Số fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNPHẠM THỊ LIÊN SỐ FIBONACCI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIỂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM THỊ LIÊN

SỐ FIBONACCI

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIỂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Cán bộ hướng dẫn:

PGS TS Nguyễn Nhụy

HÀ NỘI - 2015

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS TS NguyễnNhụy, Trường Đại học Giáo dục - ĐHQGHN Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫnnhiệt tình, chu đáo của thầy trong suốt thời gian tôi thực hiện Luận vănnày

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Côgiáo trong khoa Toán – Cơ – Tin, phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đạihọc Khoa Học Tự Nhiên – ĐHQGHN, đặc biệt là những Thầy Cô giáo đãtừng giảng dạy ở lớp PPTSC, khóa học 2013 – 2015 Cảm ơn Thầy Cô

đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tậptại khoa Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học ToánPPTSC, khóa học 2013 - 2015 đã động viên, giúp tôi có cơ hội thảo luận

và trình bày về một số vấn đề trong Luận văn của mình

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội, Ban Giámhiệu, các đồng nghiệp Trường THPT Đông Đô - Quận Tây Hồ - Tp HàNội đã tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt để tham gia học tập và hoàn thànhkhóa học

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong giađình, bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gian vừaqua

Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ của Luận vănthạc sĩ, nên chắc rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi nhữngthiếu sót Tôi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của Thầy Cô

và độc giả quan tâm tới Luận văn này

Hà Nội, ngày 08 tháng 10 năm 2015

Học viênPhạm Thị Liên

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài Luận văn 5

0.2 Mục đích của đề tài Luận văn 6

0.3 Bố cục của Luận văn 6

1 Số Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên, Toán học và các ứng dụng 8 1.1 Sự ra đời của số Fibonacci cùng mối liên hệ với tự nhiên và Toán học 8

1.1.1 Sự ra đời của số Fibonacci 8

1.1.2 Số Fibonacci với tự nhiên 10

1.1.3 Số Fibonacci với Toán học 18

1.2 Định nghĩa dãy Fibonacci 23

1.2.1 Định nghĩa dãy Fibonacci 23

1.2.2 Định nghĩa dãy Lucas 24

1.2.3 Một số biến thể của dãy Fibonacci 24

1.3 Số Fibonacci với chỉ số âm 25

1.3.1 Số Fibonacci với chỉ số âm 25

1.3.2 Số Lucas với chỉ số âm 26

1.4 Dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng và ứng dụng 28

1.4.1 Định nghĩa Tỷ số vàng và mối quan hệ với cuộc sống 28 1.4.2 Tỷ số vàng trong tự nhiên 30

1.4.3 Tỷ số vàng trong kiến trúc 37

1.4.4 Tỷ số vàng trong thiết kế 39

1.4.5 Tỷ số vàng trong nghệ thuật 41

1.4.6 Dãy Fibonacci trong thị trường tài chính 43

1.4.7 Các ứng dụng khác 47

2 Các tính chất của số Fibonacci Công thức Binet cho số Fibonacci 49 2.1 Các tính chất đơn giản của số Fibonacci 49

2.1.1 Một số tính chất của số Fibonacci 49

2.1.2 Một số tính chất của số Lucas 62

2.2 Tính chia hết trong tập các số Fibonacci 66

2.3 Công thức tổng quát của số Fibonacci 74

2.4 Một áp dụng của công thức Binet 78

2.5 Điều kiện cần và đủ để một số tự nhiên n là số Fibonacci 81 2.6 Hai mối liên hệ đặc biệt của dãy Fibonacci và số 11 85

2.6.1 Mối liên hệ thứ nhất 85

2.6.2 Mối liên hệ thứ hai 86

3 Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển 90 3.1 Số Fibonacci trong tam giác Pascal 90

3.1.1 Các kiến thức cơ bản 90

3.1.2 Tam giác Pascal 91

3.1.3 Một số tính chất rõ ràng của tam giác số Pascal 93

3.1.4 Mối liên hệ giữa tam giác Pascal với số Fibonacci 95

3.1.5 Các đường đi Fibonacci của một quân cờ trên một bàn cờ 103

3.2 Số Fibonacci trong tam giác tựa Pascal 106

3.2.1 Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal với số Lucas 106

3.2.2 Một công thức thay thế cho Ln 110

3.2.3 Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal với số Fibonacci 111 3.2.4 Một công thức thay thế cho Fn 113

