(Sáng kiến kinh nghiệm) ứng dụng tích phân vào bài toán diện tích trong thực tế

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1.Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm SKKN NỘI DUNG 2.1 Cơng thức tính diện tích hình tích phân 2.2 Các ví dụ điển hình Kết luận kiến nghị 4.TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài - Ở lớp THCS biết cách tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật hình đa giác đưa hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để tính diện tích Nhưng thực tế sống khoa học kỹ thuật, cần phải tính diện tích hình phẳng phức tạp như: ta phải tính diện tích cánh rừng, diện tích ruộng (như hình ảnh sau) Nhưng lúc chia hình cần tính diện tích hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật Vậy ta tính diện tích hình phức tạp khơng Nếu tính tính diện tích nào? - Ta biết nội dung chương trình mơn Tốn chương trình phổ thơng tinh giản nhiều so với chương trình hành, trọng tính ứng dụng thiết thực, gắn với đời sống thực tế - Theo Ban Phát triển chương trình mơn học (Bộ GD-ĐT), chương trình phổ thơng mới, mơn Tốn mơn học bắt buộc phân chia theo hai giai đoạn: Giai đoạn giáo dục bản: giúp học sinh nắm cách có hệ thống khái niệm , nguyên lý, quy tắc toán học cần thiết cho tất người, làm tảng cho việc học tập trình độ học tập sử dụng đời sống hàng ngày Giai đoạn giáo dục định hướng nghề nghiệp: giúp học sinh có nhìn tương đối tổng qt Tốn học, hiểu vai trị ứng dụng Toán học đời sống thực tế Nói tóm lại: Tốn học gần gũi với sống hàng ngày sử dụng Toán học để giải vấn đề nảy sinh sống, mục tiêu Chính xuất tốn thực tiễn đề thi THPTQG thiếu nội dung này, nhằm định hướng dần cách suy nghĩ học Tốn Vì lẽ tác giả chọn đề tài “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TỐN DIỆN TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có nhìn đổi cách tiếp cận kiến thức Toán học 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực dạy học - Giúp học sinh tiếp cận dần toán tìm diện tích Tích phân - Thiết kế giáo án thực nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Khai thác số ví dụ tốn tìm diện tích hình phẳng tích phân thực tiễn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: tài liệu tham khảo, giáo trình có nội dung liên quan - Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Quan sát, điều tra, khảo sát, dự đồng nghiệp, tổng kết kinh nghiệm, tham khảo ý kiến chun gia… - Nhóm phương pháp xử lý thơng tin: Thống kê, phân tích, tổng hợp… 1.5 Những điểm SKKN Người viết lựa chọn đề tài mảng kiến thức mà sách giáo khoa hành chưa đề cập nhiều NỘI DUNG 2.1 Cơng thức tính diện tích hình tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f(x) liên tục  a; b  , trục hoành đường thẳng x = a; x = b - Cho hàm số y = f(x) liên tục  a; b  diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành đường thẳng x = a ; x = b tính theo cơng thức: b S=∫|f ( x)|dx a - Nhận xét: Để tính diện tích hình phẳng ta cần phải tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Vì mà ta phải tìm cách phá dấu giá trị tuyệt đối b Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x), y  g ( x) liên tục đoạn  a; b  hai đường thẳng x  a, x  b là: b S   f ( x)  g ( x) dx a * Đối với hình khơng thuộc dạng ta tìm cách quy chọn hệ trục tọa độ thích hợp đồng thời tìm hàm biểu diễn sau ứng dụng tích phân 2.2 Một số tốn điển hình Bài tốn Thầy An làm cửa nhà hình Parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiềnThầy Tâm phải trả A.12750000 đồng B.3750000 đồng C.6750000 đồng D.33750000 