Ứng dụng tích phân vào giải một số bài toán liên quan đến thực tế

I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong giai đoạn phát triển khoa học công nghệ nay, trình độ tri thức người bước cải thiện phát triển rõ rệt Vì dạy học, giáo viên cần tạo điều kiện để học sinh phát triển lực trí tuệ, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo học tập, biết nhận biết vấn đề góc độ khác nhau, tìm tịi để bước hình thành kiến thức Đồng thời biết vận dụng kiến thức học vào giải tốn liên quan đến thực tế Đây mục tiêu mà giáo dục hướng tới Bộ giáo dục đưa vào đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia năm gần Chủ đề tích phân ứng dụng tích phân lớp 12 chủ đề mà có tính liên hệ thực tế cao Trong q trình giảng dạy tơi đúc kết số kinh nghiệm vấn đề nhằm giúp em hiểu biết vận dụng tích phân vào giải tốn có kiến thức thực tế tính diện tích, thể tích tốn chuyển động Vì tơi chọn đề tài: “ Ứng dụng tích phân vào giải số toán liên quan đến thực tế " 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tơi khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết mặt tốn học; tơi trình bày số ứng dụng tích phân để giải số tốn có liên quan đến kiến thức thực tế nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh nắm vững kiến thức bản, đồng thời phát triển tư sáng tạo, linh hoạt, biết vận dụng kiến thức mà học sách giáo khoa vào tốn có yếu tố thực tiễn 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu học sinh lớp 12A2 12A4 trường THPT Lê Hoàn - Thọ Xuân - Thanh Hố Trong q trình giảng dạy thân định hướng, dẫn dắt học sinh vào tốn có tính thực tế, sau chia thành nội dung, dạng khác Với nội dung đưa số ví dụ minh họa kèm theo lời giải chi tiết Sau cung cấp cho em số tập vận dụng cho dạng, vấn đề bảng đáp án để em đối chiếu 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: + Thông qua việc nghiên cứu loại tài liệu chun mơn có liên quan đến đề tài + Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa lớp 12, mục đích, yêu cầu chương nguyên hàm tích phân ứng dụng tích phân - Phương pháp đàm thoại lấy ý kiến học sinh giáo viên có nhiều kinh nghiệm cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm A DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Trang � a; b� liên tục, khơng âm � � Khi diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) , trục hoành đường thẳng x  a, x  b là: Định lý 1: Cho hàm số y  f (x) b S � f (x)dx a Bài toán liên quan: � a;b� Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) liên tục đoạn � �, trục b hoành hai đường thẳng x  a , x  b xác định: S �f (x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 c3 b x �y  f (x) � �y  (H ) � �x  a � �x  b S b f (x) dx � a Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f (x) , y  g(x) liên tục đoạn � a;b� � �và hai đường thẳng x  a , x  b xác định: y S b �f (x)  g(x) dx a � (C1): y  f1(x) � (C ): y  f2( x) � (H ) � �x  a �x  b � (C1) (C2 ) b O a c1 c2 b x S f (x)  f (x) dx � a Bài tốn 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C1) : y  f1(x) (C2 ) : y  f2(x) là: S xn �f (x)  g(x)dx x1 Trong đó: x1 , xn tương ứng nghiệm nhỏ lớn phương trình f (x)  g(x) B THỂ TÍCH CỦA KHỐI TRỊN XOAY Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x , (a �x �b) Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn � a;b� � � Trang (V) b x O a b x V  �S(xdx ) a S(x) Thể tích khối trịn xoay Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f (x) , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b � (C ): y  f (x) � b (Ox): y  � V   f ( x ) dx  � x � x �x  a a � �x  b Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g(y) , trục hoành hai đường thẳng y  c , y  d quanh trục Oy: y d c O x �(C): x  g(y) � �(Oy): x  � �y  c � �y  d d VOy   �  g ( y ) dy c Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường b y  f (x) , y  g(x) hai đường thẳng x  a , x  b quanh trục Ox: VOx   � f 2(x)  g2(x) dx a C BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG TRONG VẬT LÝ  t  Do ta có số cơng thức: (t ) , a  t   v� Theo khái niệm vật lý, ta có: v (t )  s� s t  � v  t  dt v t  � a  t  dt Trang t2 t t  Quãng đường vật từ thời gian t1 đến thời gian t2 , : s� v  t  dt t1 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm a.Thuận lợi + Các nội dung diện tích hình phẳng dạng bản, thể tích vật thể, thể tích khối trịn xoay; Mối quan hệ ba yếu tố toán chuyển động quảng đường, vận tốc, thời gian trình bày cách rõ ràng, đầy đủ chương trình sách giáo khoa + Khi thực tính tích phân học sinh sử dụng máy tính Casio để đưa kết b Khó khăn Đây vấn đề có liên quan đến thực tế nên khơng đơn giản, khó khăn học sinh yếu suy luận, khả tư cụ thể hoá , trừu tượng hoá Hầu hết em học sinh thường có cảm giác “sợ” toán dạng Khi học vấn đề nhìn chung em thường khơng biết huy động kiến thức nào, cơng thức cho phù hợp Một khó khăn lớn việc chuyển đổi tốn có nội dung thực tiễn tốn mà có cơng thức giải, từ áp dụng cơng thức vào để giải vấn đề khó khăn với học sinh Thêm vào sách giáo khoa sách tham khảo có ví dụ minh hoạ giải chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục khó khăn Do đòi hỏi nỗ lực tâm cao thầy trò 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh , tổng hợp lựa chọn số tốn bản, giải tích phân Trên sở tơi hướng dẫn học sinh giải số tốn tương tự tìm tịi giải thêm số tốn VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TIỄN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A.Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng liên quan đến elip Ví dụ 1.1 Trong hệ toạ độ Oxy cho Elip có phương trình : , Diện tích elip cho : A S a.b (đvdt) 4 a 2b S C  ab S B Trang D S   a b Lời giải y b a2  x2 a Phần đường cong phía trục Ox có phương trình là: a b S  � a  x dx a a Suy diện tích Elip là: Bằng phương pháp đổi biến ta thu S   ab Ví dụ 1.2 (Đề thi thử nghiệm kỳ thi THPTQG năm 2017) Ông An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa mảnh đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí trồng hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa mảnh đất (số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục toạ độ hình vẽ x2 y2   Ta có phương trình đường elip là: 64 25 x2 y  1 64 Phần đường cong phía trục Ox Elip có phương trình là: Suy diện tích mảnh đất trồng hoa là: S  2� 1 4 x2 dx 64 Sử dụng MTCT ta tính S = 76,5289182 ( m ) Suy số tiền để mảnh đất là: S 100000 = 7652891,82 (đồng) Do làm tròn đến hàng nghìn nên số tiền 7.653.000 đồng Chọn B Ví dụ 2: Diện tích hình phẳng liên quan đến hình dạng parabol Ví dụ 2.1 Cổng trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hình dạng Parabol có chiều rộng m chiều cao 12,5 m Diện tích cổng là: Trang A 100  m  B 200  m  100 m  C Lời giải 200 m  D Xét hệ trục tọa độ hình vẽ mà trục đối xứng Parabol trùng với trục tung, trục hoành trùng với đường tiếp đất cổng Khi Parabol có phương trình dạng y  ax  c Vì  P qua đỉnh I  0;12,5   P nên ta có c  12,5 cắt trục hoành hai điểm 25  P  : y   x  12,5 32 Do A  4;0  B  4;  nên ta có  16a  c �a  c 25  16 32 � 25 � S� dx  200  m  � x  12,5 � 32 � 4 � Diện tích cổng là: Chọn D Ví dụ 2.2 Một khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính (m) Trên người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường trịn (phần tơ màu), cách khoảng (m), phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản.Biết kích thước cho hình vẽ kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng cỏ Nhật Bản phần đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 3.895.000 (đồng) B 1.948.000 (đồng) C 2.388.000 (đồng) Lời giải Trang D 1.194.000 (đồng) Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ y  R2  x2  Khi phương trình nửa đường trịn Phương trình parabol  P  có đỉnh gốc O có dạng  a  2  � a   5  x  20  x y  ax Mặt khác  P  qua điểm M  2;4  đó: Phần diện tích hình phẳng giới hạn  20  x � S1  Ta có cơng thức   P  nửa đường trịn ( phần tơ màu)  x dx  11,94m2 Strongco  Shinhtron  S1 �19,47592654 Vậy phần diện tích trồng cỏ S �100000 �1.948.000 Vậy số tiền cần có trongxo (đồng) Chọn B 2 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng số loại hình hoa văn Ví dụ 3.1 Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương   16 y  x 25  x Oxy trình hệ tọa độ hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét y x 125 250 125 m2  S m2  S    m2  3 A B C D Lời giải Vì tính đối xứng nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc S 125 m  S góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thiết tốn, ta có y  x 25  x ; x � 0; 5 Góc phần tư thứ y  � x  x2 S( I )  Nên 125 125 x 25  x dx  �S  (m ) � 40 12 Chọn D Ví dụ 3.2 Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách kht bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB  cm, OH  cm Tính diện tích bề mặt hoa văn Trang 160 cm A 140 cm B 14 cm C D 50 cm Lời giải Đưa parabol vào hệ trục Oxy ta tìm phương trình là: Diện tích hình phẳng giới hạn  P : y    P : y   16 16 x  x 25 16 16 x  x 25 , trục hoành đường thẳng x  , � 16 16 � 40 S �  x  x� dx  � 25 � x  là: 0� Tổng diện tích phần bị khoét đi: S1  4S  160 cm Diện tích hình vng là: S hv  100 cm Vậy diện tích bề mặt hoa văn là: S  Shv  S1  100  160 140  cm 3 Chọn B B Bài tập vận dụng Câu (Đề minh hoạ BGD năm 2019) Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A2 B1 B2 , , hình vẽ Biết chi phí sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/ m phần lại 100.000đồng/ m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1A2 = 8m B1B2 = 6m , tứ giác MNPQ hình chữ nhật có MQ = 3m ? Trang A1 , A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng Câu (Phát triển đề minh họa năm 2019) Một họa tiết hình cánh bướm hình vẽ Phần tơ mầu đậm đính đá với giá thành 500.000đ/m Phần cịn lại tơ màu với giá thành 250.000đ / m Cho AB  4dm; BC  8dm Hỏi để trang trí 1000 họa tiết cần số tiền gần với số sau A 105660667đ B 106666667đ C 107665667đ Câu Một công ty quảng cáo muốn làm tranh trang trí hình MNEIF giữacủa tường A hìnhchữ nhật ABCD có chiều cao BC  m , chiều dài D 108665667đ 12 m I B E F 6m CD  12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 D M 4m N đồng/ m Hỏi cơng ty cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng B 21.200.000 đồng C 20.800.000 đồng D 20.600.000 đồng Câu 4.(Thi thử chuyên ĐH Vinh – Lần - 2018) Một cổng chào có dạng hình Parabol chiều cao 18 m , chiều rộng chân đế 12 m Người ta căng hai sợi dây trang trí AB , CD nằm ngang, đồng thời chia hình giới hạn Parabol mặt đất thành ba phần có diện tích (Hình vẽ) Trang C A AB Tỉ số CD bằng: C B 3 D  2 Câu Để trang trí cho lễ hội đầu Xuân, từ mảnh vườn hình elip có chiều dài trục lớn 10  m  , chiều dài trục nhỏ 4 m Ban tổ chức vẽ đường tròn có đường kính độ dài trục nhỏ có tâm trùng với tâm elip Trên hình trịn người ta trồng hoa với giá 100000 (đồng / m ), phần lại mảnh vườn người ta trồng cỏ với giá 60000 (đồng / m ) Hỏi ban tổ chức cần tiền để trồng hoa cỏ dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 2639000 (đồng) B 2388000 (đồng) C 2387000 (đồng) D 2638000 (đồng) 5m Câu Một mảnh vườn có dạng hình trịn bán kính Phần đất canh tác trồng rau (phần AB = MQ = 5m gạch chéo) hình vẽ bên dưới, hình chữ nhật ABCD MNPQ có 1m2 Biết đất canh tác cần 30.000 (đồng) tiền mua hạt giống Hỏi số tiền cần để mua hạt giống trồng hết diện tích phần đất canh tác gần với số sau A 2.119.800 đồng B 2.191.000 đồng C 2.218.000 đồng