Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế

CHUN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VỚI DỮ KIỆN TỐN THỰC TẾ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x ) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a  x  b) Giả sử S ( x ) hàm số liên tục đoạn [a; b] (V ) a O b x b x V   S ( x) dx a S(x) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S ( x)dx a Thể tích khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) a O  b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  Vx     f ( x)  dx  x x  a a  x  b Lưu ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x (C): x  g(y)  (Oy): x   y  c y  d d Vy     g( y) dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x) , y  g ( x ) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: b V   f ( x)  g ( x) dx a B BÀI TẬP Câu Một Elip có phương trình x2 y2   Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục Ox Lời giải Ta có: x2 y x2    y  2  9 x2 Elip đối xứng qua trục Ox nên ta cần xét hàm số y   quay quanh Ox Phương trình hoành độ giao điểm y   x2 x2 trục Ox :    x  3 9  x2  Thể tích cần tính: V    1   dx  16  50, 24  3  Câu Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  0, y  x ln( x  1) x  xung quanh trục Ox Lời giải x  Phương trình hoành độ giao điểm: x ln( x  1)     x0 ln  x  1  Ta có: V    x ln  x  1 dx   18 12 ln   Câu Người ta vẽ nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ   30 Tính thể tích vật thể trịn xoay Nửa hình trịn đường kính AB có diện tích 32 BAC tạo thành quay hình phẳng  H  (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB Lời giải Dựng hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ 1 R S  32   R  64  R   r   2  C  : y  64   x      C   : y  16   x    Ta có   30  PT AC : y  x.tan 30  y  x BAC 16  12 x  784 2  Vậy V     dx   64   x   dx   16   x   dx   12 6      Câu Một bồn hình trụ chứa dầu đặt nằm ngang, có chiều dài 5m, bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích khối dầu cịn lại bồn Lời giải Thể tích bồn (hình trụ) đựng dầu là: V1   r h   12.5  5 m3 Chọn hệ tục tọa độ hình vẽ, gốc tọa độ gắn với tâm mặt đáy Đường trịn đáy có bán kính nên có phương trình x  y  Suy y    x Diện tích phần hình trịn đáy bị mất: S    x dx  0, 61 m Thể tích phần dầu bị rút ngoài: V2  S  h    x dx   3, 07 m3 Vậy thể tích khối dầu lại bồn: V  V1  V2  12, 637 m3 Câu Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ cm B A O cm I Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng đối xứng parabol Tính thể tích vật thể cho Lời giải Chọn gốc tọa độ O trùng với đỉnh I parabol  P  y x O -2 Vì parabol  P  qua điểm A  2;6  , B  2;  I  0;  nên parabol  P  có phương trình y x Ta có y  2 x  x2  y Thể tích V thể tích vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng  H  giới hạn đường: x  2y ; x  0; y  0; y  quanh quanh trục Oy 2  Khi thể tích vật thể cho V     y  dy  12  cm3  03  Câu Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm y  x M (hình vẽ sau) y M a K O H x Gọi V1 thể tích khối trịn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Tính a Lời giải Ta có x   x  Khi V    xdx  8  Ta có M a; a  Khi quay tam giác OMH quanh trục Ox tạo thành hai hình nón có chung đáy:  Hình nón  N1  có đỉnh O , chiều cao h1  OK  a , bán kính đáy R  MK  a ;  Hình nón  N2  thứ có đỉnh H , chiều cao h2  HK   a , bán kính đáy R  MK  a 1 Khi V1   R h 1  R h   3  a  a  13   a  (4  a)  43  a 2 Theo đề V  2V1  8   a  a  Câu Một vật thể tạo thành hai mặt cầu  S1  ,  S  có bán kính R thỏa mãn tính chất: tâm  S1  thuộc  S  ngược lại Tính thể tích phần chung hai khối cầu tạo  S1   S2  Lời giải Gắn hệ trục Oxy hình vẽ y (C ) : x  y  R O R R x Khối cầu S  O, R  chứa đường tròn lớn C  : x2  y  R2 Dựa vào hình vẽ, thể tích cần tính R R V  2  R   x3  5 R R  x dx  2  R x    R 12  2  Câu Một vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox hình giới hạn trục Ox đường y  sin x,   x    hình vẽ y π O x π Tính thể tích vật thể Lời giải     cos x  sin x  2 Ta có: V    sin xdx    dx   x    2 0 0 Câu Gọi  H  phần giao hai khối hình trụ có bán kính a , hai trục hình trụ vng góc với hình vẽ bên a a Tính thể tích  H  Lời giải Gọi trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi phần giao  H  vật thể có đáy phần tư hình trịn tâm O bán kính a , thiết diện mặt phẳng vng góc với trục Ox hình vng có diện tích S  x   a  x2 Thể tích khối  H  a a  S  x  dx   a  x dx  2a Câu 10 Một khối cầu có bán kính  dm  , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng  dm  để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa Lời giải Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy , xét đường tròn (C ) : ( x  5)2  y  25 Ta thấy cho nửa trục Ox  C  quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H  giới hạn nửa trục Ox  C  , trục Ox , hai đường thẳng x  0, x  quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề Ta có ( x  5)  y  25  y   25  ( x  5)  Nửa trục Ox  C  có phương trình y  25  ( x  5)  10 x  x  Thể tích vật thể trịn xoay cho  H  quay quanh Ox là: 2  x3  52 V1    10 x  x  dx    x    0  500 Thể tích khối cầu là: V2   53  3 Thể tích cần tìm: V  V2  2V1  500 52   132  dm3  3 Cách 2: Hai phần cắt tích nhau, phần chỏm cầu tích R 52 V1     R  x  dx     25  x  dx  d 52 Vậy thể tích lu V  Vc  2V1   53    132 3 Câu 11 Trong đợt xả lũ, nhà máy thủy điện xả lũ 40 phút với tốc độ lưu lượng nước thời điểm t giây v  t   10t  500  m / s  Hỏi sau thời gian xả lũ hồ thoát nước nhà máy thoát lượng nước bao nhiêu? Lời giải Lượng nước thoát là: 2400 2400  10t  500  dt   5t  500t   3.107  m3  Câu 12 Một thùng rượu có bán kính đáy 30 cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy đường trịn có bán kính 40 cm, chiều cao thùng rượu 1m Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt phẳng xung quanh thùng rượu đường parabol Tính thể tích thùng rượu Lời giải Các đường xung quanh thùng rượu đường parabol Đặt thùng rượu nằm ngang chọn hệ trục có gốc tọa độ tâm đáy, trục hoành trục đối xứng thùng rượu Gọi đường parabol có dạng y  ax  bx  c 1 2   Theo ta có đường parabol qua điểm  0;0;3 ,  ;0;4  , 1;0;3 Suy y  2 2 x  x 5 10 Thể tích thùng rượu thể tích hình phẳng giới hạn đường 2 y   x2  x  ; y  ; x  5 10 2 3 203  m  425, l V      x  x   dx  5 10  1500 0   Câu 13 Cho hai tam giác cân có chung đường cao XY  40 cm cạnh đáy 40 cm 60cm , xếp chồng lên cho đỉnh tam giác trung điểm cạnh đáy tam giác hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: y M 30 20 A X x Y 16 40 B N Y  O  0;  , X  40;  , A  0; 20  , M  40; 30  Phương trình đường YM : 3x  y   y  Phương trình AX : x  y  40   y  3x 40  x Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường YM AX là: x 40  x   x  16 Thể tích vật thể cần tính: 16 40 46240  40  x   3x  V   cm3  dx      dx     16  Câu 14 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh Gọi O , O  tâm hình vng ABCD hình vng ABC D Tính thể tích khối trịn xoay sinh tam giác ABC  quay quanh trục OO ? Lời giải Ta chia OAB thành phần gồm IAB IBC  Thể tích vật thể quay IAB xung quanh trục OO phần chung hình nón có  chiều cao IO bán kính đáy OL, OA Vậy V1   IO  OA2  OL2   24 Để tính thể tích vật thể trịn xoay quay KIC  xung quanh trục OO ta chọn chiều dương IO , xét mặt phẳng  P  qua M có toạ độ x vng góc với OO ,  P   IC   E;  P   KC   F Khi thiết diện cắt vật thể mặt phẳng  P  vành trịn hình vẽ bên Do V2   S  x  dx Ta có: IM ME x EM     EM  x 1 IO OC  2 Tương tự HF  x  MF  MH  HF   x2  1  1   S  x     MF  ME      x   V2  2    x  dx  4   0 Vậy V  V1  V2  5 24 Câu 15 Một hình xuyến dạng phao có kích thước hình vẽ r R Tính thể tích hình theo R r Lời giải Xét hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Khi hình xuyến dạng phao tạo ta quay đường trịn tâm  0; R  bán kính r xung quanh trục Ox  y  R  r  x 2  Phương trình đường tròn x   y  R   r   2 y  R  r  x  r   V    R  r  x2 r    R  r  x2  r dx  4 R  r  x dx r  r  2 Đặt x  r sin t  dx  r cos tdt  V  4 R   r cos t  dt   r       sin t  2  2 r R  1  cos 2t  dt  2 r R  t     2 r R     Câu 16 Cho phần vật thể  H  giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x  x  Cắt phần vật thể  H  mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x  x Tính thể tích V phần vật thể  H  Lời giải 0  x  2 , x2   x  Diện tích thiết diện: S   2 x2   x  32 4 3 x  x d x  x   x  dx  V   dx     x  x     4 4   0 0 Câu 17 Cho hai đường tròn  O1 ;5   O2 ;3 cắt hai điểm A , B cho AB đường kính đường trịn  O2 ;3 Gọi  D  hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần gạch chéo hình vẽ) Quay  D  quanh trục O1O2 ta khối tròn xoay Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành Lời giải Chọn hệ tọa độ Oxy với O2  O , O2C  Ox , O2 A  Oy Cạnh O1O2  O1 A2  O2 A2  52  32    O1  :  x    y  25 Phương trình đường trịn  O2  : x  y  Kí hiệu  H1  hình phẳng giới hạn đường y  25   x   , trục Ox , x  , x  Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đường y   x , trục Ox , x  , x  Khi thể tích V cần tính thể tích V2 khối trịn xoay thu quay hình  H2  xung quanh trục Ox trừ thể tích V1 khối trịn xoay thu quay hình  H1  xung quanh trục Ox Ta có V2   r   33  18 3  x  4     Lại có V1    y dx    25   x   dx    25 x      0  1 Do V  V2  V1  18  Câu 18  14 14 40  3 Một khối cầu có bán kính 5dm , người ta cắt bỏ phần mặt phẳng vng góc bán kính cách tâm 3dm để làm lu đựng Tính thể tích mà lu chứa 3dm 5dm 3dm Lời giải Đặt hệ trục với tâm O , tâm mặt cầu, đường thẳng đứng Ox , đường thẳng ngang Oy , đường trịn lớn có phưong trình x  y  25 Thể tích hình giới hạn Ox , đường cong y  25  x , x  3, x   quay quanh Ox   Ta có V    25  x dx  132 3 Câu 19 Bạn A có cốc thuỷ tinh hình trụ, đường kính long cốc 6cm , chiều cao long cốc 10cm đựng lượng nước Bạn A nghiêng cốc nước, vừa lúc nước chạm miệng cốc đáy mực nước trùng với dường kính đáy Tính thể tích lượng nước cốc Chọn hệ trục toạ độ Oxyz hình vẽ Cắt khối trụ mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x,   x  3 ta thiết diện tam giác ABC vuông B Khi thể tích lượng nước có cốc 59  x2  V  2 S  x  dx , (với S  x   SABC  AB.BC  ) 3 10  V  2 S  x  dx     x  dx  60 cm3 0 Câu 20 Trong hệ trục Oxy , cho tam giác OAB vuông A , điểm B nằm góc phần tư thứ   A nằm trục hoành, OB  2017 Góc  AOB   ,      Khi quay tam giác quanh 3  trục Ox ta khối nón trịn xoay Thể tích khối nón lớn Tính góc  Lời giải Phương trình đường thẳng OB : y  x.tan  , OA  2017 cos  Khi thể tích nón trịn xoay : 2017 cos  V   20173  20173  cos   cos2  cos .sin   x tan .dx  3    1  1 Đặt t  cos   t  0;  Xét hàm số f  t   t  t , t  0;   2  2  Ta tìm f  t  lớn t   3  cos    sin   3 Câu 21 Từ khúc gỗ hình trụ có đường kính 30cm , người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 45° để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Ký hiệu V thể tích hình nêm Tính V Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình: y  225  x , x   15;15 Một mặt phẳng cắt vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x ,  x   15;15 cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S  x  (xem hình) Dễ thấy NP  