đồng Lời giải Chọn C Chọn hệ trục hình vẽ, Parabol đồ thị hàm có dạng y  ax  c Vì chiều cao 2,25m nên c  2, 25  , lại có chiều rộng biên giáp với mặt đất 3m nên Parabol qua điểm 3  A  ;0   a  1 y   x2  2  Dẫn đến mái vịm có diện tích Do phương trình Parabol S 3    9   x   dx  4 m    1500000  6750000 Số tiền cần trả: (VNĐ) Bài toán Sân trường có bồn hoa hình trịn tâm O Một nhóm học sinh lớp 12 giao thiết kế bồn hoa, nhóm định chia bồn hoa thành bốn phần, hai đường parabol có đỉnh O đối xứng qua O Hai đường parabol cắt đường tròn bốn điểm A , B , C , D tạo thành hình vng có cạnh m (như hình S S S S vẽ) Phần diện tích l , dùng để trồng hoa, phần diện tích , dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai) Biết kinh phí trồng hoa 150.000 đồng /1m2, kinh phí để trồng cỏ 100.000 đồng/1m2 Hỏi nhà trường cần tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng chục nghìn) A 6.060.000 đồng B 5.790.000 đồng C 3.000.000 đồng Lời giải Chọn D D 3.270.000 đồng Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Parabol có hàm số dạng trình y y  ax  bx  c có đỉnh gốc tọa độ qua điểm B  2;2  nên có phương x Đường trịn bồn hoa có tâm gốc tọa độ bán kính OB  2 nên có phương trình x2  y2  Do ta xét nhánh đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh y   x   S1     x  x  dx  2  Vậy diện tích phần   S1  S2     x  x  dx  15, 233  2  Do đó, diện tích trồng hoa Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là: đồng   15, 233  150.000   2    15, 233 100.000  3.274.924 Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết 3.270.000 đồng Bài tốn Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành Oxy 16 y  x  25  x  từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ hình vẽ bên.Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét S 125 m2   B S 125 m  C S 250 m  D S 125 m  A Lời giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy y   x  x2 Từ giả thuyết tốn, ta có Góc phần tư thứ y x 25  x ; x   0;5 Nên S I   125 125 x 25  x dx  S  m   40 12 Bài tốn Một cơng ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC  m , chiều dài CD  12 m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN  m ; cung EIF có hình dạng phần cung parabol có đỉnh I trung điểm cạnh AB qua hai điểm C , D Kinh phí làm tranh 900.000 đồng/ m Hỏi công tyX cần tiền để làm tranh đó? A 20.400.000 đồng B 20.800.000 đồng Lời giải Chọn B C 20.600.000 đồng D 21.200.000 đồng - Ta chọn hệ trục tọa độ có gốc trung điểm O MN, trục hoành trùng với đường thẳng MN y   x2  6 parabol có phương trình 208   S     x   dx  m    - Khi diện tích khung tranh 208  900.000  20.800.000 - Suy số tiền là: đồng Bài toán Người ta cần trồng hoa phần đất nằm phía ngồi đường trịn tâm gốc toạ độ, bán kính phía Elip có độ dài trục lớn trục nhỏ (như hình vẽ) Trong đơn vị diện tích cần bón  phân hữu Hỏi cần sử dụng kg 2 100  1  phân hữu để bón cho hoa? y O x 10 A 30 kg B 40 kg C 50 kg D 45 kg Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng giới hạn elip đường trịn diện tích hình elip trừ diện tích hình trịn 2  E : x  y 1 · Phương trình elip có trục lớn 2a  2 , trục nhỏ 2b  Selip   ab Seip   Áp dụng công thức diện tích ta O  0;0  bán kính · Phương trình đường trịn  C  tâm R  C  : x2  y2  kg Áp dụng công thức diện tích * Vậy diện tích hình phẳng S hình trịn   R   S  Selip  S hình trịn      100   50       2  1  Do khối lượng phân cần bón (kg) + Chứng minh cơng thức diện tích elip: Selip b  2  y  a a  x ,  y  0  2 x y  E  :    y   b a2  x2 ,  y  0   ab a a b với Û  a Selip Do tính đối xứng nên b   a  x dx a0    I    x  a  sin u   u    Đặt x  a sin u Þ dx  a cos udu ; đổi cận  x   sin u   u    0 I   a  a sin u a cos udu  a  a2    a2   cos 2u  du  sin u cos udu  a  cos udu  0    a 2 u  sin u    Vậy Selip   ab y O 2 x Bài toán Một sân chơi dành cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 50m chiều rộng 30m người ta làm đường nằm sân (như hình vẽ) Biết viền viền đường hai đường elip chiều rộng mặt đường 2m Kinh phí để làm m2 làm đường 500.000 đồng Tính tổng số tiền làm đường (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 119000000 B 152000000 C 119320000 D 125520000 Lời giải Chọn C x2 y  E :  1 a b Gọi S diện tích elip ta có S   ab  x2 x2  S   b        ab  a a  a  Chứng minh a Xét hệ trục tọa độ Oxy cho trục hoành trục tung trục đối xứng hình chữ nhật trục hồnh dọc theo chiều dài hình chữ nhật Gọi  E1  elip lớn,  E2   E1  : elip nhỏ ta có: x2 y  1 S   25.15  375 252 152 Diện tích x2 y  E2  :    S   23.13  299 23 13 Diện tích Diện tích đường 375  299  76 Do số tiền đầu tư 76 *500.000  119320000 Bài toán Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng / m Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm tròn đến hàng đơn vị) 6m O A 8412322 đồng C 4821232 đồng B 8142232 đồng D 4821322 đồng Lời giải Chọn D Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu vườn, phương trình đường tròn tâm O x  y2  36 Khi phần nửa cung trịn phía trục Ox có phương trình y  36  x  f (x) Khi diện tích S mảnh đất lần diện tích hình phẳng giới hạn trục hoành, đồ thị y  f (x) hai đường thẳng x  3; x  3  S   36  x dx 3 Đặt x  6sin t  dx  cos tdt Đổi cận:  x  3  t      x 3t  ;   S   36cos 2tdt  36  (c os2t+1) dt  18(sin t  t)      18  12   Do số tiền cần dùng 70000.S  4821322 đồng Bài tốn Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá   rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng nghìn) m2 A 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.417.000 đồng D 6.620.000 đồng Lời giải Chọn C Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trong A  2,5;1,5  B  2,5;1,5  C  0;2  , , Giả sử đường cong phía Parabol có dạng Do Parabol qua điểm y  ax  bx  c , với A  2,5;1,5  B  2,5;1,5  C  0;2  ,  a  2,5   b  2,5   c  1,5  a   25    a  2,5   b  2,5   c  1,5  b  c  c     Khi phương trình Parabol y 2 x 2 25 , a; b; c   nên ta có hệ phương trình Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2 x 2 25 , trục hoành hai đường thẳng x  2, , x  2, 2,5  x3  55   S     x   dx     2x   25   25  2,5 2,5  2,5 Ta có Vậy ơng An phải trả số tiền để làm cửa sắt S  700000  55  700000  6.417.000 (đồng) Bài toán Thành phố định xây cầu bắc ngang sông dài 500m, biết người ta định xây cầu có 10nhịp cầu hình dạng parabol,mỗi nhịp cách 40m, biết bên đầu cầu mối nhịp nối người ta xây chân trụ rộng 5m Bề dày bề rộng nhịp cầu không đổi 20 cm (mặt cắt nhịp cầu mô hình vẽ) Hỏi lượng bê tơng để xây nhịp cầu (làm tròn đến hàng đơn vị) A 40m 3 B 50m C 20m D 100m Lời giải Chọn A Chọn hệ trục toạ độ Oxy hình vẽ Gọi parabol qua điểm I (P1) có phương 2 trình: y  ax  bx  x Do ( P1 )đi qua gốc toạ độ nên ( P1 ) : y  ax  bx Sử dụng tiếp kiện (P1 ) qua I A ta suy Do parabol phía có phương trình ( P1 ) : y   ( P2 ) : y   2 x  x 625 25 2 x  x 625 25 Khi diện tích nhịp cầu là S  2S1 với S1 phần diện tích giới hạn parabol ( P1 ) ( P2 ) khoảng (0;25) 25  0,2  2   S  2   x  x  dx   dx   9,9(m ) 25   0,2   625 Suy ra: Thể tích nhịp cầu là: V1  S 0,  9,9.0,  1,98(m ) Suy lượng bê tông để xây dựng nhịp cầu là: 2.