Ôn luyện các nhóm câu hỏi vận dụng cao trong đề thi THPTQG môn toán

ĐỀ ƠN LUYỆN CÁC NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA Đề gồm 40 câu trắc nghiệm Quà tặng mừng ngày nhà giáo Việt Nam 20/11 Tuyển chọn 40 câu vận dụng cao có lời giải chi tiết sản phẩm biên soạn, sưu tầm sáng tác nhóm Chinh Phục Olympic Tốn đăng Fanpage Tạp chí tư liệu Toán học Đồng thời quà tặng gửi tới thầy cô nhân ngày nhà giáo Việt Nam, nhóm chúc thầy nước có sức khỏe, hạnh phúc sống, thành đạt cïng việc có ngày 20/11 thật ý nghĩa vui vẻ Xin cảm ơn người! ĐỀ BÀI Câu : Biết tập hợp giá trị m để phương trënh sau cỵ nghiệm đoạn  a ; b  m  2 x    2m    x  m   có nghiệm đoạn  a ; b  Tính giá trị biểu thức S  a  b  3ab ? A B C D Câu 2: Gọi z1  a  bi , z2  c  di nghiệm phương trënh z  2  z  2  đồng thời thỏa mãn ac  bd  Gọi M, n giá trị lớn giá trị nhỏ P  z1 z2 Tính giá trị biểu thức S  M  n 14 13 11 12 C S  A S  B S  D S  5 5 Câu 3: Cho hai hàm f  x  g  x  cỵ đạo hàm  1;  , thỏa mãn f    g     x g  x   2018x   x   f '  x  2  x1   x  1  x  , x   1;  Tính I    g x  f  x   dx  x1 x  1  x  x  g '  x   f  x   2019 x C I  B I  D I  2 Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB  6, BC  12, ABC  600 Thể tích khối chóp A I  C ' ABB ' A ' 216 Gọi M điểm nằm tam giác A ' B ' C ' cho tổng diện tích mặt bên hình chóp M ABC đạt giá trị nhỏ Tính cosin góc đường thẳng B ' M , AC ' ? A 2 B C Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor D Chinh phục olympic toán | SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Câu 5: Hai người bắn độc lập vào mục tiêu, người bắn lần Xác suất trúng người thứ 0,9; người thứ hai 0,7 Tìm giá trị lớn biểu thức M  13 p  10 p , đỵ p xác suất biến cố 169 40 Câu 6: A 528 125 Cho tam giác ABC B 4221 1000 BAC  60 C có D AB, AC biết Biểu thức P  k.MA  MB  MC đạt giá trị nhỏ  AB  AC  với giá trị thực k  k0 Giá trị k nằm khoảng ? 3  B  ;  2  n Câu 7: Cho I n   tan xdx với n  A  0;  r  tan x  r 1 10  tan x  r 10  tan x  r 1 B  C  D  C C C C r r 1 r r 1 r 1 r 1 r 1 Câu 8: Cho hàm số f  x  cỵ đạo hàm liên tục đoạn  1;  thỏa mãn đồng thời điều A   tan x   3 C  1;  D  2;   2 Khi đỵ I  I   I  I   I   I  I 10 bằng? r 1 kiện  f      f     63;  f  x    x  f '  x    27 x , x  1;  Tính giá trị tích phân  2 2  f  x   dx A 15 B 18 C 21 D 25 Câu 9: Cho hàm số f  x  cỵ đạo hàm liên tục đoạn  0; 1 thỏa mãn e f    f      1 2 e x  f '  x     f  x   dx   e x f  x  dx  Tính tích phân  f  x  dx ? 0  e  1  e  1 e  2 e  2 A B C D e e e e Câu 10: Cho x , y hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện  xy  1 xy   y   x  y xy x  2y  Tëm giá trị lớn biểu thức P  ? x  xy  3y  x  y  đồng thời    7 5 7 B C D    30 30 3 30 30 2 Câu 11: Cho hàm số y  f  x  cỵ đạo hàm f   x    x    x  x  với x  A Có giá trị nguyên dương tham số m để hàm số f  x  8x  m  có điểm cực trị? A 15 B 17 C 16 D 18 Câu 12: Biết đồ thị hàm số bậc : y  f  x  cho hënh vẽ sau: | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Tëm số giao điểm đồ thị hàm số y  g  x    f   x    f  x  f   x  trục Ox A B   C D  Câu 13: Cho biểu thức A  log 2017  log 2016  log 2015  log  log 3 log 2   Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng khoảng đây? A  log 2017; log 2018   log 2019; log 2020  D  log 2020; log 2021  B C  log 2018; log 2019  Câu 14: Cho dãy số  un   391  39   1 log  u2    log  u1    40    4  thỏa mãn  2n u   n   un   , n  n 2  n n  n      Giá trị nhỏ n để un  A 235 B 255 * 5100  n2  5100  n3  n  C 233 D 241 Câu 15: Xét tập hợp gồm A  ax  bx  c , ax  bx , ax  c , ax  (trong đỵ a, b, c số ngun dương nhỏ hơn) Lấy ngẫu nhiên tam thức bậc hai thuộc A Tính xác suất để lấy