Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Người hiện: Chức vụ:thực Giáo viênHoàng Thị Xuân Chức thuộc vụ: Giáo SKKN lĩnhviên mực (môn): Toán SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán THANH HOÁ, NĂM 2017 THANH HOÁ, NĂM 2017 MỤC LỤC TT Mục Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng 2.3 2.3.1 Các giải pháp sử dụng Ứng dụng tích phân toán chuyển động 2.3.2 Ứng dụng tích phân toán tính diện tích 2.3.3 Ứng dụng tích phân toán tính thể tích 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 Kết luận 20 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Đổi bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực khẳng định văn kiện Đảng trước đây, đặc biệt Nghị sô 29 Hội nghị Trung ương 8, khóa XI, khẳng định không quốc sách hành đầu, “ chìa khóa” mở đường đưa đất nước tiến lên phía trước, mà “ mệnh lênh” sống Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi giáo dục theo chủ trương Đảng, từ năm 2015, giáo dục Đào tạo tổ chức kỳ thi THPT quốc gia tổ chức theo hướng giảm áp lực, giảm tốn cho thí sinh, gia đình xã hội kết bảo đảm độ tin cậy để xét tootd nghiệp THPT làm cho trường đại học, cao đẳng sử dụng tuyển sinh Các kỳ thi năm 2015, 2016 tổ chức thành công, sau năm có điều chinh, hoàn thiện tốt Tuy nhiên, việc tổ chức thi môn với môn theo hình thức tự luận tạo điều kiện để học sinh học tủ, học lệch… Để bước khắc phục hạn chế trên, kỳ thi THPT quốc gia năm 2017 tổ chức thi nài thi: Toán, Ngữ Văn, Ngoại ngữ, Khoa học tự nhiên (KHTN) Khoa học Xã hội (KHXH), Môn ngữ văn thi theo hình thực tự luận, thi khác theo hình thức trắc nghiệm khách quan Với hình thức thi hướng tới học sinh học tập toàn diện, khắc phục dần tình trang học tủ, học lệnh Đối với môn Toán, năm năm thi THPT Quốc gia theo hình thức TNKQ nên học sinh có phần lúng túng làm tập đặc biệt số dạng tập ứng dụng tích phân toán thực tế Chính vậy, mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng tích phân toán thực tế” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp số tập tương đối phong phú, đa dạng ứng dụng tích phân có tác dụng tốt để rèn luyện tư mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho học sinh - Thông qua học sinh làm tốt tập liên quan 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Ứng dụng tích phân giải toán thực tế - Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2016-2017 trường THPT Nguyễn Trãi 1.4 Phương pháp nghiên cứu Tìm hiểu đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet, đề thi thử trường THPT, chuyên đề có liên quan Quan sát việc học tập học sinh, tham khảo ý kiến thầy cô giáo tổ môn II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận Tích phân nội dung giải tích chuyên đề quan trọng toán THPT, tích phân có ứng dụng số toán chuyển động, tính diện tích, tính thể tích… Để giúp học sinh tích cực, chủ động học môn Toán - môn Khoa học tự nhiên khô khan người giáo viên cần phải sáng tạo phương pháp giảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ kết dạy học đạt cao 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề ứng dụng tích phân kiến thức chương trình toán giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa thực tế tích phân Đây nội dung thường gặp đề kiểm tra tiết, thi học kì II ,đề thi THPT quốc gia Nhìn chung học vấn đề , đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi ) thường gặp khó khăn , sai lầm sau : - Không biết mối liên hệ đại lượng: quãng đường, vận tốc, gia tốc toán chuyển đông - Nếu hình vẽ thi học sinh thường không hình dung hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ) -Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng , vật tròn xoay học - Học sinh thường nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt kỹ chuyển toán dạng quen Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải -Học sinh thường bị sai lầm việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối 2.3 Các giải pháp sử dụng 2.3.1 Ứng dụng tích phân bài toán chuyển động a Cơ sở lý thuyết Giả sử vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, v = f (t ) (0 < t < T ) Chứng minh quãng đường S vật khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b (0 < a < b < T ) S = F (b) − F (a ), F nguyên hàm f khoảng (0;T ).[2] Bài giải Trong mục 2.3.1.a: Cơ sở lý thuyết tham khảo từ TLTK số Gọi s = s (t ) quãng thời đường vật thời điểm t Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b S = s (b) − s (a ) Mặt khác, ta biết s '(t ) = f (t ) s = s (t ) nguyên hàm f Thành thử, tồn số C cho s (t ) = F (t ) + C Ta có: S = s (b) − s (a ) = [ F (b) + C ] − [ F (a ) + C ] = F (b) − F (a ) b Vâỵ: S = ∫ f (t )dt a b Bài tập Bài 1: Bạn Mai ngồi máy bay du lịch giới với vận tốc chuyển động máy bay v(t ) = 3t + 5(m / s ) Tính quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 8? Bài giải Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 là: ( S = ∫ (3t + 5)dt = t + 5t ) = 468m Bài 2: Một ô tô chạy với vận tốc 20 m/ s người người đạp phanh Sau đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) = −30t + 15(m / s) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ô tô di chuyển mét? Bài giải Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Gọi T khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc ô tô dừng hẳn Ta có v(T ) = ⇒ 15 = 30T ⇔ T = 0.5 Trong khoảng thời gian 0,5 giây ô tô di chuyển quãng đường : 0.5 S= ( ∫ (−30t + 15)dt = −15t + 15t ) 0.5 = 15 m Bài 3: Một vật chuyển động với vận tốc 15 m /s tăng tốc với gia tốc a (t ) = t + 3t (m / s ) Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Bài giải Gọi v( t ) vận tốc vật Ta có v '(t ) = a(t ) = t + 3t ccc Suy v(t ) = ∫ ( t + 3t ) dt = t 3t + + C Vì v(0) = 15 nên suy C = 15 10 Thành thử quãng đường vật là: S = ∫ ( t 3t 4450 + + 15)dt = m 3 Bài 4: Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 20m / s , gia tốc trọng trường 9,8m / s2 Quãng đường viên đạn từ lúc bắn dừng lại [2] Bài giải: Gọi v( t ) vận tốc vật Ta có v '(t ) = a(t ) = −9.8 Suy v( t) = - 9.8t + C , v( 0) = 20 Þ C = 20 , v( t) = - 9.8t + 20 20 10 = Tại thời điểm cao t1 v( t1) = Þ t1 = 9.8 4.9 10 4.9 Quảng đường viên đạn S = ò( - 9.8t + 20) dt » 20.41m Bài 5: Vận tốc trung bình xe máy thành phố vào khoảng 35km/h đến 40km/h Khi gặp chướng ngại vật, để đảm bảo an toàn, người điều khiển xe máy phải phanh xe chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) = −5t + 10(m / s ) Hỏi gặp chướng ngại vật, người điều khiển xe máy phải bắt đầu phanh cách chướng ngại vật khoảng bao xa để xe máy dừng hẳn trước đến chướng ngại vật Bài giải: Lấy mốc thời gian lúc xe bắt đầu đạp phanh Gọi T khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe máy dừng hẳn Ta có v(T ) = ⇒ 10 = 5T ⇔ T = Quãng đường xe từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe dừng hẳn là: S = ∫ ( −5t + 10)dt = 10m Vậy người điều khiển xe máy phải phanh cách chướng ngại vật 10m Bài 6: Một ô tô xuất phát với vận tốc v1 (t ) = 2t + 10(m / s) sau khoảng thời gian t1 bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tham khảo từ TLTK số v2 (t )mục = 202.3.1.b: − 4t (m /Bài s ) tốcTrong thêm khoảng thời gian t2 dừng lại Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại 4s Hỏi xe quãng đường mét [3] Bài giải Đến lúc phanh vận tốc xe là: v1 (t ) = 2t + 10(m / s) vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh; sau thêm t2 vận tốc nên t + t = t = 2t1 + 10 = 20 − 4t2 ⇔ t1 + 2t2 = Lại có t1 + t2 = nên ta có hệ:  ⇔1 t1 + 2t2 = t2 = 0 Tổng quãng đường là: S = ∫ ( 2t + 10 ) dt + ∫ ( 20 − 4t ) dt = 57m Bài 7: Một ô tô chạy với vận tốc a (m /s) người đạp phanh từ thời điểm ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t ) = −5t + a (m / s ) t thời gian tính giây, kể từ lúc đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến lúc dừng hẳn ô tô di chuyển 40m vận tốc ban đầu a bao nhiêu?[4] Bài giải Thời điểm vật dừng lại vận tốc 0: v(t ) = ⇔ −5t + a = ⇔ t = a Trong khoảng thời gian ô tô di chuyển quãng đường : a a  −5 5 a S = ∫ ( −5t + a ) dt =  t + at ÷ =   10 Theo ta có: a2 = 40 ⇔ a = 20 10 Vậy vận tốc ban đầu ô tô là: 20 m/s c Bài tập trắc nghiệm khách quan Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính công thức v(t ) = 6t + , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính theo đơn vị mét Quãng đường vật 10 giây là: A 15m B 620m C 310m D 260m Câu 2: Một vật chuyển động với vận tốc ( m / s ) tăng tốc với gia tốc hàm phụ thuộc thời gian t xác định a ( t ) = 3t + 6t (m/s ) Khi quảng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc mục 2.3.1.b: Bài tham khảo từ TLTK số 3, tham khảo từ TLTK Trong số A.4 5600 (mét) B 2150 (mét) C 2160 (mét) D 5580 (mét) Câu 3: Một vật chuyển động với gia tốc a(t) = −20( + 2t ) (m / s2) Khi t = −2 vận tốc vật 30(m / s) Tính quãng đường vật di chuyển sau giây [4] A.106 m B.108 m C 107 m D 109 m Câu 4: Một chất điểm cuyển động với vận tốc v0 = 15m / s tăng vận tốc 2 với gia tốc a ( t ) = t + 4t ( m / s ) Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc.[7] A 68, 25m B 70, 25m C 69, 75m D 67, 25m Câu 5: Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t = ( s ) chuyển động thẳng với vận tốc v ( t ) = t ( − t ) ( m / s ) Tìm quãng đường vật dừng lại A 125 ( m) B 125 ( m) 12 C 125 ( m) D 36 ( m ) Câu 6: Một ô tô chạy với tốc độ 36 km/h hãm pham, chuyển động chậm dần với phương trình vận tốc v = 10 − 0,5t ( m / s ) Hỏi ô tô chuyển động quãng đường dừng lại?[5] A 100 m B 200 m C 300 m D 400 m 2.3.2.Ứng dụng tích phân bài toán tính diện tích A Cơ sở lý thuyết Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b là: b S = ∫ f ( x) dx [1] a Ghi nhớ : * Nếu f(x) không đổi dấu [a ; b] (hay vô nghiệm [a ; b] ) ta có : b S = ∫ f ( x) dx = a b ∫ f ( x)dx [1] a Trong mục 2.3.1.c: Câu tham khảo từ TLTK số 4, câu tham khảo từ TLTK số 7, câu tham khảo từ TLTK số * Nếu phương trình f(x) = có k nghiệm phân biệt x1 , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x) có dấu không đổi Khi để tính tích phân b S = ∫ f ( x) dx ta tính