Vi phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất cả các đại lượng khác biến đều được xem là hằng số.. Vận tốc theo thời gian t Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng c
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬT LÍ ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN
I CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN
1 Một số công thức cơ tính đạo hàm
[c]’ = 0
[x]’ = 1
[xα]’ = αxα – 1
[sinx]’ = cosx
[cosx]’ = –sinx
[tanx]’ = 1
cos2x
[cotx]’ = -1
sin2x
[lnx]’ = 1
x
[logax]’ =
[af(x)]’ = a.f’(x)
[f(x) + g(x)]’ = f’(x) + g’(x)
[f(x).g(x)]’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)
f(x)
g(x)
'
= f'(x).g(x) - g'(x).f(x)
[g(x)]2 [f(g(x))]’ = g’(x).f’(g)
2 Vi phân
Từ đạo hàm của hàm số y = f(x) kí hiệu là dy
dx = f'(x) ta suy ra dy = f’(x).dx
dy ta gọi là vi phân của hàm số
dx ta gọi là vi phân của đối số (biến)
Như vậy: Vi phân của hàm số bằng tích của đạo
hàm của hàm số đó với vi phân của biến
3 Tích phân
S = f(x).dx = g(x) + C
Trong dấu tích phân là một hàm số và một vi phân Vi
phân của biến nào thì tính tích phân theo biến đó, tất
cả các đại lượng khác biến đều được xem là hằng số
Từ các đạo hàm cơ bản, hãy viết các tích phân cơ
bản:
dx = x + c
xαdx = αx1 α + 1 + c
…
…
…
…
…
…
…
…
Trong việc tính tích phân S =
dx 1-3x ta nghĩ đến công
thức
dx
x = ln|x| + C Tuy nhiên công thức này phải
hiểu là: thương số giữa vi phân của biến dx với biến x Còn với tích phân cần tìm thì, thương số giữa vi phân của biến dx với một hàm của biến 1 – 3x
Ta có thể khắc phục điều này bằng cách đặt ẩn phụ X
= 1 – 3x, khi đó trong tích phân cũng phải có vi phân của ẩn phụ X, đó là
dX = X’(x).dx Hay dX = -3dx Suy ra dx = -dX
3 Thay trở lại tích phân cần tìm ta được dạng của công thức:
S = -1
3
dX X Bây giờ thì áp dụng được công thức, ta tính được
S = -1
3 (ln|X| + C) =
-1
3 (ln|1 - 3x| + C) Bây giờ hãy thử tự mình tính một số tích phân sau :
a) S =
1
2
1 + x2.xdx
b) S =
0
π 3
cos(t + π)dt
DẠNG 1: TỪ CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN, THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1 Các phương trình cơ bản
Cơ học:
+ Định luật II Niu-tơn: F 1 + F 2 + … = ma + Định luật bảo toàn động lượng:
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ’ + m 2 v 2 ’ + Định lí động năng:
1
2 mv 2 2 - 1
2 mv 1 2 = A Điện học:
+ Định luật Ôm cho đoạn mạch
+ I(R + r) = U Nhiệt học:
+ Nguyên lí I: Xét một quá trình rất nhỏ của sự biến đổi một khối khí
Nhiệt lượng được truyền dQ Nội năng biến đổi một lượng dU Khí thực hiện công dA
dQ = dU + dA
2 Các vi phân cơ bản
Trang 2a = dv dt
v = dx dt
I = dq dt =- dΦ dt
C = dQ dT (C là nhiệt dung bằng đạo hàm của nhiệt lượng theo
nhiệt độ tuyệt đối)
3 Áp dụng
+ Lập phương trình cơ bản
+ Đưa về dạng vi phân: Mỗi vế có một vi phân, biến
của vi phân nào thì nằm cùng vế với vi phân đó
+ Tích phân hai vế theo các cận xác định
Bài 1
Một vật khối lượng m = 1 kg, vận tốc ban đầu
v 0 = 10 m/s, chịu lực cản có độ lớn F c = kv, v là vận
tốc của vật, hằng số k = 1 kg/s)
1 Viết biểu thức vận tốc của vật tại thời điểm t
2 Chứng minh rằng vận tốc của vật giảm dần theo
hàm số bậc nhất của đường đi
3 Tính quãng đường vật đi được cho tới lúc dừng
Giải
1 Vận tốc theo thời gian t
Bài toán đang xét vật chuyển động dưới tác dụng của
một lực, đó là Fc
+ Chọn chiều dương là chiều chuyển động
+ Định luật II Niu-tơn
-Fc = ma
-kv = m dv
dt Bây giờ ta đưa vi phân dt và dv về hai vế, đồng thời
biến v về cùng vế với vi phân dv
dt = -m
k.
