Câu 6: Di ện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?. Câu 7: Di ện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công [r]
(1)Tailieumontoan.com
Điện thoại (Zalo) 039.373.2038
CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
(2)I KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tính diện tích hình phẳng
Dạng : Biết cận tích phân
Cho miền D giới hạn đồ thị hai hàm y=f (x), y=g(x) hai đường thẳng x=a, x=b, (a<b)
Khi diện tích miền D :
b
a
S=∫ f (x)−g(x) dx
• TH 1: Nếu f (x) g(x)− =0 vơ nghiệm ( )a; b [ ]
b
a
S= ∫ f (x) g(x) dx−
• TH 2: Nếu f (x) g(x)− =0 có nghiệm a<x1<x2 < < xn <b :
[ ] [ ] [ ]
1
1 n
x x b
a x x
S= ∫ f (x) g(x) dx− + ∫ f (x) g(x) dx− + + ∫ f (x) g(x) dx−
• Chú ý: Nếu g(x)=0 (trục Ox)
b
a
S=∫ f (x) dx
(3) Dạng 2: Chưa biết cận tích phân
Cho miền D giới hạn đồ thị hai hàm y=f (x), y=g(x)
+ Giải phương trình f (x) g(x)− =0 tìm nghiệm x1<x2 < < xn
+ Tình [ ] [ ] [ ]
3
2 n
1 n
x
x x
x x x
S f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx f (x) g(x) dx
−
= ∫ − + ∫ − + + ∫ −
Chú ý: Nếu biết cận ta tìm cận cịn lại
Dạng 3: Miền cần tính giới hạn đồ thị
+ Tìm giao điểm cặp đồ thị
+ Vẽ đồ thị xác định miền D
+ Chia miền D để tính diện tích phần cộng lại
(4)Hình elip Hình parabol
Cho elip có phương trình
2
2
x y
1
a + b = ,
khi diện tích elip : S= πab
Diện tích parabol có chiều cao h bán kính
đáy r là: S 4r.h =
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Câu hỏi lý thuyết ứng dụng hình học tích phân Xây dựng cơng thức tính diện tích theo hình vẽ
Diện tích hình phẳng y=f(x), Ox Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x)
Diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x), y=h(x) Diện tích hình phẳng dựa vào đồ thị
…
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường
2
2 , 1,
y= x y= − x= x= tính cơng thức đây?
A ( )
1
0
2 d
S=π∫ x + x B. ( )
1
0
2 d
S=∫ x − x
C ( )
1
2
0
2 d
S=∫ x + x D. ( )
1
0
2 d
S=∫ x + x
Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong 2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Xác định đường giới hạn hình phẳng y= f x1( ), y= f x2( ), x=a, x= b
( )
1
y= f x = x , y= f2( )x = −1, x= = a x= = b
(5)1( ) 2( )
b
a
S =∫ f x − f x dx ⇒ ( )
1
2
0
2 d d
S=∫ x − − x=∫ x + x
B3:Phân tích để bỏ dấu giá trị tuyệt đối
Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:
Lời giải
Chọn D
Diện tích hình phẳng ( )
1
2
0
2 d d
S=∫ x − − x=∫ x + x
Vì
2x + > ∀ ∈ nên 0, x ( )
1
2
0
2x +1 dx= 2x +1 dx
∫ ∫
Bài tập tương tự phát triển:
Mức độ
Câu 1: Với hàm f x tùy ý liên t( ) ục , a< , diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm b
số y= f x( ), trục hoành đường thẳng x a= , x b= tính theo cơng thức
A. ( )d
b
a
S =∫ f x x B ( )d
b
a
S =π∫ f x x C ( )d
b
a
S = ∫ f x x D ( )d
b
a
S =π ∫ f x x
Lời giải
Chọn A
Theo công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành
và đường thẳng x a= , x b= (a<b) Ta có ( )d
b
a
S =∫ f x x
Câu 2: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y ln x2 x
= , y =0, x= , x= e
Mệnh đề đúng?
A e ln d x S x x π
= ∫ B.
e ln d x S x x
=∫ C
2 e ln d x S x x =
∫ D
2 e ln d x S x x π = ∫
Lời giải
Chọn B
Ta có e ln d x S x x =∫ Vì e 2 ln ln
[1; e], ln x xd
x x S x
x x
∀ ∈ ≥ ⇒ ≥ ⇒ =∫
(6)A [ ]
2
( ) ( ) d
f x g x x
−
−
∫ B [ ]
3
2
( ) ( )
g x f x dx
−
−
∫
C [ ] [ ]
0
2
( ) ( ) d g( ) ( ) d
f x g x x x f x x
−
− + −
∫ ∫ D [ ] [ ]
0
2
( ) ( ) ( ) ( )
g x f x dx f x g x dx
−
− + −
∫ ∫
Lời giải
Chọn C
Từ đồ thị hai hàm số y= f x( ) y=g x( ) ta có diện tích phần hình phẳng tơ màu hình vẽ
là:
2
( ) ( )
S f x g x dx
−
= ∫ −
[ ] [ ]
0
2
0
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) d g( ) ( ) d
f x g x dx f x g x dx
f x g x x x f x x
−
−
= − + −
= − + −
∫ ∫
∫ ∫
Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức nào?