sau : a b S = ∫ f ( x) dx = a x1 ∫ f ( x)dx + a x2 ∫ b f ( x)dx + + x1 ∫ f ( x)dx [1] xk Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục [a; b] Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số f (x), g(x) hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx [1] a Ghi nhớ : Nếu phương trình f(x)-g(x) = có k nghiệm phân biệt x , x2 , …, xk thuộc (a ; b) khoảng (a ; x1 ) , (x1 ; x2) , …, (xk ; b) biểu thức f(x)-g(x) có dấu không đổi b Khi để tính tích phân S = ∫ f ( x) − g ( x) dx ta tính sau : a b x1 x2 b a a x1 xk S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x)]dx + ∫ f ( x) − g ( x)]dx + + ∫ f ( x) − g ( x)]dx Trong mục 2.3.2.a: Cơ sở lý thuyết tham khảo từ TLTK số GV nhấn mạnh cho học sinh cố gắng đưa tích phân trị tuyệt đối trị tuyệt đối tích phân hạn chế vẽ hình thời gian làm TNKQ B Bài tập Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = - x2 , trục hoành Ox hai đường thẳng x = -1 ; x = y -2 A O -1 3x B Bài giải Diện tích S hình phẳng S = -4 ∫ − x dx f( x) = -x2 −1 Hình Phương trình − x = vô nghiệm [-1;2] nên: 2 S= ∫ −x 2 dx = −1 ∫( −1 − x3 − x dx = ) =3 −1 Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3, trục hoành đường thẳng x = -1 , x = y f( x) = x3 Bài giải -2 A O -1 B 3/2 3x Diện tích S hình phẳng S = ∫ x dx −1 Phương trình x3 = ⇔ x = đó: S = ∫ x3 dx = −1 ∫ x dx + −1 3 ∫ x dx = ( x4 x4 97 ) +( ) = −1 64 (đvdt) Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), trục hoành, trục tung đường thẳng x = y f( x) = ( x3-3⋅ x2) +2 Bài giải Trục tung có phương trình : x = Diện tích S hình phẳng -2 -1 A O1 B x (C) S = ∫ x − x + dx Phương trình x3  −3x + 2 = ⇔ x = 2 0 S = ∫ x − x + dx = ∫ ( x − x + 2)dx + ∫ ( x − x + 2)dx =( x4 x4 −5 5 − x + x) + ( − x + x ) = + = + = 4 4 4 (đvdt) Bài 4: Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà nội có hình dạng Parabol, chiều rộng 8m, chiều cao 12,5m Tính diện tích cổng [4] Bài giải Giả sử parabol có phương trình y = ax + bx + c (a ≠ 0) (P) có đỉnh A(0; 25 ) qua B(4;0) nên ta có hệ phương trình: y 15 25 25   c = c =   ⇔ b = b =   25 −25 16a + a = =0 32   Vậy y = 10 x -8 -6 -4 -2 -5 −25 25 x + 32 Khi diện tích cần tìm là: S = 2∫ −25 25 200 x + dx = m 32 Bài 5: Vòm cửa lớn trung tâm văn Trong 2.3.2.b: đượccao tham8m khảo TLTK số hoá cómục dạng hìnhBài Parabol vàtừrộng 8m (như hình vẽ) Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này, biết kinh phí lắp cửa 660.000/m2 Hỏi cần tiền để lắp cửa ? Bài giải Giả sử parabol có phương trình y = ax + bx + c (a ≠ 0) (P) có đỉnh A(0;8) qua B(4;0) nên ta có hệ phương trình: 10 y  c = c =  −1  ⇔ b = Vậy y = x +8 b = 16a + =  −1  a =  x -8 -6 -4 -2 -2 -4 Diện tích vòm cửa là: S = 2∫ −1 128 x + dx = m Số tiền cần dùng là: T = 660000.S = 660000 128 = 28.160.000 đồng Bài 6: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) [7] Bài giải Xét hệ trục tọa độ 0xy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường tròn tâm O x + y = 36 y Phần nửa cung tròn phía trục Ox có x -8 phương trình y = 36 − x = f (x) -6 -4 -2 -2 Trong mục 2.3.2.b: Bài tham khảo từ TLTK số Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y = f (x) hai đường thẳng -4 -6 x = −3; x = 3 ⇒ S = ∫ 36 − x dx Đặt x = 6sin t ⇒ dx = cos tdt −3 Đổi cận : x = −3 ⇒ t = − π π π π ; x =3⇒ t = 6 π ⇒ S = ∫ 36cos 2tdt = 36 ∫ (c os2t+1) dt = 18(sin t + t) −6π = 18 + 12π − π − π 6 Do số tiền cần dùng T= 70000.S ≈ 4821322 đồng 11 Bài 7: Ông A trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB, CD, đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB = 2π (m) , AD = (m) Tính số tiền ông A cần có để trồng hoa biết kinh phí trồng hoa 1.000.000/m2.[6] Bài giải y Xét hệ trục tọa độ 0xy hình Diện tích trồng hoa diện tích hình phẳng giới hạn ĐTHS y = 3s inx , trục 0x, hai đường thẳng x = 0; x = 2π x -π/2 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π -1 -2 -3 -4 Diện tích trồng hoa là: S = 2π ∫ 2π 3sin x dx = ∫ sin x dx = 12 Do số tiền cần dùng là: T= 10000.S = 1.200.000 đồng Bài 8: Thành phố định xây cầu bắc ngang sông dài 500m, biết người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40m,biết bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày nhịp cầu không đổi 20cm Biết nhịp cầu hình vẽ Hỏi lượng bê Trong mục 2.3.2.b: Bài tham khảo từ TLTK số tông để xây nhịp cầu (bỏ qua diện tích cốt sắt nhịp cầu).[3] Bài giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với gốc O(0;0) chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol với chân đế) 12 Gọi Parabol có phương trình ( P1 ): y1 = ax + bx + c = ax + bx (do (P) qua O) ⇒ y2 = ax + bx − 20 = ax + bx − phương trình parabol 100 2 2 x + x ⇒ y2 = − x + x− Ta có (P1 ) qua I A ⇒ ( P1 ) : y1 = − 625 25 625 25 Khi diện tích nhịp cầu S = 2S1 với S1 phần giới hạn y1; y2 khoảng (0; 25) 0,2 S = 2( ∫ (− 25 2 x + x)dx + ∫ dx) ≈ 9,9m2 625 25 0,2 Vì bề dày nhịp cầu không đổi nên coi thể tích tích diện tích bề dày V = S 0, ≈ 9,9.0, ≈ 1,98m3 ⇒ số lượng bê tông cần cho nhip cầu ≈ 2m3 Trong mục 2.3.2.b: Bài tham khảo từ TLTK số Vậy 10 nhịp cầu bên cần ≈ 40m3 bê tông C Bài tập trắc nghiệm khách quan Câu 1: Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, đường thẳng x = a, x = b (như hình bên) Hỏi cách tính S y y= f đúng? b A S = ∫ f ( x ) dx B S = a c b a c C S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx c b a c (x) ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx c b a c c O a b x D S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3 , y = − x x = [5] A B C D x Câu 3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ( x − 1) e , y = x − [6] 13 A S = e + B S = e + C S = e − D S = e − 2x Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ( x − 1) e , trục hoành đường thẳng x = 0; x = [7] e4 e2 A + − 4 e4 e2 B − − 4 e4 e2 C + + 4 e4 e2 D − + 4 Câu 5: Người ta trồng hoa vào phần đất tô màu đen giới hạn cạnh AB, CD, đường trung bình MN mảnh đất hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (như hình vẽ) Biết AB = 2π (m) , AD = (m) Tính diện tích phần lại A 4π − B 4(π − 1) C 4π − D 4π − Câu 6: Gọi S diện tích Ban Công nhà có dạng hình vẽ (S giới hạn parabol (P) trục Ox [7] A S = B S = C S = D S = S = 2.3.3 Ứng dụng tích phân bài toán tính thể tích mụcly2.3.2.c: A.Trong Cơ sở thuyếtCâu tham khảo từ TLTK số 5, câu tham khảo từ TLTK số 6, câu tham khảo từ TLTK số 14 Dạng 1: Thể tích vật thể tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox là: b y f(x) a x b x z VOx = π ∫ y dx [1] Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục, dấu đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hai đường thẳng x = a, x = b quay xung quanh trục Ox tạo nên khối tròn xoay tích là: a y=f(x) y y=g(x) O