dv v
Do ta xét chuyển động của vật từ thời điểm ban đầu t
= 0 đến thời điểm t nào đó, thì vận tốc cũng từ v0 đến
giá trị v nào đó, tích phân hai vế theo các cận này:
0
t
dt = -
v0
v
m k
dv v
t = -m
k(lnv - lnv0) = m
kln
v 0
v
v = v 0e
-k
mt
2 Vận tốc theo quãng đường s
Ta chỉ xét chuyển động cho đến khi dừng lại, tức là
chuyển động theo một chiều, nên quãng đường có thể
xem như tọa độ của vật s = x
Từ công hệ thức đã có ở ý 1: -kv = m dv
dt
Với v = ds
dt ta suy ra
-kds = mdv
Tích phân hai vế
v 0
v
dv = -k
m
0
s
ds
v = -k
ms + v0
3 Quãng đường đi đến khi dừng
Cho đến khi vật dừng lại thì v = 0, suy ra
s = mv 0
k =
1.10
1 = 10 m
Bài 2
Một thanh trượt bằng kim loại có khối lượng m, có thể trượt không ma sát dọc theo hai đường ray bằng kim loại đặt song, nghiêng một góc α và cách nhau một đoạn b Các đường ray được nối kín ở phía dưới bằng một tụ điện có điện dung C Hệ được đặt trong một từ trường đều cảm ứng từ B, các đường sức thẳng đứng hướng xuống Ban đầu thanh trượt được giữ ở khoảng cách l so với đáy
Hỏi sau bao lâu kể
từ lúc thả nhẹ, thanh trượt tới đáy? Tính vận tốc của nó khi
đó Bỏ qua điện trở dây dẫn
Giải
Thực chất đây là bài toán về chuyển động của thanh, phương trình cơ bản của bài toán là phương trình
định luật II Niu-tơn + Chọn gốc tọa độ tại vị trí thả thanh, gốc thời gian lúc thả thanh
mg.sinα – F t cosα = ma
Trong đó
F t = BIb
Ở đây cường độ dòng điện
không tính bằng định luật Ôm, bởi vì thực chất mạch
hở (có tụ điện) Vậy nên I được tính bằng đạo hàm
điện tích trên tụ điện
I = dq dt Với q = C = C.Bv.cosα
Khi đó
I = C.B.b.cosα dv
dt = C.B.b.cosα.a
F t = C.B 2 b 2 cosα.a
Thay trở lại phương trình cơ bản ta được
mg.sinα = (m + C.B 2 b 2 cos 2 α)a
a = mg.sinα
m + C.B 2 b 2 cos 2 α
Trang 3Ta thấy rằng gia tốc a không đổi theo thời gian, thanh
trượt xuống nhanh dần đều với vận tốc ban đầu bằng
không, ta có
l = 1
2 at
2 t = 2l
a
t = 2l(m + C.B
2
b 2 cos 2 α) mg.sinα
Vận tốc khi đó
v = at = 2l mg.sinα
m + C.B 2 b 2 cos 2 α
* Ghi chú: Chắc bạn thắc mắc
1 Vì sao trong công thức I = C.B.b.cosα.a lại có
cosα?
Công thức tính suất điện động trên thanh dẫn dài b,
chuyển động với vận tốc v trong từ trường đều B là
= B.v.l.sin, trong đó là góc hợp bởi vvới B
Hãy vẽ góc và sẽ thấy sin = cosα
2 Vì sao lực F t nằm ngang, hướng sang phải ?
Hãy vẽ đường sức từ, áp dụng quy tắc bàn tay trái, và
chú ý rằng, Ft vuông góc đồng thời với thanh và các
đường sức
Bài 3
Tại thời điểm t = 0, một lực F = kt tác dụng lên một
vật nhỏ khối lượng m đang đứng yên trên mặt phẳng
nhẵn nằm ngang (k là một hằng số) Hướng của lực
này luôn luôn hợp với phương ngang một góc α như
hình vẽ Tính:
1 vận tốc của vật khi nó
bắt đầu rời khỏi mặt
phẳng ngang
2 quãng đường vật đi
được cho đến thời
điểm này
Giải
+ Chọn Ox nằm ngang hướng theo chuyển động ban
đầu của vật, Oy thẳng đứng hướng lên
+ Phương trình định luật II Niu-tơn trên các trục Ox
kcosα.t = ma x = m dv x
dt k
m .cosα.t.dt = dv x
0
v x
dv x =
0
t
k
m .cosα.t.dt
v x = k
2m cosα.t
2
Trên trục Oy
k.sinα.t + N = mg
1 Khi vật rời mặt phẳng ngang
N = 0 t = mg
k.sinα Lúc đó v y = 0
v x = mg
2
.cosα 2k.sin 2 α
2 Quãng đường vật đi được đến lúc đó
Từ công thức
dx
dt = v x
dx = v x dt = k
2m cosα.t
2
dt
0
x
dx = k 2m cosα.
0
t
t 2 dt
x = k.cosα.t
3
6m Lúc t = mg
k.sinα thì quãng đường là
x = m
2
g 3 cosα 6.k 2 sin 2 α
Bài 4
Một vật nhỏ trượt xuống một mặt phẳng nghiêng góc
α với mặt phẳng ngang Ban đầu vật ở gốc tọa độ của trục Ox dọc theo hướng trượt của vật Hệ số ma sát trượt giữa mặt phẳng nghiêng với vật tại tọa độ x là
µ = kx, với k là hằng số Tìm vị trí vật dừng lại và tốc
độ cực đại trong quá trình vật trượt
Giải
Trên Oy ta có N = mgcosα
Trên Ox phương trình định luật II Niu-tơn
mg.sinα – µN = ma
hay g.sinα – kx.g.cosα = dv
dt
*Nhận xét: Đến đây, nếu ta chuyển dt sang vế trái, khi
đó vế phải có vi phân dv nhưng vế trái chứa biến x và
vi phân dt, không thể tính tích phân được
Vậy ta phải chuyển x thành biểu thức có t (không làm được) hoặc chuyển dt về dx:
Từ dx
dt = v dt = dx
v Vậy ta có: g.sinα – kx.g.cosα = vdv
dx g(sinα – k.cosa.x)dx = vdv
0
x
g(sinα – k.cosa.x)dx =
0
v
vdv
g(sinα.x - 1
2 k.cosα.x
2
) = 1
2 v
2
1 Vật dừng lại khi v = 0, suy ra
x = 2tanα
k
2 Tốc độ cực đại khi 1
2 v
2
cực đại Đạo hàm vế trái bằng không:
sinα – k.cosα.x = 0
x = tanα
k
Thay x trở lại ta tính được
Trang 4v max = gsinα.tanα
Bài 5
Cho n mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có nhiệt dung C
phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối T theo hệ thức
eq C = α + βT, trong đó α và β là các hằng số