A ( )
0
d
x − x x
∫ B ( )
3
0
2 3 d
x x x
− +
∫
C ( ) ( )
3
2
0
4 d d
x − x+ x− − +x x
∫ ∫ D ( ) ( )
3
0
2
0
2 d 4x d
x x x x
− + + − +
∫ ∫
Lời giải
Chọn B
Ta có ( ) ( ) ( )
3
0
2
3
0
2 d d
x x x x x x x
− + − = −
− + +
(7)Câu 5: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= f x( ), trục hoành, đường thẳng ,
x=a x= (như hình vẽ bên) Hỏi cách tính b S ?
A ( )
b
a
S =∫ f x dx B ( ) ( )
c b
a c
S = ∫ f x dx + ∫ f x dx
C ( ) ( )
c b
a c
S = −∫ f x dx+∫ f x dx D ( ) ( )
c b
a c
S=∫ f x dx+∫ f x dx Lời giải
Chọn B
Theo cơng thức tính diện tích hình phẳng ta ( ) ( )
c b
a c
S = ∫ f x dx + ∫ f x dx
Câu 6: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y=x3−3x, y= Tính S x
A S = B S = C S = 2 D S = Lời giải
Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị
3
x − x=x ⇔x3−4x=0
2
0
2
x
x
x
= − ⇒ =
=
Vậy 0( ) 2( )
2
4 d d
S x x x x x x
−
= ∫ − + ∫ − = + = 4
Câu 7: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y= , 3x y=0,x= ,0 x= Mệnh đề nào đúng?
A.
0
3x
S =∫ dx B
2
0
3 x
S =π∫ dx C
2
0
3x
S =π∫ dx D
2
0
3 x
S =∫ dx
Lời giải
Chọn A
Diện tích hình phẳng cho tính cơng thức
0
3x
S =∫ dx
Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= , trục hoành hai đường thẳng x3
1
x= − , x=
A 1
3 B
1
2 C
2
3 D 1
Lời giải
Chọn B
(8)Khi đó:
1
3 3
1
1
d d d
2
S x x x x x x
− −
=∫ = ∫ + ∫ = (đvdt)
Câu 9: Cho hàm số y= f x( ) liên tục đoạn [ ]a b G; ọi D diện tích hình phẳng giới hạn đồ
thị ( )C : y= f x( ), trục hoành, hai đường thẳng x=a, x=b (như hình vẽ đây) Giả sử
D
S diện tích hình phẳng D phương án A, B, C, D cho đây?
A ( ) ( )
0
0
d d
b D
a
S =∫ f x x+∫ f x x B ( ) ( )
0
0
d d
b D
a
S = −∫ f x x+∫ f x x
C ( ) ( )
0
0
d d
b D
a
S =∫ f x x−∫ f x x D ( ) ( )
0
0
d d
b D
a
S = −∫ f x x−∫ f x x
Lời giải
Chọn B
Ta có ( ) ( ) ( )
0
0
d d d
b b
D
a a
S =∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x
Vì f x( )≤ ∀ ∈0, x [ ] ( )a; ,f x ≥ ∀ ∈0, x [ ]0;b nên:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
d d d d
b b
D
a a
S = −∫ f x x+∫ f x x= −∫ f x x+∫ f x x
Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=(x−2)2− , trục hoành hai đường thẳng
1,
x= x=
A 2
3 B
3
2 C
1
3 D
7
Lời giải
Chọn A
Ta có: ( ) ( )
2 2
2 2
1 1
2
2 d d d
3
S=∫ x− − x=∫ x − x+ x=∫ x − x+ x =
Mức độ
Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y=x3+11x− y=6x2
A 52 B 14 C 1
4 D
1
(9)Chọn D
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị :
11 6
x + x− = x
1
2
3
x
x
x
= ⇔ =
=
Diện tích hình phẳng : ( ) ( )
2
3
1
6 11 6 11
S= ∫ x − x + x− dx + ∫ x − x + x− dx
2
4
3
1
11 11
2 6
4
x x
x x x x x x
= − + − + − + −
1 1
4
= + =
Câu 2: Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn hai đồ thị hàm số
( ) ; ( )
f x = x g x = −x hình sau
A
3
S = B 10
3
S = C 11
3
S = D
3
S =
Lời giải
Chọn B
( ) ( )
4
4
2
0 2
2 10
2 2
3
x
S = x− −x dx= x− −x dx= x − + x =
∫ ∫
Câu 3: Tính diện tích S hình phẳng (H) giới hạn đường cong y= − +x3 12x y= − x2
A. 937
12
S= B 343
12
S = C 793
4
S = D 397
4
S=
Lời giải
Chọn A
Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường cong:
3 2
0
12 ( 12)
4
x
x x x x x x x
x
= − + = − ⇔ − − = ⇔ = −
=
Diện tích cần tìm là:
4
3 3
3
12 d 12 d 12 d
S x x x x x x x x x x x x
− −
=∫ − − =∫ − − +∫ − −
O x
(10)( ) ( )
0 4
3 2
3
12 d 12 d 6
4
x x x x
x x x x x x x x x x
− −
= − − + − − = − − + − −
∫ ∫
99 160 937
4 12
− −
= + =
Câu 4: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( ):
1 x H y x − =
+ trục tọa độ Khi giá trị S
A S =2 ln 1− B S =ln 1+ C S =ln 1− D S =2 ln 1+
Lời giải
Chọn A
( )
: − = + x H y
x , ( )H cắt trục Ox Oy, A( )1; , B(0; 1− )
Gọi ( )K hình phẳng giới hạn đường 1, 0,
1 −
= = =
+
x
y y x
x Suy 1 dx − = + ∫ x S x dx = − +
∫ x (do
1
x x
−
+ không đổi dấu với x∈( )0;1 )
( )4
0 ln
x x
= − + =2 ln 1−
Vậy S=2 ln 1−
Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?
A. ( )
0
3
3 d
x x x
−
+
∫ B. ( )
0
3
3 d
x x x
−
− −
∫
C. ( )
0
3
5 d
x x x
−
− − +
∫ D. ( )
0
3
5 d
x x x
−
+ −
∫
Lời giải
(11)Ta thấy: ∀ ∈ −x [ 3; 0]:
1
x− ≥x + x− nên
( ) ( )
0
2
3
1 d
S x x x x
−
= ∫ − − + − ( )
0
3
3 d
x x x
−
= ∫ − −
Câu 6: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?
A. ( )
1
3
1
2x 3x dx
−
− + −
∫ B ( )
1
3
1
2x x 2x dx
−
− + −
∫
C. ( )
1
3
1
2x 3x dx
−
− +
∫ D. ( )
1
3
1
2x x 2x dx
−
− + − +
∫
Lời giải
Chọn C
Ta thấy: 1;1
x
∀ ∈ − :
3 2
2x −2x + − ≥x x + −x nên
( ) ( )
3
3 2
1
2 2 d
S =∫ x − x + − −x x + −x x ( )
3
3
1
2x 3x dx
=∫ − +
(12)A. ( )
3
3
1
5 d
x − x + x− x
∫ B ( )
3
3
1
5 d
x x x x
− + − +
∫
C. ( )
3
3
1
9 d
x x x x
− + + −
∫ D. ( )
3
3
1
9 d
x −x − x+ x
∫
Lời giải
Chọn C
Ta thấy: ∀ ∈x [ ]1;3 :
2x 9x x 3x − + − ≥ − + nên
( ) ( )
3
2
1
2 d
S =∫ − x + x− − x − x + x ( )
3
3
1
9 d
x x x x
= − +∫ + −
Câu 8: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?
A ( )
2
1
2x 2x dx
−
− −
∫ B. ( )
2
1
2x dx
−
− +
∫
C ( )
2
1
2x dx
− −
∫ D. ( )
2
1
2x 2x dx
−
− + +
∫
Lời giải
Chọn D
Từ đồ thị hai hàm số y= − + x2 y=x2−2x− ta có 2
3
x x x
− + ≥ − − , ∀ ∈ −x [ 1; 2]
Diện tích hình phẳng gạch chéo hình vẽ
( ) ( ) ( )
2
2 2
3 d 2 d
(13)Câu 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=4x−x2 trục Ox
A 11 B 34
3 C
31
3 D
32
Lời giải
Chọn D
Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y =4x−x2 trục Ox
Xét phương trình 0
4 0
4 x x x
x =
− = ⇔ =
Ta có
4
4
2 2
0 0
32
4 (4 ) (2 )
3 3
x
S =∫ x− x dx= ∫ x− x dx = x − =
Câu 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số , trục Ox Oy đường thẳng ,
2
x Tính S hình phẳng
A B C D
Lời giải
Chọn B
Ta có:
2
2
2
0
1 1
2
x x
S e dx e e
Mức độ
Câu 1: Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên ?
A 109
6 B
109
3 C
61
12 D
61
Lời giải
Chọn A
2 x
y=e
4
1
e − 1( 1)
2 e −
4
1
2e ( )
4
1
(14)Ta có diện tích hình phẳng: ( )
3 d
S =∫ x+ − x − x+ x=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2
0
3 d d d
x x x x x x x x x x x x
=∫ + − − + +∫ + − − + − +∫ + − − +
( ) ( ) ( )
1
2 2
0
5 d d d
x x x x x x x x x
= − +∫ +∫ − + + − +∫
1
3 3
0
5
6
3 3
13 26 22 109
6 3
x x x x x x
x
= − + + − + + − +
= + + =
Câu 2: Biết parabol ( )P :y2 =2x chia đường tròn ( )C :x2+y2 =8 thành hai phần có
diện tích S , 1 S 2 (như hình vẽ) Khi S2 S1 a b c
π
− = − với , ,a b c nguyên dương b c
phân số tối giản Tính S = + +a b c
A S =13 B S =16 C S =15 D S =14
Lời giải
Chọn C
S1
x y
S2
O
S1
x y
2 2 S2
2
(15)Xét hệ 2 x y y x + = = 2
2
2 x x y x + − = ⇔ = 2 x x y x = − ∨ = ⇔ = 2 x y = ⇔ =
2 2
2
0
2 d d
S = ∫ x x+ ∫ −x x
2 0 16
2 d 2
3
I = x x= x =
∫ 2 2
2 d
I = ∫ −x x
Đặt x=2 cost ⇒dx= −2 sin dt t
2
4
x= ⇒ = , t π x=2 2⇒ =t
( )
0
2
4
2 8 cos 2 sin d
I t t t
π
= ∫ − −
0
16 sin dt t π
= ∫ 4( )
0
8 cos dt t π
= ∫ −
0
1
8 sin
2
t t
π
= −
=2π−4
1
4
3
S I I π
⇒ = + = +
( )2
2
4
2
3
S π S π
⇒ = − = −
2
8
3
S S π
⇒ − = −
Vậy a=4, =8, c=3 ⇒ = + + =S a b c 15
Câu 3: Tìm số thực dương a để hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số
2
6
2
1
x ax a
y
a
+ +
=
+ a ax y a − =
+ có diện tích đạt giá trị lớn
A 2 B
3
2 C 1 D
33
Lời giải
Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số là: 2
2
1
x ax a a ax
a a
+ + = −
+ +
2
3
2
x a
x ax a
x a = − ⇔ + + = ⇔ = −
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số là:
2
2
6
2
3
2
2
1
a
a
a
x ax a x
S dx ax a x
a a a − − − + + = = + + − + + ∫
3 3 3
6
1
2
1 3
a
a a a a a
a
= − + − + − +
(16)=
( )
3
3
1 12 12
6
Cauchy
a a
a
a ≤ =
+ Dấu
6
"= ⇔" a = ⇔ =1 a 1,vì a>
Vậy diện tích S đạt giá trị lớn
12, a=
Câu 4: Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol
3
y= x nửa đường trịn tâm ( )H bán kính
bằng nằm phía trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ bên) Diện tích ( )H được tính
theo công thức đây?
