Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế 2

Đối với môn Toán, năm nay là năm đầu tiên thi THPT Quốc gia theo hìnhthức TNKQ nên học sinh có phần lúng túng khi làm bài tập đặc biệt là một sốdạng bài tập ứng dụng tích phân trong bài

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

MỤC LỤC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TOÁN THỰC TẾ

Người thực hiện: Hoàng Thị Xuân Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ, NĂM 2017

I MỞ ĐẦU 1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triển nguồn nhân lực

đã từng được khẳng định trong các văn kiện Đảng trước đây, đặc biệt là trongNghị quyết sô 29 của Hội nghị Trung ương 8, khóa XI, khẳng định đây khôngchỉ là quốc sách hành đầu, là “ chìa khóa” mở ra con đường đưa đất nước tiếnlên phía trước, mà còn là “ mệnh lênh” của cuộc sống

Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục theo chủ trương của Đảng, từnăm 2015, bộ giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi THPT quốc gia được tổchức theo hướng giảm áp lực, giảm tốn kém cho thí sinh, gia đình và xã hộinhững kết quả vẫn bảo đảm độ tin cậy để xét tootd nghiệp THPT và làm căn cứcho các trường đại học, cao đẳng sử dụng trong tuyển sinh

Các kỳ thi năm 2015, 2016 đã được tổ chức thành công, sau mỗi năm cónhững điều chinh, hoàn thiện tốt hơn Tuy nhiên, việc tổ chức thi 8 môn với 4môn theo hình thức tự luận tạo điều kiện để học sinh học tủ, học lệch…

Để từng bước khắc phục các hạn chế trên, kỳ thi THPT quốc gia năm

2017 sẽ tổ chức thi 5 nài thi: Toán, Ngữ Văn, Ngoại ngữ, Khoa học tự nhiên(KHTN) và Khoa học Xã hội (KHXH), Môn ngữ văn thi theo hình thực tự luận,các bài thi khác theo hình thức trắc nghiệm khách quan Với hình thức thi này sẽhướng tới học sinh học tập toàn diện, khắc phục dần tình trang học tủ, học lệnh

Đối với môn Toán, năm nay là năm đầu tiên thi THPT Quốc gia theo hìnhthức TNKQ nên học sinh có phần lúng túng khi làm bài tập đặc biệt là một sốdạng bài tập ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế Chính vì vậy, tôi mạnh

dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Ứng dụng tích phân trong bài toán

thực tế”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Cung cấp một số bài tập tương đối phong phú, đa dạng về ứng dụng tíchphân có tác dụng tốt để rèn luyện tư duy mềm dẻo, linh hoạt, khéo léo cho họcsinh

- Thông qua đây học sinh có thể làm tốt các bài tập liên quan

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Ứng dụng tích phân trong giải bài toán thực tế

- Áp dụng vào giảng dạy cho học sinh lớp 12 năm học 2016-2017 tạitrường THPT Nguyễn Trãi

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Tìm hiểu và đọc sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí, mạng internet,các đề thi thử của các trường THPT, các chuyên đề có liên quan

Quan sát việc học tập của học sinh, tham khảo ý kiến các thầy cô giáo trong

tổ bộ môn

II NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận

Tích phân là nội dung chính trong giải tích và là chuyên đề quan trọngtrong toán THPT, tích phân có ứng dụng trong một số bài toán về chuyển động,tính diện tích, tính thể tích…

Để giúp học sinh tích cực, chủ động trong học môn Toán - một môn Khoahọc tự nhiên khô khan thì người giáo viên cần phải sáng tạo trong phương phápgiảng dạy, dạy học gắn với thực tế; từ đó kết quả dạy và học đạt được cao hơn

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chươngtrình toán giải tích lớp 12 Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinhhiểu rõ ý nghĩa thực tế của tích phân Đây cũng là một nội dung thường gặp

khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặpnhững khó khăn , sai lầm sau :

- Không biết mối liên hệ giữa các đại lượng: quãng đường, vận tốc, gia tốc trongbài toán chuyển đông

- Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng(hay vật thể tròn xoay )

-Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ”

để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng Từ đó học sinhchưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoayđang học

- Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật trònxoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹnăng chuyển bài toán về dạng quen Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinhthường gặp phải

-Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệtđối

2.3 Các giải pháp đã sử dụng

2.3.1 Ứng dụng tích phân trong bài toán chuyển động.

a Cơ sở l‎ ý thuyết Giả sử một vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời

gian,vf t( ) (0  t T) Chứng minh rằng quãng đường S vật đi được trongkhoảng thời gian từ thời điểm t a đến thời điểm t b (0 a b T  ) là

Gọi s s t ( ) là quãng thời đường đi được của vật cho đến thời điểm t Quãng

Bài giảiQuãng đường máy bay bay từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

4 4

S t  dt t  t  m

Bài 2: Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/ s thì người người đạp phanh Saukhi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t( )  30 15( / )t m s

trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ

lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Bài giảiLấy mốc thời gian là lúc ô tô bắt đầu được đạp phanh

Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc ô tô dừng hẳn

Bài 4: Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu

lúc bắn cho đến khi dừng lại [2]

9.8 4.9

v t = Þ t = =

10 4.9

Bài giải:

Lấy mốc thời gian là lúc xe bắt đầu được đạp phanh

Gọi T là khoảng thời gian từ lúc bắt đầu phanh đến lúc xe máy dừng hẳn

tốc Trong mục 2.3.1.b: Bài 4v t2 ( ) 20 4 ( / )   t m s và đi thêm một khoảng thời gian được tham khảo từ TLTK số 2. t2nữa thì dừng lại Biết

tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 4s Hỏi xe đã đi được quãngđường bao nhiêu mét [3]

Bài giảiĐến lúc phanh vận tốc của xe là: v t1 ( ) 2  t 10( / )m s đó cũng là vận tốc khởi

Vậy vận tốc ban đầu của ô tô là: 20 m/s

c Bài tập trắc nghiệm khách quan.

Câu 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởicông thức v t( ) 6  t 1, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi đượctính theo đơn vị mét Quãng đường vật đó đi được trong 10 giây đầu tiên là:

Câu 2: Một vật đang chuyển động với vận tốc 8m s/  thì tăng tốc với gia tốc là

một hàm phụ thuộc thời gian t được xác định a t   3t 6t2 m s/ 2 Khi đóquảng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăngtốc là

A 5600 (mét) B 2150 (mét) C 2160 (mét) D 5580 (mét)

Trong mục 2.3.1.b: Bài 6 được tham khảo từ TLTK số 3, bài 7 được tham khảo từ TLTK

số 4

Câu 3: Một vật chuyển động với gia tốc a t( )  20 1 2  t2( / )m s2 Khi t 0

Câu 6: Một ô tô đang chạy với tốc độ 36 km/h thì hãm pham, chuyển động

được quãng đường bao nhiêu thì dừng lại?[5]

A 100m B 200m C 300m D 400m

2.3.2.Ứng dụng tích phân trong bài toán tính diện tích.

A Cơ sở l‎ ý thuyết

Dạng 1: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục

hoành và hai đường thẳng x = a , x = b l‎à:

b

a

dx x f

Ghi nhớ :

* Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b]

(hay vô nghiệm trên [a ; b] ) thì ta có :

a

dx x f dx

x

f

Trong mục 2.3.1.c: Câu 3 được tham khảo từ TLTK số 4, câu 4 được tham khảo từ

TLTK số 7, câu 6 được tham khảo từ TLTK số 5.

* Nếu phương trình f(x) = 0 có k

x x

x a

b

dx x f dx

x f dx x f dx

y = g(x) l‎iên tục trên [a; b] Khi đó

diện tích của hình phẳng giới hạn

f(x)-g(x) có dấu không đổi

b a

B Bài tập

Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

1 3

(C ) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị (C ), trục hoành, trục tung và đường

thẳng x = 2

Bài giảiTrục tung có phương trình : x = 0

Diện tích S của hình phẳng trên là

dx x

4

Phương trình x3 3  x2  2 0   x 1

2 3 0

5 4

5 4

5 4

5 1

2 ) 2 4

( 0

1 ) 2 4

x y

Bài 5: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn

hoá có dạng hình Parabol cao 8m và rộng 8m

(như hình vẽ) Người ta dự định lắp cửa kính

cường lực cho vòm cửa này, biết kinh phí lắp

y x 

-4 -2 2 4 6 8

đối xứng, biết kinh phí trồng cây là

70000đồng 2

để trồng cây trên dải đất đó (số tiền

được làm tròn đến hàng đơn vị) [7]

Bài giảiXét hệ trục tọa độ 0xy đặt vào tâm khu

vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm

x  y  36

Phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có

phương trình y 36  x2 f(x)

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần

diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục

3; 3

x x

-8 -6 -4 -2 2 4 6 8

-6 -4 -2

2 4 6

x y

3

2 3

Bài 7: Ông A trồng hoa vào phần đất được tô

màu đen được giới hạn bởi cạnh AB, CD, đường

Diện tích trồng hoa là diện tích hình phẳng giới

thẳng x 0;x 2 

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

x y

Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ Hỏi lượng bêtông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu (bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịpcầu).[3]

Bài giảiChọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúcParabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chânđế)

Trong mục 2.3.2.b: Bài 7 được tham khảo từ TLTK số 6

Gọi Parabol trên có phương trình (P1): 2 2

C. Bài tập trắc nghiệm khách quan.

Câu 1: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục

đường trung bình MN của mảnh đất hình chữ

nhật ABCD và một đường cong hình sin (như

hình vẽ) Biết AB 2 (m)  , AD 2(m) Tính diện

tích phần còn lại

Câu 6: Gọi S là diện tích của Ban Công của

một ngôi nhà có dạng như hình vẽ (S được giới

2.3.3 Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích.

số 6, câu 4 được tham khảo từ TLTK số 7.

Dạng 1: Thể tích của vật thể tròn

xoay khi cho hình phẳng giới hạn

bởi các đường y = f(x), trục Ox và

hai đường thẳng x = a, x = b quay

xung quanh trục Ox là:

2 Ox

b a

V y dx

[1]

Dạng 2: Cho hai hàm số y = f(x)

và y = g(x) liên tục, cùng dấu trên

đoạn [a; b] Hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của các hàm số trên và hai

đường thẳng x = a, x = b quay xung

quanh trục Ox tạo nên một khối tròn

xoay có thể tích là:

b a

f x g x dx



B Bài tập

Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn

Bài giải

Thể tích của vật thể tròn xoay cần tính là :

) 1 ( 2 0

1 ) 2

1 ( )

1

0 2 1

Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay hình phẳng giới hạn



Bài giảiThể tích của vật thể tròn xoay cần tính là :

2

0

32 (2 4) ( 4)

2 -2

4

-3 -4 -1

3 2 1

y=f(x)

O

y

x

Trong mục 2.3.1.c: Câu 6 được tham khảo từ TLTK số 7.

Trong mục 2.3.3.a: Cơ sở lý thuyết được tham khảo từ TLTK số 1.

Bài 3: Tính thể tích hình xuyến tạo thành do quay hình tròn (C): x2y 22  1

quanh trục Ox [4]

Bài giảiHình tròn (C) có tâm I(0;2) bán kính R=1 có

Bài 4: Từ một khúc gõ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi

Hình 1 Hình 2

Bài giảiChọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó hình

nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình :

y 225  x x2 ,    15;15 

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox

tại điểm có hoành độ x,x   15;15 

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là

 

Trong mục 2.3.3.b: Bài 3 được tham khảo từ TLTK số 4, bài 4 được tham khảo từ TLTK

số 6.

Dễ thấy NP y và MN NP tan450  y 15  x2khi đó

Bài 5: Tính thể tích thùng chứa rượu là một hình tròn xoay có 2 đáy là hình tròn

bằng nhau và chiều cao bình là 16cm Đường cong của bình là một cung tròn

3



c Bài tập trắc nghiệm khách quan.

Câu 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ

Câu 3: Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x  2  2x và y  x 2quay quanh trục Ox [7]

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x, trục Ox và hai

A. 11 B. 17 C. 31 D. 25

Câu 7: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y  2 x, trục Ox và hai

thể tích V của khối tròn xoay [5]

Trong mục 2.3.3.c: Câu 1 được tham khảo từ TLTK số 5, câu 2 được tham khảo từ TLTK

số 6, câu 3, 4 được tham khảo từ TLTK số 7

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

2.4.1 Kết quả từ thực tiễn

- Khi chưa áp dụng đề tài học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các ứngdụng tích phân phân trong bài toán thực tế và học sinh không định hướng đượccách làm mà chỉ nhớ máy móc nên hay mắc sai lầm trong quá trình suy luận(không nắm được mối liên hệ giữa các đại lượng; khó hình dung đượng hìnhphẳng…) đẫn đến kết quả không cao

- Khi áp dụng đề tài: Sau khi hướng dẫn học sinh và yêu cầu học sinh giảimột số bài tập ứng dụng tích phân phân trong bài toán thực tế các đề thi khảosát chất lượng thi THPT Quốc gia 2017 (do Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa,trường THPT Nguyễn Trãi và các trường trên cả nước tổ chức) thì các em đãbiết cách làm và đã giải được một lượng lớn bài tập đó

2.4.2 Kết quả thực nghiệm:

Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2016-2017, bài kiểm tra áp dụngtrên hai đối tượng lớp 12 C1 không áp dụng sáng kiến và 12C2 áp dụng sángkiến (mỗi lớp 20 học sinh trình độ ngang nhau) như sau:

9-10

Điểm khá 7-8

Điểm TB 5-6

Điểm dưới TB

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặcbiệt là khi giải các bài liên quan ứng dụng tích phân phân trong bài toán thực tếcác em làm bài rất thận trọng và hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rậpkhuôn một cách máy móc như trước, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tíchcực, chủ động, sáng tạo của học sinh

III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Nghiên cứu, phân tích ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế có ýnghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ giúp họcsinh nhìn thấy được những điểm yếu và những hiểu biết chưa thật thấu đáo củamình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh tư duy độc lập, năng lực suy nghĩtích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân từ đó làmchủ được kiến thức, đạt được kết quả cao trong quá trình học tập và các kỳ thicuối kỳ, cuối năm học và đặc biệt là thi THPT Quốc gia

3.2 Kiến nghị

Với những kết quả ban đầu thu được sau một thời gian áp dụng sáng kiến

kinh nghiệm “Ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế”, tôi đề nghị nhà

trường tổ chức khảo nghiệm và có ý kiến góp ý, chỉ đạo để tôi tiếp tục hoànchỉnh đề tài, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán học nói riêng,chất lượng học tập toàn trường nói chung

Hiện nay nhà trường đã có một số sách tham khảo tuy nhiên chưa có mộtsách tham khảo nào viết về sai lầm của học sinh khi giải toá n Vì vậy nhàtrường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo loại này đểhọc sinh được tìm tòi về ứng dụng tích phân trong bài toán thực tế để các em cóthể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 10 tháng 5 năm

2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của ḿnh viết,

không sao chép nội dung của người khác

Hoàng Thị Xuân

Danh mục tài liệu tham khảo:

1 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12 (Cơ bản - NXB GD).

2 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 12 (Nâng cao - NXB GD).

3 Ứng dụng toán vào thực tiễn - Trần Văn Tài

4 Chuyên đề bài toán thực tế - Đoàn Văn Bộ

5 Một số đề KSCL lớp 12 của hocmai.vn

6 Một số đề KSCL lớp 12 của MATHVN.com

7 Một số đề KSCL lớp 12 của violet