1 Tính nhiệt lượng cần truyền cho khí để nó tăng từ
nhiệt độ T 1 đến nhiệt độ T 2
2 Viết biểu thức thể tích của khí theo nhiệt độ T
Giải
1 Nhiệt lượng
Nói đến nhiệt lượng và nhiệt dung, ta phải nghĩ đến
công thức
C = dQ dT
Hay
dQ = CdT = (α + βT)dT
0
Q
dQ =
T 1
T 2
(α + βT)dT
Q = (T 2 – T 1 )(α + β
2 (T 1 + T 2 ))
2 Thể tích
Phương trình cơ bản chính là nguyên lí I
dQ = dU + dA Trong đó
dU = 3
2 nRdT Quá trình rất nhỏ nên áp suất coi như không đổi p,
công được tính
dA = pdV
Bây giờ ta được
(α + βT)dT = 3
2 nRdT + pdV
* Ghi chú: đến đây thường ta nghĩ, α, β, n, R, p đều là
hằng số, nên có thể chuyển T và dT sang một vế, dV
sang một vế để thực hiện tích phân
Tuy nhiên, hãy chú ý, nếu trong một quá trình rất nhỏ
thì áp suất không đổi, nhưng nếu tích phân, tức là xét
cả quá trình dài, áp suất không phải hằng số, nó thay
đổi theo T Vậy ta phải đưa p về dạng có T và V (trong
phương trình chỉ có hai vi phân dT và aV), ta sử dụng
phương trình trạng thái
p = nRT
V , thay vào phương trình cơ bản ta được
(α + βT)dT = 3
2 nRdT +
nRT
V dV
Bây giờ thì đã rõ ràng, phương trình chỉ có các hằng
số và hai biến V và T, ta đưa về hai vế cùng với hai vi
phân dV và dT
α - 32nR
T + β dT = nR
dV V
α - 32nR
T dT + βdT = nRdVV
(α - 3
2 nR)lnT + βT = nRlnV + C
Bài 6
Một mạch kín gồm một nguồn điện có suất điện động biến thiên theo thời gian = 10cos(100πt) (V) và điện trở trong không đáng kể, nối với mạch ngoài có một điện trở R = 50 Ω
1 Viết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch tại thời điểm t
2 Tính điện lượng chuyển qua điện trở và nhiệt lượng tỏa ra trên điện trở trong thời gian từ
t = 0 đến t = 1
600 s
Giải
1 Cường độ dòng điện
Áp dụng định luật Ôm cho toàn mạch
I =
R =
10cos(100πt)
50 = 0,02cos(100πt) A
2 Điện lượng qua R
Ta thường tính điện lượng Δq qua công thức I = ΔqΔt , tuy nhiên công thức đó chỉ đúng khi I không đổi Với trường hợp I thay đổi theo t thì phải sử dụng công thức vi phân, sau đó tích phân theo cả quá trình
I = dq dt
dq = Idt = 0,02cos(100πt).dt
0
q
dq = 0,02
t 1
t2
cos(100πt)dt
q = 0,02
100π
t1
t 2
cos(100πt)d(100πt)
= -0,02 100π[sin(100πt2) – sin(100πt1)] ≈ -3,18.10
-5
C
Bài 7
Hai bản kim loại phẳngđặt song song, cách nhau
d = 2 cm trong chân không,
từ trường đều cảm ứng từ
B = 0,1 T, các đường sức song song với hai bản (hình vẽ) Nối hai bản với một nguồn cao thế Một electron rời catot với vận tốc ban đầu bằng không Hiệu điện thế giữa hai bản là bao nhiêu
để electron có thể bay được tới anot?