A
2
0
2
S =∫ −x − x dx B
1
2
0
2
S = ∫ −x − x dx
C
2
0
3
S =∫ x − −x dx D
1
2
0
4
S =∫ −x − x dx
Lời giải
Chọn B
Phương trình đường trịn tâm O bán kính là: 2
x +y =
⇒ Phương trình nửa đường trịn nằm phía trục hồnh là:
y= −x với x∈ −[ 2; 2]
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số là:
2 2 4
2
1 ( )
4 3 4
(L)
x TM
x x x x x x x
x
=
− = ⇔ − = ⇔ + − = ⇔ − ⇔ = ±
=
Diện tích hình phẳng ( )H là:
1
2 2
1
4
S x x dx x x dx
−
=∫ − − = ∫ − −
(Vì trục Oy chia hình ( )H thành nửa nhau, có diện tích [−1;1], đồ thị
của nửa đường trịn nằm phía parabol
Câu 5: Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
4
y= − +x x trục hoành Hai đường
thẳng y=m y=n chia (H) thành phần có diện tích nhau( tham khảo hình vẽ) Giá trị biểu thức 3
(4 ) (4 )
(17)A 320
9
T = B 512
15
T = C T =405 D 75
2
T =
Lời giải
Chọn A
*) Chứng minh cơng thức tính nhanh diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm
số
( 0)
y=ax +bx+c a≠ cắt trục hoành điểm x x tr1, ục hồnh (x1 < ) x2
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
( 0)
y=ax +bx+c a≠ trục hoành
2
2
x
x
S =∫ ax +bx+c dx
Không tính tổng qt, sử a<0 Vì đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm
phân biệt x x nên 1, 2 ax2+bx c+ ≥0, x∀ ∈[x x1; 2] Do đó,
2
1
2
( )
x
x
S = ∫ ax + +bx c dx
2
3 3 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
3
x
x
a b a b
x x cx x x x x c x x
= + + = − + − + −
2
2
2 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
a b a b c b b
x x x x x x x x c c
a a a a
∆ −
= − + + + + + = − − + +
2
2
4
6 6
b ac b ac
a a a a a
∆ − + ∆ − ∆ ∆
= − = =
Vậy
3
2 hay
6 36
S S
a a
∆ ∆ ∆
= =
*) Vận dụng công thức tính nhanh vào giải tập:
Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
y= − +x x trục hồnh
Ta có 2 16 16 32
6
S a
∆ ∆
= = =
+) Gọi S di1 ện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
2
4 (P)
y= − +x x y=m
Tịnh tiến (P) xuống m đơn vị ta đồ thị hàm số
y= − +x x−m
Khi S di1 ện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
2
(18)3
2
1
1
36 (16 )
(4 ) (1)
36 36
S m
S m
a
∆ −
= = ⇔ − =
+) Gọi S di2 ện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y= − +x2 (P)x y= n
Tịnh tiến (P) xuông n đơn vị ta đồ thị hàm số
y= − +x x n−
Khi S di2 ện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số
2
y= − +x x− trục Ox n
3
2
2
2
36 (16 )
(4 ) (2)
36 36
S n
S n
a
∆ −
= = ⇔ − =
Theo ta có 1 32; S=2 64
3 9
S S
S = = =
Từ (1) (2) ta có
2 2
3
36( ) 5120 320
4 16 81
S S
T = + = =
Câu 6: Cho Parabol ( )P :y=x2 + đường thẳng d y: =mx+2 với m tham số Gọi m giá tr0 ị
của m để diện tích hình phẳng giới hạn ( )P d nhỏ Hỏi m n0 ằm khoảng
nào?