(1,98.10)  39, 6(m ) (*) Do làm tròn đến hàng đơn vị nên ta cần 40m Bài toán 10 Người ta muốn làm vườn hoa trang trí hình chữ nhật khn viên ngơi nhà có thiết kế hình vẽ bên dưới, biết chiều dài 4m, đường cong OC nửa cung Parabol với O đỉnh, OA=1m.Hỏi chiều rộng vườn để cung OC chia hình chữ nhật thành hai phần có diện tích nhau? A a  B a  C a D a  Lời giải Chọn D Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật có hai đỉnh đường chéo A  1;0   H  có cạnh nằm trục hồnh, và  C a; a  , với a  Biết đồ thị H hàm số y  x chia hình   thành hai phần có diện tích nhau, tìm a  C a; a A  1;0  Gọi ABCD hình chữ nhật với AB nằm trục Ox ,    C a; a Nhận thấy đồ thị hàm số y  x cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua Do chia hình chữ nhật ABCD làm phần có diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x trục Ox , x  0, x  a Ta tính S1 S2 , S2 Gọi S1 diện tích diện tích phần cịn lại S1 , S2 a Tính diện tích Đặt S1   x dx t  x  t  x  2tdt  dx ; Khi x   t  0; x  a  t  a a S1  Do  a  2t  2a a 2t dt      0 Hình chữ nhật ABCD có AB  a  1; AD  a nên S  S ABCD  S1  a  a  1  2a a  a a a 3 Do đồ thị hàm số y  x chia hình S1  S2   H thành hai phần có diện tích nên 2a a  a a  a a a 3 a a 3 3 (Do a  ) Vậy chiều rộng cần tìm 3m 3 Kết luận kiến nghị Khi giảng dạy nội dung học sinh vô hào hứng, em say mê tìm tịi lời giải, đưa cách làm sáng tạo tư thông minh, sau buổi học , đặc biệt em tiếp cận trực tiếp hình ảnh thật quan sát , phân tích đưa đến lời giải cuối , tất háo hức , Tốn học khơng cịn xa lạ hay khiên cưỡng với em , thay vào việc tiếp thu kiến thức chủ động Rõ ràng nội dung quan trọng nội dung chương trình Tốn học phổ thơng đặc biệt nội dung chương trình Sách giáo khoa chuẩn bị đưa vào sử dụng, với ý đồ tác giả muốn giới thiệu đến người đọc dạng toán quan trọng gần gũi với thực tiễn sống Vì thời gian có hạn quy định nội dung Sáng kiến kinh nghiệm nên tác giả truyền tải hết ý tưởng muốn đồng nghiệp tiếp tục ý tưởng để ngày hồn thiện hơn.Rất mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp đặc biệt người đọc sáng kiến Xin chân thành cám ơn Thanh hóa ngày 20 tháng năm Tôi xin cam đoan SKKN 2019 viết, khơng chép tác Người viết sáng kiến kinh nghiệm giả Nếu vi phạm xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Nguyễn Văn Chinh Xác nhận quan TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Một số tư liệu lấy từ mạng Internet 2/ Những vấn đề chung đổi giáo dục Trung học phổ thông (Bộ Giáo dục Đào tạo, NXBGD, 2007) 3/ Hướng dẫn thiết kế giảng máy tính (Th.s Trương Ngọc Châu, NXBGD, 2005) 4/ SGK GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục Đào tạo, NXBGD) 5/ Sách Bài tập GIẢI TÍCH 12 (Bộ Giáo dục Đào tạo, NXBGD) 6/ Tài liệu chủ đề tự chọn nâng cao (Bộ Giáo dục Đào tạo, NXBGD) 7/ Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, SGK THPT mơn TỐN (Bộ Giáo dục Đào tạo, NXBGD) ... tài ? ?ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VÀO BÀI TỐN DIỆN TÍCH TRONG THỰC TẾ” nhằm giúp học sinh có nhìn đổi cách tiếp cận kiến thức Toán học 1.2 Mục đích nghiên cứu - Xây dựng giải pháp phù hợp, tích cực dạy... học sinh tiếp cận dần tốn tìm diện tích Tích phân - Thiết kế giáo án thực nghiệm 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Khai thác số ví dụ tốn tìm diện tích hình phẳng tích phân thực tiễn 1.4 Phương pháp nghiên... tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình chữ nhật hình đa giác đưa hình tam giác, hình thang hay hình chữ nhật để tính diện tích Nhưng thực tế sống khoa học kỹ thuật, cần phải tính diện tích