Giải
Trước hết ta phân tích chuyển động của electron sau khi rời catot:
Trang 5Ban đầu nó chỉ chịu tác dụng của lực điện trường, e
tăng tốc hướng vuông góc với hai bản Tuy nhiên
ngay khi nó có vận tốc thì chịu thêm tác dụng của lực
từ, quỹ đạo của e bị bẻ cong (hình vẽ)
Xét electron tại một điểm nào đó có tọa độ (x,y)
- Lực điện luôn cùng hướng Oy
F đ = |e|U d
- Lực từ ta phân tích thành 2 thành phần
Thành phần F x tác dụng lên thành phần v y (Lưu ý rằng
lực từ luôn vuông góc với vecto vận tốc)
F x = Bv y |e|
Thành phần F y tác dụng lên thành phần v x
F y = Bv y |e|
- Định luật II Niu-tơn trên Ox (trên Ox chỉ có lực từ
nên ta xét trước):
F x = ma x
Bv y |e| = m dv x
dt hay B|e|
dy
dt = m
dv x
dt
Bỏ dt và tích phân hai vế từ y = 0 đến y, v x = 0 đến v x
ta được
v x = B|e|
m y
- Định luật II Niu-tơn trên Oy
F đ – F y = ma y
(Hãy vẽ vecto lực từ thì sẽ thấy thành phần F y luôn
ngược chiều dương) Hay |e|U
d - B|e|v x = m
dv y
dt
Ta thay thế v x = B|e|
m y và dt =
dy
v y vào thì được
|e|U
d -
B 2 e 2
m y = mv y
dv y
dy
( |e|U
d -
B 2 e 2
m y)dy = mv y dv y Tích phân hai vế từ y = 0 đến y và từ v y = 0 đến v y
|e|U
d y -
B 2 e 2 2m y
2
= m
2 v y
2
Electron đến bản dương khi y = d, khi đó
|e|U
d d -
B 2 e 2 2m d
2
= m
2 v y
2
Để e đến được bản dương thì v y ≥ 0, suy ra
U ≥ B
2
|e|d 2 2m = 3,5.10
5
V
Bài 8
Trên mặt bàn nhẵn nằm ngang có một khung dây kín bằng kim loại hình chữ nhật kích thước hai cạnh là Z 0
và X 0 , có điện trở là R Khung đặt trong từ trường có cảm ứng từ dọc theo trục Oz và phụ thuộc vào toạ độ
x theo quy luật B z B0(1.x) Trong đó B0 và là các hằng số Tại thời điểm t = 0, truyền cho khung vận tốc ban đầu v0
dọc theo trục Ox Xác định quãng đường dịch chuyển xa nhất của khung
Giải
Đây cũng là bài toán về sự chuyển động của khung dây, phương trình cơ bản là định luật II Niu-tơn + Xét khung dây ở tọa độ x (cạnh bên trái của khung
có tọa độ x) + Các lực tác dụng lên khung theo phương ngang chính là lực từ tác dụng lên các cạnh của khung + Cảm ứng từ dọc theo Oz là đều, nên các lực từ tác dụng lên hai cạnh dọc theo Ox cùng độ lớn, nhưng ngược chiều nhau, chúng triệt tiêu lẫn nhau
+ Các lực tác dụng lên hai cạnh dọc theo Oz lần lượt
là
F 1 = B 1 Z 0 I = B 0 (1 - αx)Z 0 I ( ngược hướng Ox)
F 2 = B 2 Z 0 I = B 0 [1 - α(x + X 0 )]Z 0 I (cùng hướng Ox) (* Ghi chú: Hãy xác định từ thông tăng hay giảm, suy
ra cảm ứng từ do dòng điện cảm ứng trong khung gây
ra, suy ra chiều dòng điện cảm ứng và cuối cùng suy
ra được chiều các lực từ - Quy tắc Lenxơ) + Định luật II Niu-tơn
F 2 – F 1 = ma -B 0 αX 0 Z 0 I = ma
Trong đó, ta tính I bắt đầu từ việc tính từ thông qua khung dây tại vị trí này
Xét diện tích dS cạnh Z0, dX tại vị trí cách cạnh bên trái một đoạn X Vì dX rất nhỏ nên cảm ứng từ trên
diện tích này là đều B = B 0 [1 – α(x + X)]
dΦ = B.dS = B 0 [1 – α(x + X)]Z 0 dX
Φ =
0
X 0
B 0 [1 – α(x + X)]Z 0 dX
=B 0 Z 0 [(1 – αx)X 0 - 1
2 αX 0 2 ]
Suất điện động cảm ứng trong khung có độ lớn
= | -dΦ