A 2;
− −
B. ( )0;1 C
1 1;
2 −
D
1 ;3
Lời giải
Chọn C
Phương trình hồnh độ ( )P d x2−mx− =1 1( )
Dễ thấy ( )1 có nghiệm phân biệt Gọi a b a, ( < nghiệm b) ( )1 diện tích
hình phẳng giới hạn ( )P d
( )
2
1 x mx dx x
3
b
b b
a a a
x mx
S = x −mx− dx= − − = − −
∫ ∫
3 2 2
(b a ) (b a)
(b a)
3
b a m b ab a m
b a
− − + + +
= − − − = − − −
= ( ) ( ) ( )
2
2 b a b a
b a
3
ab m
ab + − +
+ − − −
Mà a+ =b m ab, = −1 nên
2
2
4
6 3
m
S = m + + ≥
Do
(19)Câu 7: Cho hàm số y= f x( ) xác định liên tục đoạn [−5;3] có đồ thị hình vẽ bên Biết
diện tích hình phẳng ( ) ( ) ( ) ( )A , B , C , D giới hạn đồ thị hàm số f x tr( ) ục hoành lần
lượt 6, 3, 12, Tích phân ( )
2f 2x 1 dx
−
+ +
∫
A 27 B 25 C 17 D 21
Lời giải
Chọn A
Tính ( ) ( )
1 1
3 3
2f 2x 1 dx f 2x dx dx
− − −
+ + = + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3
d
2
2
x
f x
−
+
= ∫ + ( )
3
5
d
f x x
−
= ∫ +
Mà ( )
5
d
f x x
−∫
diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x( ) trục hoành
Suy ( )
5
d 12 23
f x x
−
= + + + =
∫
Vậy ( )
1
3
2f 2x 1 dx 23 27
−
+ + = + =
∫
Câu 8: Cho b>
0
d d
b b
x
x x= x
∫ ∫ Diện tích phần tơ màu hình bên
A
12 B
1
6 C
1
4 D
1
ời giải
3 -5
y
x O
(D)
(C)
(B)
(20)Chọn B
Vì
0
d d
b b
x x= x x
∫ ∫ nên
2 3
0
0
3
2 3
2
b b b
x x b b
b
=
= ⇔ = ⇔
=
, b> nên ta loại b=
Phương trình hồnh độ giao điểm
y=x y=x x2 = ⇔ = ∨ =x x x
Diện tích phần tơ đậm bị giới hạn đường cong
y=x đường thẳng y=x đoạn
3 1;
2
( )
3
2
1
1 d
6
x −x x=
∫
Vậy diện tích phần tô đen
6
Câu 9: Cho hai hàm số f x( )=ax3+bx2+ − cx ( )
2
g x =dx +ex+ (a b c d e, , , , ∈ Biết đồ )
thị hàm số y= f x( ) y=g x( ) cắt ba điểm có hồnh độ − −3; 1; (tham khảo hình vẽ)
Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích
A. 253
12 B.
125
12 C.
253
48 D.
125 48
Lời giải
Chọn C
( ) ( )
f x −g x = ⇔a x( +3)(x−2)(x+ = 1)
( )( )
4
a x x x
⇔ + + − =
( 6)
a x x x
(21)Đồng hệ số với phương trình ( ) ( )
0
ax + −b d x + −c e x− = ta có:
3
1
1
a
a
−
= ⇒ =
−
( ) ( ) 1( )
2
4
f x g x x x x
⇒ − = + − −
Do ( )( )( )
1 253
3 d
4 48
S x x x x
−
=∫ + + − =
Câu 10: Hình phẳng ( )H được giới hạn đồ thị ( )C của hàm đa thức bậc ba parabol ( )P có trục
đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích
A 37
12 B
7
12 C
11
12 D
5 12
Lời giải
Chọn A
Vì đồ thị hàm số bậc ba đồ thị hàm số bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ y=2,y=0nên ta xét hai hàm số y=ax3+bx2+cx+ ,2 y=mx2+nx
Vì đồ thị hai hàm số cắt điểm có hồnh độ x= −1;x=1;x=2 nên ta có phương trình hồnh độ giao điểm 2 ( )( )( )
2 1
ax +bx + + =cx mx +nx⇔a x+ x− x− =
Với x= ta 20 a= → = a
Vậy diện tích phần tơ đậm là: ( )( )( )
1
37
1 d
12
S x x x x
−
= ∫ + − − =
Mức độ
Câu 1: Cho hàm số f x( )=ax4+bx3+cx2+dx e+ với a≠ g x( )= px2+qx− có đồ thị
hình vẽ bên Đồ thị hàm số y= f x( ) qua gốc tọa độ cắt đồ thị hàm số y=g x( ) điểm có hồnh độ − −2; 1;1 m Tiếp tuyến đồ thị hàm số y= f x( ) ( )−g x điểm có hồnh độ x= − có hệ số góc 15
2
− Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị
hai hàm số y= f x( ) y=g x( ) (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích hình ( )H
(22)A 1553
120 B
1553
240 C
1553
60 D
1553 30
Lời giải
Chọn A
Đặt ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
h x = f x −g x =ax +bx + −c p x + d−q x+ + e