D 2.218.900 đồng Câu Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong 1 m  phía Parabol Giá rào sắt 700000 (đồng) Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng phần nghìn) A 6417000 (đồng) B 6320000 (đồng) C 6520000 (đồng) D 6620000 (đồng) Câu Vòm cửa lớn trung tâm văn hố có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vịm cửa Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết vịm cửa cao 8 m  rộng 8 m  (như hình vẽ) Trang 10 131 m  A 26 (m ) C 28 (m ) B 128 m  D 30  m  Câu Ơng Tồn xây dựng sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng chiều dài 50  m  Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ơng Tồn chia sân bóng làm hai phần tô màu không tô màu (như hình vẽ) Phần tơ màu gồm hai miền diện tích đường cong AIB parabol có đỉnh I Phần tơ màu trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/ m phần cịn lại trồng cỏ nhân tạo 2 với giá 90 (nghìn đồng/ m ) Hỏi ơng Tồn phải trả tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng? A 165 (triệu đồng) B 151 (triệu đồng) C 195 (triệu đồng) D 135 (triệu đồng) Câu 10 Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120 cm, chiều rộng 60 cm Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng bên phần đá hoa cương màu vàng bên trong), biết phần màu vàng elip có chiều dài 100 cm chiều rộng 40 cm Biết đá hoa cương màu trắng có giá 650.000 vnđ / m2 600.000 vnđ / m2 đá hoa cương màu trắng có giá Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách gần với số tiền đây? Trang 11 A 355.000 đồng B 339.000 đồng C 368.000 đồng D 353.000 đồng Bảng đáp án Câu 10 Đáp án A B C C B A A D B A VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TIỄN VỀ THỂ TÍCH VẬT THỂ A.Một số ví dụ Ví dụ Người thợ gốm làm chum từ khối đất hình cầu bán kính 5dm cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối diện Hãy tính thể tích chum biết chiều cao 80 cm (Kết làm trịn đến hàng phần trăm) A 494,28 lít B 157,33 lít C 35,18 lít D 110,53 lít Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Thể tích chum thể tích hình giới hạn đường trịn có phương trình y  25  x đường thẳng x  �4 quay xung quanh trục Ox Suy ra: V  � (25  x ) dx  4 472   494, 28 Chọn A Ví dụ Thành phố định xây cầu bắc ngang sông dài 500m, biết người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40m, biết bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày bề rộng nhịp cầu không đổi 20cm (mặt Trang 12 cắt nhịp cầu mô hình vẽ) Hỏi lượng bê tơng để xây nhịp cầu (làm tròn đến hàng đơn vị) A 20m 3 B 50m C 40m D 100m Lời giải Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi parabol qua điểm I (P1) có phương trình: y  ax  bx  x Do ( P )đi qua gốc toạ độ nên ( P1 ) : y  ax  bx Mặt khác (P1 ) qua I A ta suy ( P1 ) : y   Do parabol phía có phương trình 2 x  x 625 25 ( P2 ) : y   2 x  x 625 25 Khi diện tích nhịp cầu S  S1 với S1 phần diện tích giới hạn parabol ( P1 ) ( P2 ) khoảng (0; 25) 0,2 25 � � � 2 � S  ��  x  x dx  dx � 9,9(m ) � � � 25 � 0,2 � �0 � 625 Suy ra: Thể tích nhịp cầu là: V1  S 0,  9,9.0,  1,98(m ) Suy lượng bê tông để xây dựng nhịp cầu là: 2.(1,98.10)  39, 6( m ) (*) Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40m Chọn C Ví dụ (THPT Trần Phú - Hà Tĩnh - 2017) Một thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt thùng) đường elip có trục lớn 1m , trục bé 0,8m , chiều dài (mặt Trang 13 thùng) 3m Được đặt cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên) Biết chiều cao dầu có thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 0,6m Tính thể tích V dầu có thùng (kết làm trịn đến phần trăm) A V  1,52m B V  1,31m C V  1, 27m Lời giải D V  1,19m Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ x2 y2  1 Theo đề ta có phương trình Elip 25 Gọi M , N giao điểm dầu với elip  S1   ab    5 Gọi S1 diện tích Elip ta có Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn Elip đường thẳng MN Theo đề chiều cao dầu có thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) 0,6m nên ta y có phương trình đường thẳng MN x2 y  1 1 y  x2 Mặt khác từ phương trình 25 ta có 3 y  cắt Elip hai điểm M , N có hồnh độ nên Do đường thẳng S2  �4 1�   x  dx   � � ��5 � � 15 20 3�  �  3� V �    1,52 �5 15 20 � � � � Thể tích dầu thùng Chọn A Trang 14 B.Bài tập vận dụng Câu 1.