Một số đồng nhất thức của số fibonacci và ứng dụng

B TR GIÁOăD CăVĨă ĨOăT O NGă I H CăTH NGăLONG TH H NG M TS NG NH T TH C C A S FIBONACCIăVĨă NG D NG LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH Că HÀ N I - N M 2016 B TR GIÁOăD CăVĨă ĨOăT O NGă I H CăTH NGăLONG TH H NG - MãăHV:ăC00268ă M TS NG NH T TH C C A S FIBONACCIăVĨă NG D NG LU NăV NăTH CăS :ăTOÁN VÀ TH NG Kể CHUYểN NGÀNH: PH NG PHÁP TOÁN S C P Mà S : 60460113 NG I H NG D N KHOA H C: PGS,ăTS:ăV ăTh Khôiă HÀ N I - N M 2016 Thang Long University Libraty L I C M N Lu n v n đ h c th c hi n t i Tr ng i h c Th ng Long d is ng d n ch b o t n tình c a PGS-TS V Th Khôi - Vi n Toán H c Nhân d p này, tác gi xin đ c bày t lòng bi t n sâu s c đ n Th y h ng d n Tác gi xin trân tr ng c m n t i Th y Cô giáo Tr ng i H cTh ng Long giúp đ , gi ng d y t o u ki n cho trình h c t p t i l p Cao H c Toán khóa Tác gi xin bày t l i c m n t i Ban ch nhi m Khoa đào t o Sau đ i h c, Khoa Toán t o u ki n cho th i gian h c t p t i tr ng Tác gi xin trân tr ng c m n t i S Giáo d c Giám hi u, đ ng nghi p Tr t o Hà N i Ban ng THPT Cao Bá Quát Qu c Oai t o u ki n cho tham gia h c t p hoàn thành khóa h c Tác gi xin c m n t i b n bè, t p th l p Cao H c Toán khóa tr ng i h c Th ng Long Hà N i, đ ng viên, giúp đ trình h c t p v a qua Tuy nhiên, s hi u bi t c a b n thân, nên trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u sót, r t mong nh n đ c s ch b o đóng góp Ủ ki n c a quỦ Th y Cô b n bè đ ng nghi p Hà N i, ngày… tháng… n m 2016 Tác gi Th H ng M C L C M t s kỦ hi u M U CH NGă1:ăGI I THI U 1.1 TI U S NHÀ TOÁN H C FIBONACCI 1.2 BÀI TOÁN CÁC C P TH 1.3 NH NGH A TRUY H I 12 1.4 S FIBONACCI V I CH S ỂM 14 1.5 CỌNG TH C T NG QUÁT C A S FIBONACCI 16 1.5.1 T s vàng 16 1.5.2 Công th c t ng quát c a s Fibonacci 16 1.6 M T S CH NG NH T TH C C A S FIBONACCI 18 NGă2.ăM T S 2.1 T P CON C A 2.2: S L NG D NG C A S Sn FIBONACCI 26 KHỌNG CH A HAI S NGUYểN LIểN TI P 26 NG CÁC T P H P SINH C A 2.3: CHU I NH PHỂN Sn 1 28 DÀI n KHỌNG Cị HAI S LIểN TI P 30 2.4: S L NG CÁC HOÁN V C A 2.5: S L NG CÁC T P CON LUỂN PHIểN C A 2.6 S L NG CÁC T P CON BÉO C A 2.7 T P CON A C A CH NGă3:ăM T S Sn Cị PH NT Sn 31 Sn Sn 33 34 NH NH T B NG A 36 BĨIăT PăÁPăD NG 38 K T LU N 58 TĨIăLI U THAM KH O 59 Thang Long University Libraty M TS KÝăHI U Các s Fibonacci: Fn , n=0, 1, 2, 3, 4,ầ gcd  a , b  c s chung l n nh t c a s a s b a b S a chia h t cho s b Sn = {1, 2, 3, , n 1, n}, v i n ≥ T p h p s t nhiên t đ n n A Kích th c c a t p A (a  b) c hay a  b (mod c) Hi u a-b chia h t cho c  x  S nguyên d ng l n nh t nh h n ho c b ng x  x  S nguyên d ng nh nh t l n h n ho c b ng x n    C kn t h p ch p k c a n k M U Lý ch n đ tài lu n v n S Fibonacci n m ch d y cho h c sinh hi u đ ng trình toán trung h c ph thông, d dàng c s Fibonacci có r t nhi u tính ch t đ i s s h c đ p đ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci có vai trò quan tr ng ki n th c c a th c ti n nói riêng, có ng d ng toán dãy s - t h p, có ng d ng th c t : toán kinh t ầ Do vi c n m v ng v n đ n i dung quan tr ng đ i v i vi c h c c a h c sinh vi c d y c a giáo viên trung h c ph thông Tr c Fibonacci, có nhi u h c gi nghiên c u v dãy Fibonacci Susantha Goonatilake vi t r ng s phát tri n c a dãy Fibonacci ắm t ph n t Pingala (200 BC), sau đ c k t h p v i Virahanka (kho ng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) Hemachandra (c.1150)Ằ Sau Fibonacci, có r t nhi u nhà Khoa h c nghiên c u v dãy Fibonacci nh : Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), r t nhi u tính ch t c a dãy s đ c mang tên nhà Khoa h c Hi n nay, tài li u b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci, v i tính ch t, ng d ng ch a có nhi u t n m n Vì v y, vi c tìm hi u sâu gi i thi u dãy Fibonacci v i tính ch t ng d ng r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y Toán h c s hi u bi t c a ng i C n c vào nh ng lí nên ch n đ tài: “ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci ng d ng” B n lu n v n ắ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci ng d ngẰ đ c ti n hành vào cu i n m 2015 ch y u d a tài li u tham kh o: Thang Long University Libraty Grimaldi, Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John Wiley & Sons, 2012 M c đích c a đ tài lu n v n H c t p, gi i thi u tìm hi u l ch s c a nhà khoa h c Fibonacci, m t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci, dãy Fibonacci v i tính ch t c b n, tính ch t s h c c ng nh tính ch t liên h gi a chúng giúp m i ng in mđ c bi t, c nh ng ng d ng quan tr ng s xu t hi n đa d ng c a dãy Fibonacci t p + Phát tri n kh n ng t logic, phân tích toán s d ng dãy s Fibonacci B c c c a lu n v n B n lu n v n“ M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci ng d ng” g m có: + M đ u + N i dung ba ch ng + K t lu n tài li u tham kh o Ch ng Gi i thi u Trong ch toán c p th ng này, trình bày ti u s c a nhà toán h c Fibonacci Bài nh ngh a truy h i c a dãy Fibonacci, m t s tính ch t s h c c a dãy Fibonacci, công th c t ng quát c a s Fibonacci M t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci Khác v i nhi u tài li u tham kh o, b n lu n v n gi i thi u cách ch ng minh đ n gi n Ch ng M t s ng d ng c a s Fibonacci Trong ch ng này, trình bày m i liên h c a dãy Fibonacci v i toán h c S xu t hi n c a dãy Fibonacci m t s ví d Ch ng d ng quan tr ng ng M t s t p áp d ng Trong ch ng này, trình bày m t s t p d ng ch ng minh đ ng th c, đ ng nh t th c c a s Fibonacci Các t p d ng dãy s c n áp d ng ki n th c c a dãy s Fibonacci đ c trình bày ch ng ch ng K t lu n tài li u tham kh o Thang Long University Libraty CH NGă1: GI I THI U Trong ch ng trình bày ti u s nhà toán h c Fibonacci, toán c p th , đ nh ngh a truy h i, m t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci d a tài li u tham kh o [1], [3], [4] 1.1 TI U S ăNHĨăTOÁNăH CăFIBONACCI Leonardo Pisano Bogollo sinh vào nh ng n m 1170 (kho ng 1170 ậ1240) Ọng đ c bi t đ n v i tên Leonardo c a Pisa, hay ph bi n nh t d ng i tên Fibonacci Ọng m t nhà toán h c i ụ ông đ c m t s ng i xem ắnhà toán h c tài ba nh t th i Trung C Ằ Fibonacci n i ti ng th gi i hi n đ i có công truy n bá h th ng s Hindu - R p châu Ểu, đ c bi t dãy s hi n đ i mang tên ông Dãy Fibonacci cu n Sách Liber Abaci - Sách v Toán đ n m 1202 c sinh gia đình nhà Bonacci c a th ng gia phát đ t Guglielmo, ông h nghi p c a Vì v y, Guglielmo đ c a thành ph Algerian ng trai ông theo c b nhi m ng i thu h i quan Bugia (nay Bejaia), vào kho ng n m 1190, ông mang Leonardo theo ng Pisa, Leonardo c a Pisa ó n i chàng trai tr h c v i m t