3.2.5 Tam giác Lucas 113

3.2.6 Một định nghĩa đệ quy cho D(n, j) 115

3.3 Số Fibonacci trong tam giác tựa Pascal mở rộng 119

3.3.1 Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal mở rộng với số

Fibonacci 1193.3.2 Mối liên hệ giữa tam giác tựa Pascal mở rộng với số

Lucas 122

Tài liệu tham khảo 128

MỞ ĐẦU

0.1 Lý do chọn đề tài Luận văn

Dãy Fibonacci là một trong những vẻ đẹp của kho tàng Toán học.Dãy Fibonacci xuất hiện và biến hóa vô tận trong tự nhiên, với rất nhiềubiến thể đẹp và ứng dụng quan trọng

Trước Fibonacci, đã có nhiều học giả nghiên cứu về dãy Fibonacci.Susantha Goonatilake viết rằng sự phát triển của dãy Fibonacci "một phần

là từ Pingala, sau đó được kết hợp với Virahanka, Gopala và dra" Sau Fibonacci, còn có rất nhiều nhà Khoa học nghiên cứu về dãyFibonacci như Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 -1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), Có rất nhiều tínhchất của dãy đã được mang tên các nhà khoa học này Hiện nay, tài liệubằng tiếng Việt về dãy Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giáckinh điển chưa có nhiều và còn tản mạn, do đó cần phải giới thiệu dãyFibonacci và một số ứng dụng trong tam giác kinh điển một cách đầy đủ

Hemachan-và thống nhất hơn

Vì vậy, việc tìm hiểu sâu và giới thiệu dãy Fibonacci và một số ứngdụng trong các tam giác kinh điển là rất cần thiết cho việc học tập, giảngdạy Toán học và sự hiểu biết của con người Bản Luận văn "Số Fibonacci

và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển" được tiến hành vào cuốinăm 2015 chủ yếu dựa trên các tài liệu tham khảo và một số phát hiệnriêng của tác giả

Mặc dù trong Luận văn đề cập đến cả số Fibonacci và số Lucas,nhưng số Fibonacci là chủ yếu Chú ý rằng số Lucas được xây dựng saukhi xuất hiện số Fibonacci, hơn thế nữa hai dãy số này được xây dựng trêncùng một phương pháp và dãy Lucas được giới Toán học cho rằng thuộc

họ Fibonacci, nên Luận văn vì thế lấy tên chính là số Fibonacci

0.2 Mục đích của đề tài Luận văn

Học tập và giới thiệu dãy Fibonacci cùng với các tính chất cơ bản.Đặc biệt, giúp độc giả nắm được sự xuất hiện đa dạng của dãy Fibonaccitrong tự nhiên và những ứng dụng trong các tam giác kinh điển

Chú ý rằng trong mọi lập luận, ta chỉ dùng đến kiến thức Toán Trunghọc phổ thông

0.3 Bố cục của Luận văn

Bản Luận văn "Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giáckinh điển" gồm có: Mở đầu, ba chương nội dung, kết luận và tài liệu thamkhảo

Chương 1 Số Fibonacci và mối liên hệ với tự nhiên, Toán học vàcác ứng dụng

Chương này, giới thiệu sự ra đời của dãy Fibonacci và mối liên hệvới tự nhiên, Toán học; định nghĩa dãy Fibonacci và dãy số Lucas; sốFibonacci và số Lucas với chỉ số âm; dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng vàứng dụng

Chương 2 Một số tính chất của số Fibonacci Công thức Binetcho số Fibonacci

Chương này, trình bày một số tính chất của số Fibonacci và số Lucas;công thức tổng quát của số Fibonacci, số Lucas và công thức Binet cho

số Fibonacci Chứng minh các tính chất của số Fibonacci và số Lucas là

sự tìm tòi, suy nghĩ của tác giả Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày điềukiện cần và đủ để số tự nhiên n là một số Fibonacci; một áp dụng củacông thức Binet cho thấy mối liên hệ giữa số Fibonacci và số Lucas Đặcbiệt hơn nữa là trình bày hai mối liên hệ đặc biệt của số Fibonacci và số

11, trong đó có một mối liên hệ mà chúng tôi đã thấy người ta phát biểunhưng chưa được chứng minh tổng quát Ở đây khi đưa tính chất đó ra,chúng tôi đã chứng minh tổng quát đầy đủ

Chương 3 Số Fibonacci và một số ứng dụng trong các tamgiác kinh điển

Một số ứng dụng của số Fibonacci trong các tam giác kinh điển nhưtam giác Pascal, tam giác tựa Pascal và tam giác tựa Pascal mở rộng, được

đề cập đến trong chương này

1.1.1 Sự ra đời của số Fibonacci

Fibonacci là tên viết tắt của một nhà toán

học ở châu Âu thời trung đại, ông sinh năm 1170

mất năm 1240, tên đầy đủ của ông là Leonardo of

Pisa, vì ông được sinh ra ở Pisa (Italy) và thuộc

dòng họ Bonacci Fibonacci nổi tiếng trong thế giới

hiện đại vì có công lao truyền hệ đếm Hinđu - Ả

Rập ở châu Âu, và đặc biệt là dãy số hiện đại mang tên ông, dãy Fibonaccitrong cuốn sách Liber Abaci - Sách về Toán đố năm 1202

