Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)

Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)Một số bài toán nâng cao về dãy và chuỗi số thực (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2015 Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành tạị Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Thầy tận tình hướng dẫn, bảo để tơi hồn thành luận văn này, tơi xin gửi tới Thầy lòng biết ơn sâu sắc Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên cho hội học tập hồn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình, tâm huyết thầy, cô giáo Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Phòng Trường Trung học phổ thông Hồng Bàng, nơi công tác tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Cuối xin cảm ơn gia đình bạn bè động viên, khích lệ tơi để hồn thành nhiệm vụ Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp với đề tài " Một số toán nâng cao dãy chuỗi số thực " thực hiện, không chép không trùng lặp nội dung với tài liệu chủ đề Các tài liệu mà tham khảo q trình hồn thành Luận văn trích dẫn đầy đủ Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân iii Mục lục Lời cảm ơn i Lời cam đoan ii Mục lục iii Mở đầu 1 Một số toán nâng cao dãy số 1.1 1.2 1.3 1.4 Các khái niệm dãy số Các dãy số đặc biệt 1.1.1 Khái niệm dãy số 1.1.2 Các dãy số đặc biệt Một số kỹ thuật nghiên cứu dãy số lặp 1.2.1 Dẫn luận 1.2.2 Kỹ thuật phương trình sai phân 1.2.3 Kỹ thuật lượng giác hóa kỹ thuật phương trình đại số 13 1.2.4 Kỹ thuật tuyến tính hóa dãy lặp phi tuyến 15 Một số tốn nâng cao tìm số hạng tổng quát dãy số 19 1.3.1 Dẫn luận 19 1.3.2 Một số toán 19 Giới hạn dãy số 24 1.4.1 Lý thuyết tóm tắt 24 1.4.2 Một số toán 25 iv 1.5 Các tính chất dãy số Một số toán liên quan đến chuỗi số 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 43 50 Các khái niệm chuỗi số 50 2.1.1 Khái niệm 50 2.1.2 Chuỗi hội tụ 51 2.1.3 Các phép toán chuỗi hội tụ 52 Hội tụ chuỗi số dương 52 2.2.1 Tiêu chuẩn so sánh thua 52 2.2.2 Tiêu chuẩn so sánh tỷ lệ 52 2.2.3 Tiêu chuẩn D’ Alembert 53 2.2.4 Tiêu chuẩn Cauchy 53 2.2.5 Tiêu chuẩn tích phân 53 2.2.6 Tiêu chuẩn Raabe 53 2.2.7 Tiêu chuẩn Gauss 54 2.2.8 Một số chuỗi dương đặc biệt 54 Chuỗi có dấu chuỗi đan dấu 55 2.3.1 Chuỗi có dấu 55 2.3.2 Chuỗi đan dấu 55 Một số tốn tính tốn đánh giá chuỗi 56 2.4.1 Tìm tổng chuỗi 56 2.4.2 Đánh giá chuỗi 60 Các tốn tính hội tụ chuỗi số 64 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 Mở đầu Dãy số giới hạn dãy số chun mục quan trọng Giải tích Tốn học dạy bậc Trung học Phổ thông Các tốn dãy số có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẻ đẹp tính độc đáo phương pháp kỹ thuật giải toán khác dãy số Các vấn đề dãy số bao gồm: xác định số hạng tổng quát, tìm giới hạn số tính chất, tính bị chặn, tính đơn điệu, tính nguyên v.v Các toán dãy số thường gặp kỳ thi học sinh giỏi cấp, cấp Quốc gia Quốc tế Vì thế, việc tìm hiểu học hỏi nâng cao dãy số toán liên quan cần thiết việc học tập giảng dạy Tốn học bậc Phổ thơng Một vấn đề Tốn học khác có liên quan mật thiết với dãy số, chuỗi số (tổng vơ hạn) Theo định nghĩa, chuỗi số giới hạn dãy số dạng tổng n ak , {ak } dãy số vơ hạn cho trước Trong