Ứng dụng tích phân trong bài tập vật lý

ONTHIONLINE.NEt I. Lý do chọn đề tài: Toán học có vai trò rất quan trọng trong rất nhiều ngành khoa học. Là cơ sở của các nhiều ngành khoa học khác. Trong khi nghiên cứu, giảng dạy, giải các bài tập vật lý tôi thấy được ứng dụng của toán học rất nhiều. Trong các đề tài SKKN đã có rất nhiều người khai thác mảng ứng dụng toán học trong dạy học vật lý như: Bất đẳng thức, Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, Phương trình bậc hai. Trong phạm vi của đề tài này tôi chỉ khai thác một mảng nhỏ là dùng vi phân ,tích phân để giải các bài tập vật lý. Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của là: “ Một số ứng dụng phép tính vi phân tích phân trong dạy học Vật Lý ” II. Nội dung đề tài: Đề tài này giải quyết ba vấn đề: - Hiểu rõ bản chất của phép tính vi phân và tích phân. - Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính vi phân và tích phân trong vật lý - ứng dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài toán vật lý. - Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh nghiệm nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài toán III. Chủ đề Vi phân và Tích phân 1. Bản chất của phép tính vi phân và tích phân. 2. Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính vi phân và tích phân trong Vật lý - Phép vi phân liên quan đến vấn đề đặt ra về vận tốc biến thiên của một hàm bất kì khi đối thay đổi, lúc đó vận tốc này là biến thiên và việc xác định nó đòi hỏi chính xác với mọi giá trị bất kì của đối. Tuy nhiên nó không chỉ có ích trong việc xác định vận tốc tức thời của chuyển động. ∗ Điện tích của bộ nguồn mắc vào một mạch điện giảm đi theo thời gian. Dòng này có thể khác nhau ở những thời điểm khác nhau và vì thế phải được tính như là đạo hàm của điện tích theo thời gian. ∗ Cũng không được quên rằng phép tính vi phân là phương tiện để vẽ tiếp tuyến với một đường cong. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm mà đồ thị là đường cong; đạo hàm được lấy với giá trị của đối ứng với tiếp điểm. ví dụ công thức (sinx)' = cosx có thể phát biểu bằng ngôn ngữ đồ thị: hệ số góc của tiếp tuyến với đường sin tại mỗi điểm sẽ bằng chiều cao của đường cosin tại điểm ấy. - Phép tính tích phân là phép toán ngược với phép vi phân và liên quan đến vấn đề tính quảng đường đã đi theo một đồ thị khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá lớn trong thời gian chuyển động: đường đi của vật từ một thời điểm cho trước đến một thời điểm khác là tích phân xác định của vận tốc theo thời gian lấy từ thời điểm ban đầu (được gọi là cận dưới của tích phân) đến thời điểm cuối (cận trên của tích phân). Ngoài ra: ∗ Phép tích phân cho phép xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời gian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời điểm. ∗ Xác định độ tăng nhiệt lượng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệt dung của nó tại mỗi nhiệt độ. Khi tính toán đường đi theo vận tốc. Đường đi là nguyên hàm của vận tốc. Nó có thể được tính từ một điểm gốc bất kì. Nhưng số gia của đường đi từ một thời điểm này đến một thời điểm khác bao giờ cũng bằng cùng một số là tích phân xác định của vận tốc lấy từ một trong các thời điểm đã chọn cho đến thời điểm kia. Và đây là một nguyên tắc chung: Tích phân xác định của một hàm nào đó với các cận đã cho là hiệu giữa các giá trị của một nguyên hàm tại cận trên và cận dưới. Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tính tích phân xác định - công thức Newton - Leipnit +Nói tóm lại trong Vật Lý người ta sử dụng tích phân để tìm điện lượng chuyển qua tiết diện của vật dẫn khi dòng điện biến đổi. Hoặc tìm mô men quán tính của vật rắn. Hoặc tìm phương trình chuyển động khi biết vận tốc, tìm nhiệt lượng tỏa ra trên một điện trở R của dòng điện xoay chiều hoặc công của dòng điện xoay chiều Bài toán 6: Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều u = U 0 2 sin t T π . Khi đó trong mạch có dòng điện xoay chiều i = I 0 2 sin t T π   + ϕ  ÷   với ϕ là độ lệch pha giữa dòng điện và hiệu điện thế. Hãy tính công của dòng điện xoay chiều thực hiện trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì. Giải Ta có: A = π π   = + ϕ  ÷   ∫ ∫ T T 0 0 0 0 2 2 uidt U I sin t sin tdt T T T 0 0 0 1 4 U I cos cos t dt 2 T   π   = ϕ − + ϕ  ÷  ÷     ∫ T 0 0 0 U I 1 4 cos cos t dt 2 2 T   π   = ϕ − + ϕ  ÷  ÷     ∫ T 0 0 0 0 0 U I T 4 U I tcos sin t Tcos 2 4 T 2   π   = ϕ− + ϕ = ϕ  ÷  ÷ π     Bài toán 7: Một dòng điện xoay chiều i = I 0 2 sin t T π   + ϕ  ÷   chạy qua một đoạn mạch có điện trở thuần R. Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì T. Giải Ta có: Q = T T 2 2 2 0 0 0 2 Ri dt RI sin t dt T π   = + ϕ  ÷   ∫ ∫ T 2 0 0 2 1 cos2 T RI dt 2 π   − + ϕ  ÷   = ∫ T 2 2 0 0 0 RI T 2 RI t sin 2 t T 2 4 T 2   π   = − + ϕ =  ÷  ÷ π     Bài toán 8: Một đoàn tàu chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang với vận tốc không đổi v 0 . Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lực cản tổng hợp của cả đoàn tàu bằng 1/10 trọng lượng P của nó. Hãy xác định chuyển động của đoàn tàu từ khi tắt máy và hãm. Giải - Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm có khối lượng m, chịu tác dụng của c P,N,F ur ur uur . - Phương trình động lực học: c ma P N F= + + r ur ur uur (1) - Chọn trục Ox nằm ngang chiều (+) theo chiều chuyển động gốc thời gian lúc tắt máy. Do vậy chiếu (1) lên trục Ox ta có: x c ma F= − hay viết: " mx F= − hay p F 10 = ; " g x 10 = − (2) Hay dv g g dt dt 10 10 = − → − (2 ' ) Tích phân (2 ' ) ta có: 1 g V t C 10 = − + Hay 1 1 dx g g t C dx t.dt C dx dt 10 10 = − + → = + Tích phân tiếp ta có: 2 1 2 g x t C .t C 20 = − + + (3) Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các hằng số C 1 và C 2 như sau: Tại t 0 = 0; v = v 0 ; v 0 = 0 Ta có: C 2 = 0 và C 1 = v 0 thay C 1 và C 2 vào (3) 2 0 g.t x v .t 20 = − . Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính vi phân và tích phân trong vật lý - ứng dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài toán vật lý. - Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát. sử dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài toán III. Chủ đề Vi phân và Tích phân 1. Bản chất của phép tính vi phân và tích phân. 2. Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính vi phân. số ứng dụng phép tính vi phân tích phân trong dạy học Vật Lý ” II. Nội dung đề tài: Đề tài này giải quyết ba vấn đề: - Hiểu rõ bản chất của phép tính vi phân và tích phân. - Nhận dạng một số ứng