y MN  NP tan 45°  y  15  x S  x  1 MN NP  225  x 2   15 Suy thể tích hình nêm V   15 S  x  dx  15 225  x dx  2250 cm3  15     Câu 22 Cho hình trụ có bán kính đáy R Tính thể tích vật thể tạo thành đáy hình trụ mặt phẳng qua đường kính đáy, biết mặt phẳng tạo với đáy góc 450 Lời giải x Gọi BC đường kính đáy Điểm A điểm thuộc mặt phẳng cắt khối trụ cho OA  BC D hình chiếu vng góc A BCD  AOD  45 Ta có:   ABC  ;  BCD    45   Gắn trục tọa độ Ox hình vẽ Gọi  P  mặt phẳng vng góc với trục Ox Cắt khối vật thể theo thiết diện hình chữ nhật FGHI M  OA  IF ; N  OD  HG Đặt ON  x Ta có: IH  FG  MN  x.tan 45  x HG  NH  OH  ON  R  x Diện tích hình chữ nhật FGHI bằng: MN HG  x R  x Diện tích FGHI hàm liên tục đoạn  0;R    Thể tích khối vật thể tạo thành: R R V   x R  x dx    R  x d  R  x   R 2 R  x  R  x2  R3  3 Công thức tổng quát mặt phẳng cắt khối trụ tạo với đáy góc  thể tích tạo thành: V R tan  Câu 23 Coi trống trường vật thể giới hạn mặt cầu bán kính R  0,5m hai mặt phẳng song song cách tâm I Biết chiều cao trống h  0,8m Tính thể tích V trống Lời giải Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Để tạo hình trống, ta cho cung trịn nằm đường tròn x  y  0,52 quanh quanh trục Ox  y   0,52  x Vì chiều cao trống h  0,8  OA  OB  AB  0, 0,4 Thể tích trống: V     0,5 0,4  x  dx  59  375 Câu 24 Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) Lời giải Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Gọi  P1  Parabol nằm phía  P2  Parabol nằm phía 19  Gọi P1  : y  ax  c Parabol qua hai điểm A  ; 0, B 0;2   Nên ta có hệ phương trình sau:    19  0  a    a   x 2  361   P1  : y     2 361 2  b b    5 Gọi  P2  : y  ax  c Parabol qua hai điểm C 10;0  , D  0;   2 Nên ta có hệ phương trình sau:   0  a 10   a   40    P2  : y   x   40 5  b b    Ta tích bê tơng là: 19  10  5    V  5.2     x  dx     x  dx   40m3 0 2  361     40 Câu 25 Ta vẽ hai nửa đường trịn hình vẽ bên, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính nửa đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích   30  Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình  H  (phần 8 BAC tô đậm) xung quanh đường thẳng AB Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ C (H) A B Do nửa đường trịn lớn 8 nên bán kính bắng 4, suy bán kính đường trịn nhỏ 2 Phương trình đường trịn lớn  x    y  16 nên nửa đường trịn có phương trình y  16   x   Phương trình đường tròn nhỏ  x    y  nên nửa đường trịn có phương trình y    x  2 Đường thẳng tạo với trục hồnh góc 30 nên phương trình đường thẳng y  x 98 2 Thể tích cần tính   x dx      x   dx    16   x   dx   3 3 Câu 26     Cho hình vng ABCD có cạnh 4cm Tại bốn đỉnh A , B , C , D người ta vẽ bốn đường tròn có bán kính 1cm Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục XY Lời giải Ta có vật thể tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng hình sau Khi thể tích vật thể tạo thành tổng thể tích hình trụ có bán kính R  , chiều cao h  hình xuyến dạng phao có R  2, r  trừ lần thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có R  2, r  Vậy V H    2.4  2.2 12.2  V   8  16  V  Với V  thể tích nửa bên hình xuyến dạng phao có R  2, r   V  thể tích nửa hình trịn tâm I  0;  , bán kính r  quay xung quanh trục Ox hình vẽ V H  Câu 27 dx    x    x dx  2   Vậy 1 1  52   8  16   2     6      V '    22    x    Bên hình vng cạnh a , đựng hình bốn cánh hình vẽ (các kích thước cần thiết cho hình) a x a a a a a a a a a a a y Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy Lời giải Do hình có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng đứng hay nằm ngang cho thể tích Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ  Gọi V thể tích khối trịn xoay cần tính  