tam thức bậc hai mà ghép hệ số theo thứ tự từ bậc cao tới bậc thấp số chia hết cho 11 220 220 218 218 A B C D 900 999 999 900 2 2017 2017 2018 2018 2 C 2018  C 2018   Câu 16 : Tính tổng S      C2018   C2018  2018 2017 2018 2018 2018 2018 2019 2018 2017 2018 C 4036 C 4036 C 4036 C 4036 A B C D 2019 2017 2018 2018 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11  z  a  bi  a  2b  Câu 17: Cho số phức  thỏa mãn  Tìm z1  z2 biểu thức  z2  c  di c  d  P  z1   4i  z1  z2  z2   4i đạt giá trị nhỏ A  29 B  29 C  29 D  29  z1   i  k  z2   i  k    Câu 18: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn  z1  mi  m  R      z2  R  đạt giá trị nhỏ Tìm k biểu thức P  z1 z2 A k  B k  3 C k  4 D k  Câu 19: Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo điểm , z , 1 z  z z 35 Biết z có phần thực dương diện tích hình bình hành Tìm GTNN z  37 z A 53 20 B 60 37 C 22 D 50 37 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD cỵ đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích lại Tính tỉ số k  A lần phần 13 IA ? IS B C D Câu 21: Cho đa giác gồm 100 đỉnh Tính số tam giác tù chọn từ đỉnh đa giác trên? A 117600 B 117800 C 116700 D 117670 Câu 22: Cho hai số thực x , y  thỏa mãn điều kiện: log 2  x  y   log 2 x  y x2  4y   log  4xy   Giá trị lớn biểu thức f  x , y   xy  x  y  x  y bằng? A B C D Câu 23 Cho phương trënh tan x   sin x  cos x   m  sin x  cos x  Có giá trị nguyên tham số m đoạn  2018; 2018 để phương trënh cỵ   nghiệm thuộc  0;  ?  2 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN A 2015 B 2016 C 2018 D 4036 cos x Nghiệm Câu 24: Cho phương trënh 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x   tan x a dương nhỏ phương trënh cỵ dạng với a , b số ngun nguyên tố b Tính S  a  b A S  B S  C S  D S  Câu 25: Cho số thực a,b,c thỏa mãn  a , b , c  Khi đỵ trị nhỏ biểu thức m m P  log a b  log b c  log c2 a viết dạng , với m,n số nguyên dương n n phân số tối giản Hỏi T  m  n có giá trị bao nhiêu? A 171 B 89 C 195 D 163 Câu 26: Có số nguyên m   2018; 2018 để phương trënh x 1 8  x  m có nghiệm thực phân biệt? A 2013 B 2012 C 4024 D 2014 Câu 27: Giả sử số tự nhiên n  thỏa mãn đẳng thức tëm n? C2 C4 C6 C n2 C 2n 4096 C 20n  n  n  n   n  n  2n  2n  13 A n  B n  C n  D n  3k 15 18  3C 20  6C 20   3kC 20   15C 20  18C 20 Câu 28: Tính tổng S  C 20 ? A S  10.2 20  13 B S  10.2 20  14 C S  Câu 29: Cho hàm số f  x  cỵ đạo hàm 10.2 21  13 D S  10.2 19  13 \b hàm số g  x  cỵ đạo hàm Biết đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hënh vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  , S   h  x  b    h  b  x    2h  c    h  c   với a,b,c số 2 thực biết Khẳng định với x  là? y y  f x y  g  x  O a b Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor c x Chinh phục olympic toán | SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Câu 30: Cho số thực thỏa mãn x   2;  ; y   0;  ; z   1; 5 Khi đỵ giá trị lớn biểu thức T   x y z A 10    log  x    log  y    log z  bằng? B 11 C  14 D 12 Câu 31: Cho  a   b   a hàm số y  g  x    0;   Biết đồ thị hàm số f x   x  1 f  cỵ đạo hàm y  f  x  hënh vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b  1 y y  f x n m a O A g  x   f  b 1  m f B g  x    a 1  b C g  x   n x f  b 1 m  D 10  g  x   Câu 32: Cho số thực dương a,b,c,m,n,p thỏa mãn điều kiện 2017 m  2017 n  32017 p  a  4b  3c  42 Đặt S  A 42  S  7.6 2018  2a 2018 m B S  2018   2b  n 2018  3c 2018 khẳng định là? p C  S  7.6 2018 D  S  42 Câu 33: Có cặp số nguyên a , b để phương trënh sau với x a  cos x    b  cos  ax  b     A | Chinh phục olympic toán B C D Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN  p  x   p  x    Câu 34: Cho hệ phương trënh  vô nghiệm p    ; a    b ;   x  Tính giá trị biểu thức A  a  b A 10 B C 13 D 16 Câu 35: Cho dãy số  un  xác định u1  ; un  un 1  3n  Cïng thức số hạng tổng quát dãy số cho biểu thức cỵ dạng a.2 n  bn  c , với a , b , c số nguyên, n  ; n  Khi đỵ tổng a  b  c cỵ giá trị A 4 B C 3 D Câu 36: Một ngày đẹp trời, lúc dạo công viên, cầm khối cầu tay, nhà khoa học yêu đẹp nảy û tưởng muốn tạo khối nón nội tiếp khối cầu cỵ bán kình R đựng loại dung dịch X ông chế tạo vào đỵ, cho thể tích dung dịch X chứa X lớn Sau chế tạo xong, lúc mải ngắm tác phẩm mình, nhà khoa học vï tënh làm vỡ khối cầu thủy tinh, ïng thu hồi lại lượng dung dịch X quý giá Lần này, rút kinh nghiệm, lượng dung dịch X đỵ, nhà khoa học muốn chế tạo hộp loại kim loại chịu lực suốt để đựng dung dịch Ơng có hai lựa chọn cho hộp kim loại mình, có dạng hình hộp chữ nhật có dạng khối trụ Tuy nhiên, kinh phí cịn lại ơng có hạn, cịn giá thành kim loại đỵ lại đắt Ông muốn chi phí sản xuất kim loại cấu thành hộp bé nhất, phải chứa lượng dung dịch X cỵ mình.Hãy giúp nhà khoa học tính tốn xem diện tích tồn phần nhỏ hộp kim loại bao nhiêu? A 3R 11 38 B R2 11 38 C 3R 26 34 D R 26 34 Câu 37: y 11 –2 –1O –1 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor x Chinh phục olympic tốn | SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Cho hàm số f  x  cỵ đồ thị hënh vẽ đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  Biết f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  A  B  C 2 D 4 Câu 38: Cho hàm số y   x  3x  C  Tìm điểm đường thẳng 3  d  : y  ax  b qua gốc tọa độ tạo với đường thẳng y  x góc 150 mà từ đỵ kẻ đến C  tiếp tuyến  1 1  A  ;  ;  1;   5   1 1  C  ;  ;  1; 1  5  1 1 B  ;  ;  1;  5 5  1  D  ;  ;  1; 1   5 8x  a  bx  c   c   tan x Biết đồ thị hàm số cỵ x  x 1 Câu 39: Cho hàm số f  x   đường tiệm cận (chỉ tính tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Số giá trị nguyên tối đa cỵ thể tham số a thỏa mãn toán là? A B C 10 Câu 40: Cho tích phân I   11 7  D  x   11  x dx , gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ I Tính S  M  m ? A 54  108 | Chinh phục olympic toán B 36  108 C  54 D  36 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ VẬN DỤNG CAO Câu : Biết tập hợp giá trị m để phương trënh sau cỵ nghiệm đoạn  a ; b  m  2 x    2m    x  m   có nghiệm đoạn  a ; b  Tính giá trị biểu thức S  a  b  3ab ? A B C D Giải Biến đổi phương trënh đầu tương đương PT  m  Vì  x3   1x  2 x   1x 1 2 x   1x 1  x   sin      nên đặt      0;       x  2cos    t   0; 1 đỵ   trở thành 2t  t2  1 sin   2cos  t  8t  20t   t2 m  1t    2 2t 1t sin   4cos  3t  4t  3  3t  4t     1  t2  t2 Đặt t  tan Xét f  t   20t  60t  24t  84  0; đoạn được: f t   0, t   0; 1 Suy     3t  4t  ( 3t  4t  5)2 f    f  t   f  1  f t  4 4 f t   f t             m 15 3 15 3 3 Câu 2: Gọi z1  a  bi , z2  c  di nghiệm phương trënh z  2  z  2  đồng thời thỏa mãn ac  bd  Gọi M, n giá trị lớn giá trị nhỏ P  z1 z2 Tính giá trị biểu thức S  M  n 14 13 11 12 C S  A S  B S  D S  5 5 Giải Gọi A  z1  , B  z2  , ac  bd   OA.OB   OA  OB 1 z1 z2  OA.OB  2 Trường hợp 2: Xét hai điểm A,B nằm hai đường vng góc y  kx , y   x k Trường hợp 1: Xét A,B nằm hai trục tọa độ ta có: P   x2 y 1   9k k2  2 Tọa độ điểm A thỏa mãn   x   y   OA  A A 9k  9k  9k   y  kx  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 k2  1 Tương tự OB  Theo giả thiết ta có: P  z1 z2  SOAB  2 9k  k  1  9k   k    k2  10  9k  1 k     k  1  S  23 Dấu “=” xảy A,B Theo AM – GM ta có  k  1 k    10  k    S  Theo Cauchy – Shwarz ta có giao điểm elip với trục tọa độ hoán vị min P   10 Vậy hai trường hợp ta có  max P   Câu 