Giải tích 11 lim n→+∞ k=1 có giới thiệu qua tổng vơ hạn, tính tổng vơ hạn số hạng cấp số nhân có cơng bội với trị tuyêt đối nhỏ Các vấn đề xét tính hội tụ chuỗi tính tốn hay đánh giá tổng vô hạn thú vị có nhiều ứng dụng thực tiễn Vì thế, chuỗi số thực đối tượng đề cập luận văn Mục tiêu luận văn nhằm đề cập đến số vấn đề dãy số chuỗi số thông qua phương pháp giải toán dãy chuỗi số mà đa phần mức nâng cao khó Nội dung luân văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [6] Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Một số toán nâng cao dãy số: gồm khái niệm dãy số, hệ thống số toán dãy số với toán dãy số lặp, tốn nâng cao tìm số hạng tổng qt dãy số, tốn tìm giới hạn dãy số, tốn sử dụng tính chất dãy số Chương 2: Một số toán liên quan đến chuỗi số: gồm khái niệm chuỗi số, hệ thống số tốn chuỗi số tính tốn đánh giá chuỗi số, tốn tính hội tụ chuỗi số dương Để hiểu trình bày vấn đề cách dễ dàng, tơi trình bày đầy đủ khái niệm bản, giải tường minh toán miêu tả Đặc biệt làm sáng tỏ khái niệm kết quả, tốn tính tốn cẩn thận, đầy đủ chi tiết Các tính tốn thường khơng trình bày tài liệu trích dẫn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Thanh Vân Chương Một số toán nâng cao dãy số Chương trình bày khái niệm dãy số kỹ thuật thông dụng nghiên cứu dãy số truy hồi, kỹ thuật phương trình sai phân, kỹ thuật lượng giác hóa kỹ thuật tuyến tính hóa Những kiến thức hình thành chủ yếu từ tài liệu [2], [3] [4] Các tốn nâng cao trình bày chương (các mục 1.3, 1.4 1.5) hình thành chủ yếu từ tài liệu [6] 1.1 Các khái niệm dãy số Các dãy số đặc biệt 1.1.1 Khái niệm dãy số Định nghĩa 1.1 Cho A tập khác rỗng tập số nguyên dương Z+ (hoặc tập số tự nhiên N) Dãy số hàm số từ A vào R Các số hạng dãy số thường ký hiệu an , bn , xn , yn , un , , Dãy số thường ký hiệu (xn ) {xn } Định nghĩa 1.2 Dãy số (un ) gọi tăng (tăng không ngặt, giảm, giảm không ngặt), un < un+1 (un ≤ un+1 , un > un+1 , un ≥ un+1 ) Định nghĩa 1.3 Dãy số (un ) gọi bị chặn trên, tồn số M, cho un ≤ M, ∀n Dãy gọi bị chặn dưới, tồn số m, cho un ≥ m, ∀n Dãy số gọi bị chặn, tồn số M, m, cho m ≤ un ≤ M, ∀n 1.1.2 Các dãy số đặc biệt Cấp số cộng Định nghĩa 1.4 Dãy số (un ), n ∈ N∗ , gọi cấp số cộng, số hạng thứ hai, số đứng sau số đứng liền trước cộng với số không đổi d Số d gọi công sai cấp số cộng Vậy ta có un+1 = un + d ⇔ un+1 − un = d Tính chất Mỗi số hạng cấp số cộng trung bình cộng hai số hạng kề với nó: uk = uk+1 + uk−1 Công thức số hạng tổng quát Giả sử (un ), n ∈ N∗ cấp số cộng với công sai d Khi số hạng thứ n tính theo công thức un = u1 + (n − 1)d Tổng n số hạng cấp số cộng Sn = u1 + u2 + + un = Cấp số nhân u1 + un 2u1 + (n − 1)d n= n 2 ... Một số toán nâng cao dãy số: gồm khái niệm dãy số, hệ thống số toán dãy số với toán dãy số lặp, tốn nâng cao tìm số hạng tổng qt dãy số, tốn tìm giới hạn dãy số, tốn sử dụng tính chất dãy số Chương... THỊ THANH VÂN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO VỀ DÃY VÀ CHUỖI SỐ THỰC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Thái... 1 Một số toán nâng cao dãy số 1.1 1.2 1.3 1.4 Các khái niệm dãy số Các dãy số đặc biệt 1.1.1 Khái niệm dãy số 1.1.2 Các dãy số đặc biệt Một số kỹ