( ) ( ) ( )
4
h x′ = ax + bx + c−p x+ d− q
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị y= f x( ) y=g x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
f x =g x ⇔h x = ⇔ax +bx + −c p x + d−q x+ + = e
Đồ thị hàm số y= f x( ) qua gốc tọa độ cắt đồ thị hàm số y=g x( ) điểm có hồnh độ − −2; 1;1 m nên f ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 =h − =2 h − =1 h =h m = đó:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
0
16
3
3
3
e
a b c p d q
a b c p d q
a b c p d q
am bm c p m d q m e
=
− + − − − = −
− + − − − = −
+ + − + − = −
+ + − + − + + =
Mặt khác, tiếp tuyến đồ thị hàm số y= f x( ) ( )−g x điểm có hồnh độ x= − có hệ số
góc 15
2
− nên ( )2 32 12 4( ) ( ) 15 5( )
h′ − = − a+ b− c−p + d−q = −
Từ (1); (2); (3); (5) ta 2
7 2
a
b
c p
d q
= = −
− = −
(23)Thay vào (4): ( )( )( )( )
3 1
2m −2m −2m +2m+ = ⇔ m− m− m+ m+ =
3
m
⇔ = ( theo hình vẽ m> )
Ngồi ra, ta có ( )
3
2 2
h x = x − x − x + x+
Vậy diện tích hình phẳng cần tính
3 1
2 1
( ) d ( ) d ( ) d ( ) d
113 58 122 1553
120 15 15 120
S h x x h x x h x x h x x
−
− − −
= = + +
= − + + − =
∫ ∫ ∫ ∫
Câu 2: Cho parabol f x( )=x2+2m (với m số thực dương) đường thẳng g x( )=2x Gọi S 1
2
S lần lượt diện tích hai phần gạch chéo hình vẽ Để S1 =2S2 số thực dương m nằm
trong khoảng đây?
A 1;
B
1 ;
C
3 ;1
D
5 1;
4
Lời giải
Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm parabol đường thẳng là: ( )2 ( )
2
2 1 *
x + m= x⇔ x− = − m
Để có phần gạch chéo hình vẽ parabol đường thẳng phải cắt hai điểm
phân biệt ⇔ ( )* phải có hai nghiệm phân biệt 2
m m
⇔ − > ⇔ <
Khi ( )* có nghiệm phân biệt x1 = − −1 ,m x2 = + −1 2m
Vì
m
< < nên 0 x< <1 x2
Suy ( )
1
1 3
2 2
1 1
0 0
2 d 2
3
x x
x x
S = x − x+ m x= −x + mx = −x + mx
(24)( ) (3 ) ( )
1
1 2 1
3
m
m m m
− −
= − − − + − −
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1
3
2 2 3
2 2
1
2 d 2
3
x x
x x
x
S = x−x − m x=x − − mx = x −x − x −x − m x −x
∫
( ) ( ) ( )2
2 1 2
1
2
x x x x x x x x m
= − + − + − −
( )
2 2
1
2 2 2
3
m m
m m m − −
= − − − − =
Vì S1=2S2 nên ( ) ( ) ( ) ( )
3
2
1 8 2 1 2
1 2 1
3
m m m
m m m
− − − −
− − − + − − = ( )**
Dùng CASIO dò nghiệm m> ta m≈0, 41
Câu 3: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn ( )C1 : 3 2
3
y= x − mx − m
( ) 2
2 :
3
x
C y= − +mx − m x Gọi N , n giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S [ ]1;3
m∈ Tính N− n
A 27
4 B
1
12 C
20
3 D
10
Lời giải
Chọn C
Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )C1 ( )C2 :
·
3
3 2
2
3
3
x
x − mx − m = − +mx − m x ⇔ −x3 4mx2+5m x2 −2m3 =0
( ) (2 )
2
2
x m
x m x m
x m = ⇔ − − = ⇔ =
Do m∈[ ]1;3 nên m<2m (x−m) (2 x−2m)≤0, ∀ ∈x [m; 2m]
Diện tích hình phẳng giới hạn ( )C1 ( )C2 là:
( )
2
3 2 3 2
4 d d
m m
m m
S = ∫ x − mx + m x− m x= −∫ x − mx + m x− m x
2
4 2
3
4
2
4 12
m
m
x mx m x m
m x
= − − + − =
(25)Vì hàm số:
4
12
m
y= đồng biến đoạn [ ]1;3 nên
[ ]1;3 ( ) 27
max
4
N = y= y = ,
[ ]1;3 ( )
min
12
n= y= y =
Vậy 27 20
4 12
N − =n − =
Câu 4: Cho số thực a b c d, , , thỏa mãn a b c d< < < < hàm số y= f x( ) Biết hàm số
( )
y= f′ x có đồ thị cắt trục hồnh điểm có hồnh độ a b c, , hình vẽ
Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= f x( ) [ ]0; d
Khẳng định sau đúng?
