Ôn luyện các nhóm câu hỏi vận dụng cao trong đề thi THPTQG môn Toán

ĐỀ ƠN LUYỆN CÁC NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Đề gồm 40 câu trắc nghiệm Sản phẩm thực nhóm Chinh Phục Olympic Tốn Câu 1: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình m2 mx   2m  x mx Có nghiệm nhỏ 10 A C B D Vô số Câu 2: Cho dãy cấp số cộng un  u1 ; u2 ; un có cơng sai d  v1 ; v2 ; có cơng sai d2 Gọi tổng n số hạng đầu cấp số theo Sn  u1  u2   un  n  Tn  v1  v2    14n  27 Tính tỉ số thứ tự u11 v11 B C D 3 4 Câu 3: Cho hình chóp S ABC có SA  x , BC  y , AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp A S ABC đạt giá trị lớn tổng  x  y  : A B C D Câu 4: Giá trị nhỏ m để hệ phương trình sau có nghiệm :  log  x  y   log  xy     3  x  y  xy  m A B C D Câu 5: Cho sin  a  b   cos  a  b  , a  b  k Tính giá trị biểu thức E 1   sin a  sin 2b A  B C D Câu 6: Cho dãy un  thỏa mãn 25.2 u5   15.2 u1  u5   5.2 u5  15.2 u1   un   un  Giá trị nhỏ n để un  2019 A 512 B 258 C 511 D 257 Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình vng, AB  , cạnh bên SA  vng góc với mặt phẳng đ{y  ABCD  Kí hiệu M l| điểm di động đoạn CD N điểm di động đoạn CB cho MAN  45 Thể tích nhỏ khối chóp S AMN ? Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT A 1 1 B C 1 D 1 Câu 8: Cho cấp số cộng : u1 , u2 , u3 , u4 thỏa u1u4  u2 u3  Tìm tập x{c định D hàm f  x    x  u1  x  u2  x  u3  x  u4   A D    ;  B D   6;   C D  x   sin   x  sin   Câu 9: Cho hàm số y  C  Tìm D D   6;   để C   cho khoảng cách x1 điểm cực đại cực tiểu lớn ?     A     k  B     k C     k  D     k 4 Câu 10: Cho tứ diện ABCD có tất cạnh Gọi G trọng tâm tam giác BCD Mặt phẳng  P  thay đổi luôn qua AG cắt BC , BD I , K Tính thể tích nhỏ ABIK A 27 B 18 C Câu 11: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn D 36 z1   3i  17 ; z2   Biết z1   i  k  z2   i  k   Tìm k P  z1  z2 đạt giá trị lớn A k  B k  2 D k  5 C k  3 Câu 12: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257 257 127 127 A B C D 90000 18000 90000 30000 Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Tìm GTLN P  z  8i  z   9i A P  109 B P  1  109 C P  109  D P  109  Câu 14: Cho số phức z thỏa mãn z  z  i   z  i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z   2i A P  30 2 B P  30 3 C P  30 4 D P  30 5 1      Câu 15: Biết tổng Sn       2      n  n  Giá trị nhỏ n để 2      399  2n4n , n Sn  4n A 41 * | Chinh phục olympic toán B 40 C 51 D 50 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN z2  z2   Câu 16: Cho số phức z0 , z1 , z2 thỏa mãn đồng thời  , với z3  1  i Biết   z1  z3  z3  z2  z  z  a  bi   a, b , c , d  R  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ad  bc  z0  z2  c  di A P  17 B P  18 C P  19 D P  20 Câu 17: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm Gọi C1  , C  , C  l| đồ thị hàm số y  f  x  , y  f  f  x   , y  f  x   Các tiếp tuyến C  , C  điểm x0  có phương trình y  x  1, y  x  , hỏi tiếp tuyến C  điểm x0  qua điểm n|o sau đ}y? A Q  2; 11  B M  2; 11  C N  2; 21  D P  2; 21  Câu 18: Cho dãy ( xn ) thỏa mãn x1  5, xn  xn2  2, n  Tính giá trị   1 M  lim      x1x2 xn   x1 x1 x  21  21  31  15 B M  C M  D M  2 3 Câu 19: Có cặp số nguyên  a ; b  thỏa mãn  a , b  100 cho đồ thị hàm A M  số y  1 1  y  x  cắt điểm phân biệt? x a b b a A 9704 B 9702 C 9698 D 9700 Câu 20: Xét hình chóp S.ABCD thỏa mãn điều kiện: đ{y ABCD hình vng, cạnh bên SA vng góc với đ{y khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  a Biết thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ V0 cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng  ABCD p p , p , q số nguyên dương v| ph}n số q q tối giản Tính T   p  q  V0 3 a Câu 21: Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1   i , z2 số ảo với