Ở phương Tây, dãy Fibonacci đầu tiên xuất hiện trong cuốn sáchLiber Abaci (năm 1202) viết bởi Leonardo of Pisa - được biết đến với tênFibonacci, mặc dù dãy số này đã được mô tả trước đó trong Toán học Ấn

Độ Fibonacci xem xét sự phát triển của một đàn thỏ được lý tưởng hóa,giả định rằng: Để một cặp thỏ mới sinh, một đực, một cái trong một cánhđồng, đến một tháng tuổi thỏ có thể giao phối và tới hai tháng tuổi, mộtthỏ cái có thể sinh ra thêm một cặp thỏ khác, các con thỏ này không baogiờ chết và việc giao phối một cặp luôn tạo ra một cặp mới (một đực, mộtcái) mỗi tháng từ tháng thứ hai trở đi Câu đố mà Fibonacci đặt ra là

"Trong mỗi năm có bao nhiêu cặp thỏ?"

(a) Vào cuối tháng đầu tiên, chúng giao phối, nhưng vẫn chỉ có 1 cặp.(b) Vào cuối tháng thứ hai, thỏ cái tạo ra một cặp mới Vì vậy bây giờ

Và đó là tiền thân của dãy Fibonacci được xác định bằng cách liệt

kê các phần tử như sau

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · ·

trong đó, mỗi phần tử nằm trong dãy số này luôn bằng tổng của 2 sốliền trước nó Dãy Fibonacci được công bố năm 1202 và được "tiến hóa"hầu như vô tận Chính điều đó, đã thu hút được rất nhiều sự quan tâmcũng như làm chúng ta say mê nghiên cứu, khám phá các tính chất của nó

Hình 1.1: Sự phát triển của một đàn thỏ

1.1.2 Số Fibonacci với tự nhiên

Dãy Fibonacci xuất hiện ở khắp nơi trong tự nhiên, trong các kếtcấu về sinh học của các loài thực vật

Nhiều loài cây, số lượng nhánh cây mọc tương ứng với dãy Fibonacci.Chẳng hạn, một trong những loài cây phát triển rất giống với hình dưới

là loài cây Achillea ptarmica

Hình 1.2: Loài cây Achillea ptarmica

Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo dãy Fibonacci Chúng

ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc ở trên thường xếp sao cho không che

khuất lá mọc dưới Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thâncây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số

lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các sốFibonacci xuất hiện Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽđược một con số vòng xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá) Con số vòngxoay theo hai hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả

sẽ thành ba con số Fibonacci liên tiếp nhau

Ví dụ 1 Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quaythuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x),hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ Vượt qua tổng cộng

8 lá Các số 3, 5, 8 là ba số liên tiếp trong dãy Fibonacci

Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất,rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13)

Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng 90% các loài cây có sự xếp látuân theo dãy Fibonacci, theo cách này hay cách khác

Các số Fibonacci xuất hiện trong những bông hoa Hầu hết các bônghoa có số cánh hoa là một trong các số 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 hoặc

89, · · ·, đó là các số Fibonacci Hoa Loa kèn có 1 cánh, hoa Tai bướm có 2cánh, hoa Địa lan có 3 cánh, hoa Mao lương vàng có 5 cánh, hoa Phi yếnthường có 8 cánh, hoa Vạn cúc thọ có 13 cánh, hoa Cúc tây có 21 cánh,

(a) Hoa một cánh (b) Hoa hai cánh (c) Hoa ba cánh

(a) Hoa năm cánh (b) Hoa tám cánh (c) Hoa mười ba cánh

hoa Cúc thường có 34 cánh, hoặc 55, hoặc 89 cánh,

Các số Fibonacci cũng xuất hiện trong các bông hoa Hướng dương.Những nụ nhỏ sẽ kết thành hạt ở đầu bông hoa Hướng dương được xếpthành hai tập các đường xoắn ốc

Hình 1.3: Nhị hoa hướng dương

Một tập cuộn theo chiều kim đồng hồ, còn tập kia cuộn ngược theo chiềukim đồng hồ Số các đường xoắn ốc hướng thuận chiều kim đồng hồ thường

là 34 còn ngược chiều kim đồng hồ là 55 Đôi khi, các số này là 55 và 89,

và thậm chí là 89 và 144 Tất cả các số này đều là các số Fibonacci kế tiếpnhau

Điều tương tự cũng xảy ra ở nhị hoa nhiều loài hoa khác trong tựnhiên Số đường xoắn ốc của các hệ thống đường xoắn ốc khác nhau củanhị hoa ở mỗi bông hoa thường xuyên là những con số thuộc dãy Fibonacci

Quả thông có những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci khá rõ.Quả thông có hai tập các đường xoắn ốc ngược chiều nhau, một tập gồm

8 đường và tập kia gồm 13 đường, hoặc một tập gồm 5 đường và tập kiagồm 8 đường Và chúng là các số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci

Hình 1.4: Quả thông

Và cũng như vậy đối với quả dứa, số đường chéo tạo bởi các mắtdứa theo các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21, ,

tùy kích thước.

