Câu hỏi vận dụng cao có giải chi tiết chuyên đề ứng dụng của tích phân

Nhà ông An cần sơn mặt trước của cổng có dạng như hình bên, các đường cong có dạng là Parabol với các kích thước được cho như hình?. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Phần 1 Áp dụng công thức………

Phần 2 Đồ thị hàm f x ……… ( )

Phần 3 Đồ thị hàm f x ……… …… ¢ ( )

Phần 4 Diện tích hình phẳng ……….……

Phần 5 Thể tích khối tròn xoay ……….………

Phần 6 Bài toán vận tốc ……….………

Phần 1 Áp dụng công thức

Câu 1 Cho hàm số y= f x liên tục trên ( ) [a b và có ; ]

đồ thị như hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [0;3 và có đồ thị ]

như hình bên Biết 3 ( )

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [-2;2] và có đồ thị

đối xứng qua gốc tọa độ như hình bên Biết ( )

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên [-2;2] và có đồ thị

đối xứng qua trục tung như hình bên Biết ( )

Câu 6 Cho hàm số y= f x liên tục trên ( ) [-3;5 và có đồ ]

thị như hình bên (phần cong của đồ thị là một phần của

Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên [ ]1;4 và có

đồ thị như hình bên Tích phân ò4 ¢( )

( ) ( )2

y= g x =x f x có đồ thị trên đoạn [ ]1;2 như hình vẽ bên

Biết phần diện tích miền được tô màu là = 5 ,

ì =  =ïï

íï =  =ïî

Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên [-1;2 ]

Đồ thị của hàm số y= f x¢( ) được cho như hình bên Diện tích

Câu 10 Cho hàm số y= f x có đạo hàm liên tục trên ( )

[-2;4 Đồ thị của hàm số ] y= f x¢( ) được cho như hình

bên Diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đồ thị

hàm số y= f x¢( ) trên đoạn [-2;1] và [ ]1;4 lần lượt bằng

Câu 1 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm liên tục trên  và có

đồ thị như hình bên Giá trị của biểu thức

Câu 2 Cho hàm số y= f x xác định và liên tục ( )

trên [0;2 và có bảng biến thiên như hình bên ]

Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để thỏa

 -10£2m£14 - £5 m£7 Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn Chọn C

y= f x và y=g x( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

lượt là 3; 1; 1- - (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn

bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

y= f x và y= g x( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

lượt 3; 1; 2- - (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi

hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

y= f x và y= g x( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt

là 2; 1; 1- - (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ

y= f x và y= g x( ) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần

lượt là 2; 1; 3- (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn

bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Câu 7 Cho hàm số y = f x( ) xác định và liên tục

trên đoạn [-5;3 và có đồ thị như hình vẽ Biết ]

rằng diện tích hình phẳng S S S giới hạn bởi 1, 2, 3

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) xác định và liên tục

trên đoạn [-3;3 và có đồ thị như hình vẽ Biết rằng ]

diện tích hình phẳng S S giới hạn bởi đồ thị hàm 1, 2

Lời giải Đặt

( ) ( ) ( )

ì =ïï

Câu 10* Cho Parabol ( )P :y =x2. Hai điểm A , B di dộng

trên ( )P sao cho AB = Khi diện tích phần mặt phẳng giới 2

hạn bởi ( )P và cát tuyến AB đạt giá trị lớn nhất thì hai

điểm , A B có tọa độ xác định A x y và ( A; A) B x y( B; B) Giá trị

Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số f x ta suy ra ¢( ),

bảng biến thiên như hình bên Khi đó:

x f x f

Î - = - Chọn B

Câu 2 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x¢( ) liên tục trên 

và đồ thị của hàm số y = f x¢( ) cắt trục hoành tại ba điểm có

hoành độ , ,a b c (hình bên) Khẳng định nào sau đây đúng?

A f c( )> f a( )> f b( ) B f a( )> f c( )> f b ( )

C f b( )> f c( )> f a ( ) D f a( )> f b( )> f c ( )

Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số f x ta suy ¢( ),

ra bảng biến thiên như hình bên Khi đó:

f x x

Suy ra f c( )> f a Vậy ( ) f c( )> f a( )> f b Chọn A ( )

Câu 3 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x¢( ) liên

tục trên  Hình bên là đồ thị của hàm số f x¢( ) trên

đoạn [-2; d Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của ]

hàm số y= f x trên đoạn ( ) [-2;d lần lượt là ]

A f a và ( ) f b B ( ) f a và ( ) f ( )-2

C f c và ( ) f b D ( ) f c và ( ) f d ( )

Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số f x ta suy ra bảng biến thiên ¢( ),