dt | =B 0 Z 0 X 0 α dx
dt =
I =
R =
B 0 Z 0 X 0 α
dx d
Thay vào biểu thức định luật II Niu-tơn ta được
-B 0
2
X 0 2 Z 0 2 α 2
dx
dt = m
dv dt
- B 0
2
X 0 2 Z 0 2 α 2
R .dx = mdv
z
O
x
v 0
B
Trang 6Tích phân hai vế từ x = 0 đến x và từ v = v 0 đến v = 0
ta được
- B 0
2
X 0 2 Z 0 2 α 2
R .x = -mv 0
x = mv 0 R
B 0 2 X 0 2 Z 0 2 α 2
BÀI TẬP
Bài 1
Một vật nhỏ khối lượng m đang đứng yên trên mặt
phẳng nhẵn nằm ngang thì bắt đầu chuyển động do
một lực F = mg/3 tác dụng Trong quá trình chuyển
động của vật, góc hợp bởi hướng của lực với phương
ngang là α = k.s, trong đó k là hằng số, s là quãng
đường vật đi được Tìm vận tốc của vật dưới dạng
hàm số của α
Bài 2
Một chất điểm chuyển động dọc theo chiều dương của
trục Ox, vận tốc phụ thuộc tọa độ theo biểu thức
v = k x, trong đó k là hằng số dương Hãy xác định
1 vận tốc và gia tốc của vật theo thời gian
2 vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ khi
x = 0 đến tọa độ x bất kì
ĐS: 1) a = k
2
2 ; v =
k 2
2 t; 2) v tb =
k x 2
Bài 3
Một chất điểm chuyển động chậm dần trên một đường
thẳng với gia tốc có độ lớn phụ thuộc vào tốc độ v
bằng biểu thức a = k v, với k là hằng số dương Tại
thời điểm ban đầu vận tốc của chất điểm là v 0 Tính
quãng đường vật đi được cho đến khi dừng lại và thời
gian đi quãng đường đó
ĐS: s = 2
3k .v
3/2
; t = 2 v 0
k
Bài 4
Một chất điểm chuyển động chậm dần trên quỹ đạo
tròn bán kính R sao cho tại mỗi điểm gia tốc tiếp
tuyến và gia tốc hướng tâm luôn có độ lớn bằng nhau
Khi t = 0 thì tốc độ dài là v 0 Hãy xác định
1 tốc độ dài theo thời gian và quãng đường đi được
2 gia tốc toàn phần theo vận tốc và quãng đường
ĐS: 1) v = v 0 e -s/R ; 2) a = v
2
2
R và
2v 0 2 e
-2s R R
Bài 5
Một thanh kim loại AB có thể
trượt không ma sát dọc theo một
đường ray trên mặt phẳng ngang
(hình vẽ) Thanh có chiều dài l,
khối lượng m và điện trở R Hệ
thống được đặt trong một từ
trường đều thẳng đứng, cảm ứng
từ B Tại thời điểm t = 0, một lực không đổi F nằm
ngang, song song với đường ray, tác dụng lên thanh
và thanh bắt đầu chuyển động sang phải Hãy lập biểu
thức vận tốc của thanh theo thời gian t Bỏ qua điện trở của ray
ĐS: v = (1 - e
-B 2 l 2
Rm t
) RF
B 2 l 2
Bài 6
Một dây dẫn thẳng dài
vô hạn mang dòng điện I , khoảng cách 0
từ nó đến hai dây dẫn khác là a và b, R là điện trở nối hai dây
đó Thanh kim loại có thể trượt không ma sát với vận tốc không đổi v Bỏ qua điện trở của dây nối và của thanh
1 Xác định cường độ và chiều dòng điện cảm ứng xuất hiện trong mạch
2 Tính lực để giữ cho thanh kim loại chuyển động với vận tốc không đổi
ĐS: 1) i e 2.10 7 I v0 ln b
2)
2
4.10 I vln b
F
Bài 7
Proton có vận tốc v = 107
m/s bay vào một môi trường
có từ trường đều B = 0,2 T, các đường sức vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo
của proton Ngoài ra, proton còn chịu tác dụng của lực cản tỉ lệ với vận tốc F = αv, với α = 7.10 -20
Ns/m Hỏi ở khoảng cách nào kể từ khi bay vào môi trường, proton dừng lại?
ĐS: l = v 0 m
q 2 B 2 + α 2 = 21,7 cm
N.Đ.T-CQB