Hình 1.5: Quả dứa

Những đường xoắn ốc tuân theo dãy Fibonacci cũng xuất hiện ởcây xúp lơ Nếu trông kỹ, ta có thể thấy một điểm giữa, ở đó những bônghoa là nhỏ nhất Nhìn kỹ thêm, ta lại thấy những bông hoa tí xíu nàyđược xếp trên những đường xoắn ốc xung quanh điểm trung tâm kể trên,theo cả 2 hướng Dễ dàng đếm được có 5 đường xoắn ngược kim đồng hồ

và 8 đường xoắn thuận chiều kim đồng hồ

Hình 1.6: Xúp lơ

Xúp lơ kiểu Roman, bề ngoài và mùi vị vừa giống cải xanh vừa giốngxúp lơ Mỗi phần tử nhỏ nổi lên và có hình dạng giống với tổng thể nhưng

kích thước bé hơn, khiến các vòng xoắn nổi lên rất rõ ràng Có 13 vòngxoắn ngược chiều kim đồng hồ và 21 vòng xoắn thuận chiều kim đồng hồ.

Hình 1.7: Xúp lơ kiểu Roman

Hơn nữa, trên bàn tay mỗi người chúng ta, bốn đốt xương của cácngón tay cũng tuân theo dãy Fibonacci, đó là 2, 3, 5, 8

Hình 1.8: Xương bàn tay

Vài loài hoa có 6 cánh hoa, và 6 không thuộc dãy Fibonacci Tronghình là hoa Huệ tây, hoa Thủy tiên và hoa Loa kèn đỏ Nhưng nhìn kỹ thìchúng thực chất có 2 lớp cánh hoa trong – ngoài, mỗi lớp gồm 3 cánh hoa,

Một loại xương rồng khác, hệ gồm 11 và 18 vòng xoắn Bên cạnh

đó là xương rồng Echinocactus Grusonii Inermis có 29 múi

Hình 1.11: Xương rồng có 11 và 18 vòng xoắn

Một loài hoa Vân anh, loài ớt ngọt đôi khi không có 3 múi mà lại

có 4 múi

Hình 1.12: Hoa Vân anh và ớt ngọt

Như vậy các ngoại lệ không thuộc dãy Fibonacci thì lại thuộc mộtdãy số tương tự, điển hình là dãy Lucas Các con số 4, 7, 11, 18, 29 đềuthuộc dãy Lucas

Sự phân chia tế bào cũng tuân theo quy luật của dãy Lucas

(a) Ban đầu chỉ có 1 tế bào, ta gọi đó là tế bào mẹ gốc A00

(b) Lần phân chia thứ 2: A00 sinh ra tế bào mẹ A01, sinh tế bào conA10, và một tế bào con A-1 (không sinh sản) Giờ có 3 tế bào là A01, A10

và A-1

(c) Lần phân chia thứ 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20 A-1

vô sinh Giờ có 4 tế bào là A02, A10, A11, A20.

(d) Lần phân chia thứ 4: Tế bào A02 không sinh sản mà trở thành A03.Giờ có 7 tế bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21, A30

(e) Lần phân chia thứ 5: Tế bào A03 chết Tế bào A12 không sinh sảntrở thành A13 Giờ có 11 tế bào là A12, A20, A21, A30, A13, A21, A30,A22, A30, A31, A40

(f) Lần phân chia thứ 6: Giờ có 18 tế bào là A13, A21, A30, A22, A30,A31, A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50.(g) Lần phân chia thứ 7: Tất cả có 29 tế bào

Cứ tiếp tục quá trình trên, số tế bào trong mỗi lần phân chia lần lượt là

1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, · · · Đây chính là dãyLucas

1.1.3 Số Fibonacci với Toán học

a) Số Fibonacci và hệ nhị phân

1 Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có các số 1 liêntiếp là số Fibonacci Fn+2

Ví dụ 3 Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F6 = 8

chuỗi không có các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0100, 0010, 0001, 0101,