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra m= min{f a f c( ) ( ); }, M =max{f ( ) ( ) ( )-2 ;f b f d; }.Dựa vào đồ thị f x ta có ¢( ),

• ò ¢( )d > 0 ( ) > 0 ( )- ( )> 0 ( )> ( )

a a

Vậy m= f a M( ), .= f b Chọn A ( )

Câu 4 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x¢( ) liên tục trên 

Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số

Câu 5 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x liên tục ¢( )

trên [-2;1 Hình bên là đồ thị của hàm số ] y= f x Đặt ¢( )

( )= ( )

-2

.2

y x Dựa vào đồ thị ta thấy đường y=x cắt đồ thị hàm số y= f x¢( ) tại các điểm

có hoành độ -2; 0; 1 (tham khảo hình vẽ)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra max{g( ) ( ) ( )-2 ; 1 ; 0g g }= g( )0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

 g 0 - - >g 2 g 0 -g 1  g - <2 g 1 Chọn A

Câu 6 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x liên tục ¢( )

trên [-3;3 Hình bên là đồ thị của hàm số ] y= f x Đặt ¢( )

Câu 7 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x liên tục ¢( )

trên [-3;3 Hình bên là đồ thị của hàm số ] y= f x ¢( )

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra min{g( ) ( ) ( )-3 ; 1 ; 3g g }= g( )1

Câu 8 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x liên tục trên ¢( )

[-3;3 Hình bên là đồ thị của hàm số ] y= f x Biết ¢( ). f ( )1 =6

và ( ) ( ) ( )

2

12

x

g x = f x - + Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Phương trình g x = không có nghiệm thuộc ( ) 0 [-3;3 ]

B Phương trình g x = có đúng một nghiệm thuộc ( ) 0 [-3;3 ]

C Phương trình g x = có đúng hai nghiệm thuộc ( ) 0 [-3;3 ]

D Phương trình g x = có đúng ba nghiệm thuộc ( ) 0 [-3;3 ]

Lời giải Từ giả thiết f ( )1 = ¾¾6 g( )1 =4

Ta có g x¢( )= f x¢( ) (- x+1 ;) g x¢( )= 0 f x¢( )= +x 1 Ta thấy đường thẳng = +1y x

cắt đồ thị hàm số y= f x¢( ) tại các điểm có hoành độ -3; 1; 3

Dựa vào đồ thị, ta có

Từ BBT suy ra phương trình g x = có đúng một nghiệm thuộc ( ) 0 [-3;3 ] Chọn B Câu 9 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x liên tục trên ¢( )

[-2;1 Hình bên là đồ thị của hàm số ] y= f x Đặt ¢( )

( )= ( )

-2

.2

x

g x f x Điều kiện cần và đủ để phương trình g x( )= 0

có bốn nghiệm phân biệt là

Từ đó ta có bảng biến thiên như hình bên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra đồ thị hàm số

Câu 10 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm f x¢( ) liên tục

trên  Hàm số y= f x có đồ thị như hình bên Tổng giá ¢( )

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g x( )= f x trên ( )2

1

24

x

• Dựa vào bảng biến thiên suy ra

[ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( )-

2;2 2;2

maxg x ming x f 1 f 4 Chọn C

Phần 4 Diện tích hình phẳng

Câu 1 Cho Parabol như hình vẽ bên Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi Parabol và trục hoành bằng

Diện tích tam giác ABC là SDABC = 4

Suy ra diện tích phần tô đậm = - D = 20

3

AOB ABC

Câu 3 Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình

chữ nhật có chiều rộng 30 m và chiều dài 50 m Để

giảm bớt chi phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An

chia sân bóng ra làm hai phần (tô đen và không tô đen)

như hình bên Phần tô đen gồm hai miền diện tích

bằng nhau và đường cong AIB là một Parabol đỉnh I

Phần tô đen được trồng cỏ nhân tạo với giá cỏ nhân tạo với giá 130000 đồng/m và 2

phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 000 đồng/m Hỏi ông An phải trả bao 2

nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?