ảo A T  3 a B T  a C T  a không âm, z3 số thực không âm Biết z2  z3  D T  2 z2  z1  z3  z1 Gọi M,n giá trị lớn nhỏ biểu thức P  z2  z1 z3  z1 Khi M.n bằng? A M.n  90 B M.n  80 C M.n  100 D M.n  70 2 Câu 22: Cho số thực dương x , y , z thỏa mãn  x  y  z    xy  yz  zx  Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y  z  x  y  z 3 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT A 14 C 12 B 16 D 18 Câu 23: Gieo súc sắc c}n đối đồng chất hai lần Giả sử m tích số chấm mà súc sắc xuất sau hai lần gieo Tính xác suất cho hàm số y   m   x   41  2m  x  đồng biến khoảng  0;    A B C D 17 36   Câu 24: Cho hàm số y  f  x   ln    Biết : x   f    f     f  2018   ln a  ln b  ln c  ln d a , c , d l| c{c số nguyên tố v| a  b  c  d Tính P  a  b  c  d A 1986 B 1698 C 1689 D 1989 Câu 25: Cho hàm số y  f  x   x   2m   x    m  x  Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  f  x  có điểm cực trị A m2 B 2  m  C  m2 D m2 Câu 26: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  1;  thỏa mãn đẳng thức: 3x f  x   f '  x    xf '  x   x 2  f '  x   x , x   1;  f  1  Tính f   7 1 7 1 1 1 B f    C f    D f    3 3 Câu 27: Cho hàm số đa thức bậc ba y  f  x  có đồ thị qua c{c điểm sau A f    A  2;  , B  3;  , C  4; 16  C{c đường thẳng AB, AC , BC lại cắt đồ thị tại điểm D , E , F ( D khác A B , E khác A C , F khác B C ) Biết tổng ho|nh độ D , E , F 24 Tính f   A f    2 B f    C f    24 D f    Câu 28: Cho hàm số g  x   f  sin x  f  cos x  f thỏa mãn điều kiện : f  cot x   sin x  cos x , x   0;  Tích giá trị lớn giá trị nhỏ g  x  bằng: 25 1 C  D  25 Câu 29: Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  1;  thỏa mãn f    1, f    8 v| đồng A thời  f '  x   B x  f  x   x  x  3x , x  1;  Tích phân A 7 | Chinh phục olympic toán B  89 C  79  f  x  dx D 8 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 30: Cho phương trình log  x  x    y  y  x  x Hỏi có cặp số nguyên dương  x ; y  , với  x  500 thỏa mãn phương trình cho? A B C D Câu 31: Cho hình chóp S.ABCD có đ{y ABCD hình bình hành Gọi A l| điểm SA cho AA  AS Mặt phẳng    qua A cắt cạnh SB, SC , SD B, C , D SB SD SC Tính giá trị biểu thức T    SB SD SC  1 A T  B T  D T  C T  2 Câu 32: Gọi q công bội cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu 16 , đồng thời theo thứ tự , chúng số hạng thứ , thứ tư v| thứ tám cấp số cộng Hỏi q thuộc khoảng n|o sau đ}y? A q   3;  B q   1;  Câu 33: Cho tích phân I   C q   2;  dx 1x 2n ,n * D q   0;  , biết tổng giá trị lớn giá trị nhỏ a c a c  , a, b, c, d l| c{c số nguyên dương v| , b d b d phân số tối giản Tính S  a  b  c  d ? I viết dạng A C 11 B 10 Câu 34: Cho hàm số D 12 y  f x , y  g x , y  h x Đồ thị hàm số y  f   x  , y  g  x  , y  h  x  có đồ thị hình vẽ dưới, đường đậm l| đồ 3  thị hàm số y  f   x  Hàm số k  x   f  x    g  5x    h  4x   đồng biến 2  khoảng n|o đ}y ? y  g ' x  y 10 y  f ' x  O 34 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor x y  h ' x  Chinh phục olympic toán | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT  15  A   ;    3  3  C  ;  D  ;   8  8  5i 3i Câu 35: Cho số phức z1 thỏa mãn z1    z1   , z2  a  bi với 4 4  1  B   ;  4    a  b   Biết z1  i  z2  i Tìm GTNN P  z1   i  z2   i A P  38 C P  38 B P  39 D P  39 Câu 36: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu 2 thức P    a 1 b 1 c 1 10 14 A Pmax  B Pmax  C Pmax  D Pmax  3 Câu 37: Cho hàm số f  x  liên tục , có đạo h|m đến cấp hai thỏa mãn f  x    f '  x    f  x  f ''  x    e x , x    , biết f    Khi f  x  dx bằng?    25ln 2 A  31   5ln    C 5ln B 1 355ln   31   5  355ln   D  31      1 25ln 2 31   5ln   5  Câu 38: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ: y f ' x   B Xét hàm số O 13 g  x   f  x   x  4x  3m  với x    ;  điều kiện m A m  f C m  f      | Chinh phục olympic toán x A m số thực Để g x    f D m  f   B m    Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 39: Cho số ngun a , b , c , d thay đổi thỏa:  a  b  c  d  50 Tìm giá trị nhỏ a c biểu thức P   b d 53 61 58 73 A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  175 200 175 200 Câu 40: Cho số tự nhiên từ đến 100 Chọn số Tính xác suất để chọn số cho chúng xếp thành cấp số cộng 95 95 95 A B C 7528752 1254792 2509584 Câu 41: Cho số thực x,y thỏa mãn  D  log  x    log 2  y   log  y    log Giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy là? A P  80 B P  91 C P  83  95 3764376  x3 2 D P  63 Câu 42 : Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn f '    g    1; f   g    f   v| đồng   thời  f '  x  g '  x   g x   f '' x   f ' x   , x  \ 0  Tính tích phân x   I   f  x  g '  x  dx ? 3 3 B   ln C  ln D   ln  ln 4 4 Câu 43: Có tối đa hình vng tạo ô vuông bàn cờ 8x8 bớt ô vuông? A 204 B 63 C 196 D 150 A Câu 44: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A1 B1C Giả sử BC  a , AA1  h Khi R ngắn tam giác ABC A Đều B Cân A C Vuông A D Nhọn  z  i  a  bi Câu 45: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  Biết   z2  i  c  di Tìm GTLN biểu thức P  ad  bc A P  B P  C P  D P  Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD M điểm thay đổi không gian Đặt P  MA  MB  MC  MD, giá trị nhỏ P là? A Pmin  R B Pmin  R C Pmin  R D Pmin  16 R Câu 47: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện log 22 x  log 22 y    log xy   Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor 11 Chinh phục olympic tốn | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Đặt P  x  y Hỏi P có ước số nguyên? A C B Câu 48: Cho phương trình m3 m3  D  3x  10  x  3x  10  x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? A 10 C B 11 Câu 49: Cho hàm số y  f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x D 12 Hỏi có giá trị x   2019; 2019  thỏa mãn hàm số f  x  đạt giá trị lớn A 2453 B 5142 C 2571 D 4906  2m  1, h  x    x  61x  Tìm tham số m để 6x hàm số g  x   h  x  f  x  có giá trị nhỏ với x   0;  Câu 50: Cho hàm số f  x    m  1 x  A m  B m  1  C m   ; 1 2  ui  0, i  1, 2, , n Biết Câu 51: Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , , un ; Sn  u1  u2  u3   un  2018 , Tn  D m  1 1 1      2019 P  u1 u2 u3 un  100 u1 u2 u3 un Hỏi số tự nhiên nhỏ thỏa mãn P là: A 9295 B 9296 C 18592 Câu 52: Cho tập A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} D 18591 ọi S l| tập hợp tất c{c số có năm chữ số ph}n biệt lập từ A Chọn ngẫu nhiên số từ S Khi x{c suất để chọn số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 cho a1  a2  a3 v| a3  a4  a5 l|? A B 12 C  Câu 53: Cho bất phương trình log a 11   log   12 D 24   x  3ax  10   log a  x  ax  12    Giá trị thực tham số a để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng sau đ}y? A  1;  B  1;  C  0;  D  2;   Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện   log y  y x2 x  x  y   x 2 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  log x  y   y  x  2 x  y A | Chinh phục olympic toán B C D 16 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 55: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257 257 127 127 A B C D 90000 18000 90000 30000 Câu 56 : Có tất cặp số thực  x ; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 x2  x  log  5 y    ?   