a b x b V = π ∫ f ( x) − g ( x) dx [1] a B Bài tập Bài 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành y = e x , y = , x = , x = Bài giải Thể tích vật thể tròn xoay cần tính : π V = π ∫ (e ) dx = π ∫ e x dx = π ( e x ) = (e − 1) 2 0 1 x (đvtt) Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn bốn đường sau quanh trục hoành y = x − , y = 2x -4 , x = , x = Bài giải Trong mục 2.3.1.c: Câu tham khảo từ TLTK số Trong mục 2.3.3.a: Cơ sở lý thuyết tham khảo từ TLTK số 15 Thể tích vật thể tròn xoay cần tính : y (C) 32π V = π ∫ (2 x − 4) − ( x − 4) dx = (đvtt) 2 2 -3 -2 -1 x O -1 -2 -3 d -4 Bài 3: Tính thể tích hình xuyến tạo thành quay hình tròn (C): x + ( y − ) ≤ quanh trục Ox [4] Bài giải Hình tròn (C) có tâm I(0;2) bán kính R=1 có x2 + ( y − 2) = phương trình là: x + ( y − 1) = Ta có: ⇔ ( y − 1) = − x ( −1 ≤ x ≤ 1)  y = + − x2 ⇔  y = − − x Thể tích vật thể tròn xoay cần tính : (  V = π ∫  + − x2 −1  ) ( − − − x2 ) dx = 4π 2 Bài 4: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đây) Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2).Tính V [6] Hình Hình Bài giải tham khảo từ TLTK số 4, tham khảo từ TLTK Trong mục 2.3.3.b: Bài số 16 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình tròn có phương trình : y = 225 − x2, x ∈  −15;15 Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x , ( x ∈ −15;15 ) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S ( x ) (xem hình) Dễ thấy NP = y MN = NP tan450 = y = 15 − x2 ( ) S x = ( 1 MN NP = 225 − x2 2 ) 15 15 ( ) ( suy thể tích hình nêm : V = ∫ S x dx = ∫ 225 − x2 dx = 2250 cm3 −15 −15 ( ) ) Bài 5: Tính thể tích thùng chứa rượu hình tròn xoay có đáy hình tròn chiều cao bình 16cm Đường cong bình cung tròn đường tròn bán kính [3] Không tính tổng quát ta xem tâm đường tròn tâm O gốc tọa độ, ta có phương trình x + y = 81 thể tích bình hình tròn xoay bị giới hạn đường tròn x + y = 81 , y = 0; x = −8; x = 8 Vậy thể tích là: V = π ∫ −8 ( 81 − x π ) dx = 2864 c Bài tập trắc nghiệm khách quan Câu 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay quay hình phẳng (H) giới hạn đồ Trong mục 2.3.3.b: Bài tham khảo từ TLTK số thị hàm số y = , trục hoành, đường thẳng x=1 x=4 quay (H) quanh Ox x [5] 17 B.12 π A ln 256 C.12 D.6π Câu 2: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giói hạn đường y = 1- x2;y = quay quanh trục Ox là: [6] A 16 p 15 B 15 p 16 D p C 30 Câu 3: Tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − 2x y = − x quay quanh trục Ox [7] A B 4π C π D Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn đường y = −2 + x , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay.[7] A V = π B V = π C V = 32 π D V = 229 π Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn đường y = x − 2x , trục hoành, trục tung, đường thẳng x = Tính thể tích V hình tròn xoay sinh (H) quay A V = (H) quanh trục Ox [5] 8π 15 B V = 4π C V = 15π D V = 7π Câu 6: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = − x , y = quanh trục Ox có kết viết dạng nhau) Khi a+b A 11 B 17 aπ (a, b nguyên tố b [7] C 31 D 25 Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn đường y = −2 + x , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = quay xung quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay Tính thể tích V khối tròn xoay [5] A V = π B V = π C V = 32 π D V = 229 π Trong mục 2.3.3.c: Câu tham khảo từ TLTK số 5, câu tham khảo từ TLTK số 6, câu 3, tham khảo từ TLTK số Trong mục 2.3.3.c: câu tham khảo từ TLTK số 5, câu tham khảo từ TLTK 18 số 7, câu tham khảo từ TLTK số 6, 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Kết từ thực tiễn - Khi chưa áp dụng đề tài học sinh gặp nhiều khó khăn giải ứng dụng tích phân phân toán thực tế học sinh không định hướng cách làm mà nhớ máy móc nên hay mắc sai lầm trình suy luận (không nắm mối liên hệ đại lượng; khó hình dung đượng hình phẳng…) đẫn đến kết không cao - Khi áp dụng đề tài: Sau hướng dẫn học sinh yêu cầu học sinh giải số tập ứng dụng tích phân phân toán thực tế đề thi khảo sát chất lượng thi THPT Quốc gia 2017 (do Sở Giáo dục Đào tạo Thanh Hóa, trường THPT Nguyễn Trãi trường nước tổ chức) em biết cách làm giải lượng lớn tập 2.4.2 Kết thực nghiệm: Sáng kiến áp dụng năm học 2016-2017, kiểm tra áp dụng hai đối tượng lớp 12 C1 không áp dụng sáng kiến 12C2 áp dụng sáng kiến (mỗi lớp 20 học sinh trình độ ngang nhau) sau: Lớp Điểm giỏi Điểm Điểm TB 9-10 Lớp không thực nghiệm 12 C1 Lớp thực nghiệm 12 C2 7-8 5-6 Điểm TB 13 Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải liên quan ứng dụng tích phân phân toán thực tế em làm thận trọng hiểu chất vấn đề không tính rập khuôn cách máy móc trước, việc thể việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh 19 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Nghiên cứu, phân tích ứng dụng tích phân toán thực tế có ý nghĩa lớn trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi cuối kỳ, cuối năm học đặc biệt thi THPT Quốc gia 3.2 Kiến nghị Với kết ban đầu thu sau thời gian áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “Ứng dụng tích phân toán thực tế”, đề nghị nhà trường tổ chức khảo nghiệm có ý kiến góp ý, đạo để tiếp tục hoàn chỉnh đề tài, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán học nói riêng, chất lượng học tập toàn trường nói chung Hiện nhà trường có số sách tham khảo nhiên chưa có sách tham khảo viết sai lầm học sinh giải toá n Vì nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại để học sinh tìm tòi ứng dụng tích phân toán thực tế để em tránh sai lầm làm tập Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 10 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN ḿnh viết, không chép nội dung người khác Hoàng Thị Xuân PHỤ LỤC 20 Danh mục tài liệu tham khảo: Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 12 (Cơ - NXB GD) Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp 12 (Nâng cao - NXB GD) Ứng dụng toán vào thực tiễn - Trần Văn Tài Chuyên đề toán thực tế - Đoàn Văn Bộ Một số đề KSCL lớp 12 hocmai.vn Một số đề KSCL lớp 12 MATHVN.com Một số đề KSCL lớp 12 violet 21 ... phân toán chuyển động 2. 3 .2 Ứng dụng tích phân toán tính diện tích 2. 3.3 Ứng dụng tích phân toán tính thể tích 15 2. 4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 Kết luận 20 Kiến... b =   25 25 16a + a = =0 32   Vậy y = 10 x -8 -6 -4 -2 -5 25 25 x + 32 Khi diện tích cần tìm là: S = 2 25 25 20 0 x + dx = m 32 Bài 5: Vòm cửa lớn trung tâm văn Trong 2. 3 .2. b: đượccao... Lớp không thực nghiệm 12 C1 Lớp thực nghiệm 12 C2 7-8 5-6 Điểm TB 13 Sau thực sáng kiến học sinh học tập tích cực hứng thú đặc biệt giải liên quan ứng dụng tích phân phân toán thực tế em làm