1000, 1010 và 1001

2 Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có một số lẻ các

số 1 liên tiếp là số Fibonacci Fn+1

Ví dụ 4 Trong số 16 chuỗi nhị phân với độ dài 4, chúng ta có F5 = 5

chuỗi không có một số lẻ các số 1 liên tiếp - chúng là 0000, 0011, 0110,

1100 và 1111

3 Số lượng chuỗi nhị phân với độ dài n mà không có một số chẵncác số 0 hoặc các số 1 liên tiếp là 2Fn

Ví dụ 5 Trong số 16 chuỗi nhị phân có độ dài 4, có 2F4 = 6 chuỗi không

có một số chẵn các số 0, hoặc các số 1 liên tiếp - chúng là 0001, 1000,

1110, 0111, 0101 và 1010

b) Số Fibonacci và tam giác vuông

Gọi a và b là hai số Fibonacci kề nhau trong dãy Xét 4 số Fibonacciliên tiếp nhau là b − a, a, b, a + b

Xét quan hệ ba độ dài sau 2ab, (b − a)(b + a) = b2 − a2 và a2 + b2

Ta có

(2ab)2 + (b2 − a2)2 = 4a2b2 + b4 − 2b2a2 + a4

= b4 + 2b2a2 + a4

= (b2 + a2)2

Vậy tổng bình phương hai độ dài đầu bằng bình phương độ dài thứ ba

Điều này cho phép chúng ta có thể xây dựng một tam giác vuông với độdài ba cạnh bằng 4 số Fibonacci liên tiếp Fn−1, Fn, Fn+1, Fn+2 Trong đó,hai cạnh bên của tam giác vuông là 2FnFn+1 và Fn−1Fn+2, cạnh huyền làtổng bình phương của hai số Fn2 + Fn+12

Theo tính chất của số Fibonacci, ta có

F2n+1 = Fn2 + Fn+12

Chúng ta có tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông là2FnFn+1, Fn−1Fn+2

và cạnh huyền là F2n+1 Theo định lý Pythagore, ta có

F2n+12 = (2FnFn+1)2 + (Fn−1Fn+2)2

c) Số Fibonacci và hình học

1 Hình chữ nhật Fibonacci

Hình chữ nhật Fibonacci là hình chữ nhật được sắp xếp từ các hìnhvuông có độ dài cạnh là các số trong dãy Fibonacci, với các đặc điểm sau

3 Tam giác Fibonacci

Trong một lưới tam giác đều, ta vẽ một tam giác đều có cạnh bằngđơn vị ở đỉnh, dưới nó ta vẽ một hình thoi màu vàng và bên cạnh hình thoi

là một tam giác đỏ thứ hai Dưới tam giác đỏ là một hình thoi màu vàngkhác và bên cạnh nó là một hình thang cân màu đỏ Và ta quy định dướihình thang màu đỏ là hình thoi màu vàng và dưới hình thoi màu vàng làhình thang màu đỏ Theo thứ tự như vậy, ta được tam giác Fibonacci vớicạnh là số Fibonacci

Khi đó, độ dài cạnh của hình thoi là số Fibonacci Độ dài đáy trên, độdài hai cạnh bên và độ dài đáy dưới của hình thang cân là ba số Fibonacciliên tiếp

4 Lục giác Fibonacci

5 Ngôi sao Fibonacci

6 Số Fibonacci trong lưới hình vuông và đỉnh Matterhorntrong dãy An-pơ ở Thụy Sĩ

Trong lưới hình vuông, ta sắp xếp tương tự như trong lưới tam giácđều và thay tam giác đều cạnh đơn vị bởi tam giác vuông cân cạnh gócvuông là đơn vị, hình thoi bởi hình vuông, hình thang cân bởi hình thangvuông Khi đó, độ dài cạnh hình vuông là các số Fibonacci Hình thangvuông có độ dài đáy nhỏ, độ dài cạnh bên góc vuông và độ dài đáy lớn lầnlượt là ba số Fibonacci liên tiếp

Số Fibonacci trong lưới hình vuông liên tưởng tới đỉnh Matterhorntrong dãy An-pơ ở Thụy Sĩ

Ngoài ra, số Fibonacci còn có mối liên hệ chặt chẽ với tam giácPascal, tam giác Lucas, tam giác tựa Pascal, tam giác tựa Pascal mở rộng.Các mối liên hệ này sẽ được trình bày rõ ràng ở Chương 3 của Luận văn

1.2 Định nghĩa dãy Fibonacci

1.2.1 Định nghĩa dãy Fibonacci

Gọi {Fn}∞n=1 là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần

tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tửluôn bằng tổng hai phần tử ngay trước nó

Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là

1.2.2 Định nghĩa dãy Lucas

Dãy Lucas là một dãy số được đặt tên nhằm vinh danh nhà toánhọc Francois Esdouard Anatole Lucas (1842 - 1891), người đã nghiên cứudãy Fibonacci và dãy thuộc họ Fibonacci mà mỗi số trong dãy bằng tổngcủa hai số liền trước nó