A. M + =m f b( ) ( )+ f a B M + =m f ( ) ( )0 + f a
C M + =m f ( ) ( )0 + f c D M + =m f d( ) ( )+ f c
Lời giải
(26)Dựa vào đồ thị hàm số y= f′( )x ta có bảng biến thiên hàm y= f x( )
Dựa vào bảng biến thiên ta có M =max{f ( ) ( ) ( )0 , f b , f d }, m=min{f a( ) ( ), f c }
Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=0,x=a
Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f x( ), trục hoành hai đường
thẳng x=a x, =b
Gọi S3 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f x( ), trục hoành hai đường
thẳng x=b x, =c
Gọi S4 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f x( ), trục hoành hai đường thẳng x=c x, =d
Dựa vào hình vẽ ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1 d d 0
b
a a
S >S ⇔∫ f′ x x>∫ f′ x x⇔ f − f a > f b − f a ⇔ f > f b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 d d
b d
c c
S >S ⇔∫ f′ x x>∫ f′ x x⇔ f b − f c > f d − f c ⇔ f b > f d
Suy M = f ( )0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 d d
b b
c a
S >S ⇔∫ f′ x x>∫ f′ x x⇔ f b − f c > f b − f a ⇔ f c < f a
Suy m= f c( )
Vậy M + =m f ( ) ( )0 + f c
Câu 5: Cho ( )P :y= +x2 đường thẳng d y: =mx+3 với m ∈ Giả sử đường thẳng d cắt ( )P
tại hai điểm A B Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng d
( )P Khi S nhỏ giá trị biểu thức P=(x yA A) (2+ x yB B)2
A 82 B 18 C 10 D 40
(27)Chọn B
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 ( )
2 1
x + =mx+ ⇔x −mx− = có
4
m
∆ = +
Cách 1:
Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng d ( )P là:
( )3 ( )3
2
3
2
4 2 4
6 6
m S
a
+ ∆
= = ≥ = , ∀ ∈ m
Cách 2:
Vì ∆ =m2+ > ∀ ∈4 0, x nên ( )1 ln có nghiệm phân biệt x1< x2 với x2− = ∆x1 ,
1
x + =x m, x x1 = −1 Đồng thời [ ]
2
1
1 0, ;
x −mx− < ∀ ∈x x x
Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng d ( )P là:
( ) ( ) ( )
( ) 2
1
2
3
1 2
2
2
2
2
1 d
3
1
1 4 ,
3
x x
x x
x x x x m x x
x mx
S x mx x x x x
m m m
m m m
+ − +
= − − = − − − = − − − −
+
= − ∆ − − = + + ≥ ∀ ∈
∫
Suy min
3
S = , đạt m= Khi đó: ( )
( ) ( ) ( )
2
1;3
1.3 1.3 18 1;3
A
P B
⇒ = + − =
−
Câu 6: Cho hai hàm số y= +x3 ax2+ +bx c a b c( , , ∈) có đồ thị ( )C
( )
2
, ,
y=mx + +nx p m n p∈ có đồ thị ( )P hình vẽ Diện tích hình phẳng giới hạn ( )C ( )P có giá trị nằm khoảng sau đây?
A. ( )0;1 B. ( )1; C. ( )2;3 D ( )3;
Lời giải
(28)Xét phương trình hồnh độ giao điểm
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
0 *
x +ax + + =bx c mx + + ⇔ + −nx p x a m x + −b n x+ −c p =
Dựa vào hình vẽ, ta thấy hai đồ thị tiếp xúc điểm có hoành độ x= − cắt điểm có hồnh độ x= nên phương trình ( )* có nghiệm x= − (bội 2) x= (nghiệm đơn)
Khi đó, ( ) ( ) (2 )
* ⇔ x+1 x− =1
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn ( )C ( )P là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
2
1
4
1 d 1 d 1;
3
S x x x x x x
− −
= ∫ + − =∫ + − = ∈
Câu 7: Biết ( ):
24
P y= x chia ( )
2
:
16
x y
E + = thành hai hình ( )H1 ( )H2 có diện tích
1
S S2 (S1<S2) Gọi
1
S T
S
= , khẳng định sau đúng?
A T ≤ B 3< <T 16 C 16≤ <T 1980 D T >1980
Lời giải
Chọn A
+ ( )
2
:
16
x y
E + = nên ta có
2
2
16
1
a a
b b
= =
⇒
=
=
⇒ Diện tích elip là: S =πab=4π
+ Phương trình hồnh độ giao điểm ( )P ( )E
2 2
1 24
1
16
x x
+ = 12
12
x
x
= ⇔
= −
(29)+ Ta có
12 2 12
2
1
0
1 12
2 d 16 d
16 24 36
I
x x
S = − − x= −x x− x = −I
∫ ∫
* Tính
12
2
0
16 d
2
I = ∫ −x x
Đặt 4s in , 0;
3
x= t t∈ π
dx 4co s dt t
⇒ =
Đổi cận
0
12
3
x t
x t π
= ⇒ =
= ⇒ =
⇒ 12
2
0
1
16 d 16 16 s in cos d
2
I x x t t t
π
= ∫ − = ∫ − 3( )
0
4 2cos dt t cos dt t
π π
= ∫ = ∫ +
1 3
4 sin
2
0
t t
π π π+
= + = + =