3: Cho hai hàm f  x  g  x  cỵ đạo hàm  1;  , thỏa mãn f    g     x g  x   2018x   x   f '  x  2  x1   x  1  x  , x   1;  Tính I    g x  f  x   dx  x1 x  1  x g ' x  f x  2019 x      x  1 A I  C I  B I  D I  2 Giải Bài tương đối khỵ khăn hàm độc lập, nhiên ta ý bám sát û tưởng toán mục này!   x  1 f ' x  2018 g x     x   x  1 Từ giả thiết ta có  Cộng lại vế theo vế ta được:  x  x  g '  x   x f  x   2019     x  1  x g x  g ' x f '  x   f  x         x1 x   x     x    x  1 f x  x  C x  x    x    g  x    f  x    g x    x1 x x    x  2 x1  x  Mà ta lại có f  1  g  1   C  1  I    g x  f  x   dx    x  1 dx  x1 x  1 Câu 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cỵ AB  6, BC  12, ABC  60 Thể tích khối chóp C ' ABB ' A ' 216 Gọi M điểm nằm tam giác A ' B ' C ' cho tổng diện tích mặt bên hình chóp M ABC đạt giá trị nhỏ Tính cosin góc đường thẳng B ' M , AC ' ? A 2 B 10 | Chinh phục olympic toán C D Giải Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Dấu “=” xảy a  15 ; b   k  4 Câu 19: Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo điểm , z , 1 z  z z 35 Biết z có phần thực dương diện tích hình bình hành Tìm GTNN z  37 z A 53 20 B 60 37 C 22 D 50 37 Giải 1 z  z z 35 35 Khi đỵ diện tích hình bình hành OACB S  OA.OB.sin   z sin    sin   37 z 37 Gọi O , A, B, C điểm biểu diễn số phức 0, z , Suy cos     sin    12 37 Áp dụng định lý cosin tam giác OAC ta có 2 1 1 2 z  OC  OA2  OB2  2OA.OB.cos   z   z cos   z   cos  z z z z 12 50 1 Vậy z      z 37 37 z z Dấu “  ” xảy  z  cos   nhỏ 50 37 12 37 12  12  1 1 Chẳng hạn z  sin  arccos   i cos  arccos  37  37  2 2 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 21 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD cỵ đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, phần chứa đỉnh S tích lại Tính tỉ số k  A lần phần 13 IA ? IS B C D Giải Ta có hình vẽ S H A E D I Q M J N A E D M O P B B C F N C F Dễ thấy thiết diện tạo mặt phẳng  MNI  với hënh chỵp hënh ngũ giác IMNJH với MN // JI Ta có MN , AD , IH đồng qui E với EA  ED MN , CD , HJ đồng qui F với FC  FD , ý E , F cố định HS ED IA HS HS Dùng định lí Menelaus với tam giác SAD ta có 1  3.k    HD EA SI HD HD 3k Từ đỵ d  H ,  ABCD  d  S ,  ABCD   HD 3k Suy VHJIAMNCD  VH DFE  VI AEM  VJ NFC  SD 3k  1 Đặt V  VS ABCD S  SABCD , h  d  S ,  ABCD   ta có SAEM  SNFC  S d  I ,  ABCD  d  S ,  ABCD    IA k  SA k  Thay vào ta VHJIAMNCD 22 | Chinh phục olympic toán 21k  25k 3k k 9  V  h  S   h S  3k    k 1 8  3k  1 k  1 Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Theo giả thiết ta có VHJIAMNCD phương trënh k  13 21k  25k 13 , giải  V nên ta cỵ phương trënh  20  3k  1 k  1 20 Câu 21: Cho đa giác gồm 100 đỉnh Tính số tam giác tù chọn từ đỉnh đa giác trên? A 117600 B 117800 C 116700 D 117670 Giải Đánh số đỉnh A1 , A2 , , A100 Xét đường chéo A1 A51 đa giác đường kính đường trịn ngoại tiếp đa giác chia đường tròn làm hai phần, phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 A52 đến A100 Khi đỵ, tam giác có dạng A1 Ai A j tam giác tù Ai Aj nằm nửa đường tròn  Chọn nửa đường trịn: có cách chọn  Chọn hai điểm Ai , A j hai điểm tùy û lấy từ 49 điểm A2 , A3 , , A50 có C 49  1176 cách chọn Giả sử Ai nằm A1 Aj tam giác A1 Ai A j tù đỉnh Ai Mà A j Ai A1  A1 Ai A j nên kết bị lặp hai lần Có 100 cách chọn đỉnh 2.1176.100 Vậy số tam giác tù  117600 Chú ý: Cho đa giác có n đỉnh Cơng thức tổng quát tính số tam giác tù:  Nếu n chẵn số tam giác tù n.C n2  2  Nếu n lẻ số tam giác tù n.C n2 1 Áp dụng công thức nhanh ta có n.C n2 2  100.C 49  117600 Câu 22: Cho hai số thực x , y  thỏa mãn điều kiện: log 2  x  y   log 2 x  y x2  4y   log  4xy   Giá