Ôn luyện các nhóm câu hỏi vận dụng cao trong đề thi THPTQG môn toán (đề 2)

Câu 34: Cho hệ phương trënh  2  2 1 p x p x x nhà khoa học yêu cái đẹp nảy ra û tưởng muốn tạo ra một khối nón nội tiếp trong một khối cầu cî bán kình R và đựng một loại dung dịch X

VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Đề gồm 40 câu trắc nghiệm Quà tặng mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11

Tuyển chọn 40 câu vận dụng cao có lời giải chi tiết là một sản phẩm được biên soạn, sưu tầm và sáng tác bởi nhóm Chinh Phục Olympic Toán và được đăng trên Fanpage Tạp chí

và tư liệu Toán học Đồng thời đây cũng là một quà tặng gửi tới các thầy cô nhân ngày nhà giáo Việt Nam, và cũng nhân dịp này cả nhóm chúc các thầy cô trên cả nước có sức khỏe, hạnh phúc trong cuộc sống, thành đạt hơn trong cïng việc và có một ngày 20/11 thật ý nghĩa và vui vẻ Xin cảm ơn mọi người!

ĐỀ BÀI

Câu 1 : Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trënh sau cî nghiệm là đoạn  a b;

m2 x 3 2m1 1    x m 1 0 có nghiệm là đoạn  a b; Tính giá trị của biểu thức S a 2 b23ab?

Câu 5: Hai người bắn độc lập vào một mục tiêu, mỗi người bắn 1 lần Xác suất trúng của người thứ nhất là 0,9; của người thứ hai là 0,7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

r

r

x

C r

r

r

x

C r

Tëm số giao điểm của đồ thị hàm số     2    

y g x f x   f x f x và trục Ox

Câu 13: Cho biểu thức Alog 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2               

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A log 2017;log 2018 B log 2019;log 2020

C log 2018;log 2019 D log 2020;log 2021

2 2

để lấy được tam thức bậc hai mà khi ghép các hệ số của theo thứ tự từ bậc cao tới bậc thấp được một số chia hết cho 7 hoặc 11

trung điểm của các cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng MNI chia khối chóp S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại Tính tỉ số k IA

Câu 23 Cho phương trënh 3 tanx1 sin x2 cosxmsinx3cos x Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m thộc đoạn 2018; 2018 để phương trënh trên cî đúng một nghiệm thuộc 0;

A 2015 B 2016 C 2018 D 4036.

P b c a được viết dưới dạng m

n , với m,n là các số nguyên dương và m

 

y f x

Câu 34: Cho hệ phương trënh  2  

2

1

p x p x x

nhà khoa học yêu cái đẹp nảy ra û tưởng muốn tạo ra một khối nón nội tiếp trong một khối cầu cî bán kình R và đựng một loại dung dịch X do ông chế tạo ra vào trong đî, sao cho thể tích dung dịch X chứa được trong X là lớn nhất Sau khi chế tạo xong, trong lúc mải ngắm tác phẩm của mình, nhà khoa học đã vï tënh làm vỡ cả khối cầu thủy tinh, tuy vậy ïng đã thu hồi lại được lượng dung dịch X quý giá của mình Lần này, vì rút kinh nghiệm, cũng lượng dung dịch X đî, nhà khoa học muốn chế tạo một cái hộp bằng một loại kim loại chịu lực trong suốt để đựng dung dịch của mình Ông có hai sự lựa chọn cho hộp kim loại của mình, có dạng hình hộp chữ nhật hoặc là có dạng khối trụ Tuy nhiên, kinh phí còn lại của ông có hạn, còn giá thành kim loại đî lại rất đắt vì nó hiếm Ông muốn chi phí sản xuất kim loại cấu thành hộp là bé nhất, nhưng vẫn phải chứa được lượng dung dịch X đã cî của mình.Hãy giúp nhà khoa học tính toán xem diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp kim loại là bao nhiêu?

R

4

23

–2

–1

Cho hàm số f x cî đồ thị như hënh vẽ đồng thời f x  1 f x 2 2x x 1x1 *  Biết rằng f x ax4bx2c;g x mx2nx p và f x g x 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số g x 

y  x  x  C Tìm những điểm trên đường thẳng

 d y ax b:   đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng 1

3

y x một góc 150 mà từ đî kẻ được đến C 2 tiếp tuyến

của tham số a thỏa mãn bài toán là?