Định nghĩa Dãy {Ln}∞n=1 các con số Lucas được định nghĩa bởi hệ thứctruy hồi sau

(a) Dãy Tribonacci

Dãy Tribonacci giống dãy Fibonacci, nhưng thay vì với hai số chotrước, dãy Tribonacci bắt đầu với ba số cho trước và mỗi số kế tiếp là tổngcủa ba số đứng trước đó trong dãy Dưới đây là các số đầu tiên trong dãyTribonacci

0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, · · ·

(b) Dãy Tetranacci

Cách thành lập dãy số Tetranacci giống dãy Tribonacci, chỉ khác là

nó bắt đầu với bốn số cho trước và mỗi số kế tiếp là tổng của bốn số đứngtrước trong dãy Dưới đây là các số đầu tiên trong dãy Tetranacci

0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, · · ·

Chú ý 1 Các dãy Petanacci, Hexanacci và Heptanacci cũng có thể đượcthành lập theo cách trên nhưng chúng không có nhiều giá trị trong nghiêncứu.

1.3 Số Fibonacci với chỉ số âm

1.3.1 Số Fibonacci với chỉ số âm

Từ công thức truy hồi số Fibonacci, ta có công thức

Vậy ta có điều phải chứng minh.

1.3.2 Số Lucas với chỉ số âm

Từ công thức truy hồi số Lucas, ta có công thức

1.4 Dãy Fibonacci cùng Tỷ số vàng và ứng dụng

1.4.1 Định nghĩa Tỷ số vàng và mối quan hệ với cuộc sống

Toán học và nghệ thuật có rất nhiều hiện tượng liên quan đến sốFibonacci Đặc biệt, số Fibonacci liên quan mật thiết với "Tỷ số vàng", tỷ

số này có rất nhiều ứng dụng Khi n càng lớn thì tỷ số của 2 số hạng kếtiếp nhau của dãy Fibonacci tiến tới Tỷ số vàng

Định nghĩa Hai số được gọi là tạo nên Tỷ số vàng nếu tỷ số giữa tổngcủa chúng và số lớn bằng tỷ số giữa số lớn và số bé Tỷ số ấy được gọi là

Vì hình chữ nhật mới có chiều rộng là x − 1 và chiều dài là 1 nên

và cứ tiếp tục như vậy Nối các đỉnh kế tiếp nhau của dãy hình chữ nhậtvới nhau ta nhận được một đường xoắn giống con ốc, hệt như sự sắp xếpcác nụ nhỏ trong bông hoa Hướng dương như đã mô tả ở trên và sự phân

bố những chiếc lá trên một nhành cây Hình chữ nhật nêu trên có các tỷ lệthật đáng chú ý Từ đó, ta có được "Tỷ số vàng" 1 +√

5

2 ≈ 1.618033989.Hiện nay, tỷ số này được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực xây dựng và mỹthuật

Tỷ số này được sử dụng để mô tả tính cân đối của vạn vật từ nhữngkhối cấu trúc nhỏ nhất của thiên nhiên như nguyên tử cho đến những thựcthể có kích thước cực kỳ khổng lồ như thiên thạch Không chỉ thiên nhiênphụ thuộc vào nó để duy trì sự cân bằng mà thị trường tài chính có vẻ nhưcũng vận động theo một quy luật tương tự Chúng ta sẽ xem qua một vàicông cụ phân tích kỹ thuật được phát triển dựa trên các nghiên cứu trêncái mà người ta gọi là Tỷ số vàng này

Các nhà Toán học, khoa học, và tự nhiên học đã biết đến Tỷ số vàngnày từ nhiều năm Nó được rút ra từ dãy Fibonacci Điều đặc biệt nhấttrong dãy này là bất kỳ một số nào cũng đạt giá trị xấp xỉ 1.618 lần sốđứng trước và 0.618 lần số đứng sau nó (0.168 là nghịch đảo của 1.618)

Tỷ lệ này được biết đến với rất nhiều tên gọi như Tỷ số vàng, Tỷ số thầnthánh, PHI, Vậy thì, tại sao tỷ số này lại quan trọng đến vậy? Vạn vậtdường như có thuộc tính gắn kết với tỷ lệ 1.618, có lẽ vì thế mà nó được

coi là một trong những nhân tố cơ bản cấu thành nên các thực thể trong

tự nhiên Nếu chia tổng số ong cái cho tổng số ong đực trong một tổ ongbất kỳ sẽ có giá trị là 1.618 Nếu lấy khoảng cách từ vai đến móng tay chiacho khoảng cách giữa cùi chỏ và móng tay thì cũng có được giá trị 1.618

Trở lại với dãy Fibonacci Thật kỳ lạ khi thấy rằng tỷ số này có mặtsuốt trong dãy Thật vậy, khi nhân lần lượt các số trong dãy với Tỷ sốvàng, tích càng xa thì càng chính xác đến giá trị của số kế tiếp

Tỷ số vàng đã được tìm kiếm như là "biểu tượng của vẻ đẹp" vượt

xa các loài hoa hay các công trình kiến trúc Trong một bức thư gửi Hội

Fibonacci vài năm trước đây, một thành viên đã miêu tả một người trongkhi tìm kiếm Tỷ số vàng đã hỏi vài cặp vợ chồng để làm một cuộc thínghiệm Ông ta yêu cầu người chồng đo chiều cao đến rốn của vợ rồi chiacho chiều cao của vợ Kết quả là, đối với tất cả các cặp vợ chồng, tỷ số đóđều xấp xỉ bằng 0.618 - Tỷ số vàng Nhà Toán học người Italia Leonardo

Da Vinci là người đầu tiên đưa ra khẳng định mối quan hệ của cấu trúc

cơ thể con người liên quan tới Tỷ số vàng Để khám phá ra bí mật nàyLeonardo Da Vinci không chỉ nghiên cứu trên cơ thể mình, bạn bè, ngườithân mà ông còn bí mật khai quật hàng trăm ngôi mộ để nghiên cứu tỷ lệcấu trúc xương của cơ thể con người

Theo các nhà Sinh học thì nhiệt độ "tối thích" cho cơ thể chúng taphát triển là 22.87 độ Đem số 37 (nhiệt độ của cơ thể con người) chia cho22.87 thì được con số đúng bằng Tỷ số vàng!

Đo chiều cao của bạn từ rốn lên đến đỉnh đầu gọi là x, sau đó đochiều cao của bạn từ rốn xuống đến chân gọi là y Dang 2 tay ra và

đo chiều dài đó gọi là a Nếu y/x bằng Tỷ số vàng và (x + y)/a cũngbằng Tỷ số vàng, thì đó là bạn đã có một thân hình của các siêu mẫu.Điều này hoàn toàn là sự thật vì các hãng thời

trang đều tuân thủ nghiêm ngặt quy định này khi

tuyển người mẫu Tỷ số vàng ϕ cũng xuất hiện

trên cơ thể con người Ta có các tỷ số sau

(a) Chiều cao cơ thể trên đỉnh đầu đến đầu

ngón tay

(b) Đỉnh đầu tới đầu ngón tay trên đỉnh đầu

tới rốn (hoặc cùi chỏ)

(c) Đỉnh đầu tới rốn (hoặc cùi chỏ) trên đỉnh

dài xương ống quyển

(g) Đỉnh đầu tới ngực trên đỉnh đầu tới gốc sọ

(h) Đỉnh đầu tới ngực trên chiều rộng của bụng

(i) Hông tới mặt đất trên đầu gối tới mặt đất

(k) Chiều dài của cẳng tay trên chiều dài bàn tay

(l) Vai tới các đầu ngón tay trên khuỷu tay tới các đầu ngón tay.Tất cả các tỷ số trên đều xấp xỉ Tỷ số vàng ϕ

Chúng ta cũng có thể tìm ra kết quả tương tự trong tỷ lệ của chiềudài cái đầu với khoảng cách từ mắt tới cằm, hoặc tỷ lệ của khoảng cách

từ mũi tới cằm trên khoảng cách từ môi tới cằm Nhưng tỷ lệ của gươngmặt càng tiến gần tới Tỷ số vàng ϕ thì gương mặt càng hài hoa cân đối

Dãy Fibonacci và Tỷ số vàng ϕ có thể quan sát thấy ở vạn vật trong

vũ trụ, từ vi mô nhất cho tới vĩ mô, từ các nguyên tử cho tới các dải thiên

hà, từ động vật tới thực vật và khoáng vật Sao Thổ nổi tiếng với vành đaituyệt đẹp Ít ai ngờ rằng, các kích thước của nó như đường kính, khoảngcách vành đai, , có nhiều liên quan đến Tỷ số vàng ϕ

Trong vũ trụ, có rất nhiều thiên hà xoắn ốc đúng theo đường xoắn

ốc Fibonacci

Trong một báo cáo khoa học 7/1/2010, các nhà nghiên cứu của Họcviện Vật liệu và năng lượng Berlin, Đại học Oxford và Phòng thí nghiệmRutherford vương quốc Anh đã tuyên bố phát hiện thấy Tỷ số vàng ϕ

cũng hiện diện trong thế giới lượng tử Tiến sĩ Radu Coldea thuộc đại họcOxford phát biểu: "Ở đây sức căng do sự tương tác giữa các spin khiếnchúng cộng hưởng từ Đối với những tương tác này chúng tôi khám phá ramột loạt các nốt cộng hưởng, hai nốt đầu tiên cho thấy một mối liên hệhoàn hảo với nhau Tần số của chúng là theo tỷ lệ 1.618· · ·, chính là Tỷ

số vàng ϕ nổi tiếng trong nghệ thuật và kiến trúc"

Ngoài ra, ở động vật các kích thước cơ thể cũng liên quan đến dãyFibonacci và Tỷ số vàng ϕ Chẳng hạn như, ở loài chim cánh cụt.

Có rất nhiều loài côn trùng, kích thước trên cơ thể trùng khớp vớicác con số trong dãy Fibonacci và liên quan chặt chẽ với Tỷ số vàng ϕ Vàvới loài bướm là một ví dụ

Trong tự nhiên, có trên 30.000 loài ong và phần lớn trong số chúngsống cuộc đời cô độc Loài ong gần gũi với chúng ta nhất là ong mật, ongmật cái có cả cha lẫn mẹ, trong khi ong mật đực chỉ có mẹ Chúng sốngthành đàn trong một tổ ong, và chúng có một cây phả hệ rất khác thường.Cây phả hệ này tuân theo quy luật dãy Fibonacci và Tỷ số vàng ϕ Xétcây phả hệ của một ong mật đực.

Trong một tổ ong bất kỳ, khi chia tổng số ong cái cho tổng số ong đực taluôn được giá trị xấp xỉ Tỷ số vàng ϕ

Hãy quan sát thử một bông hoa Hướng dương, phần trung tâm củahoa ở nhị và nhụy sẽ thấy các đường xoắn ốc Logarit đi theo đúng với Tỷ

số vàng Và các nhà Sinh học nhận thấy rằng, bất cứ loài hoa nào được

nhân loại gọi là "đẹp" thì đều có một cái gì đó bố cục liên quan đến Tỷ

Tỷ số vàng không chỉ xuất hiện trong tự nhiên mà còn xuất hiệntrong nghệ thuật như là lý tưởng cổ điển về cái đẹp Có một điều gì đóthần kỳ bao quanh dãy Fibonacci Thực tế, hiện nay Hội Fibonacci đanghoạt động dưới sự lãnh đạo của một linh mục và có trung tâm ở TrườngĐại học St Mary tại Canifornia Mục đích của Hội là tìm kiếm các ví dụcủa Tỷ số vàng cũng như của các số Fibonacci trong tự nhiên, trong nghệthuật và trong kiến trúc với niềm tin rằng Tỷ số vàng là món quà Thượng

đế ban tặng cho thế giới này Như là chuẩn mực của cái đẹp, Tỷ số vànghiện diện ở nhiều nơi, chẳng hạn như kiến trúc, thiết kế, nghệ thuật, tàichính

3 Kim tự tháp vĩ đại ở Giza được xây dựng từ nhiều trăm năm trướcĐiện Parthenon của Hy Lạp, cũng có tỷ số giữa chiều cao của một mặt vớimột nửa cạnh đáy là Tỷ số vàng.

4 Tháp CN tại Toronto, Canada là tòa tháp cao nhất thế giới, cũngđược thiết kế theo Tỷ số vàng Tỷ số giữa tổng chiều cao tháp so với độcao của đài quan sát là 553.33m : 342m ≈ 1.618m ≈ ϕ

1.4.4 Tỷ số vàng trong thiết kế

Các công ty hàng đầu thế giới luôn ứng dụng Tỷ số vàng trong thiết

kế sản phẩm Apple là một trong những hãng sản xuất như vậy

1 Logo quả táo không phải được vẽ một cách ngẫu nhiên trên máytính, mà nó tuân theo hình chữ nhật vàng và dãy số nguyên Fibonacci.Hình chữ nhật được sử dụng để tạo nên kích thước và kiểu dáng của quảtáo khiến Apple có các hình vuông nhỏ bên trong được phân chia theo dãyFibonacci Hình dáng của quả táo, các đường cong ở hai đầu của quả táo,

"vết cắn" bên phải, lá của quả táo đều được tạo hình từ hình chữ nhậtvàng với kích thước tuân thủ dãy Fibonacci

Với các hình tròn trong thiết kế logo Apple, giả sử chúng có đườngkính là các số trong dãy Fibonacci thì chiếc lá táo được tạo thành từ haihình tròn với đường kính là 8 Vết cắn trên thân táo, cũng tạo nên bởimột phần của hình tròn đường kính 8 Đường cong phía dưới đáy, đượctạo thành từ hai hình tròn 5, một hình tròn 8 và một hình tròn với đườngkính là 1 Sự cân đối trong logo Apple có được cũng là do Tỷ số vàng