y  y    y    A B D C Câu 57: Cho (C m ) l| đồ thị h|m số y  x  3mx  (với m  l| tham số thực) ọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị (C m ) Đường thẳng d cắt đường tròn t}m I  1;  bán kính R  hai điểm ph}n biệt A , B ọi S l| tập hợp tất c{c gi{ trị m cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn Hỏi S có tất phần tử ? A B C D Câu 58: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z  y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log xyz ? P  log 22 xy  log  x y  x z3    y  xy  zy  xz A B C 1 D Câu 59: Cho phương trình sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A B C D 1 k Câu 60: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức    với sin x x    x   0;  Khi gi{ trị k là?  2 A B C Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D Chinh phục olympic toán | 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ Câu 1: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình mx  m2  2m  x mx Có nghiệm nhỏ 10 A C B D Vô số Lời giải  m  x  m  m  x m  x Phương trình   I m  x    x  x x  Xét m  :  I    x  nghiệm phuơng trình cho  x  2m  x    x   2m  x  m  x     x  2m  x m  x Xét m  :  I     x   x  vô nghiệm  m  x  m  x  m  x      2m  x 2   2m  x  m  x    2 m  x  2m  x m  x Xét m  :  I     m  x   2m  x  m  x   x  2 m    m  x   x  2 m m  x   m  m  4, 3, 2, 1 Vì x  2 m  10  m  5  m Câu 2: Cho dãy cấp số cộng un  u1 ; u2 ; un có cơng sai d  v1 ; v2 ; có cơng sai d2 Gọi tổng n số hạng đầu cấp số theo Sn  u1  u2   un  n  Tn  v1  v2    14n  27 Tính tỉ số A B C D thứ tự u11 v11 Lời giải n  2u1   n  1 d1  n  v1   n  1 d2  Từ giả thiết, ta có Sn   Tn   2  Sn u1   n   d1 7n     v1   n   d2 4n  27 T  n  u11  u1  10 d1  u1  20 d1  v11 v1  10 d2 v1  20 d2 10 | Chinh phục olympic toán  1 2 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT MN  MI  NI  MI NI cos MIN  MN   cos MIN   P  AI  39 NI Dấu “=” xảy AMIN nội tiếp đường tròn MIN  60 o Chọn ý B Câu 36: Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  a  c  b Tìm giá trị lớn biểu 2 thức P    a 1 b 1 c 1 10 14 A Pmax  B Pmax  C Pmax  D Pmax  3 Lời giải Ta có: a  c  b   ac   Dễ thấy ac    a  c   ac  2a  c 3 ac      2 b  P 2 2 a   a  c     ac  c  a   a   c   c  1  ac Xét hàm số f  x   Với  x  a  Tính f '  x   2  x  2cx  2c   x  c 3      2 2 2 2 x   x   c   c   x  1 c  1 c  1 c 4c  x  2cx   x  1  c  1  1 Trên khoảng  0;  : f '  x   có nghiệm x0  c  c  f '  x  đổi dấu từ dương  c sang âm x qua x , suy f  x  đạt cực đại x  x0 2c  1   0;  : f  x    2    g c  2  c c 1c c 1 c 1 c 1 c 1 10   10 Khảo sát hàm số g  c  với c   max g  c   g    Pmax    0;   2  Câu 37: Cho hàm số f  x  liên tục f  x    f '  x    f  x  f ''  x    e x , x      25ln 2 A  31   5ln    C  1 25ln 2 31   5ln   5  , có đạo h|m đến cấp hai , biết f    Khi 5ln  thỏa mãn f  x  dx bằng? B 1 355ln   31   5  355ln   D  31     Lời giải 28 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Giả thiết tương đương  f  x  f '  x   '  e x  f  x  f '  x   e x  C mà f     C  1  f  x  f '  x   e x    f  x  f '  x  dx  e x  x  D  f  x    e x  x  D  Mặt khác f     D  1  f  x    e x  x    5ln f  x  dx  5 5ln   25ln 2 x e  x  dx  31   5ln       Câu 38: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ: y f ' x   B Xét hàm số O x    ;  điều kiện m A m  f C m  f      A 13 g  x   f  x   x  4x  3m  với x m số thực Để g x    f D m  f   Lời giải B m    Ta có g  x    g  x   f  x   x  4x  3m    3m  f  x   x  4x  Đặt h  x   f  x   x  x  Ta có h  x   f   x   6x        h   f    6.5    h  f   6.5     Suy h    f          h    f    6.1   h  1   f   1   6.1       Từ ta có bảng biến thiên Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 29 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT x h   h  5    h 0 h h Từ bảng biến thiên ta có 3m  h  5 m f  5  5 Câu 39: Cho số nguyên a , b , c , d thay đổi thỏa:  a  b  c  d  50 Tìm giá trị nhỏ a c biểu thức P   b d 53 61 58 73 A Pmin  B Pmin  C Pmin  D Pmin  175 200 175 200 Lời giải Vì  a  b  c  d  50 a , b , c , d số nguyên nên c  b  a c b1 Suy ra: P     b d b 50 x1 Dễ thấy  b  48 nên xét hàm số f  x    , x   2; 48 x 50 1 Ta có f '  x      f ' x    x  x 50  Lập bảng biến