Câu hỏi vận dụng cao có giải chi tiết chuyên đề ứng dụng của tích phân

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Phần Áp dụng cơng thức………………………………………………………… Phần Đồ thị hàm f ( x ) ……………………………………………………………… Phần Đồ thị hàm f ¢ ( x ) …………………………………………………… …… Phần Diện tích hình phẳng …………………………………………….…… Phần Thể tích khối tròn xoay …………………….……………………… Phần Bài tốn vận tốc …………………….…………………………………… Phần Áp dụng cơng thức Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [a; b ] có đồ thị hình bên Mệnh đề đúng? A b ò f ¢ ( x ) dx độ dài đoạn thẳng NM a B b ò f ¢ ( x ) dx độ dài đường cong AB a C b ò f ¢ ( x ) dx độ dài đoạn thẳng BP a D b ò f ¢ ( x ) dx diện tích hình thang cong ABMN a Lời giải Ta có b ò f ¢ ( x ) dx = f ( x ) a = f (b ) - f (a ) = BM - MP = BP Chọn C b a Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [0;4 ] có đồ thị hình bên Tích phân f ( x ) dx ò A B C D Lời giải Kí hiệu điểm hình vẽ Ta có: ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = S ABCO - SCDE Diện tích hình thang ABCO là: S ABCO = Diện tích hình tam giác CDE là: SCDE = Vậy ò 2.(1 + 2) = 2.2 =2 f ( x ) dx = S ABCO - SCDE = - = Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [0;3] có đồ thị hình bên Biết ò f ( x ) dx = 2,3 F ¢ ( x ) = f ( x ), "x Ỵ [0;4 ] Hiệu F (3) - F (0) A 0,3 B 1,3 C 3,3 D 4,3 Lời giải Kí hiệu điểm hình vẽ Ta có ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = S ABCO + 2,3 = + 2,3 = 4,3 Lại có ò 3 f ( x ) dx = ò F ¢ ( x ) dx = F ( x ) = F (3) - F (0) Suy F (3) - F (0) = 4,3 Chọn D Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [-2;2 ] có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ hình bên Biết ò f ( x ) dx = Tích -2 phân ò f ( x ) dx A -2 B C D Lời giải Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng qua gốc tọa độ nên hàm số y = f ( x ) hàm số lẻ Áp dụng tính chất hàm lẻ, ta có ò f ( x ) dx = -2 Mà ò -2 2 f ( x ) dx = ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = Suy -2 ò f ( x ) dx = -2 Chọn A Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [-2;2 ] có đồ thị đối xứng qua trục tung hình bên Biết ò f ( x ) dx = Tích phân ò 12 f ( x ) dx -2 12 24 B 5 C D I = 12 Lời giải Vì đồ thị hàm số y = f ( x ) đối xứng qua trục tung nên hàm số y = f ( x ) A -2 hàm số chẵn Áp dụng tính chất hàm chẵn, ta có ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx = Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [-3;5] có đồ thị hình bên (phần cong đồ thị phần Parabol y = ax + bx + c ) Tích phân ò f ( x ) dx -2 43 95 C A Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta suy 53 97 D B 12 Chọn A 3 ổ4 ửữ 97 ỗ f ( x ) dx = ũ ỗ x + 4ữữ dx + ũ (4 - x ) dx + ò (4 x - x ) dx = Chn D ỗố ứ -2 ò -2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [1;4 ] có đồ thị hình bên Tích phân ò f ¢ ( x ) dx B A C D Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: ● f (1) = f (4 ) = 0; f (2) = ● Hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng (1;2) nghịch biến khoảng (2;4 ) ì ïf nên suy ïí ù ù ợf Do ú  ( x ) > < x < ¢ ( x ) < < x < 4 ò 4 f ¢ ( x ) dx = ò f ¢ ( x ) d x - ò f ¢ ( x ) d x = f ( x ) - f ( x ) = f (2) - f (1) - éë f (4 ) - f (2)ùû = Chọn D Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  hàm số y = g ( x ) = x f ( x ) có đồ thị đoạn [1;2 ] hình vẽ bên Biết phần diện tích miền tơ màu S = , giá trị tích phân I = ò f ( x ) dx A B C D 10 Lời giải Diện tích phần tơ màu là: S = ò g ( x ) dx Theo giả thiết S = 5  ò x f ( x ) dx = 2 ïì x =  t = Đặt t = x ¾¾  dt = xdx Đổi cận: ï