Câu 4 Nhà ông An cần sơn mặt trước của cổng có dạng như

hình bên, các đường cong có dạng là Parabol với các kích

thước được cho như hình Biết giá thuê nhân công là 100.000

đồng/m Hỏi ông An phải trả cho bên thi công bao nhiêu 2

Câu 5 Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa

mỏng hình vuông cạnh 10 cm bằng cách khoét bỏ đi bốn

phần bằng nhau có hình dạng Parabol (như hình vẽ) Biết

Suy ra diện tích bề mặt hoa văn là: = - = - = 2

Câu 6 Một mảnh vườn toán học có dạng hình chữ nhật,

chiều dài là 16 m và chiều rộng là 8 m Các nhà Toán học

dùng hai đường Parabol, mỗi Parabol có đỉnh là trung

điểm của một cạnh dài và đi qua hai mút của cạnh đối

diện, phần mảnh vườn nằm ở miền trong của cả hai

Parabol (phần tô đậm như hình vẽ) được trồng hoa hồng Biết chi phí để trồng hoa hồng là 45000 đồng/m Hỏi các nhà Toán học phải chi bao nhiêu tiền để trồng hoa 2

trên phần mảnh vườn đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 1920000 đồng B 2159000 đồng C 2715000 đồng D 3322000 đồng

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy và gọi tên các đỉnh

như hình vẽ bên Dễ dàng xác định được

• Parabol đi qua ba điểm , ,A I B là ( ) = -1 2+

CD (hình vẽ bên) Cho biết MNEF là hình chữ nhật có MN = 4 m; cung EIF

có hình dạng là một phần của cung Parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và

đi qua hai điểm ,C D Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/m Hỏi công ty cần 2

bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng

C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng

Lời giải Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên dưới

Dễ dàng xác định được Parabol đi qua ba điểm , , , , D F I E C là ( ) =

Hai điểm , M F nằm trên đường thẳng = -2; x , N E nằm trên đường thẳng = 2 x

Khi đó diện tích hình MNEIF là:

Câu 8 Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách

giữa hai chân cổng là AB =8 m Người ra treo một tâm phông hình

chữ nhật có hai đỉnh M N nằm trên Parabol và hai đỉnh ,, P Q nằm

trên mặt đất (như hình vẽ) Ở phần phía ngoài phông (phần không tô

đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho 1 m cần số tiền 2

mua hoa là 200.000 đồng, biết MN =4 m, MQ =6 m Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?

A 3373400 đồng B 3434 300 đồng C 3437300 đồng D 3733300 đồng

Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Parabol đối xứng qua Oy nên có dạng ( )P : y=ax2 +c Vì

( )P đi qua B(4;0) và N(2;6) nên ( ) = -1 2 +

Câu 9. Cho H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị ( )C : y=4x x- 2 và

trục hoành (hình vẽ bên) Đường thẳng y m= chia H thành hai

phần có diện tích bằng nhau Biết m= +a 3b với ,a b là các số hữu

điểm AB ; I(2;4) là đỉnh của ( )C Khi đó diện tích miền

khép kín giới hạn bởi Parabol và đường =y m (phần gạch

3

3 1

số y=6x x- 2 và trục hoành Hai đường thẳng y m= và y n=

chia hình H thành ba phần có diện tích bằng nhau Tính

-3 3

Câu 12 Cho đường tròn tâm O đường kính AB= 8. Trên AB

lấy hai điểm M N đối xứng nhau qua O sao cho , MN = 4

Qua ,M N kẻ hai dây cung PQ và EF cùng vuông góc với AB

Diện tích phần giới hạn bởi đường tròn và hai dây cung PQ EF ,

Câu 13 Biết rằng đường Parabol ( )P : y2 =2x chia đường

tròn ( )C x: 2 +y2 =8 thành hai phần lần lượt có diện tích là

1, 2

S S (hình bên) Khi đó S2 S1 a b

c p

- = - với , , a b c nguyên

dương và b

c là phân số tối giản Tổng + +a b c bằng

Lời giải Diện tích hình tròn S =8 p

Phương trình hoành độ giao điểm của ( )P và ( )C là

2

2

2 2

02

ì =ïïïï

¾¾ - = - ¾¾íï =

ïï =ïî

Chọn C

Câu 14 Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường

kính bằng 4 5 m Trên đó người thiết kế hai phần để

trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình Parabol có

đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của

cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4 m, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100000 đồng/m 2

Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 1194 000 đồng B 1948000 đồng C 2388000 đồng D 3895000 đồng Lời giải Hình tròn có diện tích S1 =p( )2 5 2 =20 p

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Khi đó phương trình nửa đường tròn là: =y 20-x 2

Parabol có đỉnh là gốc O và đi qua điểm (2;4 nên có phương trình ) ( )P :y =x 2

Khi đó diện tích phần tô đậm: ( )

2 2 2

S

S  S Vậy số tiền cần dùng: T  S 100 000 1948 000 (đồng) Chọn B

Câu 15 Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm Người

thiết kế đã sử dụng bốn đường Parabol có chung đỉnh tại tâm

của viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu như hình

bên) Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

cm 3

C 800 2

cm

cm 3

Lời giải Gắn hệ trục tọa độ như hình bên (ta chuyển về

đơn vị tính là dm )