Gọi V1 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng tơ màu hình bên quanh trục hoành a 2 a 2 a 5 a x a  Khi V  2V1 Ta có V1       dx     x   dx  96     a Thể tích cần tính V  2V1  5 a 48 Câu 28 Người ta thiết kế đầu đạn bom khối tròn xoay đặc, khoét vào Biết thiết diện qua trục đối xứng đầu đạn hai Parabol với kích thước hình vẽ Tính thể tích đầu đạn Lời giải Ta có V    42  22   24 Câu 29 Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x  x  Cắt phần vật thể B mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0  x  2), ta thiết diện tam giác có độ dài cạnh x  x Tính thể tích phần vật thể B Lời giải Tam giác cạnh x  x có diện tích là: S  x   x2   x  x2   x  3 Suy thể tích V   S  x  dx   dx  x   x  dx   4 0 2 Câu 30 Cho hình vng có độ dài cạnh cm hình trịn có bán kính 5cm xếp chồng lên cho tâm hình trịn trùng với tâm hình vng hình vẽ Tính thể tích V vật thể trịn xoay tạo thành quay mơ hình quanh trục XY Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y x -5 -4 O -4 -5 4 500  Thể tích khối cầu: V1   R3   53  3  Gọi V2 thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng  H  (phần tô màu) giới hạn đường thẳng y  , đường tròn y  25  x x  quanh trục hoành    V2     25  x dx  Vậy thể tích cần tính V  V1  2V2  10 520 cm3 Câu 31 Khi bật công tắc đèn pha từ chế độ chiếu xa sang chiếu gần, bạn hiểu toán học, cụ thể tính chất parabol, phát huy tác dụng Chùm sáng chiếu xa tạo thành nguồn sáng đặt vị trí tiêu điểm gương phản xạ tia sáng song song với trục đối xứng parabol Khi thay đổi vị trí nguồn sáng, tia phản xạ khơng song song với trục đối xứng, ta chế độ chiếu gần Gương phản xạ phía sau đèn pha có dạng paraboloit (hình thu cho parabol quay trịn quanh trục đối xứng nó) có kích thước hình vẽ Hãy tính thể tích đèn Lời giải Đặt parabol nằm ngang có dạng x  ky Parabol qua điểm  10;10  k  Cho hình phẳng giới hạn đường: 10 y  10 x , y  0, x  0, x  10 xoay quanh trục hồnh 10 Khi thể tích đèn pha là: V    10 xdx  500  cm3  Câu 32 Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x  (đồ thị hình vẽ bên dưới) trục Ox quay quanh trục Ox Biết đáy lọ miệng lọ có đường kính dm dm Tính thể tích V lọ Lời giải Bán kính hai đáy 1dm dm  x    x  0; x    x  3  x2  15 Thể tích lọ: V     x  1 dx     x    0 Câu 33 Người ta dựng lều vải  H  có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy  H  hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO  6m ( SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên H  sợi dây C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) H  với mặt phẳng  P  qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều  H  Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi phương trình parabol  C1  là:  a  0  9a  3b  c  7   y  ax  bx  c  3  a  b  c  b    y  x  x  2 6  c   c    Khi cắt  H  mặt phẳng vuông góc với trục Oy điểm có tung độ y,   y   ta thiết diện hình lục giác có độ dài cạnh x xác định y  x  x6 2  1 8y x2 3    y  Do  x   x   S  y        6 3   1 8y  135 3 Vậy thể tích túp lều là: V   S  y  dy     dy  m   0  _ TOANMATH.com _ ... có y  2 x  x2  y Thể tích V thể tích vật thể trịn xoay sinh cho hình phẳng  H  giới hạn đường: x  2y ; x  0; y  0; y  quanh quanh trục Oy 2  Khi thể tích vật thể cho V     y ... Tính thể tích phần tơ màu quay hình phẳng xung quanh trục XY Lời giải Ta có vật thể tạo thành quay hình phẳng xung quanh trục XY có hình dạng hình sau Khi thể tích vật thể tạo thành tổng thể. .. y Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình quanh trục xy Lời giải Do hình có tính đối xứng nên ta quay theo trục thẳng ? ?ứng hay nằm ngang cho thể tích Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ  Gọi V thể