trị lớn biểu thức f  x , y   xy  x  y  x  y bằng? A B C D Giải Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối ta có: Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 23 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 log 2  x  y   log 2 x  y x2  4y   log  x  y    log  log  x  y     log x2  4y  xy x2  4y    log  x  y    log  x  y   xy Mặt khác theo bất đẳng thức AM – GM ta lại có log  x  y    log  xy    VP  x2  4y     log   log  x  y    Dấu “=” xảy  xy  x  y  Thế vào f  x , y  ta f  x , y   g  x   x  x Ta có g '  x    1 1  x  x   max g  x   g    1;   2x 2 Câu 23 Cho phương trënh tan x   sin x  cos x   m  sin x  cos x  Có giá trị nguyên tham số m đoạn  2018; 2018 để phương trënh cỵ   nghiệm thuộc  0;  ?  2 A 2015 B 2016 C 2018 D 4036 Giải Vì cos x  nên phương trënh tương đương với   tan x   tan x   m  tan x     Đặt t  tan x  , x   0;   t   1;    2 Khi đỵ phương trënh trở thành 3t  t  1  m  t    m  3t  3t t2   t  5t   3t  3t  0, t   1;   Xét hàm f  t   với t   1;   Ta có f '  t   t 2 t2   Lập bảng biến thiên suy phương trënh cỵ nghiệm m     m  3, 4, , 2018  Có 2016 giá trị m m 2018;2018 Câu 24: Cho phương trình 2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x  dương nhỏ phương trënh cỵ dạng cos x Nghiệm  tan x a với a , b số nguyên nguyên tố b Tính S  a  b A S  B S  C S  D S  Giải cos x  Điều kiện:  tan x  24 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN cos x cos x  sin x   cos x  cos x  sin x  Ta có sin x  tan x 1 cos x Do đỵ phương trënh  2017  sin 2018 x  cos 2018 x   sin x  cos x  cos x   sin x  cos x  cos x  cos x  sin x  cos x   2017  sin 2018 x  cos 2018 x   1   cos x   L    sin x  cos x   tan x  1  x    k  k    2017  sin 2018 x  cos 2018 x     2017  sin 2018 x  cos 2018 x   : Vô nghiệm sin 2018 x  cos 2018  a1009  b1009   ab x     2       Nghiệm dương nhỏ 1009  1008 với a  sin x , b  cos x 3  a   S7 b  Câu 25: Cho số thực a,b,c thỏa mãn  a , b , c  Khi đỵ trị nhỏ biểu thức m m , với m,n số nguyên dương P  log a b  log b c  log c2 a viết dạng n n phân số tối giản Hỏi T  m3  n có giá trị bao nhiêu? A 171 B 89 C 195 D 163 Giải Theo bất đẳng thức AM – GM ta có: 1  P  log a b  log b c  log c2 a  log a b log b c  log c2 a  log a c  log c2 a 4 1 1 1  log a c  log c2 a  log a c  log a c  log a c  log a c  log c2 a 4 4 4 1 1 log a c log a c log a c log a c log c2 a  4 4 4 Vậy giá trị nhỏ P  , đỵ T  189  55 Câu 26: Có số nguyên m   2018; 2018 để phương trënh x    x  m có nghiệm thực phân biệt? A 2013 B 2012 C 4024 D 2014 Giải 3 x 1 x 1 Phương trënh tương đương với m    x Hàm số f  x     x 2 hàm số chẵn đỵ ta cần xét nửa khoảng  0;   để suy bảng biến thiên hàm số f  x  tập số thực Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 25 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Xét hàm số  x1 3x x1   x  2   g  x   ln  3x  x   x 1 f x    x    f '  x    x 1 2 2 ln  3x    x    2 x    x   x    Ta có g '  x   x  ln x   ln 2   0, x  2, g    ln   0, g    16 ln   nên phương trënh g  x   có nghiệm x0   2;  Vẽ bảng biến thiên cho hàm số f  x  ta suy phương trënh cỵ nghiệm thực m    m  7, 8, , 2018  m  f  x   x0    x   Câu 27: Giả sử số tự nhiên n  thỏa mãn đẳng thức tëm n? C2 C4 C6 C n2 C 2n 4096 C 20n  n  n  n   n  n  2n  2n  13 A n  B n  C n  D n  Giải C 22n C 24n C 26n C n2 C 2n 8192     n  n  2n  2n  15  C 20n  C 21n x  C 22n x   C 22nn x n Giả sử số tự nhiên n  thỏa mãn C 20n  Ta có:   x  2n   1  x 2n 1  x  Mặt khác 1  1  x n1 2n   1   dx   C 20n x  C 21n x  C 22n x   C 22nn x n1  2n   0 2 n1 1 1     C 20n x  C 21n x  C 22n x   C 22nn x n  2n   0  1 2n  2  2C 20n  C 21n  C 22n   C 22nn   2n  1 2n 1   dx   C 20n x  C 21n x  C 22n x   C 22nn x n1  2n   0  2 2  2C 20n  C 21n  C 22n   C 22nn   2n  2n  Lấy   trừ   , ta được:  C21n C24n C26n C22nn2 C22nn  2 n1 2 n1 4096  n    C2 n         2n  13 2n  2n  2n    3k 15 18  3C 20  6C 20   3kC 20   15C 20  18C 20 Câu 28: Tính tổng S  C 20 ? A S  10.2 20  13 B S  10.2 20  14 C S  10.2 21  13 D S  10.2 19  13 Giải 26 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN 19 20  xC 20  x 2C 20   x 19C 20  x 20C 20 Xét khai triển  x    C 20 20 19 20  xC 20  3x 2C 20   19x 18C 20  20x 19C 20 Đạo hàm hai vế ta có 20  x    C 20 * 19 19 20  x 2C 20  3x 3C 20   19x 19C 20  20x 20C 20 Nhân hai vế  *  với x ta có 20x  x    xC 20 19 19 20  2C 20  3C20   19C20  20C20 Cho x  ta 20.2 19  C 20 1  i Đặt a    Cho x  a ta có 2 19 19 20 20 a   a   aC 20  a2C 20  3C 20  19 aC 20  20 a2C 20 2 19 20 Cho x  a ta có 20 a2   a2   a2C 20  aC 20  3C 20  a2C 20   19 a 2C 20  20 aC 20  3 19 19 19 Cộng vế theo vế   ,   ,   ta có 20  19  a   a   a2   a2    3S  C 20    a   a 19  a   a 19   a 39  1 10.2 20  Mặt khác   S   13 19 2 19 21  a   a   a   a    a  1 Câu 29: Cho hàm số f  x  cỵ đạo hàm \b hàm số g  x  cỵ đạo hàm Biết đồ thị hai hàm số y  f '  x  , y  g '  x  hënh vẽ Đặt h  x   f  x   g  x  , S   h  x  b    h  b  x    2h  c    h  c   với a,b,c số 2 thực biết Khẳng định với x  là? y y  f x y  g  x  O a b c x A S   h  c  ; h  a  c   B S  h  c  C S   h  c  ; h  a  b   D S   h  a  ; h  c   Giải x  a Từ đồ thị cho ta suy h '  x   f '  x   g '  x  ; h '  x    f '  x   g '  x    x  c Lập bảng biến thiên ta có Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 27 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11  x a h ' x   +  c b +  h c  h x h  a   Lại có S   h  b  x   h  c   h  b  x   h  x  b   h  c  Câu 30: Cho số thực thỏa mãn x   2;  ; y   0;  ; z   1; 5 Khi đỵ giá trị lớn biểu thức T   x y z A 10    log  x    log  y    log z  bằng? B 11 C  14 D 12 Giải Theo Cauchy – Schwarz , ta có:  x y z  Dấu "  " xảy khi: 2 1     1 x  y  2z        x  y  2z    x  y  2z  2 2    x  y  z  x  y  4z  1  x  y  z    log  x  1  log  y  1  log z   T   x  y  2z  log  x    log  y    log z   T   x  y  2z  log  x    log  y    log z  5  T   x  log  x      y  log  y      z  log z  2 Áp dụng kết quan trọng x   a   log a x   0, x   1; a  Dấu “=” xảy x  Suy T  x  log  x      x    log  x        x  a   y  log  y      y    log  y       T  10   z  log z   z  log z     Dấu “=” xảy x  y  z  Câu 31: Cho  a   b   a hàm số y  g  x    0;   Biết đồ thị hàm số f x f   x  1  cỵ đạo hàm y  f  x  hënh vẽ Khẳng định sau với x   a  1; b  1 28 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TOÁN y y  f x n m a O A g  x   f  b 1 m  B g  x   f  a 1 b  x C g  x   n f  b 1  m D 10  g  x   Giải Ta có x   a  1; b  1   x     a ; b  , dựa vào đồ thị ta có 1 m  f  x  1  n    n f  x  1 m     Mặt khác  a   b   a dựa vào đồ thị ta thấy f  x  đồng biến  a  1; b  1 nên ta có f   a   f x  f  f  b   g x   b 1  m Câu 32: Cho số thực dương a,b,c,m,n,p thỏa mãn điều kiện 2017 m  2017 n  32017 p  a  4b  3c  42 Đặt S  A 42  S  7.6 2018  2a 2018 m B S  2018   2b  2018  n 3c 2018 khẳng định là? p C  S  7.6 2018 D  S  42 Giải Đặt m  x 2017 ; n  y 2017 ; p  z 2017 ; x  y  3z  7; a  b  3d  21  c  d    a 2018 2 2017   2018 x  2018 x   2018 x   2.2018.6 2017.2 a x    a 2018  Theo AM – GM ta có 2 2017   2018 y  2018 y   2018 y   2.2018.6 2017.2 b y   a 2018 3     2018 y  2018 y   2018 y   3.2018.6 2017.2 d 2017  y Mặt khác 2017.6 2018  x  y  z   2017.7.6 2018  S  2.2018.6 2017  a  b  3d   2017.6 2018  x  y  z   2.2018.6 2017.3.7  2017.7.6 2018  7.6 2018  x  y  z  m  n  p  Dấu “=” xảy    a  b  d  2 a  2b  