(THPT Chuyên Quốc Học Huế - Lần 2-2018 ) Chướng ngại vật “tường cong” sân thi đấu X-Game khối bê tơng có chiều cao từ mặt đất lên 3, m Giao mặt tường cong mặt đất đoạn thẳng AB  m Thiết diện khối tường cong cắt mặt phẳng vng góc với AB A hình tam giác vuông cong ACE với AC  m , CE  3,5 m cạnh cong AE nằm đường parabol có trục đối xứng vng góc với mặt đất Tại vị trí M trung điểm AC tường cong có độ cao 1m (xem hình minh họa bên) Thể tích bê tơng cần sử dụng để tạo nên khối tường cong A 9, 75 m 3 B 10,5 m C 10 m D 10, 25 m Câu (Thi thử lần 1/2017 Bắc Giang) Có vật thể hình trịn xoay có dạng giống ly hình vẽ Người ta đo đường kính miệng ly 4cm chiều cao 6cm Biết thiết diện ly cắt mặt phẳng qua trục đối xứng Parabol Thể tích V 72 V  cm  vật thể cho : V 72 A B V  12 D Câu 3.(THPT Lục Ngạn-Bắc Giang-2018) Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip C V  12 có trục lớn 28 cm, trục nhỏ 25 cm Biết 1000 cm dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20000 đồng Hỏi từ dưa hấu thu tiền từ việc bán nước sinh tố? Biết bề dày vỏ dưa không đáng kể A 183000 đồng B 180000 đồng C 185000 đồng D 190000 đồng Câu 4.(SGD Hải Phòng - HKII - 2016 - 2017) Người ta làm phao bơi (như hình vẽ) với bề mặt có cách quay đường trịn  C quanh trục d Biết OI  30 cm , R  cm Thể tích V phao Trang 15 A V  1500 cm B V  9000 cm C V  1500 cm D V  9000 cm  dm  dm  m Câu Một bồn nước thiết kế với chiều cao , ngang , dài , bề mặt cong với mặt cắt ngang hình parabol hình vẽ bên Thể tích bồn chứa tối đa 1280 A (lít) 2560 C (lít) B 1280 (lít) D 1280 (lít) 30  cm  Câu Một thùng rượu có bán kính đáy , thiết diện vng góc với trục cách 40  cm  1  m  hai đáy có bán kính , chiều cao thùng rượu (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol.Thể tích thùng rượu A 425162 (lít) B 212581 (lít) C 212, (lít) D 425, (lít) Câu Một khối cầu có bán kính dm , người ta cắt bỏ hai phần hai mặt phẳng vng góc với đường kính khối cầu cách tâm khối cầu đoạn 3dm để làm lu đựng nước Tính thể tích mà lu đựng được? 100  (dm3 ) 3 132  ( dm ) 41  ( dm ) A B C D 43 ( dm ) Câu Từ khúc gỗ hình trụ đường kính 30 cm , người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 45 để lấy hình nêm (hình vẽ) Thể tích Trang 16 hình nêm thu là: C 1800 (cm ) B 2250 (cm ) A 2250 (cm ) D 1800 (cm ) Bảng đáp án Câu Đáp án C C A A C D A A VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG BÀI TỐN CHUYỂN ĐỘNG A Một số ví dụ Ví dụ 1.(Sở GD- ĐT Thanh Hóa năm 2018) Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1  t   2t  m/s  Đi 12 giây, người lái xe gặp chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục  a  12 m/s  chuyển động chậm dần với gia tốc Tính quãng đường lúc bắt đầu chuyển động đến dừng hẳn? s  168  m  s  166  m  s  144  m  A B C Lời giải Giai đoạn 1: Xe bắt đầu chuyển động đến gặp chướng ngại vật 12 s  m ôtô từ D s  152  m  12 S1  � v1  t  dt  � 2tdt 12  144 m  0 Quãng đường xe là: Giai đoạn 2: Xe gặp chướng ngại vật đến dừng hẳn v  t  � adt  12t  c Ơtơ chuyển động chậm dần với vận tốc v    v1  12   2.12  24 m/s  Vận tốc xe gặp chướng ngại vật là: � 12.0  c  24 � c  24 � v2  t   12t  24 Thời gian xe gặp chướng ngại vật đến xe dừng nghiệm phương trình: 12t  24  � t  Khi đó, quãng đường xe là:  t2 S2  � v2  t  dt  �  12t  24  dt Vậy tổng quãng đường xe là: 