í ïïỵ x =  t = 4  ò f (t ) dt = hay Khi = ò x f ( x ) dx = ò f (t ) dt ¾¾ 2 1 ò f ( x ) dx = Chọn C Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [-1;2 ] Đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) cho hình bên Diện tích hình phẳng ( K ), ( H ) tính f (2 ) 19 Biết f (-1) = , 12 12 A f (2) = - B f (2) = Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: C f (2) = ò -1 Mặt khác: ò 11 f ¢ ( x ) dx = ò f ¢ ( x ) d x + ò f ¢ ( x ) dx = -1 f ¢ ( x ) dx = f ( x ) -1 = f (2) - f (-1) = f (2) - -1 Từ suy f (2) - D f (2) = - =- 12 19 12 19 9 19 = - ¾¾  f (2) = - + = - Chọn A 12 4 12 Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [-2;4 ] Đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) cho hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn trục Ox đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) đoạn [-2;1] [1;4 ] 12 Cho f (1) = Tổng f (-2) + f (4 ) A B Lời giải Theo giả thiết, ta có C ò D 21 f ¢ ( x ) dx = -9 ò -2 f ¢ ( x ) dx = -12 1 • ò f ¢ ( x ) dx = -9  f (1) - f (-2) = -9  - f (-2) = -9 ¾¾  f (-2) = 12 -2 ũ f  ( x ) dx = -12  f (4 ) - f (1) = -12  f (4 ) - = -12 ¾¾  f (4 ) = -9 Vậy f (-2 ) + f (4 ) = 12 + (-9) = Chọn B Phần Đồ thị hàm f ( x ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hình bên Giá trị biểu thức f ¢ ( x - ) dx + ò f ¢ ( x + 2) dx ò 0 B A -2 C D 10 Lời giải Ta có ò f ¢ ( x - ) dx ò f ¢ (t ) dt 2 ò f ¢ ( x - ) d x + ò f ¢ ( x + ) dx = ò -2 ò t = x +2 f ¢ ( x + ) dx = = f (t ) = -2 Khi t = x -2 -2 ò f ¢ ( t ) dt 4 f ¢ ( t ) dt + ò f ¢ (t ) dt = ò f ¢ ( t ) dt = f (4 ) - f (-2) = - (-2) = Chọn C -2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục [0;2 ] có bảng biến thiên hình bên Hỏi có giá trị nguyên m để thỏa mãn điều kiện ò éë f ( x )- m ùû dx = ? A 11 B 12 C 13 D 14 Lời giải: Dựa vào bảng biến thiên ta có ì max f ( x ) = ï 2 2 ï ï x Ỵ[0;2 ] ï  ò (-5) dx £ ò f ( x ) dx £ ò 7dx hay -10 £ ò f ( x ) dx £ 14 í ï f ( x ) =- ï 0 0 ù x ẻ[0;2 ] ù ợ T giả thiết ò é f ( x ) - m ù dx =  2m = f ( x ) dx Do để phương trình có nghiệm ò ë û  -10 £ 2m £ 14  -5 £ m £ Vậy có 13 giá trị m nguyên thỏa mãn Chọn C Câu Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx g ( x ) = dx + ex + (a, b, c , d , e Î  ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ -3; -1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f ( x ) g ( x ) ax + bx + cx - = dx + ex +  ax + (b - d ) x + (c - d ) x - = (*) 2 Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình (*) có ba nghiệm -3; -1; Ta a ( x + 3)( x + 1)( x -1) = ax + (b - d ) x + (c - d ) x - Đồng hai vế ta suy -3a = -  a = 2 1 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ò ( x + 3)( x + 1)( x - 1) dx = Chọn A -3 Câu Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx - (a, b, c , d , e Ỵ  ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ lần g ( x ) = dx + ex + lượt -3; -1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A 125 12 B 253 12 C 125 48 D 253 48 Lời giải Tương tự ta a = 253 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ò ( x + 3)( x + 1)( x - ) dx = Chọn D 48 -3 Câu Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx - g ( x ) = dx + ex + (a, b, c , d , e Ỵ  ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ -2; -1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 13 A B 2 37 C D 37 12 Lời giải Tương tự ta a = Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ò ( x + 2)( x + 1)( x - 1) dx = -2 Câu Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + 37 Chọn C (a, b, c , d , e Î  ) Biết đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) cắt ba điểm có hồnh độ lần g ( x ) = dx + ex - lượt -2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 125 253 A B 24 24 C 125 48 D 253 48 Lời giải Tương tự ta a = 253 Chọn D Vậy diện tích hình phẳng cần tìm ò ( x + )( x -1)( x - 3) dx = 48 -2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [-5;3] có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng S1 , S2 , S3 giới hạn đồ thị hàm số y = f (x ) đường cong y = g ( x ) = ax + bx + c m, n, p Tích phân ò f ( x ) dx -5 A m - n + p - 208 45 B m - n + p + 208 45 C -m + n - p - 208 45 D -m + n - p + 208 45 Lời giải Đồ thị hàm y = g ( x ) = ax + bx + c qua điểm O (0;0), A (-2;0), B (3;2 ) 2 x + x 15 15 Dựa vào đồ thị, ta có nên suy g ( x ) = -2 m-n + p = ò -5 -2 é f ( x ) - g ( x )ù dx - é g ( x ) - f ( x )ù dx + é f ( x ) - g ( x )ù dx òë òë ë û û û 3 = ò f ( x ) dx - ò g ( x ) dx -5 -5 3 -5 -5 Suy ò f ( x ) dx = m - n + p + ò g ( x ) dx = m - n + p + 208 Chọn B 45 Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục đoạn [-3;3] có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng S1 , S2 giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = -x -1 M ; m Tích phân ò f ( x ) dx -3 A + m - M B - m - M C M - m + D m - M - 1 -3 -3 1 Lời giải Ta có M = ò éë-x -1 - f ( x )ùû dx = ò (-x -1) dx - ò f ( x ) dx = - ò f ( x ) dx ; -3 -3 3 1 m = ò éë f ( x ) - (-x -1)ùû dx = ò f ( x ) dx + ò ( x + 1) dx = ò f ( x ) dx + 1 3 -3 -3 Suy m - M = ò f ( x ) dx + + ò f ( x ) dx = + ò f ( x ) dx Suy ò f ( x ) dx = m - M - Chọn D -3 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  có đồ thị hình bên Đặt K = ò x f ( x ) f ¢ ( x ) dx , K thuộc khoảng sau đây? A (-3; - ) ổ 3ử B ỗỗ-2;- ữữữ ỗố 2ứ ổ 2ử C ỗỗ- ;- ữữữ ỗố ứ ổ D ỗỗ- ;0ữữữ ỗố ø ïìïdu = dx ìu = x ï ï  ïí Lời giải Đặt í ïïdv = f ( x ) f ¢ ( x ) dx ïïv = f ( x ) ỵ ïïỵ Khi K = ò 1 x f (x ) 1 ¢ x f ( x ) f ( x ) dx = - ò f ( x ) dx = - ò f ( x ) dx 2 2 0 Từ đồ thị, ta thấy: ● f ( x ) > - x , "x Ỵ [0;1]  ò ● f ( x ) < 2, "x Ỵ [0;1]  ò 1 f (x ) f (x ) (2 - x ) dx > ò dx =  K = - ò dx < - 2 2 1 f (x ) f (x ) dx > ò dx =  K = - ò dx > - Chọn C 2 2 Câu 10* Cho Parabol ( P ) : y = x Hai điểm A , B di dộng ( P ) cho AB = Khi diện tích phần mặt phẳng giới hạn ( P ) cát tuyến AB đạt giá trị lớn hai điểm A, B có tọa độ xác định A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) Giá trị biểu thức T = x A2 x B2 + y A2 y B2 A B C D Lời giải Do A, B Ỵ ( P ) nên giả sử A (a; a ), B (b; b ) với b > a x -a y - a2 = hay y = (a + b ) x - ab Phương trình đường thẳng AB : b - a b2 - a2 2 2 Ta có AB =  (b - a ) + (b - a ) =  (b - a ) éê + (b + a ) ùú = ë û  (b - a ) = + (b + a ) £ Suy b - a £ b é ù b é(a + b ) x - ab - x ù dx = ê (a + b ) x - abx - x ú êë úû êë úû a a é1 ù é1 ù = ê (a + b ) b - ab - b ú - ê (a + b ) a - a b - a ú = (b - a ) £ = êë úû êë úû 6 ì ïb - a = ì ïa = -1 Dấu " = " xảy  ï ï  A (-1;1), B (1;1)  T = Chọn B í í ï ïb + a = ï ïb = ỵ ỵ Ta có S = ò Phần Đồ thị hàm f ¢ ( x ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục  Hình bên đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) [-5;4 ] Giá trị nhỏ f ( x ) [-5;4 ] A f (-5) B f (-4 ) C f (1) D f (4 ) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta suy bảng biến thiên hình bên Khi đó: f ( x ) = { f (-4 ); f (4 )} x Ỵ[-5; ] Dựa vào đồ thị f ¢ ( x ), ta có ò f ¢ ( x ) dx > -4 Suy f (4 ) > f (-4 ) Vậy f ( x ) = f (-4 ) Chọn B x Ỵ[-5; ] Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục  đồ thị hàm số y = f ¢ ( x ) cắt trục hồnh ba điểm có hồnh độ a, b, c (hình bên) Khẳng định sau đúng? A f (c ) > f (a ) > f (b ) B f (a ) > f (c ) > f (b ) C f (b ) > f (c ) > f (a ) D f (a ) > f (b ) > f (c ) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta suy bảng biến thiên hình bên Khi đó: { f (a ); f (b ); f (c )} = f (b ) Dựa vào đồ thị f ¢ ( x ), ta có c ò f ¢ ( x ) dx > a Suy f (c ) > f (a ) Vậy f (c ) > f (a ) > f (b ) Chọn A Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢ ( x ) liên tục  Hình bên đồ thị hàm số f ¢ ( x ) đoạn [-2; d ] Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [-2;d ] A f (a ) f (b ) B f (a ) f (-2) C f (c ) f (b ) D f (c ) f (d ) Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số f ¢ ( x ), ta suy bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, suy m = { f (a ); f (c )} , M = max { f (-2); f (b ); f (d )} Dựa vào đồ thị f ¢ ( x ), ta có c • ò a c f ¢ ( x ) dx >  f ( x ) >  f (c ) - f (a ) >  f (c ) > f (a ) a Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: - x = x -1  x = 1 Vì đồ thị hàm số y = - x đối xứng với đồ thị hàm số y = x - qua trục hồnh nên thể tích khối tròn xoay cần tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = - x , y = 0, x = -1, x = quay quanh trục Ox Vậy cơng thức tính thể tích V = p ò (1 - x ) dx Chọn C -1 Câu Cho hình vng OABC có cạnh chia thành hai phần đường cong ( P ) có phương trình x Gọi S hình phẳng khơng bị gạch (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể tròn xoay cho phần S qua quanh trục Ox 64 p 128p 128p A V = B V = C V = 5 y= D V = 256p Lời giải Thể tích vật thể quay hình vng OABC quanh trục Ox p.4 2.4 = 64 p æ ửữ 64 p ỗ Th tớch vt th quay phn gch sc quanh Ox l p.ũ ỗ x ữữ dx = ỗố ứ Vy thể tích vật thể tròn xoay cần tính 64 p - 64 p 256p = Chọn D 5 đường tròn có bán kính R = 2, đường cong y = - x trục hồnh Câu Cho hình phẳng H giới hạn (miền tơ đậm hình vẽ) Tính thể tích V khối tạo thành cho hình H quay quanh trục Ox 40p 53p 67p A V = B V = C V = ⋅ ⋅ ⋅ 6 D V = 77p ⋅ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: - x =  x =  Thể tích vật thể quay phần S1 quanh trục hoành nửa khối cầu bán kính R = nên tích 16p ´ p R = p.23 = 3  Thể tích vật thể quay phần S2 quanh trục hoành p ò (4 - x ) dx = 8p Vậy thể tích cần tính 16p 40p + 8p = Chọn A 3 Câu Cho hình phẳng H giới hạn đường y = - x + 2, y = x + 2, x = Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay hình phẳng H quanh trục Ox 9p 55p D V = A V = 9p C V = B V = 25p Lời giải Sai lầm hay gặp sử dụng cơng thức é V = p ò ê ( x + 2) - - x + êë -2 ( ) ùúúû dx = 92p Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = - x + qua trục hoành ta đồ thị hàm số y = x + (tham khảo hình vẽ) Khi thể tích cần tính tổng miền tô đậm miền gạch sọc quay quanh trục Ox Thể tích vật thể quay miền • Gạch sọc quanh Ox V1 = p ò ( x + ) dx = 9p -2 • Tơ đậm quanh Ox -1 V2 = p ò ( ) p x + - ( x + ) dx = -2 Vậy thể tích cần tính V = V1 +V2 = 9p + p 55p = Chọn D 6 Câu Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = x = quanh trục Ox Đường thẳng x = a (0 < a < ) cắt đồ thị hàm số y = x M (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V = 2V1 Khi C a = 2 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x =  x = A a = B a = D a =  Thể tích V = p ò xdx = 8p ( )  Tính V1 : Gọi M a; a Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy: ð Hình nón ( N ) có đỉnh O, chiều cao OK = a, bán kính đáy R = MK = a nên tích 1 p R OK = p 3 ( ) a a = pa ð Hình nón ( N ) có đỉnh H , chiều cao HK = - a, R = MK = a nên