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ VẬN DỤNG CAO

Câu 1 : Biết rằng tập hợp các giá trị của m để phương trënh sau cî nghiệm là đoạn  a b;

m2 x 3 2m1 1    x m 1 0 có nghiệm là đoạn  a b; Tính giá trị của biểu thức S a 2 b23ab?

k

Tọa độ điểm A thỏa mãn

2 2

Tương tự 3 2 12

9

k OB

2

k  k   k   S Dấu “=” xảy ra khi A,B

là các giao điểm của elip với trục tọa độ và các hoán vị

Vậy cả hai trường hợp ta có

9min

103max

2

P P

x x

A' C'

A

B C

ah bh ch     Khi đî ta cî ' ' ' 1 sin 18 3

người thứ nhất là 0,9; của người thứ hai là 0,7 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

y z t

0,01

020

x t p

Câu 6: Cho tam giác ABC có BAC60 và AB AC, đã biết Biểu thức

P k MA MB MC   đạt giá trị nhỏ nhất bằng AB AC  với mọi giá trị thực k k 0 Giá trị của k0 nằm trong khoảng nào dưới đây ?

r

r

x

C r

r

r

x

C r

x C r



Câu 8: Cho hàm số f x  cî đạo hàm liên tục trên đoạn  1; 2 thỏa mãn đồng thời 2 điều

2f 2  f 1  63; 2f x  x f x '  27 ,x  x 1; 2 Tính giá trị của tích phân 2   2

m m m m

Vì m nguyên dương và m16 nên có 15 giá trị m cần tìm

Câu 12: Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4: y f x   được cho như hënh vẽ sau:

Tëm số giao điểm của đồ thị hàm số     2    

Đặt A x x  1, B x x  2, C x x  3, D x x  4 ta có:

   1 2 3 4

f x a x x x x x x x x a ABCD

 TH1: Nếu x x i với i1, 2, 3, 4 thì     2

0

g x f x  

Do đî x x i i, 1, 2, 3, 4 không phải nghiệm của phương trënh g x 0

 TH2: Nếu x x i với i1, 2, 3, 4 thë ta viết lại

A log 2017;log 2018 B log 2019;log 2020

C log 2018;log 2019 D log 2020;log 2021

Câu 14: Cho dãy số  u n thỏa mãn  

2 2

để lấy được tam thức bậc hai mà khi ghép các hệ số của theo thứ tự từ bậc cao tới bậc thấp được một số chia hết cho 7 hoặc 11

Vì tam thức bậc hai có bốn dạng xảy ra:

 Dạng đầy đủ: ax2 bx c khi đî ta thu được số nguyên

 Dạng khuyết c: ax2 bxkhi đî ta thu được số nguyên

 Dạng khuyết b ax2c khi đî ta thu được số nguyên ac

 Dạng khuyết b, c: ax2 khi đî ta thu được số nguyên a

Trong đî a b c, , 1; 2; 3; 4; 5;6;7;8;9

Do cî 729 số cî các chữ số khác 0; 81 số cî hai chữ số cî các chữ số khác 0 và 9 số cî 1 chữ

số khác khïng Suy ra cî 729 81 2 9 900    tam thức bậc hai Vë vậy, số phần tử của khïng gian mẫu là: 900

Nhận xét: Các số nguyên chia hết cho d đều cî dạng d với k là số nguyên dương Do đî,

số các số nguyên dương chia hết cho d và khïng vượt quá sẽ bằng số các số nguyên k với 0kdn hay 0 k n

2018 0

1x 1x  1x ; 4036 4036

4036 0

5;24;0

Gọi M     3;1 ,A z1 ,B z2 Theo giả thiết thì ta có M,A,B thẳng hàng đồng thời A thuộc Oy,

B thuộc Ox Phương trënh đoạn AB theo đoạn chắn là:

Dấu “=” xảy ra khi 15; 5 4

Câu 20: Cho hình chóp S ABCD cî đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng MNI chia khối chóp S ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 7

13 lần phần còn lại Tính tỉ số k IA

d S ABCD    Suy ra V HJIAMNCD V H DFE. V I AEM. V J NFC.