thiên ta f  x   f  ;48   Do x  x  giá trị gần x  nhất, vậy:  53 61  53 f  x    f   ; f     ;  ;48    175 200  175 53 Vậy GTNN P  175 Câu 40: Cho số tự nhiên từ đến 100 Chọn số Tính xác suất để chọn số cho chúng xếp thành cấp số cộng 95 95 95 A B C 7528752 1254792 2509584 Lời giải D 95 3764376 Gọi số l| u1 ; u ; u3 ; u4 ; u5 ; u6 Viết theo cấp số cộng u1 ; u1  d ; u1  d ; u1  3d ; u  d ; u1  5d u6  u1  u6  u1 chia hết cho 5 Nếu ta x{c định u6 ; u1 ta tìm d từ tìm số lại Vậy tốn Do d  chuyển thành chọn hai số cho chúng có số dư chia cho Từ đến 100 có 20 số chia hết cho ta có C 20 cách chọn 30 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn Từ đến 100 có 20 số chia dư ta có C 20 cách chọn cách chọn Vậy ta có C 20 C 20 5 C 100 Xác suất Câu 41: Cho số thực x,y thỏa mãn   log  x    log 2  y   log  y    log Giá trị nhỏ biểu thức P   x  y   15xy là? A P  80 B P  91 C P  83   x3 2 D P  63 Lời giải Giả thiết tương đương  log x   log  x3      1 log  x    log 2  y   log  y    log 2  x    log y   log x3 2   y3  y3 2    x  3  x     y  3  y   x  y  Ta có x  y    2  y3  x3 2   x3  y3  x  y  x   y    x  y    x  y   x  y    x  y    x  y  Mặt khác x  y     x   y   2  x  y   x  y   x  y   4; 8 Xét biểu thức P   x  y   15xy   x  y   xy  16  x  y   xy  x  y    16 y  5x y   Mà   P  16   x   5x  64  21x y   x Kết hợp với x  y   x   3;7   64  21 x  83 Vậy gi{ trị nhỏ biểu thức P 83 Câu 42 : Cho hàm số f  x  g  x  thỏa mãn f '    g    1; f   g    f   v| đồng   thời  f '  x  g '  x   g  x   f ''  x   f '  x   , x  x   \0 Tính tích phân I   f  x  g '  x  dx ? A  ln B   ln C  ln D   ln 4 Lời giải Biến đổi giả thiết tương đương Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 31 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT x  xf '  x  g '  x   xg  x  f ''  x   g  x  f '  x   x  x  g '  x  f '  x   g  x  f''  x    g  x  f '  x   x   xf '  x  g  x   '  xf '  x  g  x   x2 C x C f ' 1 g 11 x    f ' x  g  x    x 2x 2 x  f '  x  g  x  dx     dx   ln   2x   f ' x  g  x    Sử dụng tích phân phần ta có 2 I   f '  x  g  x  dx  g  x  f  x    f  x  g '  x  dx  1  ln 2   f  x  g '  x  dx    ln 4 Chọn ý D Câu 43: Có tối đa hình vng tạo ô vuông bàn cờ 8x8 bớt ô vuông? A 204 B 63 C 196 D 150 Lời giải Để có tối đa số hình vng  Bớt vng góc vng bàn cờ Số hình vng tạo thành từ ô vuông bàn cờ x  204 (hình vng) x 1 Số hình vng chứa vng bớt  Số hình vng tạo thành sau bớt 204   196 Câu 44: Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đứng ABC A1 B1C Giả sử BC  a , AA1  h Khi R ngắn tam giác ABC A Đều B Cân A C Vuông A D Nhọn Lời giải C1 A1 O1 B1 I A C O B Gọi O , O1 l| t}m đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A1 B1C Khi đó, OO1 trục đường tròn ngoại tiếp đ{y Trong mặt phẳng ( AOO1 A1 ) , đường trung trực cạnh 32 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN AA1 cắt OO1 I Ta chứng minh I l| trung điểm OO1 v| l| t}m mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC A1 B1C Do đó, R  IA 2 h  OO1  Ta có IA  OA  OI  OA   (1)   OA    2 2 Mặt khác, áp dụng định lý hàm sin tam giác ABC , ta BC BC a  2OA  OA   (2) Sin BAC Sin BAC Sin BAC   Từ (1) (2) suy IA2          1 a2  h   sin BAC     Do đó, R  IA ngắn  IA2 bé    sin BAC lớn  sin BAC   BAC  90 o Hay tam giác ABC vuông A  z  i  a  bi Câu 45: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  , z2  Biết   z2  i  c  di Tìm GTLN biểu thức P  ad  bc A P  B P  C P  D P  Lời giải     Gọi A  0;  , B  z1  , C  z2  B  0; , C  0; Bổ đề: Cho hai đường tròn đồng t}m C1  O ; R  C C  O ; R '  R  R ' C{c điểm B C di động C1  , C  tương ứng Khi S đạt max O l| trực t}m tam giác ABC O nằm tam gi{c Thật vậy, cố O định B đường thẳng AB cố định Giả sử AB cắt C  M B N, diện tích lớn CO  AB Tương tự cố định A C Tức O trực tâm ABC