Xét cánh hoa ở góc phần tư thứ nhất Đường cong trên ứng

với = 2 ,y x đường cong dưới ứng với =

2

.2

x y

Câu 17 Một sân chơi cho trẻ em hình chữ nhật có

chiều dài 100 m và chiều rộng là 60 m người ta

làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ)

Biết rằng viền ngoài và viền trong của con đường là

hai đường elip, Elip của đường viền ngoài có trục

lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình

chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2 m Kinh

phí cho mỗi m làm đường 600 000 đồng Tính tổng số tiền làm con đường đó (Số tiền 2

Câu 18 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài

10 m và chiều rộng 6 m, được phân chia thành các phần

bởi một đường chéo và một đường Elip nội tiếp bên trong

như hình vẽ bên Hãy tính diện tích phần tô đậm (theo

đơn vị m )? 2

A 5(p-2 ) B 5 4( -p) C 45 4( )

.7

p

D 45 4( )

.8

p

-Lời giải Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình

Hỏi số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào

dưới đây, biết A A1 2 =8 m,B B1 2 =6 m và tứ giác MNPQ là

Câu 20 Nhà trường dự định làm một vườn hoa

dạng hình Elip được chia ra làm bốn phần bởi hai

đường Parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau

qua trục của Elip như hình vẽ bên Biết độ dài trục

lớn, trục nhỏ của Elip lần lượt là 8 m và 4 m; F F 1, 2

là hai tiêu điểm của Elip Phần ,A B dùng để trồng hoa; phần , C D dùng để trồng cỏ

Kinh phí để trồng mỗi mét vuông trồng hoa và trồng cỏ lần lượt là 250 000 đồng và

150 000 đồng Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên (làm tròn đến hàng nghìn)

A 4 656 000 đồng B 4766 000 đồng

Lời giải Diện tích Elip: S =p.4.2=8 m p 2

Chọn hệ trục tọa độ và gọi các điểm như hình

x y

Giao điểm của đường thẳng :d x =2 3 đi qua tiêu điểm F và nửa Elip nằm bên trên 2

Câu 21 Cho hình phẳng giới hạn bởi các

đường y= sin ,x y= cosx và S 1, S là 2

diện tích của các phần được gạch chéo như

hình vẽ Tổng +

1

2 2 2

cos sin d 1 2;

p p

5 4 2 4

sin cos d 2 2

thành hai phần có diện tích tương ứng S S như hình vẽ bên, 1, 2

biết >S1 S Mệnh đề nào sau đây là đúng? 2

Lời giải Ta có 1

0 0

B b (- < <3 b 0 ) Tìm giá trị của tham số b để đoạn thẳng

AB chia H thành hai phần có diện tích bằng nhau

Câu 25. Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật H

có một cạnh nằm trên trục hoành và có hai đỉnh trên một

đường chéo là A(-1;0) và C a a với > 0.( ; ) a Biết rằng

Lời giải Từ hình vẽ ta suy ra B a( ;0 )

Hình chữ nhật ACBD có AB= +1a và AD= a nên có diện tích S= a a( +1 )

Câu 2 Thể tích V của khối tròn xoay khi cho hình

phẳng H giới hạn bởi các đường y= -1 x2 và y=x2-1

quay quanh trục Ox được xác định bởi công thức nào sau

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 1-x2 =x2-  = 1 x 1.

Vì đồ thị hàm số y = -1 x2 đối xứng với đồ thị hàm số y=x2-1 qua trục hoành nên thể tích khối tròn xoay cần tính bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y= -1 x2, y=0, x= -1, x=1 quay quanh trục Ox

Câu 3 Cho hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia

thành hai phần bởi đường cong ( )P có phương trình

= 1 2

4

y x Gọi S là hình phẳng không bị gạch (như hình vẽ)

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay khi cho phần S qua

Lời giải Thể tích vật thể khi quay hình vuông OABC quanh trục Ox là p.4 42 =64 p

Thể tích vật thể khi quay phần gạch sọc quanh Ox là p æçç ö÷÷ = p

÷

çè ø

ò

2 4

2 0

4x x 5 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tính bằng 64p -64p= 256p

5 5 Chọn D

Câu 4 Cho hình phẳng H giới hạn bởi 1

4 đường tròn có bán kính R =2, đường cong y= 4-x và trục hoành

(miền tô đậm như hình vẽ) Tính thể tích V của khối tạo

thành khi cho hình H quay quanh trục Ox

 Thể tích vật thể khi quay phần S quanh trục hoành là nửa khối cầu bán kính 1