Đặt V V S ABCD. và S S ABCD, h d S ABCD  ,   ta có 1

Theo giả thiết ta có 13

Giả sử A i nằm giữa A1 và A j thì tam giác A A A1 i j tù tại đỉnh A i Mà A A A j i 1 A A A1 i j

nên kết quả bị lặp hai lần Có 100 cách chọn đỉnh

Vậy số tam giác tù là 2.1176.100 117600

Chú ý: Cho đa giác đều có n đỉnh Công thức tổng quát tính số tam giác tù:

 Nếu n chẵn thì số tam giác tù là 2

2 2

n

n C 

 Nếu n lẻ thì số tam giác tù 2

1 2

Câu 23 Cho phương trënh 3 tanx1 sin x2 cosxmsinx3cos x Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m thộc đoạn 2018; 2018 để phương trënh trên cî đúng một nghiệm thuộc 0;





Ta có cos 2 cos2 sin2 cos cos sin 

x



Do đî phương trënh 22017sin2018xcos2018x sinxcos cosx xsinxcos cosx x

cos sinx xcos 2x  2017sin2018xcos2018x10

a

S b

P b c ađược viết dưới dạng m

n , với m,n là các số nguyên dương và m

x x

Vẽ bảng biến thiên cho hàm số f x  ta suy ra được phương trënh cî đúng 2 nghiệm thực

20a 1a a C 2aC 3C 4a C   19a C 20aC 3Cộng vế theo vế      1 , 2 , 3 ta có 19  19 2 219 0

x  a b c 

 '

h x  0 + + 0 

 

h x h c 

h a Lại có   2   2  2  2   

2017 2018

y a

 

y f x

Câu 33: Có bao nhiêu cặp số nguyên a b, để phương trënh sau đúng với mọi x

Thử lại ta thấy chỉ cóa0 và b0 hoặca1vàb0thỏa mãn

Vậy có 2 cặp số nguyên  a b; để pt  1 đúng với mọi x

2

1

p x p x x

Câu 35: Cho dãy số  u n được xác định bởi u1 2; u n2u n13n1 Cïng thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức cî dạng a.2nbn c , với a, b , c là các số nguyên,

nhà khoa học yêu cái đẹp nảy ra û tưởng muốn tạo ra một khối nón nội tiếp trong một khối cầu cî bán kình R và đựng một loại dung dịch X do ông chế tạo ra vào trong đî, sao cho thể tích dung dịch X chứa được trong X là lớn nhất Sau khi chế tạo xong, trong lúc mải ngắm tác phẩm của mình, nhà khoa học đã vï tënh làm vỡ cả khối cầu thủy tinh, tuy vậy ïng đã thu hồi lại được lượng dung dịch X quý giá của mình Lần này, vì rút kinh nghiệm, cũng lượng dung dịch X đî, nhà khoa học muốn chế tạo một cái hộp bằng một loại kim loại chịu lực trong suốt để đựng dung dịch của mình Ông có hai sự lựa chọn cho hộp kim loại của mình, có dạng hình hộp chữ nhật hoặc là có dạng khối trụ Tuy nhiên, kinh phí còn lại của ông có hạn, còn giá thành kim loại đî lại rất đắt vì nó hiếm Ông muốn chi phí sản xuất kim loại cấu thành hộp là bé nhất, nhưng vẫn phải chứa được lượng dung dịch X đã cî của mình.Hãy giúp nhà khoa học tính toán xem diện tích toàn phần nhỏ nhất của hộp kim loại là bao nhiêu?

R

4

23

Giả sử rằng khối nîn cî đáy là hënh trín bán kình r Gọi x với0 x R  là khoảng cách từ tâm khối cầu đến đáy khối nîn Khi đî chiều cao lớn hơn của khối nón nội tiếp khối cầu với đáy là hënh trín bán kình r sẽ là h R x  Khi đî bán kënh đáy nîn làr R2x2 , suy

ra thể tích khối nón là

O

g x  

y  x  x  C Tìm những điểm trên đường thẳng

 d y ax b:   đi qua gốc tọa độ và tạo với đường thẳng 1

3

y x một góc 150 mà từ đî kẻ được đến C 2 tiếp tuyến

–2

–1

của tham số a thỏa mãn bài toán là?

a

a a

Kết hợp cả 3 trường hợp thì các giá trị nguyên của a thỏa mãn bài toán là

98

a a a