0 S  S1  S2  168 m    6t  24t   24 m  Chọn A Ví dụ (Mã đề 101 –TN THPT năm 2008) Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian quy luật Trang 17 v t  11 t  t  m s 180 18 , t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia a  m s2  a tốc ( số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A 10  m s  m s C D Lời giải + Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây A 22  m s B 15  m s v  t  � adt  at  C v  0  v  t   at + Vận tốc chất điểm B có dạng B , lại có B nên B + Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do ta có: 15 10 �1 11 � dt  � at dt � t  t� � a  � 180 18 � 0� � 75  50a vB  10   10  15  m s + Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A Chọn B Ví dụ 3: (THPT Quốc Gia năm 2017 mã đề 101 ) Một vật chuyển động với vận tốc v  km / h  phụ thuộc thời gian t  h có đồ thị vận tốc Trong khoảng thời gian kể từ I 2;9  bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường Parabol có đỉnh  với trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật chuyển động (kết làm tròn đến hàng phần trăm) Gọi A s  23, 25(km) B s  21, 58( km) C s  15,50(km) D s  13,83( km) Lời giải  P  : y  ax  bx  c P Vì   qua A  0;  có đỉnh 31 y Mặt khác x  ta có I  2;9  P nên ta tìm phương trình   y 5 x  5x  4 31 �5 � S� dx  � dx  21,58( km) � x  5x  � � 0� Vậy quãng đường cần tìm Chọn B B.Bài tập vận dụng Câu Một xe đua chạy 180km / h Tay đua nhấn ga để đích kể từ xe chạy với gia a  t   2t  m/s tốc ( ) Hỏi 5s sau nhấn ga xe chạy với vận tốc km/h A 200 B 243 C 288 D 300 Câu (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định năm 2018) Một vật chuyển động vận tốc tăng liên tục biểu thị đồ thị đường cong parabol (như hình vẽ) Trang 18 Biết sau 10 s vật đạt đến vận tốc cao bắt đầu giảm tốc Hỏi từ lúc bắt đầu đến lúc đạt vận tốc cao vật quãng đường mét? 1400 1100 1000 A 300 m B m C m D m Câu 3.(THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018) Một vật chuyển động với vận tốc v  km / h  phụ thuộc vào thời gian t  h  có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian I  2;5  kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh.Tính quãng đường mà vật di chuyển  km  A 15 32  km  B  km  C 12 35  km  D Câu Một ô tô chạy với vận tốc 10m / s người lái đạp phân, từ thời điểm đó, tô chuyển v( t ) = - 5t + 10( m / s) động chậm dần với vận tốc , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn tơ cịn di chuyển mét? A 0,2m B 2m C 10m D 20m Câu (SG- ĐT Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Một vận chuyển động không vận tốc đầu xuất phát từ đỉnh mặt phẳng nằm nghiêng (như hình vẽ) Biết gia tốc chuyển động 5m/s sau 1, 2s vật đến chân mặt ván Độ dài mặt ván Trang 19 A 3,6 m B 3, 2m D 2,8m C 3m Câu 6.(Chuyên Thái Bình – Lần – 2018) Để đảm bảo an toàn lưu thông đường, xe ô tô dừng đèn đỏ phải cách tối thiểu 1m Một ô tô A chạy với vận tốc 16 m/s gặp ô tô B dừng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh chuyển động chậm dần với v  t   16  4t vận tốc biểu thị công thức A (đơn vị tính m/s ), thời gian tính giây Hỏi để ô tô A B đạt khoảng cách an tồn dừng lại tô A phải hãm phanh cách ô tô B khoảng bao nhiêu? A 33 B 12 C 31 D 32 Câu Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1  t   4t  m / s   s Đi người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần  m/s2  Tính quãng đường S  m  ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh với gia tốc 12 dừng hẳn  m A S  456  m B S  240  m C S  72  m D 96 Câu (THPT Chuyên Phan Bội Châu – 2017) Một ôtô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ơtơ chuyển động chậm dần với gia tốc a m / s Biết ơtơ chuyển động thêm 20m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng  3;4   4;5 A B C  5;6  D  6;7  Câu (Sở GD-ĐT Hà Nội -2017] Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 (t )  7t (m/s) Đi (s), người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a  70 (m/s2 ) Tính quãng đường S (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S  95, 70 (m) B S  87,50 (m) Câu 10 Một vật di chuyển với gia tốc C S  94, 00 (m) a  t   20   2t  2 m/s  D S  96, 25 (m) Khi t  vận tốc vật 30m / s Tính quãng đường vật di chuyển sau giây (làm trịn kết đến hàng đơn vị) A 46m C 48m B 107m D 109m Bảng đáp án Câu 10 Đáp C D B C A A D C D C Trang 20 án 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: �Đề tài đưa ba nội dung ứng dụng tích phân số toán thực tế Với nội dung trình bày từ ví dụ mẫu lời giải chi tiết Trên sở đưa số tập mang tính chất củng cố đáp án để học sinh đối chiếu Điều có ý nghĩa lớn với việc học giải tốn tích phân ứng dụng �Thông qua việc ứng dụng kiến thức học sách giáo khoa vào giải tốn có tính thực tiễn dần hình thành cho em khả quan sát, khả làm việc độc lập, phát triển tư sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục Đào tạo Từ tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập mơn Tốn �Đề tài tơi kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 12 số tiết dạy tự chọn, học sinh nhiệt tình tham gia nâng cao chất lượng dạy học Cụ thể lớp sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy, đánh giá qua kiểm tra thu kết sau : Năm học Lớp 12A4 (Ban 2019- bản) 2020 12A2(Ban nâng cao) Điểm trở lên Tổng số Số HS Tỷ lệ lượng Điểm từ đến Số Tỷ lệ lượng Điểm Số Tỷ lệ lượng 41 17,1 % 22 53,6 % 12 29,3 % 44 31 70,4% 18,2% 11,4 % III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm kết q trình tìm tịi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh Qua năm triển khai thực đề tài với cách xây dựng phát triển tốn, xây dựng quy trình giải tốn cách "tự nhiên” vậy, tơi nhận thấy em nắm vấn đề, biết vận dụng kết vào giải toán cách linh hoạt, sáng tạo Từ giúp cho em u thích mơn tốn hơn, chất lượng học nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi để em đạt kết cao kỳ thi khảo sát kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thơng sau Trong q trình biên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót.Tơi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện Hy vọng tài liệu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh thầy cô giáo trình học tập, giảng dạy Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 02 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trang 21 Trịnh Công Hải TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài (2007), Giải tích 12 , NXB Giáo dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Trần phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm (2007), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội Vũ Tuấn (Chủ biên), Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài (2007), Bài tập giải tích 12 , NXB Giáo dục, Hà Nội Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Trần phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm (2007), Bài tập giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội Các đề thi TN THPT năm gần Bộ GD-ĐT Tài liệu mạng internet Trang 22 ... chọn số toán bản, giải tích phân Trên sở tơi hướng dẫn học sinh giải số toán tương tự tìm tịi giải thêm số toán VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN THỰC TIỄN VỀ DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG A .Một. .. ý nghĩa lớn với việc học giải toán tích phân ứng dụng �Thơng qua việc ứng dụng kiến thức học sách giáo khoa vào giải tốn có tính thực tiễn dần hình thành cho em khả quan sát, khả làm việc độc... nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: �Đề tài đưa ba nội dung ứng dụng tích phân số tốn thực tế Với nội dung trình bày từ ví dụ mẫu lời giải chi tiết Trên sở đưa số tập mang tính chất củng