c  Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic tốn | 29 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Câu 33: Có cặp số nguyên a , b để phương trënh sau với x a  cos x    b  cos  ax  b     A B C D Giải Giả sử phương trënh   với x nên với x    b  cos  b   b  Khi đỵ phương trình (1) trở thành: a  cos x    cos ax    (   với x a  ) Vậy ta cần xét a  Do   với x nên x   x  có: 2 ( a  ) ta có a 2 2 2   a  cos     cos 1  2m  a    a a a m   cos ax   a  k Do a   a  k   Trong   thay x  Từ   ,   k , m nguyên nên a  1 Thử lại ta thấy có a  b  a  b  thỏa mãn Vậy có cặp số nguyên  a ; b  để pt   với x  p  x   p  x    Câu 34: Cho hệ phương trënh  vô nghiệm p    ; a    b ;   x   Tính giá trị biểu thức A  a  b A 10 B C 13 D 16 Giải Ta có hệ phương trënh cho vï nghiệm  f  x    p  x   p  x    với x     p  1 p     f  1    p   Giả sử   , ta cỵ  f      p  p     p    f      p  1  Thử lại, ta có:  ) Nếu p  đỵ p  x  với x Do x   p  x   1   p  x   p  x    với x   ) Nếu p  Do x   p  x  p  x   (do x  1 )   p  x   p  x    với x  Vậy a  0, b   A  30 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Câu 35: Cho dãy số  un  xác định u1  ; un  un 1  3n  Cïng thức số hạng tổng quát dãy số cho biểu thức cỵ dạng a.2 n  bn  c , với a , b , c số nguyên, n  ; n  Khi đỵ tổng a  b  c cỵ giá trị A 4 B C 3 D Giải Ta có un  un 1  3n   un  3n   un1   n     , với n  ; n  Đặt  un  3n  , ta có  vn1 với n  ; n  Như vậy,   cấp số nhân với cïng bội q  v1  10 , đỵ  10.2 n1  5.2 n Do đỵ un  3n   5.2 n , hay un  5.2 n  3n  với n  ; n  Suy a  , b  3 , c  5 Nên a  b  c    3    5   3 Câu 36: Một ngày đẹp trời, lúc dạo công viên, cầm khối cầu tay, nhà khoa học yêu đẹp nảy û tưởng muốn tạo khối nón nội tiếp khối cầu cỵ bán kình R đựng loại dung dịch X ông chế tạo vào đỵ, cho thể tích dung dịch X chứa X lớn Sau chế tạo xong, lúc mải ngắm tác phẩm mình, nhà khoa học vï tënh làm vỡ khối cầu thủy tinh, ïng thu hồi lại lượng dung dịch X quý giá Lần này, rút kinh nghiệm, lượng dung dịch X đỵ, nhà khoa học muốn chế tạo hộp loại kim loại chịu lực suốt để đựng dung dịch Ơng có hai lựa chọn cho hộp kim loại mình, có dạng hình hộp chữ nhật có dạng khối trụ Tuy nhiên, kinh phí cịn lại ơng có hạn, cịn giá thành kim loại đỵ lại đắt Ơng muốn chi phí sản xuất kim loại cấu thành hộp bé nhất, phải chứa lượng dung dịch X cỵ mình.Hãy giúp nhà khoa học tính tốn xem diện tích tồn phần nhỏ hộp kim loại bao nhiêu? A 3R 11 38 B R2 11 38 C 3R 26 34 D R 26 34 Giải Ta tëm lượng dung dịch X lớn mà nhà khoa học đựng khối nỵn nội tiếp khối câu bán kình R Rõ ràng hai khối nỵn cỵ bán kình thë đáy nội tiếp khối cầu khối nón có chiều cao lớn thë thể tích, nên ta xét khối nón có chiều cao lớn hai khối nỵn đỵ Giả sử khối nỵn cỵ đáy hënh trín bán kình r Gọi x với  x  R khoảng cách từ tâm khối cầu đến đáy khối nỵn Khi đỵ chiều cao lớn khối nón nội tiếp khối cầu với đáy hënh trín bán kình r h  R  x Khi đỵ bán kënh đáy nỵn r  R  x , suy thể tích khối nón Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 31 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 V 1 r h    R  x   R  x     R  x  R  x  R  x     R  x  R  x  R  2x  3 R O x R r Theo bất đẳng thức AM – GM ta có 1  R  x  R  x  R  2x  32 V    R  x  R  x  R  x     R 6 27 81 Đây chình lượng dung dịch X mà nhà khoa học đựng khối nón lúc ban đầu Ta tìm diện tìch toàn phần nhỏ hộp kim loại đựng lượng dung dịch X nỵi trên, 32 với V  R 81 TH1: Hộp kim loại hình trụ Khi đỵ V 2V V  R h  h  , Stp  R  Rh  R  R R V V Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương R , , , ta có R R V V Stp  R    3 V R R   TH2: Hộp kim loại hình hộp chữ nhật, đỵ V V V V V  , Stp  