NHOM 10 UNG DUNG TICH PHAN TINH DIEN TICH HINH PHANG

DANH SÁCH NHĨM 1 Hồng Minh Trung Tốn Nhóm trưởng THPT Phan Đăng Lưu Lê Văn Vĩ Toán THPT Phan Đăng Lưu Nguyễn Văn Dĩnh Toán THPT Hai Bà Trưng Ngơ Văn Mười Tốn THPT Phan Đình Phùng Phan Thanh Kiểu Tốn THPT Phan Đình Phùng Lê Thị Nhường Toán THPT Phạm Văn Đồng Huỳnh Thị Tuyết Hai Toán THPT Phú Xuân Văn Thị Lan Chi Toán THPT Phú Xuân ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO VIỆC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG Trang | Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, m Người ta cần lắp cửa sắt khép kín Biết 1m2 cửa sắt có giá 900.000 Hỏi Nhà trường phải trả tiền để làm cửa sắt vậy? Ơng An có mảnh vườn elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.00 đồng/1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) B HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH Trang | GỢI Ý +) HĐ1: Khởi động HĐ1.1 Nêu cơng thức tính diện tích hình thang cong giới hạn đường thẳng x=a, x =b, trục hoành đường cong y = f(x), f(x) hàm số liên tục, không âm đoạn [a;b] b S = ò f ( x)dx a HĐ1.2 Cho hình phẳng giới hạn đường thẳng y = 2x + 1; y = 0; x = x = a) Dùng cơng thức hình học tính diện tích hình phẳng o b) Tính tích phân sau I = ò( 2x + 1)dx S = (AD +2 BC).CD =28 = 28 I = (x +x) Diện tích khơng đổi HĐ1.3 Trong HĐ1.2 thay hàm số y = 2x + hàm số –y = – (2x + 1) diện tích thay đổi nào? +) HĐ2: Hình thành kiến thức Từ kết trên, ta có Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x =a, x=b tính theo công thức b S = ∫ f ( x) dx a Trang | Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đường: y = x – 1; trục Ox, đường thẳng x = 0, x = Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = cos2 x, trục hoành, trục tung đường thẳng x = π +) HĐ3: Củng cố GỢI Ý HĐ3.1 Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? b A S = ∫ f ( x ) sx a b B S = ∫ f ( x ) dx a c b a c c b a c C S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx D S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx HĐ3.2 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y S = ∫ x − x dx = ∫ ( x3 − x ) dx − −2 −2 = x3 – 4x, trục hoành, đường thẳng x 3 = -2 x = ∫ ( x − x ) dx + ∫ ( x − x ) dx = 44 HĐ3.3 1   Cho ( C ) : y = x3 + mx − x − 2m − Giá trị m ∈  0; ÷ cho hình phẳng 3  6 giới hạn đồ thị ( C ) , y = 0, x = 0, x = có diện tích là: Trang | A m = − B m = C m = D m = − 2 HĐ3.4 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = mx cos x ; Ox ; x = 0; x = π 3π Khi giá trị m là: A m = −3 B m = C m = −4 D m = ±3 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI HAI ĐƯỜNG CONG GỢI Ý +) HĐ1: Khởi động HĐ1.1 Diện tích hình phẳng (phần tơ màu) hình tính nào? y =   y =   x = f (x) lt u' c/[a;b] f (x) lt u' c/[a;b] a; x = b Có thể tính S thơng qua S S khơng? tính nào? Xét TH: f1(x) ≥ f2(x) ≥ x  [a;b] Khi S = S1 - S2 +) HĐ2: Hình thành kiến thức Từ kết trên, ta có Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f(x), g(x) liên tục [ a;b] hai đường thẳng x = a, x = b tính theo cơng thức b S = ò f1 ( x) - f2 ( x) dx a Trang | Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 4, y = -x2 – 2x, hai đường thẳng x = -3 , x = -2 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x2 – y = -x2 – 2x +) HĐ3: Củng cố GỢI Ý HĐ3.1 Kí hiệu S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) hai đường thẳng x = a, x = b hình bên Khẳng định sau đúng? c b A S = ∫ g ( x ) − f ( x )  dx + ∫ f ( x ) − g ( x )  dx a c b B S = ∫ f ( x ) + g ( x )  dx a c b C S = ∫ f ( x ) − g ( x )  dx + ∫ g ( x ) − f ( x )  dx a c c b a c D S = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx HĐ3.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = e x ; y = e − x ; x = e + 2e + A e e + 2e − C e e − 2e + B e e − 2e − D e HĐ3.3 Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ln x , y = Trang | HĐ3.4 Tính diện tích hình tròn x2 + y2 = R2 C HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP Bài toán GỢI Ý Câu 1: Gọi S diện tích hình phẳng giới − x − 2x + = − ( x − 1) + ≤ 2, ∀x hạn đường 2 S = y = − x − 2x + 1, y = m, ( m > ) , x = 0, x = Tìm m ∫0 ( m + x + 2x − 1) dx cho S = 48  3 x3 A m = B m = =  mx + + x − x ÷ = 3m + 24  0 C m = D m = 10 Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = cosx , y = sinx đt x = , x = π Câu 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = x, y = x D HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG Trang | Bài toán Cổng trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12, m Người ta cần lắp cửa sắt khép kín Biết 1m2 cửa sắt có giá 900.000 Hỏi Nhà trường phải trả tiền để làm cửa sắt vậy? Gợi ý: Giả sử parabol có phương trình y = ax + bx + c ( a ≠ )  25  Đi qua C  0; ÷, D ( 4; ) nên ta có hệ   phương trình: 25   c = c =   25 25 ⇔ b = ⇒ y = − x2 + b = 32   25 25 16a + a = − =0 32   S = 2∫ − 25 25 200 x + dx = m 32 Bài tốn Ơng A có mảnh vườn elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải dất Trang | rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.00 đồng/1m2 Hỏi ông A cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) Gợi ý: x y2 + = Từ giả a b2 thiết ta có 2a = 16 ⇒ a = 8; 2b = 10 ⇒ b = Giả sử elip có phương trình Vậy phương trình elip là:  y=− 64 − x ( E1 )  x y + =1⇒  64 25  y = 64 − x ( E )  2 Khi diện tích dải vườn giới hạn đường (E1); (E2); x = −4; x = diện tích dải vườn 4 5 64 − x dx = ∫ 64 − x dx 20 −4 S = 2∫ Khi số tiền π 3 T = 80  + ÷.100000 = 7652891,82 ≈ 7.653.000 6  Trang | Bài tốn Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước giống hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1m rào sắt 700.000 đồng Hỏi Ông An phải trả tiền để làm cửa sắt vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn) Gợi ý: Diện tích khung cửa tổng diện tích hình chữ nhật diện tích phần parabol phía + + Diện tích hình chữ nhật S1 = AB.BC = 5.1,5 = 7,5 ( m ) Gọi đường cong parabol có phương trình y = ax + bx + C Đường cong có đỉnh I ( 0; ) suy ra: b = 0, c = ⇒ y = ax + Đường cong qua điểm: 2 5 5 C  ; ÷⇒ a = − ⇒ y = − x + 25 25  3 Phần diện tích tạo parabol đường thẳng y = 1,5 là: 2,5 S2 =  −2 ∫  25 x −2,5 ⇒ S = S1 + S2 =  + 0,5 ÷dx =  55 55 ⇒ T = 700000 ≈ 6417000 6 đồng E HOẠT ĐỘNG TÌM TỊI MỞ RỘNG Trang | 10 Những phép tính tích phân thực từ cách 2.000 năm Archimedes (287–212 trước Công ngun), ơng tính diện tích bề mặt thể tích khối vài hình cầu, hình parabol hình nón Phương pháp tính Archimedes đại dù vào thời chưa có khái niệm đại số, hàm số hay thậm chí cách viết số dạng thập phân Tích phân, vi phân mơn tốn học phép tính này, giải tích, thức khám phá Leibniz (1646–1716) Isaac Newton (1642– 1727) Ý tưởng chủ đạo tích phân vi phân hai phép tính nghịch đảo Sử dụng mối liên hệ hình thức này, hai nhà toán học giải số lượng khổng lồ toán quan trọng toán học, vật lý thiên văn học J B Fourier (1768–1830) nghiên cứu truyền nhiệt tìm chuỗi hàm lượng giác có thể dùng để biểu diễn nhiều hàm số khác Biến đổi Fourier (biến đổi từ hàm số thành chuỗi hàm lượng giác ngược lại) biến đổi tích phân ngày ứng dụng rộng rãi không chỉ khoa học bản mà cả Y học, âm nhạc ngôn ngữ học Người lập bảng tra cứu tích phân tính sẵn Gauss (1777– 1855) Ơng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào toán toán học vật lý Cauchy (1789–1857) mở rộng tích phân sang cho số phức Riemann (1826–1866) Lebesgue (1875–1941) người tiên phong đặt tảng lơ-gíc vững cho định nghĩa tích phân Kí hiệu tích phân nhà tốn học Leibniz đưa ra, tích phân hàm số f đoạn [a;b] ông định nghĩa giới hạn tổng: (1) Về sau hiệu kí hiệu lại (do chữ d chữ bắt đầu “diferentia”, nghĩa “hiệu số”), kí hiệu tổng số chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa “tổng số”), dấu tích phân biến dạng đơn giản chữ S Thành thử, giới hạn (1) kí hiệu Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn hai đường thẳng x=a x=b Trang | 11 Ta có thể chia nhỏ đường cong thành vô số đoạn “gần thẳng” lấy tổng chúng lại với Xét cho Với đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn đường thẳng độ dài đoạn thẳng nối điểm , nhỏ, ta xem đoạn thẳng thuộc tiếp tuyến Như vậy độ dài đoạn thẳng nối điểm tính , góc tạo tiếp tuyến trục Ox nên Tóm lại Lấy tổng độ dài đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta cơng thức tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn đường thẳng Trang | 12 ... có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100 .00 đồng/1m Hỏi ông An cần tiền... dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải dất Trang | rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100 .00 đồng/1m2 Hỏi ông A cần tiền... m + x + 2x − 1) dx cho S = 48  3 x3 A m = B m = =  mx + + x − x ÷ = 3m + 24  0 C m = D m = 10 Câu 2:Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hs y = cosx , y = sinx đt x = , x = π Câu 3: