫ x2e x dx ( x + 2) Bài 4: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: a) I13 = ∫ x.ln c) I15 = ∫ 1+ x dx 1− x x ln( x + + x ) + x2 b) I14 = ∫ ln( x + + x ) dx dx d*) I16 = ∫ x ln( x + + x ) x + + x2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: x ln x dx ( x + 1) a) I17 = ∫ x ln( x + + x ) dx b) I18 = ∫ c) I19 = ∫ cos(ln x)dx  d) I 20 = ∫  −  dx  ln x ln x  1 Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! [...]... − 5 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi... 5x dx 4x + 5x + 1 Bài 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I 4 = ∫ x3 − x + 7 dx 2x + 5 b) I 5 = ∫ Bài 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ 2x −1 dx 2 x + 3x + 2 b) I 2 = ∫ Bài 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I 4 = ∫ 5 + 4x dx 3 − 2x − x2 b) I 5 = ∫ 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG... ln x + 4ln x − 1 + ln x + 2 + C 2 2 2 ∫ BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I 7 = ∫ 4x −1 dx 2 x + 2x + 1 b) I8 = ∫ 3x + 7 dx 2 4x + 4x + 1 c) I 9 = ∫ 3x 2 + 1 dx 9 x2 + 6 x + 1 Bài 2: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) I10 =... thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 04 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ - P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ I = ∫ P ( x) dx Q( x) Nguyên tắc giải: Khi bậc của tử số P(x) lớn hơn Q(x) thì ta phải chia đa thức để quy về nguyên. .. dx Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 1 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM VÔ TỈ ĐƠN GIẢN Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa... x − 1 x + 3 x − 1 x +3 3 − 2x − x     Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 2 x − 3) ( = − ln x − 1 + 2ln x + 3 + C = ln x −1 + C  → I6 2 x − 3) ( = ln x −1 Facebook: LyHung95 + C BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ 2x −1 dx x+3 b) I 2 = ∫ x 2 + 3x −... Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 03 PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN DẠNG 2 ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC Nếu hàm f(x) có chứa dx = d (a sin t ) = a cos t dt a 2 −... 2 Bài 3: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I13 = ∫ 2 − 3x dx x − 4x + 5 2 b) I14 = ∫ 2 2 Bài 4: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I16 = ∫ 2x −1 dx x −x+4 2 b) I17 = ∫ 2 2 Bài 5: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I1 = ∫ dx x( x 2 − 1) b) I 2 = ∫ Bài 6: [ĐVH] Tính các nguyên hàm sau: a) I 4 = ∫ 5x + 2 dx (1 + x)(4 − x 2 ) b) I 5 = ∫ Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi. .. I1 = ∫x ∫ 2 2dx − 2x + 1 b) I 2 = ∫ ∫ ∫ 2 ∫ Ví dụ 2: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I 4 = ∫ 2x −1 dx 2 4x + 4x + 1 b) I 5 = ∫ 4x2 − 3 dx 4 x 2 + 12 x + 9 Hướng dẫn giải: c) I 6 = ∫ 9x 2 1 − 5x dx − 24 x + 16 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) I 4 = ∫ 4x 2x − 1 dx = + 4x... Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Ta có I11 = ∫ ∫ ∫ Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng các công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) 3 Ta có I12 = ∫ 1 2 cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 ( cos x ) 2 3 Ví dụ 5: [ĐVH] Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ...  Bài 3: [ĐVH] Tìm điều kiện tham số để hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f(x): Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia. .. Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Bảng nguyên hàm số hàm số thường... 37) I 37 = ∫ dx 4x + Bài 12: [ĐVH] Tính nguyên hàm sau: Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT