Ứng dụng tích phân vào bài toán diện tích trong thực tế

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG 2.1 Cơng thức tính diện tích hình tích phân 2.2 Các ví dụ điển hình Kết luận kiến nghị 4.TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài - Ở lớp THCS biết cách tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật hình đa giác đưa hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để tính diện tích Nhưng thực tế sống khoa học kỹ thuật, cần phải tính diện tích hình phẳng phức tạp như: ta phải tính diện tích cánh rừng, diện tích ruộng (như hình ảnh sau) Nhưng lúc chia hình cần tính diện tích hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật Vậy ta tính diện tích hình phức tạp khơng Nếu tính tính diện tích nào? - Ta biết nội dung chương trình mơn Tốn chương trình phổ thơng tinh giản nhiều so với chương trình hành, trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn với đời sống thực tế - Theo Ban Phát triển chương trình mơn học (Bộ GD-ĐT), chương trình phổ thơng mới, mơn Tốn mơn học bắt buộc phân chia theo hai giai đoạn: Giai đoạn giáo dục bản: giúp học sinh nắm cách có hệ thống khái niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết cho tất người, làm tảng cho việc học tập trình độ học tập sử dụng đời sống hàng ngày Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có nhìn tương đối tổng qt Tốn học, hiểu vai trò ứng dụng Toán học đời sống thực tế Nói tóm lại: Tốn học gần gũi với sống hàng ngày sử dụng Toán học để giải vấn đề nảy sinh sống, mục tiêu Chính xuất tốn thực tiễn đề thi THPTQG thiếu nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ học Tốn Vì lẽ tác giả chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TỐN DIỆN TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có nhìn đổi cách tiếp cận kiến thức Toán học 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực dạy học - Giúp học sinh tiếp cận dần toán tìm diện tích Tích phân - Thiết kế giáo án thực nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Khai thác số ví dụ tốn tìm diện tích hình phẳng tích phân thực tiễn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: tài liệu tham khảo, giáo trình có nội dung liên quan - Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chun gia… - Nhóm phương pháp xử lý thơng tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp… 1.5 Những điểm SKKN Người viết lựa chọn đề tài mảng kiến thức mà sách giáo khoa hành chưa đề cập nhiều NỘI DUNG 2.1 Cơng thức tính diện tích hình tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f(x) liên tục [ a; b ] , trục hoành đường thẳng x = a; x = b - Cho hàm số y = f(x) liên tục [ a; b ] diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành đường thẳng x = a ; x = b tính theo cơng thức: b S = ∫ f ( x) dx a - Nhận xét: Để tính diện tích hình phẳng ta cần phải tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Vì mà ta phải tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x), y = g ( x) liên tục đoạn [ a; b ] hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a * Đối với hình khơng thuộc dạng ta tìm cách quy chọn hệ trục tọa độ thích hợp đồng thời tìm hàm biểu diễn sau ứng dụng tích phân 2.2 Một số tốn điển hình Bài tốn Thầy An làm cửa nhà hình Parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiềnThầy Tâm phải trả A.12750000 đồng B.3750000 đồng C.6750000 đồng D.33750000 đồng Lời giải Chọn C Chọn hệ trục hình vẽ, Parabol đồ thị hàm có dạng y = ax + c Vì chiều cao 2,25m nên c = 2, 25 = , lại có chiều rộng biên giáp với mặt đất 3m nên 3  A  ;0 ÷ ⇒ a = −1 y = − x2 +  Dẫn Parabol qua điểm  Do phương trình Parabol đến mái vòm có diện tích S= 3 − ∫  9  − x + ÷dx = 4 m  ( ) 1500000 = 6750000 Số tiền cần trả: (VNĐ) Bài tốn Sân trường có bồn hoa hình tròn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh m (như hình vẽ) Phần diện tích Sl , S dùng để trồng S S hoa, phần diện tích , dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng đồng B 5.790.000 đồng C 3.000.000 đồng D 3.270.000 Lời giải Chọn D Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng phương trình y= y = ax + bx + c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B ( 2;2 ) nên có x Đường tròn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB = 2 nên có phương trình x + y = Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y = − x2   S1 = ∫  − x − x ÷dx  −2  Vậy diện tích phần   S1 + S2 = ∫  − x − x ÷dx ≈ 15, 233  −2  Do đó, diện tích trồng hoa Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: ( ( 15, 233 ×150.000 + π 2 ) ) − 15, 233 ×100.000 ≈ 3.274.924 đồng Làm tròn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng Bài tốn Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ ( ) hình vẽ bên.Tính diện tích S mảnh đất tọa độ Oxy Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét 16 y = x 25 − x S= 125 m2 ) ( B S= 125 (m ) C S= 250 (m ) D S= 125 (m ) A Lời giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy y = ± x − x2 Từ giả thuyết tốn, ta có Góc phần tư thứ y= x 25 − x ; x ∈ [ 0;5] Nên S( I ) = 125 125 x 25 − x dx = ⇒S = (m ) ∫ 40 12 Bài tốn Một cơng ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC = m , chiều dài CD = 12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN = m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m2 Hỏi công tyX cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng B đồng C 20.600.000 đồng D 21.200.000 đồng Lời giải Chọn B - Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hoành trùng với đường thẳng y = − x2 + 6 MN parabol có phương trình 208   S = ∫  − x + ÷dx = m   − - Khi diện tích khung tranh 208 × 900.000 = 20.800.000 - Suy số tiền là: đồng Bài toán Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường tròn tâm gốc toạ độ, bán kính phía Elip có độ dài trục lớn trục nhỏ (như hình vẽ) 2 ... tài ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TỐN DIỆN TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có nhìn đổi cách tiếp cận kiến thức Toán học 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực dạy... học sinh tiếp cận dần tốn tìm diện tích Tích phân - Thiết kế giáo án thực nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Khai thác số ví dụ tốn tìm diện tích hình phẳng tích phân thực tiễn 1.4 Phương pháp nghiên... tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật hình đa giác đưa hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để tính diện tích Nhưng thực tế sống khoa học kỹ thuật, cần phải tính diện tích