Khi C điểm cung lớn MN hay O nằm tam giác ABC Áp dụng với A  0;1   BC Ox Do tính đối xứng nên gọi B Ta có AB.CO   Vậy Pmax       b2 ; b , C   b2 ; b  b   B  2; 1    b   b   b  b  1  b  1  C  1; 1 2   ad  bc  SABC max  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 33 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CĨ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 46: Cho tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu bán kính R thỏa mãn điều kiện AB  CD, BC  AD, AC  BD M điểm thay đổi không gian Đặt P  MA  MB  MC  MD, giá trị nhỏ P là? A Pmin  R C Pmin  R B Pmin  R D Pmin  16 R Lời giải A L E B D K F C Gọi G trọng tâm tứ diện; E, F, K, L l| trung điểm cạnh AB, CD, BC, AD Ta có tam giác ACD tam giác BCD nên AF  BF suy EF  AB , tương tự ta chứng minh EF  CD v| đường thẳng PQ vuông góc với hai đường thẳng BC, AD Từ suy GA  GB  GC  GD  R MA.GA  MB.GB  MC.GC  MD.GD Ta có MA  MB  MC  MD  GA   MA.GA  MB.GB  MC GC  MD.GD MG GA  GB  GC  GD  4.GA    4GA  R GA GA Dấu xảy M trùng với điểm G Vậy Pmin  R Câu 47: Cho số thực x,y dương thỏa mãn điều kiện log 22 x  log 22 y    log xy   11 Đặt P  x  y Hỏi P có ước số nguyên? A B C D Lời giải   Đặt  log 2x , log 4y , log2    a , b ,c   a  b  c  xy   34 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN 11 Nhận thấy giả thiết l| đa thức đối xứng theo biến a , b nên dấu “=” xảy a  b  x , c  y đến đ}y ta tham số hóa để tìm điểm rơi Giả thiết trở thành Theo bất đẳng thức AM – GM ta có:  a2  x  ax  2  a  b  c  x  a  b   3y c  y  x b  x  2bx c  y  y  3y 2c  y  2 x  3y  Đến đ}y ta cần tìm x , y thỏa mãn   Vậy P số nguyên 2 x  y  x  nên khơng có ước nguyên dương Câu 48: Cho phương trình m3 m3   3x  10  x  3x  10  x Có giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm? C B 11 A 10 D 12 Lời giải Đặt a  m    3x  10  x ; b  3x  10  x ,  a  0, b  0 Điều kiện  x   m  a  b m  3a  b  Ta có:  m  3b  a  m  3b  a a  b   a  b   b  a2   a  b  a  b       a  b   (L) Với a  b  m  3b  b  m  b  3b  f  b  (*)  b  3x  10  x  b  x  10  3x  10  x   10  b  10 (1)  b  3x  10  x  b   3x    x       x   x   25  b  (2) Từ (1) (2) suy b   10 ;  Xét hàm số f  b   b  3b đoạn  10 ;  ta có f  b   f  10 ;5     10  10  10 , max f  b   f    10  10 ;5    Phương trình  *  có nghiệm f  b   m  max f  b   10  10  m  10 mà m   10 ;5     10 ;5   nên có 10 giá trị nguyên m thỏa mãn Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 35 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 49: Cho hàm số y  f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x Hỏi có giá trị x   2019; 2019  thỏa mãn hàm số f  x  đạt giá trị lớn A 2453 B 5142 C 2571 D 4906 Lời giải Ta có f  x   Nên f  x   sin x cos x  cos6 x sin x sin x  cos x  sin x cos x sin x  cos x sin x  cos x  f x   Đặt t  sin x , t   0; 1 Vì sin x  cos x  sin x  cos x  1, x   sin x cos x   sin x cos x  sin x co x  1 sin x  sin x  sin x 1 Xét hàm số f  x    t  t  t liên tục  0; 1 2 Khảo sát hàm số trên, suy max f  t   f    0;1   27 1 k x 2019;2019   cos 4x   x   arccos   có 5142 giá trị 9 2 Câu 50: Cho hàm số f  x    m  1 x  x  2m  1, h  x    x  61x  Tìm tham số m để hàm số g  x   h  x  f  x  có giá trị nhỏ với x   0; 1 Đạt sin x  A m  B m  1  C m   ; 1 2  D m  Lời giải Ta thấy với m, ta ln có h   f    nên tốn trở th|nh tìm m hàm số g  x   h  x  f  x   0x   0; 1 Dễ thấy với x  bất đẳng thức ln đúng, ta xét  0;  Ta dễ thấy h  x  l| h|m đồng biến  0;  , h     h  x   0x   0;  Đến đ}y lại rút gọn toán trở th|nh tìm m để f  x   0x   0;  Đặt t  x  t   1;   ta có f  x     m  1 6x  t2  t  2  m    m  t  mt   t   m    6x t  2t Đến đ}y b|i to{n trở thành toán đơn giản, ta cần m  1;6 36 | Chinh phục olympic toán t2  t   t  2t Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN ui  0, i  1, 