ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁNPHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ThS.. Nguyễn Kiếm Ở bậc Trung học phổ thông, học sinh được làm quen với phương trình, hệ phương trình và một số p
Trang 1ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
PHƯƠNG TRÌNH- HỆ PHƯƠNG TRÌNH ThS Nguyễn Kiếm
Ở bậc Trung học phổ thông, học sinh được làm quen với phương trình, hệ phương trình và một số phương pháp giải như: Biến đổi tương đương, dùng ẩn phụ, phương pháp hình học Tuy nhiên, những năm gần đây trong các đề thi vào đại học phương trình và hệ phương trình được khai thác nhiều hơn dưới quan điểm hàm số, hệ thống bài tập thuộc dạng này ít được đề cập ở sách giáo khoa Do vậy, trong bài viết này chúng tôi đưa một số ví dụ mẫu và việc vận dụng đạo hàm vào giải một số bài toán về phương trình, hệ phương trình
1 Một số kiến thức cơ bản về hàm số và đạo hàm.
1.1 Ánh xạ và tính chất đơn ánh của ánh xạ.
Định nghĩa 1 Cho hai tập hợp A và B Một ánh xạ f từ A vào B là một quy tắc liên hệ
giữa A và B sao cho mỗi phần tử a A có duy nhất một phần tử kí hiệu f a B Phần tử f a B
được gọi là giá trị của f tại a
Định nghĩa 2 Khi A, B là hai tập con của tập số thực R thì ánh xạ f từ A vào B gọi là hàm
số
f A: B với xA f x B
Định nghĩa 3 Ánh xạ f A: B được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2 thuộc A và x1
x2 thì f(x1) f(x2) hay: f x 1 f x 2 x1x2
Định nghĩa 4 Hàm số f được gọi là đồng biến trên A nếu: x1, x2 A,
x x f x f x
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên A nếu: x1, x2 A,
x x f x f x
Định lý 1 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu f x ' 0với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I
b) Nếu f x ' 0với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I
Định lý 2 Nếu hàm số f đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng I thì ánh xạ f đơn ánh Chứng minh Giả sử hàm số f đồng biến trên khoảng I
1, 2
x x I
: x1 x2 f x 1 f x 2 và x1x2 f x 1 f x 2
Suy ra: x1 x2 f x 1 f x 2 Vậy f đơn ánh
1.2 Mối liên hệ giữa tính đơn điệu hàm số và số nghiệm của phương trình.
Mệnh đề 1 Giả sử hàm số f đồng biến( nghịch biến) trên khoảng I và tồn tại x0Isao cho
0 0
f x thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x0I
Chứng minh Giả sử phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x x1, 2I Khi đó: f x 1 0 và f x 2 0 hàm sốf đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng I nên f là đơn ánh và f x 1 f x 2 0 x1 x2
Mệnh đề 2 Giả sử x , x là hai hàm xác định trên khoảng I và với x I thì x , x
thuộc khoảng K Nếu hàm F(t) đồng biến ( nghịch biến) trên khoảng K và
F x F x x x với mọi x I
2 Ứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán về phương trình
2.1 Sử dụng định lý 1 và mệnh đề 1 để giải phương trình.
Trang 2Ví dụ 1 Giải phương trình: 3x 2 6 x3x212 0 Điều kiện: 2 6
3 x Xét hàm số f x 3x 2 6 x3x212 với 2;6
3
x
3
Suy ra hàm số f x 3x 2 6 x3x212 đồng biến trên khoảng 2;6
3
Ta có: f 2 3.2 2 6 2 3.2 212 2 2 12 12 0 x2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Từ cách giải trên, ta nhận thấy phương trình có một nghiệm bằng 2 nên có thể dùng cách phân tích
để đưa về cách giải sau
x
Ví dụ 2 Giải phương trình: 2 34 x 2 3 6 5 x9x28 0 Điều kiện: 2 6
3 x 5 Xét hàm số f x 2 34 x 2 3 6 5 x9x2 8 với 2 6;
3 5
x
'
4
x
Suy ra hàm số f x 2 34 x 2 3 6 5 x9x2 8 đồng biến trên khoảng 2 6;
3 5
Ta có: f 1 2 3.1 2 3 6 5.1 9.14 2 8 2 3 9 8 0 x1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3 Giải phương trình: x 4 x 4 2 x216 10 0 Điều kiện: x 4
Xét hàm số f x x 4 x 4 2 x216 10 với x 4
'
2
x
Suy ra: f x x 4 x 4 2 x216 10 đồng biến trên 4;
5 5 4 5 4 2 52 16 10 3 1 2.3 10 0 5
f x là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 4 Giải phương trình: 2x 1 32x
Ta có: 2x 1 32x
2
x
x x
Xét hàm số 1 3 1
x x
f x
với x R và ' 1 ln 1 3 ln 3 0,
x x
f x x R
Trang 3Suy ra: 1 3 1
x x
f x
nghịch biến trên R
2 2
f x
Ví dụ 5 Giải phương trình: 3 4 5 2
x x
2
3 4 5
x
x
Xét hàm số 4 1 5 1
x x
f x
với x R và ' 4 1 ln 1 5 ln 5 0,
x x
f x x R
Suy ra: 4 1 5 1
x x
f x
nghịch biến trên R
2 2
f x
là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 6 Giải phương trình: log7xlog (3 x2) Điều kiện: x > 0
f t f t
với t R
Suy ra: Hàm 7 2 1 1
f t
nghịch biến trên R và 1 7 2 1 0 1
9 9
f t là nghiệm duy nhất của phương trình Suy ra, nghiệm của phương trình x = 7
Ví dụ 7 Giải phương trình: 25x 2 3 x5x2x 7 0 Đặt t 5x t0 Ta có:
7 2
t
*) Khi t = 1, ta có: 5x 1 x0
*) Khi t 7 2x 5x 7 2x 5x2x 7 0
Xét hàm số f x 5x2x 7 f x' 5 ln 5 2 0,x x R nên hàm f(x) đồng biến trên R
Ta có: f 1 5 2 7 0 5x2x 7 0 có nghiệm duy nhất x = 1
*) Nghiệm của phương trình: x = 0 hoặc x = 1
Ví dụ 8 Giải phương trình: log (23 x1) ( x 5) log (3 x1) 2 x 6 0
Điều kiện: x > - 1 Đặt: tlog (3 x1)
Thay vào: t2(x 5)t 2x 6 0
3
3 3
2
t
'
1 ln 3
x
Trang 4Suy ra hàm f(x) đồng biển trên (-1; + ) và f 2 log 33 2 3 0 x2là nghiệm duy nhất của phương trình log3x1 x 3 0 Vậy, nghiệm của phương trình: x = 8 hoặc x = 2
Ví dụ 9 Giải phương trình: 3x5x 6x2
Ta có: 3x5x 6x 2 3x5x 6x 2 0 Xét hàm số f x 3x5x 6x 2 với x R
' 3 ln 3 5 ln 5 6x x
f x và lim ' lim 3 ln 3 5 ln 5 6 x x 6
lim lim 3 ln 3 5 ln 5 6x x
Suy ra, tồn tại x0 R sao cho f’( x0) = 0
'' 3 ln 3x 5 ln 5x 0,
f x x R nên đồ thị hàm số f x 3x5x 6x 2lõm trong khoảng (- ; + ) và f 1 3 5 6 2 0 ; f 0 1 1 2 0 Suy ra, phương trình có hai nghiệm x = 1,
