Ôn luyện các nhóm câu hỏi vận dụng cao trong đề thi THPTQG môn Toán

VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Đề gồm 40 câu trắc nghiệm Sản phẩm được thực hiện bởi nhóm Chinh Phục Olympic Toán Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trì

VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA

Đề gồm 40 câu trắc nghiệm Sản phẩm được thực hiện bởi nhóm Chinh Phục Olympic Toán

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

22

Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA x BC y AB AC SB SC ,  ,    1 Thể tích khối chóp

S ABC đạt giá trị lớn nhất khi tổng x y  bằng :

A 2

4

là ?

A 2 1

9



B 2 13



C 2 16



D 2 19

2.36

Câu 11: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 2 3i  17 ; z2 1 5 Biết rằng

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z  1 i 5 Tìm GTLN của P2 z8i   z 7 9i

Câu 16: Cho 3 số phức z z z0, ,1 2 thỏa mãn đồng thời

A 14 B 16 C 12 D 18

Câu 23:Gieo một con súc sắc c}n đối đồng chất hai lần Giả sử m là tích số chấm mà con

súc sắc xuất hiện sau hai lần gieo Tính xác suất sao cho hàm số

A f 0  2 B f  0 0 C  0 24

5

f  D f 0 2

Câu 28: Cho hàm số g x  fsin2x f cos2x trong đó f thỏa mãn điều kiện :

cot  sin 2 cos 2 ,

f x  x x  x  0; Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g x  bằng:

510

Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đ{y ABCD là hình bình hành Gọi A l| điểm trên SA

sao cho 1

2

A A  A S Mặt phẳng   qua A cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại B C D  , ,

Tính giá trị của biểu thức T SB SD SC

q thuộc khoảng n|o sau đ}y?

A q 3; 4 B q 1; 2 C q 2; 3 D q 0;1

Câu 33: Cho tích phân

1 2

* 2

 , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của I được viết dưới dạng a c

.2

.3

O

A B

Câu 39: Cho 4 số nguyên a b c d, , , thay đổi thỏa: 1    a b c d 50 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a c.

Câu 41: Cho các số thực x,y thỏa mãn

log x 3 2 log 2 y3 log y 3 2 log x 3 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P4x2y215xy là?

A minP 80 B minP 91 C minP 83 D minP 63

Câu 42 : Cho hàm số f x  và g x  thỏa mãn f' 1 g 1 1;f    2 2g  f  1 v| đồng thời 1 f x g x'   ' g x f x  ''  1f x'  , x \ 0 

Câu 44: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 Giả sử

BC a , AA1 h Khi R ngắn nhất thì tam giác ABC

A Đều B Cân tại A. C Vuông tại A. D Nhọn

Câu 45: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  2 ,z2  5 Biết rằng 1

2

Đặt P x 3y3 Hỏi P có bao nhiêu ước số nguyên?

1log 2 x y

Câu 55: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên gồm 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một số từ tập A Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2

Câu 56 : Có tất cả bao nhiêu cặp số thực x y;  thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

Câu 57: Cho (C m)l| đồ thị của h|m số y x 33mx1(với m0l| tham số thực) ọi d là

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C m).Đường thẳng d cắt đường tròn t}m

 1;0

I  bán kính R3tại hai điểm ph}n biệt A B, ọi Sl| tập hợp tất cả c{c gi{ trị của

m sao cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn nhất Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử ?

Câu 59: Cho phương trình sin 2xcos 2x sinxcosx  2 cos2x m m  0 Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?

2

x  

   Khi đó gi{ trị của k là?

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ 3

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

22

m x

g a    đồng biến trên , g 1   0 a 1

3 2 2a 3 3 a 2 2a 2 3 a 2

m x y  xy x y  xy        f a

H|m f đồng biến trên 1; suy ra m f (1) 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi phương trình thứ 2 có nghiệm

Dễ dàng chứng minh được: sin 2a2 sin2a b  cosa b  sin a b 

2 2 2

1 2 sin 2 a 1 4sin 2 cos sin

1 cos 2 cos sin

sin 2 cos sin sin sin 2 cos



C 2 16



D 2 19

x y

A D

C B

Rõ ràng u u1 4u u2 3     6 t 0 f t( ) 0,  t f x  có nghĩa với mọi x

Câu 9: Cho hàm số 2 sin  sin 1 

y

  hay

sin sin  0 sin 0

Gọi x x1, 2 lần lượt l| ho|nh độ c{c điểm cực đại, cực tiểu của  C thì khi đó:

Gọi A x 1,2x1 sin ,B x2,2x2 sin l| c{c điểm cực đại, cực tiểu tương ứng của  C ,

khi đó x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình y' 0 nên 1 2

1 2

2sin sin 1 2 sin 1

2.36

Lời giải

G

H O

x y  Chọn đ{p {n A

Câu 11: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 2 3i  17 ; z2 1 5

Biết rằng z1  1 i k z 2  1 i k 0 Tìm k khi P z1z2 đạt giá trị lớn nhất

Gọi M z      1 ,N z2 , 2; 3 , 0; 1I J   Theo giả thiết ta có:

 Điểm M thuộc đường tròn  C1 tâm I bán kính R1  17

 Điểm N thuộc đường tròn  C2 tâm J bán kính R2  5

Ta thấy rằng số phức z 1 i đều thỏa mãn 2 3 17

l| giao điểm của    C1 , C2 và theo giả thiết ta suy ra đượcA M N, , thẳng hàng

Gọi H,K lần lượt là hình chiếu của I,J lên MN P MN 2HK2IJ

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN IJ Khi đó phương trình MN đi qua điểm A và có vector pháp tuyến IJ 3; 3 là MN x y:   2 0 Từ đ}y suy ra điểm M  6; 4 ,N 0; 2 

Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2 là abcd2

Ta có abcd2 10. abcd 2 7abcd3abcd2

Ý tưởng cho b|i to{n n|y l| ta sẽ sử dụng

bất đẳng thức tam gi{c, nhưng do có số 2

ở giữa nên ta sẽ nảy ý tưởng tìm một điểm

đúng do đó luôn tồn tại điểm K cố định thỏa mãn MA2MK v| điểm K này nằm trên IC

Lấy điểm K thuộc IC sao cho

Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn 4z    z i 1 2 z i 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 2 2i

P ad bc

Lời giải

Gọi A z   1 ,B z2 ,M z   3 ,C z0 Theo giả thiết ta có z1z3 z3z2 AM MB , suy ra

được A đối xứng với B qua điểm M Mặt khác  

1 1

  cắt nhau tại đúng 2 điểm phân biệt?

Lời giải

Ta thấy a1;b1, nếu a b 2 đường cong trùng nhau nên có vô số điểm chung, loại

Vì vai trò của a,b như nhau nên ta chỉ cần tìm cặp số nguyên  a b; với a b 1 sao cho phương trình 1 1 1 1 1 1 1 1

Xét tương tự với trường hợp b a 1 ta có tất cả 9700 cách chọn

Câu 20: Xét các hình chóp S ABCD thỏa mãn điều kiện: đ{y ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đ{y v| khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBCbằng a Biết rằng thể tích khối chóp S ABCD đạt giá trị nhỏ nhất V0 khi cosin góc giữa đường thẳng SB

Ta có BCAB BC SA;  nên BCSAB

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Khi đó AHSBC và d A SBC ,  AH

Ta có góc giữa hai đường thẳng SB và mặt phẳngABCDlà gócSBA

Đặt SBA .Theo giả thiết ta có ;

sin sin 2 cos

V a Dấu bằng xảy ra khi sin2 2 cos2 cos 1.

Vậy minP3,maxP30

Câu 22: Cho các số thực dương x y z, , thỏa mãn 5x2y2z29xy2yz zx  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

1

x P

y z P

Câu 23:Gieo một con súc sắc c}n đối đồng chất hai lần Giả sử m là tích số chấm mà con

súc sắc xuất hiện sau hai lần gieo Tính xác suất sao cho hàm số

S P

3

m m

m m

 

3 3

   và 1

2

x a

Câu 28: Cho hàm số g x  fsin2x f cos2x trong đó f thỏa mãn điều kiện :

cot  sin 2 cos 2 ,

f x  x x  x  0; Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của g x  bằng:

A 1

1

1.5

.25

sin 2 sin 1 cos 2 cos 1 sin cos 8sin cos 2

sin cos 2 sin cos 2

Câu 30: Cho phương trình  2  2 2 2

2log 2x 2x2 2y y x x Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y; , với 0 x 500 thỏa mãn phương trình đã cho?

A A  A S Mặt phẳng   qua A cắt các cạnh SB SC SD, , lần lượt tại B C D  , ,

Tính giá trị của biểu thức T SB SD SC

Gọi O là giao của ACvà BD Ta có O l| trung điểm của đoạn thẳng AC, BD

C{c đoạn thẳng SO,A C , B D  đồng quy tại I

SA

SA 

Câu 32: Gọi q là công bội của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 164

9, đồng thời theo thứ tự , chúng là số hạng thứ nhất , thứ tư v| thứ tám của một cấp số cộng Hỏi

q thuộc khoảng n|o sau đ}y?

A q 3; 4 B q 1; 2 C q 2; 3 D q 0;1

Lời giải

Gọi : u u u1, ,2 3 là 3 số hạng đầu tiên của cấp số nhân , với công bội q Gọi  v n là cấp số cộng tương ứng với công sai là d Theo giả thiết ta có :

* 2

 , biết rằng tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của I được viết dưới dạng a c

b d

 , trong đó a, b, c, d l| c{c số nguyên dương v| a c,

Dấu “=” xảy ra khi x1

Câu 34: Cho 3 hàm số y f x y g x y h x ,   ,    Đồ thị của 3 hàm số

 

Lời giải

510

  



   