2, , n Biết Câu 51: Cho cấp số nhân u1 , u2 , u3 , , un ; Sn  u1  u2  u3   un  2018 , Tn  1 1      2019 P  u1 u2 u3 un  100 u1 u2 u3 un Hỏi số tự nhiên nhỏ thỏa mãn P là: A 9295 B 9296 C 18592 u1  q n  1 Lời giải  2018  1   q   2019 1 1 Và Tn       u1 u2 u3 un u1q n1   q  2 Ta có Sn  u1  u2  u3   un  q1 n Từ   ,   suy D 18591 Tn 2018  u12 q n1  Sn 2019 Ta có Qn  u1 u2 u3 un  u1  u1 q   u1 q   u1 q n1 u q n n n  1 n n 1  u q  n  2018     2019  n  2018     n  log 2018  Theo đề      18591,  nmin  18592 100 100  2019    2019 1285 257  9.10 18000 Câu 52: Cho tập A  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9} đó, P( B)  ọi S l| tập hợp tất c{c số có năm chữ số ph}n biệt lập từ A Chọn ngẫu nhiên số từ S Khi x{c suất để chọn số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 cho a1  a2  a3 v| a3  a4  a5 l|? A B 12 C 12 D 24 Lời giải Số phần tử tập hợp S l| |S| 9.9.8.7.6  27216 ọi B l| tập hợp c{c số có dạng a1 a2 a3 a4 a5 cho a1  a2  a3 v| a3  a4  a5 Ta x{c định số phần tử tập B sau: Trường hợp Chọn chữ số khơng có chữ số có C95 c{ch, sau xếp chữ số v|o vị trí a1 a2 a3 a4 a5 Vị trí a3 có c{ch chọn, a3 lớn Có C 42 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a1 a2 Có c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a4 a5 Suy có C 95C 42  756 (số) Trường hợp Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 37 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Chọn chữ số phải có chữ số có C94 c{ch, sau xếp chữ số v|o vị trí a1 a2 a3 a4 a5 Vị trí a3 có c{ch chọn, a3 lớn Có C 32 c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a1 a2 Có c{ch chọn hai số để xếp v|o hai vị trí a4 a5 Suy có C 94C 32  378 (số) Do số phần tử tập B l| |B| 756  378  1134 (số) C1134  C 27216 24 Vì x{c suất cần tìm l| Suy chọn D  Câu 53: Cho bất phương trình log a 11   log     x  3ax  10   log a  x  ax  12    Giá trị thực tham số a để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng sau đ}y? A  1;  B  1;  C  0;  D  2;   Lời giải Biến đổi bất phương trình tương đương Điều kiện x{c định  a   log a 11   log   log a 11  log  log      x  ax  10   log a  x  ax  12     x  ax  10  log a  x  ax  12    x  3ax  10  log a  x  ax  12   log a 11 Đặt t  x  ax  10   x  ax  12  x  ax  10   t  Khi bất phương trình trở thành log  t   log a  t    * log 11 3a  Nếu  a   log 11 3a  bất phương trình  *  trở thành log  t   log 11 a log a  t     log  t   log 11  t    Xét hàm số f  t   log  t   log 11  t    t   l| h|m đồng biến đồng thời f    nên f  t   f    t   x  3ax   Để phương trình có nghiệm a ta có , nghiệm không thỏa mãn  Nếu a   log 11 3a  Đến đ}y xét tương tự trường hợp ta tìm a  3 38 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 54: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện   log y  y x2 x  x  y   x 2 y 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  log x  y   y  x  2 x  y A B C D 16 Lời giải Biến đổi giả thiết ta được: 2   log y  y x2 x  x  y    x 2 y 2 x 2 y 1 1 log x  y   x  y   y  x   2 x 2 y 1 2  x 2 y  2 log x  y 1  y  x    log x  y 1  y  x    Khi P viết lại thành P  log x  y 1  y  x  x  y   a  log x  y   y  x  b1   2a 1 Để đơn giản ta đặt  x2 y b1 a1 2b b  b2   b  b 1  b 2b Câu 55: Gọi A tập hợp số tự nhiên gồm chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ tập A Thế v|o ta P    Tính xác suất để chọn số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 257 257 127 127 A B C D 90000 18000 90000 30000 Lời giải Gọi số tự nhiên gồm chữ số abcde Chọn a  có cách Chọn b , c , d , e số có 10 cách Nên A  9.10 Gọi B biến cố "chọn tự nhiên gồm chữ số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị 2'' Gọi số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho có chữ số h|ng đơn vị abcd Ta có abcd  10.abcd   abcd  3abcd  abcd chia hết 3abcd  chia hết cho hay 3abcd   7t ,(t  ) 7t  t2  abcd  2t  3 Suy (t  2) hay t   3n  t  3n  3abcd   7t  abcd  Khi abcd  n  mà 1000  abcd  9999 nên 1000  n   9999  Mặt khác n số nguyên  n  143; 144; 145; ; 1427 996 9995 n 7 Nên B  1285 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 39 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 56 : Có tất cặp số thực  x ; y  thỏa mãn đồng thời điều kiện 3 x2  x  log  5 y    ?   