Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)

Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)Ứng dụng tính liên tục và tính khả vi của hàm số trong phương trình và bất đẳng thức (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN CAO THỊ THẮM ỨNG DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Giáo viên hướng dẫn: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN, 2015 Mục lục Mở đầu 1 Hàm số liên tục ứng dụng 1.1 Tính liên tục hàm số 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các tính chất 1.2 Một số tính chất liên tục 1.3 Nghiệm phương trình 1.4 Điểm bất động hàm số 1.5 Phương trình hàm Hàm khả vi ứng dụng 2.1 Đạo hàm vi phân hàm số 2.1.1 Đạo hàm điểm 2.1.2 Đạo hàm phía 2.1.3 Một số tính chất 2.1.4 Định nghĩa vi phân điểm 2.1.5 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.2 Các định lí giá trị trung bình 2.2.1 Định lí Fermat 2.2.2 Định lí Rolle 2.2.3 Định lí Lagrange Định lí Cauchy 2.3 Các toán phương trình bất đẳng thức hàm khả vi 2.3.1 Phương trình 2.3.2 Bất đẳng thức 2.4 Một số bất đẳng thức đạo hàm quan trọng 2.4.1 Công thức Taylor khoảng ii 3 4 10 14 19 27 27 27 27 28 28 29 30 30 30 32 34 34 37 48 48 2.4.2 Các bất đẳng thức đạo hàm quan trọng 48 Kết luận 54 Tài liệu tham khảo 55 iii Mở đầu Cùng với khái niệm giới hạn, tính liên tục tính khả vi hàm số những kiến thức sở quan trọng giải tích tốn học Trong chương trình tốn học bậc phổ thơng, tính chất hàm số liên tục đoạn áp dụng nhiều, phong phú đa dạng toán khác nhau, toán tồn nghiệm phương trình Định lý Rolle, Định lý Lagrange, tính đơn điệu hàm số thường sử dụng đề thi có tính nâng cao, thi học sinh giỏi cấp quốc gia hay quốc tế nhiều toán khác nhau, đặc biệt chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, v.v Hiện có nhiều tư liệu (sách giáo khoa, sách tham khảo, khóa luận, luận văn, chuyên đề Hội thảo, v.v ) tiếng Việt ứng dụng tính liên tục tính khả vi hàm số khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,v.v Nhận xét rằng, ngồi phương trình hàm, nhìn chung vấn đề đa phần hàm số sơ cấp cụ thể, nên chưa có tính khái qt Với suy nghĩ ý tưởng đó, mục tiêu luận văn nhằm khai thác tính liên tục tính khả vi hàm biến phương trình bất đẳng thức không hàm số cụ thể mà Về tính liên tục, luận văn trình bày số vấn đề có tính lý thuyết hàm liên tục, tính trù mật (giá trị trung gian), tính bị chặn, tính lồi, v.v Về phương trình, luận văn xét tốn điểm bất động hàm liên tục đoạn hữu hạn (compact), phương trình hàm, phương trình vi phân, v.v Về bất đẳng thức, ngồi số bất đẳng thức hàm cụ thể, luận văn chủ yếu quan tâm đến bất đẳng thức hàm, bất đẳng thức đạo hàm tổng quát Đặc biệt, luận văn trình bày số bất đẳng thức đạo hàm tiếng bất đẳng thức Landau, bất đẳng thức Kolmogorow, bất đẳng thức Landau-Kolmogorow bất đẳng thức Steklov hàm khả vi biến Đây bất đẳng thức Toán học cao cấp chưa trình bày tài liệu Tiếng Việt cấp độ Toán sơ cấp Kết cấu Luận văn gồm có: Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1: Hàm số liên tục ứng dụng, trình bày khái quát hàm số liên tục, số tính chất chuyên sâu hàm số liên tục, điểm bất động hàm liên tục phương trình hàm Chương 2: Hàm khả vi ứng dụng Nội dung chương trình bày số kiến thức sở đạo hàm vi phân, định lí giá trị trung bình Từ kiến thức tảng đó, nội dung quan trọng chương xét phương trình, đẳng thức bất đẳng thức hàm khả vi tổng quát Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc- Trường Đại học Thăng Long Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên, bảo hướng dẫn Thầy Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu thầy, cô trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tận tình giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học cao học Trường Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán lớp N- Trường Đại học Khoa Học, Đại học Thái Nguyên Chương Hàm số liên tục ứng dụng Chương trình bày ngắn gọn khái niệm tính chất hàm liên tục biến số toán liên quan Các kiến thức chương hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] [6] 1.1 1.1.1 Tính liên tục hàm số Các khái niệm Định nghĩa 1.1 Giả sử I ⊂ R khoảng hệ khoảng trục thực f hàm nhận giá trị thực miền I Cố định điểm x0 ∈ R ( bao hàm trường hợp x0 ∈ I ) Ta nói f có giới hạn l ∈ R x0 viết lim f (x) = l x→x0 với ε > 0, tồn δ > 0, δ = δ(ε) cho x ∈ I, x = x0 , |x − x0 | < δ |f (x) − l| < ε Định nghĩa 1.2 Cho hàm số f xác định tập X số a ∈ X Hàm f gọi liên tục a lim f (x) = f (a) hay ∀ε > 0, ∃δ > : ∀x ∈ x→a X, |x − a| < δ |f (x) − f (a)| < ε Định nghĩa 1.3 Hàm f gọi liên tục phải a lim f (x) = f (a) x→a+ Hàm f gọi liên tục trái a lim f (x) = f (a) x→a− Nếu hệ thức khơng tồn ta nói hàm f (x) x0 có gián đoạn tương ứng phải, trái Nhận xét 1.1 Hàm f liên tục a lim f (x) = lim− f (x) = lim f (x) = f (a) x→a+ x→a x→a Định nghĩa 1.4 Một hàm không liên tục a gọi hàm gián đoạn a Định nghĩa 1.5 Hàm f liên tục điểm x ∈ (a; b) ta nói f liên tục khoảng (a; b) Định nghĩa 1.6 Hàm số f liên tục khoảng (a; b) liên tục phải a , liên tục trái b ta nói f liên tục [a; b] 1.1.2 Các tính chất + Tổng, hiệu, tích thương (với điều kiện mẫu khác ) hàm liên tục a hàm liên tục a + Nếu hàm f liên tục a hàm g liên tục f (a) hàm hợp g ◦ f liên tục a + Nếu f liên tục a f (a) > L f (x) > L lân cận a hay ∃δ > cho f (a) > L với x mà |x − a| < δ 1.2 Một số tính chất liên tục Định lý 1.1 (Tính trù mật hàm liên tục) Nếu hàm f (x) liên tục đoạn [a; b] f (a)f (b) < tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = Chứng minh Để chứng minh định lí ta thực phương pháp chia đôi đoạn [a; b] Nếu trình thực ta tìm điểm c ∈ (a; b) cho f (c) = định lí chứng minh Nếu khơng tìm c trình giúp ta xây dựng dãy đoạn lồng [an ; bn ] b−a f (an ) < 0, f (bn ) > cn = bn − an = n Ta có lim f (an ) = f ( lim an ) = f (c) ≤ n→∞ n→∞ Tương tự lim f (bn ) = f ( lim bn ) = f (c) ≥ 0, n→∞ n→∞ c ∈ (a; b) Vậy tồn c ∈ (a; b) cho f (c) = Định lý 1.2 ( Định lý giá trị trung gian hàm liên tục) Nếu f (x) liên tục [a; b], f (x) nhận giá trị trung gian f (a) f (b) Tức là, với γ nằm f (a) f (b) tồn giá trị c ∈ [a; b] cho f (c) = γ Chứng minh Khơng tính tổng quát, giả sử f (a) < f (b) Ta thấy định lý dễ dàng chứng minh γ = f (a) γ = f (b) Xét γ với f (a) < γ < f (b) ta chứng minh tồn giá trị c ∈ [a; b] cho f (c) = γ Thật vậy, xét hàm g(x) = f (x) − γ hàm liên tục [a; b] Ta lại có g(a) < 0, g(b) > theo Định lý 1.1 tồn tai giá trị γ ∈ (a; b) để g(c) = Điều cho thấy ln tồn giá trị c ∈ [a; b] cho f (c) = γ Định lý chứng minh Định lý 1.3 Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] hàm số đạt giá trị nhỏ lớn [a; b] Tức tồn xm , xM ∈ [a; b] cho với x ∈ [a; b] ta ln có f (xm ) ≤ f (x) ≤ f (xM ) Chứng minh Trước hết, ta chứng minh f (x) bị chặn [a; b] Giả sử f (x) không bị chặn [a; b], tức với n ∈ N tồn xn ∈ [a; b] cho |f (xn )| ≥ n Dãy (xn ) bị chặn nên theo định lí Balzano-Weierstrass tồn dãy xnk → x0 ∈ [a; b] mà f (xnk ) ≤ nk Chuyển qua giới hạn ta có |f (x0 )| = +∞ mâu thuẫn f (x) liên tục x0 Vậy f (x) bị chặn Gọi m = inf f (x), M = sup f (x) Lấy = , n ∈ N∗ , ∃xn ∈ [a; b], n [a;b] [a;b] cho > f (xn ) − m ≥ n Theo định lí Balzano-Weierstrass tồn dãy xnk (xn ) thỏa mãn xnk → xm > f (xnk ) − m ≤ Lấy giới hạn ta nk lim f (xnk ) = f (xm ) = m x→∞ Tương tự tồn xM để f (xM ) = sup f (x) = M [a;b] Hệ 1.1 Nếu f : [a; b] −→ R liên tục f ([a; b]) = [m; M ] ⊂ R m = inf f (x), M = sup f (x) [a;b] [a;b] Bài tốn 1.1 ( Hàm Dirichlet) Xét tính liên tục hàm số D(x) = 1, 0, x số hữu tỷ, x số vô tỷ Lời giải Vì lân cận điểm hữu tỷ tìm điểm vơ tỷ ngược lại, nên với điểm xo khoảng (−∞; +∞) không tồn giới hạn limx→xo D(x) Như vậy, điểm trục thực tồn gián đoạn loại hai (từ hai phía) Bài toán 1.2 ( Hàm Riemann) Trên đoạn [0; 1] xét hàm số  p 1 , x = phân số tối giản, f (x) = q q 0, x số vô tỷ Chứng minh điểm hữu tỷ hàm số có gián đoạn loại một, điểm vơ tỷ hàm số liên tục Lời giải Giả sử x0 điểm tùy ý đoạn [0; 1] Với số ε > tồn số hữu hạn số tự nhiên q , nghĩa đoạn [0, 1] ε p p có số hữu hạn số hữu tỷ , mà f = ≥ ε Điểm x0 q q q bao lân cận (x0 − δ; x0 + δ), cho khơng có điểm nói (ngoại trừ điểm x0 ) Khi với |x−x0 | < δ; (x = x0 ) dù x hữu tỷ hay vơ tỷ, ta có |f (x)| < ε Nghĩa là, với x0 tồn f (x0 + 0) = f (x0 − 0) = Nếu x0 số vơ tỷ, f (x) = 0, nghĩa điểm hàm số liên tục, x0 số hữu tỷ, f (x0 ) = 0, có gián đoạn thơng thường từ hai phía Bài tốn 1.3 Chứng minh rằng, f (x) hàm liên tục, F (x) = |f (x)| hàm liên tục Lời giải Giả sử ε > tùy ý Khi tồn δ = δ(ε, xo ), cho |f (x) − f (xo )| < ε, |x − xo | < δ Sử dụng bất đẳng thức ||A| − |B|| ≤ |A − B|, ta có |F (x) − F (xo )| = ||f (x)| − |f (xo )|| ≤ |f (x) − f (xo )| < ε |x − xo | < δ, nghĩa F (x) hàm liên tục Bài toán 1.4 Chứng minh rằng, hàm f (x) liên tục đoạn [a; b] hàm m(x) = inf |f (ξ)|, M (x) = max |f (ξ)| a≤ξ≤x a≤ξ≤x hàm liên tục [a; b] Lời giải Vì f (x) liên tục đoạn [a; b], nên ∀ε > 0, xo ∈ [a; b], tồn δ = δ(ε, xo ), cho |h| < δ, |f (xo + h) − f (x)| < ε Khi rõ ràng sup |f (xo + h) − f (x)| < ε (1.1) |h|