2
3
S I π +
⇒ = − =
+ Ta có 2 1 4
3
S = − =S S π − π+ = π−
1
8
1,64
4
S T
S
π π
−
⇒ = = ≤
+
Câu 8: Cho parabol tiếp xúc với đường tròn với số liệu cho hình vẽ bên
Gọi H1 H2 hai phần hình phẳng có diện tích S1, S2 hình vẽ Giá trị
1
T = +S S nằm khoảng
(30)Lời giải
Chọn B
+ Gắn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ
+ Phương trình parabol ( )P y= −1 x2
+ Phương trình đường trịn ( )C x2+y2 =R2 (R>0)
+ Tọa độ giao điểm ( )C ( )P ) nghiệm hệ
( )
2 2 2
2
1
1
x y R y y R
y x y x
+ = − + − =
⇔
= − = −
+ Để parabol ( )P đường trịn ( )C tiếp xúc phương trình ( )1 có nghiệm kép,
( 2)
1
2
R R
∆ = − − = ⇔ =
+ Khi hồnh độ tiếp điểm 1
2 2
b
x x
a
= − = ⇔ = ±
+ Diện tích cần tính ( ) ( )
1
2 2 2
1
2
1
1 d d 0, 0468
2
S x x x R x x πR
− −
=∫ − − ∫ − − − − ≈
Câu 9: Nhà trường dự định làm vườn hoa dạng hình elip chia làm bốn phần hai đường
parabol có chung đỉnh, đối xứng với qua trục elip hình vẽ Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ elip 8m 4m F F 1, 2 tiêu điểm elip Phần A B,
(31)lần lượt 250.000 đồng 150.000 đồng Tính tổng tiền để hồn thành vườn hoa (làm trịn đến hàng nghìn)
A 5.676.000 đ B 4.766.000 đ C 4.656.000 đ D 5.455.000 đ Lời giải
Chọn C
Gọi ,SA SB, SC, S lD ần lượt diện tích phần A B C D, , , Theo giả thiết ta có ,
A B C D
S =S S =S
Chọn hệ trục hình vẽ
Khi elip ( )E có dạng: ( )
2
2 1,
x y
b a
a +b = < < Theo ta có:
2a= ⇔ =8 a 4, 2b= ⇔ =4 b suy phương trình elip ( )
2 1 16
x y
+ =
( )
2
2 3 ;
c= ⇒F
Gọi ( )P parabol nằm phía trục Ox , cắt ( )E tại điểm M có hồnh độ xM =2 3, M∈( )E ⇒M(2 ; 1)
Theo giả thiết parabol ( )P có dạng: y=mx2 Do ( ) 12 12
M∈ P ⇒ = m⇔ =m
Từ ( )
2
2
1 16
4 16
y x
y x
⇒ = − ⇔ = ± −
Diện tích phần A là:
2 3
2 2
1 1
16 d 16 d d
2 12 12
A
S = −x − x x= −x x− x x
∫ ∫ ∫ hay 1
3
A
(32)2
2
2
1
16 d
2
I x x
−
= −
∫ Đặt sin d cos d , ;
2
x= t⇒ x= t t t∈ − π π
Đổi cận
3
x= − ⇒ = −t π ,
3
x= ⇒ =t π
Khi ta có:
3
2
1
3
1
16 16 sin cos d cos d
I t t t t t
π π
π π
− −
= ∫ − = ∫ ( )
3
3 cos d
3
t t
π
π
π
−
= + = +
∫
Từ tìm
3
A
S = π +
Diện tích ( )E S( )E =πab=8π
Diện tích phần C
2
E A C D
S S
S =S = − = π −
Số tiền cần sử dụng để hoàn thành khu vườn là: (2SA).250.000+(2SC).150.000≈5676367, 372
Câu 10: Trên bức tường cần trang trí hình phẳng dạng paranol đỉnh S hình vẽ, biết
4 m
OS =AB= , O là trung điểm AB Parabol chia thành ba phần để sơn ba
màu khác với mức chi phí: phần phần kẻ sọc 140000 đồng/
m , phần hình quạt tâm O , bán kính 2 mđược tơ đậm 150000 đồng/m , ph2 ần cịn lại 160000 đồng/m T2 chi phí để sơn phần gần với số sau đây?
A.1.597.000 đồng B.1.625.000 đồng C.1.575.000 đồng D. 1.600.000 đồng Lời giải
(33)Dựng hệ trục Oxy hình vẽ
Gọi parabol ( )P có phương trình: ( )
y=ax +bx c a+ ≠ Khi ( )P đi qua điểm
( )0,
S , A(−2; 0) B( )2;
Suy ta có
4
4 0
4
c a
a b c b
a b c c
= = −
− + = ⇔ =
+ + = =
Vậy parabol ( )P :
y= − + x
Đường tròn ( )C có tâm O( )0; bán kính OA= Khi phương trình ( )C là: 2
4
x +y = Suy phương trình nửa đường trịn (phần nằm phía
trên trục hoành) y= 4−x2
Gọi M, N là giao điểm ( )C ( )P (khác A,B)
Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )C ( )P ta có:
( )
2 2
2
2 2
2
2
2
4 4 0
4 2
4 4
3
4
3
4
x x
x x
x x x x
x
x x
x x
− + ≥ − + ≥
− + ≥ = ±
− = − + ⇔ ⇔ − = ⇔ = ⇔
= ±
− = −
− = =
Suy điểm M(− 3;1) điểm N( )3;1
Phương trình đường thẳng ON là:
y= x
Chi phí sơn phần kẻ sọc là: ( )
2
1
2 4 d 140000
T = − + −x −x x
∫ (đồng)
Chi phí sơn phần hình quạt là:
3
2
0
1
2 d 150000
3
T = −x − x x
(34)Chi phí sơn phần cịn lại là: ( )
0
1
2 d d 160000
3
T = x x+ − +x x
∫ ∫ (đồng)