 Đối chiếu với đ{p {n ta chọn ý C

Câu 35: Cho 2 số phức z1 thỏa mãn 1 7 5 1 9 3

Theo giả thiết ta có điểm M z 1 d x y1 :   1 0, N z 2 d2 : 3 2 x y  1 0

iao điểm của d d1, 2 là I0; 1  Theo giả thiết ta có MI2NI

Giả thiết tương đương f x f x4    ' 'e x  f x f x4   ' e xC mà f 0    0 C 1

53

Lời giải

Ta có g x  0 g x 2f x 2x34x3m6 5 0 3m2f x 2x34x6 5 Đặt h x 2f x 2x34x6 5 Ta có h x 2f x 6x24

f x

y

C C

Câu 41: Cho các số thực x,y thỏa mãn

Vậy gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức P là 83

Câu 42 : Cho hàm số f x  và g x  thỏa mãn f' 1 g 1 1;f    2 2g  f  1 v| đồng thời 1 f x g x'   ' g x f x  ''  1 f x'  , x \ 0 

Để có tối đa số hình vuông Bớt 1 ô vuông ở góc vuông của bàn cờ

Số hình vuông được tạo thành từ các ô vuông trong bàn cờ là

8 2 1

Số hình vuông chứa ô vuông đã bớt là 8

 Số hình vuông được tạo thành sau khi bớt 204 8 196 

Câu 44: Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A B C 1 1 1 Giả sử

BC a , AA1 h Khi R ngắn nhất thì tam giác ABC

A Đều B Cân tại A. C Vuông tại A. D Nhọn

Lời giải

I O1

C O R R R ' C{c điểm B và C lần lượt di động trên

   C1 , C2 tương ứng Khi đó S đạt max khi O l| trực t}m

tam giác ABC và O nằm trong tam gi{c Thật vậy, nếu cố

định B thì đường thẳng AB cố định Giả sử AB cắt  C2 tại M

và N, diện tích lớn nhất khi CO  AB Tương tự nếu cố định

C Tức O là trực tâm của ABC Khi đó C là điểm chính giữa

cung lớn MN hay O nằm trong tam giác ABC

Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp trong một mặt cầu bán kính R và thỏa mãn điều kiện

D B

C A

Gọi G là trọng tâm của tứ diện; E, F, K, L lần lượt l| trung điểm của các cạnh AB, CD, BC,

AD Ta có tam giác ACD bằng tam giác BCD nên AF BF suy ra EFAB, tương tự ta chứng minh được EF CD v| đường thẳng PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC,

33

Câu 49: Cho hàm số   sin6 cos cos6 sin

sin cos sin cos

sin cos 1 sin cos sin cosin cos

x k

2

;12

m   D m1

Lời giải

Ta thấy rằng với mọi m, ta luôn có h   1 f 1 0 nên bài toán trở th|nh tìm m để cho hàm

số g x h x f x      0 x  0;1 Dễ thấy với x1 thì bất đẳng thức luôn đúng, do đó ta

2 2 1;6

2 1min

Câu 51: Cho cấp số nhân u u u1, , , ,2 3 u n; trong đó u i 0,  i 1, 2, ,n Biết rằng

n

T u q S

Lời giải

Số phần tử của tập hợp S l| |S| 9.9.8.7.6 27216 

ọi B l| tập hợp c{c số có dạng a a a a a1 2 3 4 5 sao cho a1 a2 a3 v| a3 a4 a5

Ta x{c định số phần tử của tập B như sau:

Có C42 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a a1 2

Có 1 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a a4 5

Suy ra có C C95 42 756 (số)

Trường hợp 2

Chọn 5 chữ số bất kỳ phải có chữ số 0 có C94 c{ch, sau đó xếp 5 chữ số v|o 5 vị trí

1 2 3 4 5

a a a a a

Vị trí a3 có 1 c{ch chọn, vì a3 lớn nhất

Có C32 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a a1 2

Có 1 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a a4 5

Suy ra có C C94 32 378 (số)

Do đó số phần tử của tập B l| | | 756 378 1134B    (số)

Vì vậy x{c suất cần tìm l|

1 1134 1 27216

124

Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện

1log 2 x y

Gọi số tự nhiên gồm 5 chữ số chia hết cho 7 và có chữ số h|ng đơn vị bằng 2 là abcd2

Ta có abcd2 10. abcd 2 7abcd3abcd2

Câu 56 : Có tất cả bao nhiêu cặp số thực x y;  thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

Vậy tồn tại 2 bộ số thỏa mãn yêu cầu đề bài

Câu 57: Cho (C m)l| đồ thị của h|m số y x 33mx1(với m0l| tham số thực) ọi d là

đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C m).Đường thẳng d cắt đường tròn t}m

 1;0

I  bán kính R3tại hai điểm ph}n biệt A B, ọi Sl| tập hợp tất cả c{c gi{ trị của

m sao cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn nhất Hỏi S có tất cả bao nhiêu phần tử ?

Câu 59: Cho phương trình sin 2xcos 2x sinxcosx  2 cos2x m m  0 Có bao

nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm ?

Lời giải

Điều kiện: 2 cos2x m 0

Phương trình đã cho tương đương với

 Phương trình đã cho có nghiệm   2  m 2m   m  1;0;1 

Câu 60: Giả sử k là số thực lớn nhất sao cho bất đẳng thức 12 12 2

1sin

k

x x   đúng với 0;

Thật vậy:   2 sin3 3 2 cos33 0