tích 1 p R HK = p 3 bán kính đáy ( a ) (4 - a ) = 4pa -3 pa 2 pa pa - pa pa Suy V1 = + = Theo giả thiết V = 2V1 nên suy a = Chọn D 3 Câu Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = sin x , hai trục tọa độ x = p quanh trục hoành Đường thẳng x = k (0 < k < p ) cắt đồ thị hàm số y = sin x điểm M trục hồnh điểm N (hình vẽ bên) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMN quanh trục Ox Biết V = A k = 12 V1 Khi k p B k = p p C k = Lời giải Ta có V = p ò sin xdx = -p cos x p D k = = 2p Khi quay tam giác OMN quanh trục Ox tạo thành hình nón có đỉnh O, chiều cao p k.sin k ON = k, bán kính đáy R = MN = sin k nên tích p R ON = 3 12 p Theo giả thiết V = V1 nên suy sin k = ¾¾  k = (vì < k < p ) Chọn A k Câu Có vật thể hình tròn xoay có dạng giống ly hình vẽ bên Người ta đo đường kính miệng ly cm chiều cao cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng Parabol Thể tích vật thể cho B 12 (cm ) A 12p (cm ) C 72 p (cm ) D 72 cm ) ( Lời giải Xét phần mặt cắt chọn hệ trục Ixy hình vẽ (trong I gốc tọa độ) Khi Parabol ( P ) qua điểm A (-2;6), B (2;6) I (0;0 ) nên Parabol ( P ) có phương trình: y = 2y x ¾¾  x2 = Khi thể tích vật thể cho là: 6 ỉ2 V = p ũ x dy = p ũ ỗỗ y ÷÷÷ dy = 12p (cm ) Chọn A çè ø 0 Câu Trong mặt phẳng cho đường Elip ( E ) có độ dài trục lớn AA ¢ = độ dài trục nhỏ BB ¢ = 6; đường tròn tâm O đường kính BB ¢ hình vẽ Tính thể tích V khối tròn xoay có cách cho miền hình phẳng giới hạn đường Elip đường tròn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh trục AA ¢ A V = 12p B V = 16p C V = 28p x y2 Lời giải Elip ( E ) có a = 4, b = Suy ( E ) : + = 16 D V = 36p ỉ x ư÷ ¢ Thể tích khối elip ( E ) quay quanh trc AA l: V1 = p.ũ 9.ỗỗỗ1 - ữữdx = 48p è 16 ø÷ -4 Thể tích khối cầu là: V2 = 4 p R = p.33 = 36p 3 Vậy thể tích cần tính V = V1 -V2 = 12p Chọn A Câu 10 Một thùng chứa rượu làm gỗ hình tròn xoay hình bên có hai đáy hai hình tròn nhau, khoảng cách hai đáy dm Đường cong mặt bên thùng phần đường Elip có độ dài trục lớn 10 dm , độ dài trục bé dm Hỏi thùng gỗ đựng lít rượu? 1316p 1416p A (lít) B (lít) 25 25 1516p (lít) 25 x y2 Lời giải Elip có a = 5, b = Suy ( E ) : + = 25 Chọn hệ trục tọa độ qua hai trục thùng rượu hình vẽ Vì thùng rượu có tính đối xứng nên thể tích thùng rượu gấp hai lần thể tích khối tròn xoay quay hình S1 C quanh trục Ox Thể tích cần tính: V = ´ p ò 225 - x 1416p dx = Chọn B 25 25 Câu 11 Bên hình vng cạnh a, dựng hình bốn cánh hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho hình) Tính thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình quanh trục Ox p 5p B V = A V = a a 24 5p 5p C V = D V = a a 48 96 D 1616p (lít) 25 Lời giải Xét hình nằm góc phần tư thứ Gọi V thể tích khối tròn xoay cần tính Gọi V1 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng tơ màu hình bên (chỉ xét góc phần tư thứ nhất) quanh trục hồnh Khi V = 2V1 a a 2 ỉx ỉ 5pa Ta có V1 = p ò çç + ÷÷÷ dx - p ò çç2 x - ữữữ dx = ỗố ốỗ ứ 2ứ 96 a Suy thể tích cần tính V = 2V1 = 5pa Chọn C 48 Câu 12 Cho hình phẳng H gồm nửa hình tròn đường kính AB tam giác ABC (như hình vẽ) Gọi D đường thẳng qua C song song với AB Biết AB = cm Thể tích khối tròn xoay tạo hình H quay quanh trục D 9p cm ) ( D 16 3p + 9p (cm ) A 3p + 9p (cm ) C 32 3p + 18p B 3p + (cm ) Lời giải Chọn C º O, D º Ox hình vẽ ( ) ( Khi A - 3;3 , B ) 3;3 Suy AC : y = - x , BC : y = x Phương trình đường tròn đường kính AB x + ( y - 3) = Suy phần phía nửa đường tròn có phương trình y = + 3- x Thể tích quay phần tơ đậm quanh trục hồnh ( pò + - x ) -( 3x ) 2 dx = 