x = 0
Ví dụ 10 Giải phương trình: 3 2 x 2 3 x 5 x
Ta có: 3 2 x 2 3 x 5 x 3 2 2 3
1
* Khi x 0, 2 3 ' 2 3 ln 2 3 0, 0
f x f x x
Suy ra hàm số 2 3
5
x
f x
đồng biến với x 0
Phương trình không có nghiệm khi
0
x
* Khi x 0, 3 2 ' 3 2 ln 3 2 0, 0
g x g x x
Suy ra hàm số 3 2
5
x
g x
nghịch biến với x 0
0
g x
Phương trình không có nghiệm khi x 0
* Phương trình vô nghiệm
2.2 Sử dụng định lý 1 và mệnh đề 2 để giải phương trình.
Ví dụ 11 Giải phương trình: 4x21xx 3 5 2 x0
Điều kiện: 5
2
x
Ta có: 4x21xx 3 5 2 x 0 4x21x3 x 5 2 x 4x21 2 x5 2 x1 5 2 x
Xét hàm số f t t t 21 t3t với t R và f t' 3t2 1 0, t R
Trang 5Suy ra f t t3 tđồng biến trên R
Ta có: 4x21 2 x5 2 x1 5 2 x f 2xf 5 2 x 2x 5 2 x
5
4
1 21
4
x
x
Ví dụ 12 Giải phương trình: x3 2x 33x 2 2 0
Ta có: x3 2x 33x 2 2 0 x3 x 3x 233x 2
Xét hàm số f t t3 t với t R và f t' 3t2 1 0, t R
Suy ra f t t3 tđồng biến trên R
Ta có: x3 x 3x 233x 2 f x f 33x 2 x33x 2
2
x
x
Ví dụ 13 Giải phương trình: 2x 1 2x2x (x 1)2
Ta có: 2x 1 2x2 x x2 2x 1 2x 1 x 1 2x2 x x2 x
Xét hàm số f t 2tt với tR và f t' 2 ln 2 1 0,t t R Suy ra: f t 2t tđồng biến trên R
Từ (*) ta có: 2x 1 x 1 2x2x x2 x f x 1 f x 2 x x 1 x2 x
Ví dụ 14 Giải phương trình:
2
2
x x
Điều kiện: x R
Ta có:
2
2
x x
log x x 3 log 2x 4x 5 x 3x 2
log x x 3 x x 3 log 2x 4x 5 2x 4x 5
Xét hàm số f t log3t t với t > 0 và ' 1 1 0, 0
ln 3
t
Từ (*), ta có: f x 2 x 3 f 2x24x5 x2 x 3 2x24x5 2 1
2
x
x
3 Ứng dụng đạo hàm vào giải một số bài toán về hệ phương trình
3.1 Hệ phương trình đối xứng loại hai
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình: 1 7 4
Điều kiện: 1 7
x y
Trừ vế theo vế: x 1 7 y y 1 7 x x 1 7 x y 1 7 y
Xét hàm số f t t 1 7 t với t 1;7
Trang 6
đồng biến trên khoảng (-1; 7)
Ta có: x 1 7 x y 1 7 y f x f y x y
Khi đó: x 1 7 x 4 x 1 4 7 x x 1 4 7 x 8 7 x
2
5 4 7
x
3 4 6
3 4 6
x
x x
Nghiệm của hệ: x y 3 4 6
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình: 1 7 4
Điều kiện: 7
7
x y
Trừ vế theo vế: x 1 y 7 y 1 x 7 x 1 x 7 y 1 y 7
Xét hàm số f t t 1 t 7 với t 7;
nghịch biến trên khoảng 7;
Ta có: x 1 x 7 y 1 y 7 f x f y x y
Khi đó:
8 8
x
x y x
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình:
Điều kiện: 2
2
x y
Trừ vế theo vế: x2 91 y2 91 y 2 y2 x 2 x2 x2 91 x 2 x2 y2 91 y 2 y2
Xét hàm số f t t2 91 t 2 t2 với t 2;
'
2
1
91
t
t t
đồng biến trên khoảng 2;
Ta có: x2 91 x 2 x2 y2 91 y 2 y2 f x f y x y
Trang 7Khi đó: 2 2 2 2
x x x x x x
Xét hàm số 2 2
f x x x x với x 2;
x
Ta có: 2 2 4 2 91 4 91 95 2 91 95 21 195 21 2 195 2 0
2
91
x x
Suy ra: f x x2 91 x 2 x2 đồng biến trên khoảng 2;
3 3 912 3 2 3 10 1 9 02
x x x
Nghiệm của hệ: x = y = 3
Ví dụ 4 Giải hệ phương trình:
y x
Trừ vế theo vế:
x x2 2x 2 y y2 2y 2 3y 1 3x 1 x x2 2x 2 3x 1 y y2 2y 2 3y 1
Xét hàm số f t t t2 2t 2 3 ,t 1 t R
2
1
t
t
f t
t t
2
1 2
3 ln 3
t
t t
1
1
2 1
t t
t
Suy ra: ' 1 2 1 3 1ln 3 0, ;
t
t
t t
Suy ra: f t t t2 2t 2 3t 1
đồng biến trên khoảng ;
Ta có: x x2 2x 2 3x 1 y y2 2y 2 3y 1 f x f y x y
Khi đó: x x2 2x 2 3 x 1 1 x2 2x 2 x 1 3 x 1
Ta có: x2 2x 2 x 1 x2 2x 2 x 1x2 2x 2 x 12 1
2
1 2
3
x x
1 2
x
x
Xét hàm số f x 3x 1 3x1 2x 2 với x ;
1 1
' 3x 1 3 3 x 3 2 3x 1 3 x 3 2 2 3 2 0
f x ln ln ln ln
Trang 8Suy ra: hàm số f x 3x 1 3x1 2x 2 đồng biến trên khoảng x ;
1 31 1 3 1 1 2 2 1 1 2 2 0 1
f x là nghiệm duy nhất của phương trình
1
1
3x 3 x 2x 2 0 Nghiệm của hệ: x = y = 1
Ví dụ 5 Chứng minh rằng hệ phương trình
2
2
2012
1 2012
1
x
y
y e
y x e
x
có đúng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: 1
1
x y
Xét hàm số
f t e
t
với t 1 và
'
1
t
Suy ra: hàm số
f t e
t
đồng biến trên khoảng ; 1 1;
Khi đó: 2012 2
1
e
x
2012 0 1
e x
Xét hàm số
1
f x e
x
với x > 1
Ta có:
'
1
x
f x e
và
'
1
x
'
1
x
Suy ra, tồn tại x 0 1; sao cho 0
f x
Mặt khác: 2
1
x
x
x
và lim lim 2 2012
1
x
x
x
2 2 2 2012 0
3
Suy ra: Phương trình 2 2012 0
1
e x
có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng (1; +)
Suy ra: Hệ phương trình có đúng hai nghiệm thỏa mãn điều kiện: 1
1
x y
Trang 9Ví dụ 6 Giải hệ phương trình:
2
3 2
2 2
3
2
2 9 2
2 9
xy
xy
3
3
3
(*)
Đặt P3x2 2x 9y2 2y 9 3 y2 2y 923x2 2x 9y2 2y 9 3 x2 2x 92 0
Khi đó: (*) 2x y 2xyy2 x2 2x 2y x2 y2
P
x y 2 x y 2xy x y 2 0
P
0
x y
xy x y
x y
P
0
0 2
x y
x y xy
P
*) Khi x = y, ta có: 3 22 2 2 3 20 10
2 9 2
2 9
x
*) Khi y = 2- x, ta có: 2
2
3 2
2 9
(**) Đặt t 3 2x 2x 9 3x 12 8 2
Thay vào (**), ta có: t4 2t3 7t 18 0 t 2 t3 4t2 8t 9 0 t 2 0
*) Nghiệm của hệ phương trình:(0; 0); (1; 1)
3.2 Hệ phương trình
Ví dụ 7 Giải hệ phương trình: ( Khối A.2010) 2
Điều kiện:
3 4 5 2
x y
Ta có:
4x21xy 3 5 2 y 0 4x21x3 y 5 2 y 4x21 2 x5 2 y1 5 2 y
Xét hàm số f t t t 21 t3t với t R và f t' 3t2 1 0, t R
Suy ra f t t3 tđồng biến trên R
Trang 10Ta có: 4x21 2 x5 2 y1 5 2 y f 2xf 5 2 y 2x 5 2 y
2
x
Khi đó:
x y x x x x x x x
Xét hàm số
2
2
f x x x x
0;
4
x
Suy ra hàm
2
2
f x x x x
0;
4
x
2
f x
phương trình
2
2
x x x
1 2 2
x y
Ví dụ 8 Giải hệ phương trình: 22 22 ( )( 2)
2
x y y x xy
Ta có: 22 22 ( )( 2)
2
x y y x xy
x y
2 2
x y
x y
Ta có: 2x 2yy3 x3 2xx3 2y y3
Xét hàm số f t 2tt3, t R và f t' 2 ln 2 3t t20, t R
Suy ra f t 2tt3đồng biến trên khoảng ;
Ta có: 2xx3 2yy3 f x f y x y
Khi đó:
1
2
x y
Ví dụ 9 Giải hệ phương trình:
1
4x 3y
1
x y
Ta có: y2 x1x2 y1 y2 y1x2 x1
Xét hàm số: f t t2 t1 với t 1; và ' 2 1 0, 1
t
Suy ra: f t t2 t1 đồng biến trên khoảng 1;
Ta có: y2 y1x2 x1 f y f x y x
Trang 11Khi đó:
4 1
1
3
log 3 4
3
x
x x
x y
x y
x y
x y
Ví dụ 10 Giải hệ phương trình:
2
Điều kiện:
1 2 1 2
x y
Ta có: 8x3 y32x y 0 8x32xy3y 2x32xy3y
Xét hàm số: f t t3 t với t R và f t' 3t2 1 0, t R
Suy ra: f t t3 t đồng biến trên khoảng ;
Ta có: 2x32xy3y f 2x f y 2xy
Khi đó: 2y1 4x21 1 4x1 4x21 1 4x1 4x21 1 0
Xét hàm số 4 1 4 2 1 1, 1
2
f x x x x và ' 2 42 0, 1
2
x
Suy ra: hàm f x 4x1 4x21 1 đồng biến trên 1
; 2
2 1 1 1 1 1 0 1 0
f x
Nghiệm của hệ: 1
2
x y
Ví dụ 11 Giải hệ phương trình: 2 3 4 3 2 0
Điều kiện:
5 3 2
x y
Ta có: y2y3 4x3 2x 0 2y2y3 4x3 2 x
Xét hàm số f t t t 23 với t R và f t' t33t' 3t2 3 0, t R
Suy ra f t t t 23đồng biến trên R
Ta có: 2y2y3 4x3 2 x f 2y f 2 x 2y 2 x y2x
Khi đó: 5y 1 3x 5 9x 4 y 2 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2
10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0
0
Nghiệm của hệ: x y36
Kết luận Trong bài viết này, chúng tôi nêu lên nhiều ví dụ Qua đó chúng ta có thể tạo ra các lớp
bài tập toán tương tự Các bài tập này có thể chuyển từ hệ phương trình sang phương trình và
Trang 12ngược lại hoặc từ những bài toán cơ bản và mô phỏng thành các bài toán khó hơn Từ đó thấy được mối liên hệ giữa đạo hàm với phương trình, hệ phương trình
Tài liệu tham khảo.
1 Sách giáo khoa và sách bài tập toán 10, 11, 12
2 Tuyển tập Đề thi đại học môn toán- Trần Phương