ab   a  b  h  ab  a  2b   ab    ab ab ab a b  V V Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương ab , , ta có a b V V  Stp   ab     2.3 V a b  V  abh  h  So sánh 3 V V ta có 3 V  V Vậy diện tích tồn phần nhỏ hộp kim loại 3 V Từ thay V  32 | Chinh phục olympic toán 2048 11 32  3R R vào, ta Stp  3R 6561 81 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHĨM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Vậy đáp án A Câu 37: y 11 –1O –1 –2 x Cho hàm số f  x  cỵ đồ thị hënh vẽ đồng thời f  x    f  x   x  x   x   *  Biết f  x   ax  bx  c ; g  x   mx  nx  p f  x   g  x   Tìm giá trị nhỏ hàm số g  x  A  B  C 2 D 4 Giải Từ  *  ta thay x   f    f   a  b  Ta có x   y  1  c  1   x  2, y  11  f  x   x  x  c    Mặt khác x  x   g  x    m  x    n  x  1  p  mx  2mx  m  nx  n  p m  m  1    2  n  1  n   g  x   x  x ; g '  x   x  1; g '  x    x   p  1  n  p   Vậy giá trị nhỏ g  x    Câu 38: Cho hàm số y   x  3x  C  Tìm điểm đường thẳng 3  d  : y  ax  b qua gốc tọa độ tạo với đường thẳng y  x góc 150 mà từ đỵ kẻ đến C  tiếp tuyến  1 1  A  ;  ;  1;   5  1 1 B  ;  ;  1;  5 5  1 1  C  ;  ;  1; 1  5   1  D  ;  ;  1; 1   5 Giải Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 33 SẢN PHẨM KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Ta có y  x tạo với Ox góc 30   d  tạo với Ox góc 450  a   y  x (qua O) M   d  M  x0 ; x0  Phương trënh đường thẳng  qua M : k  x  x0   x0 ,  tiếp xúc với C   5   x  3x   k  x  x0   x   x  x    5 x  x   x  x   x  3 5x  6x  k  10  x    5x0  x  6x0 x  x0     x    10x  15x0 x  3x0  x    3 Suy để kẻ tiếp tuyến 10x  15x0 x  3x0  x  có nghiệm  10x   15x0   x  3x0    x   N     225x0   30x  120x0  40    1 1  Ta có   M1  ;  ; N  1;    5  x  x  13  L   15 Câu 39: Cho hàm số f  x   8x  a  bx  c   c   tan x Biết đồ thị hàm số cỵ x  x 1 đường tiệm cận (chỉ tính tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Số giá trị nguyên tối đa cỵ thể tham số a thỏa mãn toán là? A B C 10 D Giải Hàm y  tan x hàm có vơ số tiệm cận đứng muốn có hàm số f  x  cỵ hai tiệm cận hệ số hàm tanx phải  c  Khi hàm số trở thành: f x  8x  a  bx  c x  x  1 20   c   tan x  8x  a  bx  c x  x  1 20 Hàm số có TCN: y  (khi x   ) Yêu cầu toán tương đương hàm số có đường TCĐ Xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Tử số có nghiệm x   a    a  Trường hợp 2: Tử số có nghiệm kép x  Suy  8 a b3    a  1 VN   3 0     8a  b   b  8 a   a   a   8a 2  a Trường hợp 3: Điều kiện xác định thức chứa nghiệm mẫu số Cụ thể là: a  0  a   8  a  8x  a   x  Suy  1   a  34 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN a  Kết hợp trường hợp giá trị nguyên a thỏa mãn toán  a   8  a  1 Suy có tất 10 giá trị nguyên tham số a thỏa mãn Câu 40: Cho tích phân I   11 7   x   11  x dx , gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ I Tính S  M  m ? A 54  108 C  54 B 36  108 D  36 Giải Đặt y  x   11  x với x   7; 11 Ta có y  1  0x2 x  11  x Nhận thấy y’ khïng xác định 7; 11 , vẽ bảng biến thiên ta có  11 7  2  18dx    54 11 7 11 7 18  y   11  x  dx  108 11 x   11  x dx   6dx 7 x7  Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor Chinh phục olympic toán | 35 ... Chinh phục olympic toán B 36  108 C  54 D  36 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ VẬN DỤNG CAO Câu : Biết tập hợp... b 20 | Chinh phục olympic toán Tinh hoa tốn học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Dấu “=” xảy a  15 ; b   k  4 Câu 19: Trong mặt phẳng phức, xét hình... Chinh phục olympic toán 2048 11 32  3R R vào, ta Stp  3R 6561 81 Tinh hoa toán học nằm tự – Georg Cantor TUYỂN TẬP MỘT SỐ NHÓM CÂU HỎI VẬN DỤNG CAO MƠN TỐN Vậy đáp án A Câu 37: y 11 –1O –1