3p + p æ ö Suy thể tích cần tính V = ỗỗ8 3p + p ữữữ Chn D ỗố ø Câu 13 Cho hình vẽ bên, biết cung tròn BC nằm đường tròn bán kính R = Cạnh AB = BC = CD = DA = Thể tích vật tròn xoay tạo thành quay hình bên quanh trục AD nằm khoản sau đây? A (165;170) B (160;165) C (155;160) D (150;155) Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ bên Gọi O tâm đường tròn (C ) chứa cung BC Khi O nằm đường thẳng x = Gọi H trung điểm BC Ta có D OBC tam giác đều, nên OH = = ( )  O 2;4 + Do O cách Ox khoảng + ¾¾ Phương trình đường tròn  y = +  16 - ( x - 2) (C ) : ( x - 2) + ( y - - ) = 16 ¾¾ 2 Dựa vào đồ thị ta thấy cung BC nằm bên đường thẳng y = + , nên đường cong chứa cung BC có phương trình y = + - 16 - ( x - 2) ( Khi thể tích vật tròn xoay: V = p ò + - 16 - ( x - 2) ) dx » 166,6 Chọn A Câu 14 Cho hình tròn tâm O có bán kính R = hình vng OABC có cạnh (như hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay mơ hình bên xung quanh trục đường thẳng OB A V = C V = ( ) 3+4 p ( ) 3+5 p B V = D V = ( ) 2+5 p ( ) 32 + p Lời giải Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc tọa độ trùng O, tia Ox có giá OB tia Oy song song AC (như hình vẽ) Khi đường tròn (O ) có phương trình x + y = đường thẳng OA có phương trình y = x Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng OA đường tròn (C ) là: - x = x  x = Thể tích vật thể tròn xoay quay phần tơ đen quanh Ox là: 2 V1 = p ò x dx + p.ò (4 - x ) = 2 ( ) ( ) 16 - p 2p 16 - 10 p + = 3 32 p.23 = p 3 Thể tích khối tròn xoay quay OABC quanh Ox (tổng hai khối nón) é1 ù 32 2p V3 = ´ ê p 2 2 ú = êë úû Thể tích khối tròn xoay quay (O ) quanh Ox khối cầu có V2 = ( ) Vậy thể tích cần tính V = V2 +V3 -V1 = ( ) 8p + 16 + 40 p= Chọn B 3 Câu 15 Cho hình vng có độ dài cạnh 8cm hình tròn có bán kính 5cm xếp chồng lên cho tâm hình tròn trùng với tâm hình vng hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY 260p 290p 520p 580p cm B V = cm cm cm A V = C V = D V = 3 3 Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ 4 500p ● Thể tích khối cầu V1 = p R = p53 = 3 ● Gọi V2 thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng H (phần tơ màu) giới hạn đường thẳng y = , đường tròn y = 25 - x x = quanh trục hồnh ¾¾ V2 = p ò - (25 - x ) dx = Vậy thể tích cần tính V = V1 + 2V2 = 10p 520p cm Chọn C Câu 16 Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY = 40cm cạnh đáy 40cm 60cm , xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trung điểm cạnh đáy tam giác hình vẽ bên Tính thể tích V vật thể tròn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY 40480p 52000p cm cm A V = B V = 3 46240p cm D V = 1920pcm C V = Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, đó: Y º O (0;0), X (40;0), A (0;20), M ( 40;30) 3x 40 - x Phương trình AX : x + y - 40 =  y = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường YM AX x 40 - x là: = « x = 16 Thể tích vật thể tạo cách quay hình phẳng (phần tơ đậm hình) Phương trình đường YM : x - y =  y = 16 2 40 æ 40 - x ửữ ổ x ửữ 46240p ỗ Thể tích vật thể cần tính V = p ò ç d x p + ÷ ò çççè ø÷÷ dx = cm Chn C ỗố ữứ 16 Câu 17 Cho khối cầu có bán kính R Một mặt phẳng cắt khối cầu thành hai nửa Nửa bé có khoảng cách từ đỉnh đến đáy h (tham khảo hình vẽ bên) Tính thể tích nửa bé ỉ ỉ hư hư B V = ph ỗỗ R - ữữữ A V = ph çç R - ÷÷÷ çè ç è 2ø 3ø ỉ ổ hử C V = ph ỗỗ R - ữữữ D V = ph ỗỗ R + ữữữ ỗố ỗố 4ứ 3ứ Li gii Xột phn mt cắt gắn tọa độ hình vẽ Khi O (0;0), A ( R;0) I ( R - h;0) tâm đường tròn thiết diện Thể tích chỏm cầu bị cắt vật thể tròn xoay tạo phần đường tròn y = R - x quay xung quanh trục Ox từ R - h đến R Do R ỉ hư V = p ò ( R - x ) dx = ph ỗỗ R - ữữữ Chn B çè 3ø R -h Câu 18 Cho hai mặt cầu (S1 ), (S2 ) có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm (S1 ) thuộc (S2 ) ngược lại Tính thể tích phần chung V hai khối cầu tạo (S1 ) (S2 ) A V = p R B V = p R3 C V = 2p R D V = 5p R 12 Lời giải Thể tích cần tính tổng hai chỏm cầu ỉ hư Áp dụng cơng thức trước, thể tích chỏm cầu ph çç R - ÷÷÷ çè 3ø h= R = 5p R 24 5p R 5p R = Vậy thể tích phần chung V hai khối cầu V = ´ Chọn D 24 12 Câu 19 Cho hai đường tròn (O1 ;5) (O2 ;3) cắt hai điểm A B cho AB đường kính đường tròn (O2 ) Gọi H diện tích hình phẳng giới hạn hai đường tròn (ở ngồi đường tròn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay hình H quanh trục O1O2 , ta khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay tạo thành 68p 14 p 40p A ⋅ B ⋅ C 3 D 36p Lời giải Xét phần mặt cắt hình vẽ Ta thấy thể tích cần tính thể tích V1 trừ thể tích V2 , ỉ4 • V1 thể tớch na cu (O2 ) nờn V1 = ỗỗ p.33 ữữữ = 18p ứ ỗố V2 thể tích chỏm cầu (khi quay miền gạch sọc quanh ỉ hư 14 p R =5 trục O1O2 ) Áp dụng công thức trước, ta V2 = ph ỗỗ R - ữữữ ắắắắ V2 = h = O M = ỗố 3ứ 40 p Chọn B Vậy thể tích vật thể cần tính: V = V1 -V2 = Câu 20 Ta vẽ hai nửa đường tròn hình vẽ bên, đường kính nửa đường tròn lớn gấp đơi đường kính nửa đường tròn nhỏ Biết nửa hình tròn đường kính AB có diện tích 8p  = 30 Thể tích vật thể tròn xoay tạo BAC thành quay hình H (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB 98 220 p p A p B C 3 D 224 p Lời giải Ta có: 2.8p = p R suy R = r =  = 60 nên ta có Vì DIHC vng H , CIH ìï ïïCH = IC sin 60 o = = ïï ïï 2 ïíIH = IC - CH = 16 -12 = ïï ïï ïï AL = AH = ïïỵ Cách (Dùng cơng thức túy) • Thể tích khối nón đỉnh A, bán kính đáy HC là: V1 = p HC AH = 24 p ỉ HB ư÷ 40p • Thể tích chỏm cầu (hình cầu lớn) có h = HB = là: V2 = p HB ỗỗ R ữ= ỗố ữứ Thể tích khối nón đỉnh A, bán kính đáy LD là: V3 = p LD AL = 3p ỉ LI 5p • Thể tích chỏm cầu (hình cầu nhỏ) có h = LI = là: V4 = p LI ỗỗr - ữữữ = çè 3ø 98 p Chọn B Suy thể tích cần tìm V = (V1 +V2 ) - (V3 +V4 ) = x Cách (Dùng tích phân) Dễ dàng viết phương trình AC : y = hai phương trình đường tròn y = 16 - ( x - ) y = - ( x - 2) 2 é x2 ê dx - ò Thể tích cần tìm V = p ê ò êë 3 é - ( x - 2)2 ù dx + êë úû ò ù é16 - ( x - )2 ù dx ú = 98p êë úû ú úû Phần Bài toán vận tốc Giả sử v (t ) vận tốc vật M thời điểm t s (t ) quãng đường vật sau khoảng thời gian t tính từ lúc bắt đầu chuyển động Ta có mối liên hệ s (t ) v (t ) sau: ● Đạo hàm quãng đường vận tốc: s ¢ (t ) = v (t ) ● Nguyên hàm vận tốc quãng đường s (t ) = ò v (t ) dt ¾¾  từ ta có quãng đường vật khoảng thời gian t = [a; b ] b ò v (t ) dt = s (b )- s (a ) a Nếu gọi a (t ) gia tốc vật M ta có mối liên hệ v (t ) a (t ) sau: ● Đạo hàm vận tốc gia tốc: v ¢ (t ) = a (t ) ● Nguyên hàm gia tốc vận tốc: v (t ) = ò a (t ) dt Câu (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Một ô tô chạy với vận tốc 10m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -5t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? B 2m C 10m D 20m A 0,2m Lời giải Lúc dừng hẳn v (t ) = ¾¾ -5t + 10 =  t = Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô quãng đường ỉ ư2 s = ò (-5t + 10) dt = ỗỗ- t + 10t ữữữ = 10m Chn C ỗố ứ0 Cõu Mt ô tô với vận tốc lớn 72km/h, phía trước đoạn đường cho phép chạy với tốc độ tối đa 72km/h, người lái xe đạp phanh để ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = 30 - 2t ( m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ô