y  y    y    A D C B Lời giải x2 2 x 3 x2 2 x 3 3  y4 Từ giả thiết ta suy 5    log 5 5  y   3 x2 2 x 3 5  y     y  3  y  y    y    4 y    y    y     y    y     y    2  y  y    y    4 y    y    y     y    y    2  x  1 Dấu “=” xảy y  3 Thế vào giả thiết ta x  x     x  Vậy tồn số thỏa mãn yêu cầu đề Câu 57: Cho (C m ) l| đồ thị h|m số y  x  3mx  (với m  l| tham số thực) ọi d đường thẳng qua hai điểm cực trị (C m ) Đường thẳng d cắt đường tròn t}m I  1;  bán kính R  hai điểm ph}n biệt A , B ọi S l| tập hợp tất c{c gi{ trị m cho diện tích tam gi{c IAB đạt gi{ trị lớn Hỏi S có tất phần tử ? A B C D Lời giải Ta có d : y  mx  Do x  d  I , d   Vì SIAB  2 m  4m   1  12    2m   12 4m  AB.x  x  x  max x  x  y  0;  Dấu đạt  , AB  R  x   x  2 14 2m 1  1   m    S    1  2 Câu 58: Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn 2z  y Khi biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất, tính log xyz ? P  log 22 xy  log  x y  x z3    y  xy  zy  xz A C 1 B D Lời giải Ta có P  log 22 xy  log  x y  x z3    y  xy  zy  xz  log 22 xy  log  x y  x z3    z  y   x  y   log 2 xy  log  x y  x z  Theo bất đẳng thức AM – GM ta có x y  z3 x  x y z 40 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN      P  log 22 xy  log   x yz    log 22 xy  log  x yz     Trường hợp 1: y  z  P  log 22 xy  log xy    Trường hợp 2: y  z  P  log 22 xz  log xz    Vậy P   , dấu “=” xảy x  , y  z   log xyz  1 16 Câu 59: Cho phương trình sin x  cos x  sin x  cos x  cos x  m  m  Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A B C D Lời giải Điều kiện: cos x  m  Phương trình cho tương đương với  sin x  sin x  cos x   cos x  m  cos x  m   sin x  cos x   sin x  cos x  cos x  m  cos x  m   sin x  cos x   sin x  cos x   cos x  m  2 cos x  m Xét hàm f  t   t  t với t  Ta có f '  t   2t   0, t   Hàm số f  t  đồng biến Mà f  sin x  cos x   f   cos  m , suy sin x  cos x  cos x  m   sin x  cos x   cos x  m   sin x  cos x  m  sin x  cos x  m   Vì sin x  cos x  sin  x      ;  4  m  m  1; 0; 1  Phương trình cho có nghiệm    m   Câu 60: Giả sử k số thực lớn cho bất đẳng thức   x   0;  Khi gi{ trị k là?  2 A B C 1 k    với sin x x  D Lời giải 1 k 1 k Ta có  1    1 2 sin x x  sin x x  1   Xét f  x    , x   0;  sin x x  2 Ta chứng minh f   x    cos x     , x   0;  sin x x  2 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 41 60 CÂU VẬN DỤNG CAO CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT Thật vậy: f   x   sin x  x cos x 0 x sin x    sin x  x cos x  , x   0;   2 sin x      sin x  x cos x , x   0;   g  x    x  , x   0;  cos x  2  2 Ta có g  x       cos x  cos x  1  cos x cos x 2   1  cos x   cos x cos x  2  1   cos x  3  cos x  1 cos x cos x    , x   0;   2   Do g  x   g    Suy f   x   , x   0;   2 k k   Vẽ bảng biến thiên ta suy f  x    , x   0;       k      2 42 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor ...  4n A 41 * | Chinh phục olympic toán B 40 C 51 D 50 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN z2  z2   Câu 16: Cho số phức z0 , z1 , z2... olympic toán B  89 C  79  f  x  dx D 8 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 30: Cho phương trình log  x  x    y  y  x  x Hỏi. .. | Chinh phục olympic toán x A m số thực Để g x    f D m  f   B m    Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 39: Cho số ngun a