tô di chuyển quãng đường mét? A 100m B 125m C 150m D 175m Lời giải Ta có 72km/h = 20m/s Từ lúc bắt đầu đạp phanh đến lúc đạt tốc độ 72km/h, ta có phương trình 30 - 2t = 20  t = Vậy từ lúc đạp phanh đến ô tô đạt tốc độ 72km/h, ô tô quãng đường s = ò (30 - 2t ) dt = 125m Chọn B Câu Hai viên đạn rời khỏi nòng súng thời điểm t = với vận tốc khác nhau: viên đạn thứ có vận tốc v1 (t ) = 3t + (m/s), viên đạn thứ hai có vận tốc v2 (t ) = 2t + (m/s) Hỏi từ giây thứ viên đạn thứ xa điểm xuất phát viên đạn thứ hai? A Giây thứ C Giây thứ ba Lời giải Quảng đường B Giây thứ hai D Giây thứ tư 1( ) s1 (t ) = ò (3t + 1) dt = t + t + C1 ¾¾¾ C1 = Do s1 (t ) = t + t s =0 2( ) s2 (t ) = ò (2t + ) dt = t + t + C ¾¾¾ C = Do s2 (t ) = t + t s =0 + 13 » 2,3  từ giây thứ ba trở viên đạn thứ xa điểm Ta có s1 (3) = 30 > s2 (3) = 21 ¾¾ t >0 Xét s1 (t ) = s2 (t )  t + t = t + t  t - t - 3t = ¾¾ t= xuất phát viên đạn thứ hai Chọn C Câu Một ô tô chạy với vận tốc 10 (m/s) người lái xe đạp phanh Từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -2t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Tính quảng đường ô tô di chuyển giây cuối A 16m B 25m C 50m D 55m Lời giải Ta có phương trình: -2t + 10 =  t = Suy thời gian tính từ lúc bắt đầu đạp phanh đến dừng giây Vậy giây cuối có giây ô tô chuyển động với vận tốc 10m/s giây chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -2t + 10 (m/s) Suy quảng đường ô tô di chuyển s = 3.10 + ò (-2t + 10) dt = 30 + 25 = 55 m Chọn D Câu Một vật chuyển động với vận tốc 6m/s tăng tốc với gia tốc a (t ) = m/s , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu tăng t +1 tốc Hỏi vận tốc vật sau 10 giây gần với kết sau đây? A 11m/s B 12 m/s C 13m/s D 14 m/s dt = ln t + + C t +1 Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = v = 6m/s nên ta có ln1 + C =  C = Suy v (t ) = ln t + + (m/s) Lời giải Ta có v (t ) = ò Tại thời điểm t = 10 s ¾¾  v (10) = ln11 + » 13m/s Chọn C Câu Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s tăng tốc với gia tốc a (t ) = 3t + t (m/s ), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bao nhiêu mét? 1900 2200 4000 4300 A B C D m m m m 3 3 3t t Lời giải Ta có v (t ) = ò (3t + t ) dt = + +C Tại thời điểm lúc bắt đầu tăng tốc t = v = 10m/s nên suy C = 10 3t t + + 10 (m/s) Suy v (t ) = Vậy quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng 10 æ 3t t ỉt3 t 10 4300 m Chn D + + 10ữữữ dt = ỗỗ + + 10t ÷÷÷ = tốc s = ò çç ÷ø ÷ø çè çè 12 3 Câu Một ô tô chạy thẳng với vận tốc v0 (m/s) người đạp phanh, từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v (t ) = -5t + v0 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển 40m vận tốc ban đầu v0 bao nhiêu? A v0 = 20m/s B v0 = 25m/s C v0 = 40m/s -5t + v0 =  t = Lời giải Lúc dừng hẳn v (t ) = ¾¾ v0 ỉ Theo giả thiết, ta có: 40m=ò (-5t + v0 ) dt = ỗỗ- t + v0 t ữữữ ỗố ø ¾¾  40m = v0 D v0 = 80m/s v0 =- v02 v02 v02 + = 10 10 v 02 ¾¾  v = 20m/s Chọn A 10 Câu Tại nơi khơng có gió, khí cầu đứng yên độ cao 162m so với mặt đất phi cơng cài đặt cho chế độ chuyển động xuống Biết rằng, khí cầu chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật v (t ) = 10t - t (m/s) , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động Hỏi lúc vừa tiếp đất, vận tốc v khí cầu bao nhiêu? A v = 3m/s B v = 5m/s C v = 7m/s D v = 9m/s Lời giải Do v (t ) = 10t - t ¾¾  < t < 10 Giả sử khí cầu chạm đất kể từ lúc bắt đầu chuyển động t1 giây (0 < t1 < 10 ) t1 ỉ t3 Theo đề ta có phương trình 162 = ò (10t - t ) dt = ỗỗỗ5t - ữữữ ữứ ố t1 = 5t12 - t13 - t13 0