th y giáo i H i giáo Th y giáo gi i thi u ông đ n v i h th ng s Hindu- Arabic, v i ph ng pháp tính toán Hindu- Arabic Sau đó, ông l i ti p t c cu c s ng c a v i ngh buôn bán kinh doanh Leonardo tìm th y đ n n Rome Syria c Constantinople, Ai C p, Pháp, Hy L p, ó nh ng n i ông ti p t c nghiên c u h th ng s h c khác mà sau đ tình tr v quê h c s d ng Vì v y, Ọng nh n đ c s chào đón nhi t ng Pisa vào kho ng nh ng n m 1200 Leonardo a thích ng h s đ n gi n, tao nhã, tính th c ti n c a h th ng s La Mã c bi t, so sánh l i ích th c t c a h th ng ch s Hindu-Arabic, v i h th ng ch s La Mã sau đ c s d ng ụ K t qu là, tính đ n th i m ông qua đ i vào kho ng n m 1240, nhà buôn ng giá tr c a h th ng ch s Hindu ậArabic, d n d n b t đ u s d ng cho giao d ch kinh doanh gia i ụ b t đ u nh n n cu i th k th m i sáu, h u h t qu c châu Ểu u ch nh theo h th ng N m 1202, Leonardo công b ki t tác đ u tiên c a mình, cu n Liber Abaci ( Cu n sách v Tính Toán hay cu n sách v Bàn Tính) Trong ông gi i thi u h th ng ch s Hindu-Arabic thu t toán s h c v i l c đ a châu Ểu Leonardo b t đ u công vi c c a v i s đ i c a ch s Hindu-Arabic: Chín s Hindu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, v i s 0, mà ng i R p g i "Zephirum" (m t mã) Sau đó, ông gi i quy t toán, giá tr c a m t h th ng ch s s nguyên Giá tr ph thu c vào v trí c a tr s đ c s p x p h th ng s nguyên Cùng v i s phát tri n c a cu n sách, nhi u toán đ h ph c gi i quy t, bao g m c m t lo t ng trình n tính xác đ nh không xác đ nh có h n hai n, toán khác s hoàn thi n (có ngh a là, m t s nguyên d t ng giá tr c a t t c ng có giá tr b ng c c a mà nh h n nó, ví d , = + + 28 = + + + + 14) Kín đáo gi u gi a hai v n đ m t toán mà r t nhi u h c sinh giáo viên toán bi t, toán n i ti ng "Bài toán c p Th " Tr c ti p t c v i toán này, đ gi i thi u thêm nh ng thành t u c a Leonardo là: Khi Leonardo đ c bi t t i cu n sách Thang Long University Libraty Th t v y ta có Fn k 1  Fn k 1  Fn k  Fn 1Fk 1  Fn Fk  Fn 1Fk  Fn Fk 1  Fn 1 (Fk 1  Fk )  Fn (Fk  Fk 1)  Fn 1Fk 1  Fn Fk 2 V y Fn m  Fn 1Fm  Fn Fm1 Bàiăt p 17 V i m  n  1, ch ng minh r ng F mn 1 L i gi i: Ch ng minh b ng ph V i m = ta có:  Fnm1  Fn2 ng pháp quy n p toán h c theo m Fn 1  Fn 1  Fn2 , (luôn đúng) Gi s m nh đ v i m  k (k  1,k  N), t c là: F kn 1  Fnk1  Fn2 , ( gi thi t quy n p ) Ta ph i ch ng minh m nh đ v i m  k 1, t c Ch ng minh: ( F k 1n 1  Fnk11 ) Fn2 th t v y, theo t p 16 ta có: F k 1n 1  Fnk11  Fkn  n 1  Fnk11   Fkn 1Fn 1  Fkn Fn   Fnk11 Theo gi thi t quy n p, ta có: Fkn 1  Fnk1  mod Fn2  Do đó: F k1n1  Fnk11  Fnk1Fn1  Fkn Fn  Fnk11  mod Fn2  Vì Fkn Fn nên Fkn Fn   mod Fn2  T đó, ta có: F k 1n 1  Fnk11   mod Fn2  46 Thang Long University Libraty V y:  Fmn 1  Fnm1  Fn2 Bàiăt p 18 V i m  n  1, ch ng minh r ng F mn L i gi i: Ch ng minh b ng ph  Fnm1  Fnm1  Fn3 ng pháp quy n p toán h c theo m V i m = ta có: Fn  Fn 1  Fn 1  Fn 1  Fn 1  Fn3 , ( ) Gi s m nh đ v i m  k (k  1,k  N), T c là: F kn  Fnk1  Fnk1  Fn3 , ( gi thi t quy n p ) Ta ph i ch ng minh m nh đ v i m  k 1, t c Ch ng minh: F (k 1)n  Fnk11  Fnk11  Fn3 Th t v y, theo t p 16 ta có: F k 1n  Fnk11  Fnk11  Fkn 1Fn  Fkn Fn 1  Fnk11  Fnk11 Theo gi thi t quy n p ta có: Fkn  Fnk1  Fnk1  mod Fn3  Do đó: F k1n  Fnk11  Fnk11  Fkn1Fn  Fn1(Fnk1  Fnk1)  Fnk11  Fnk11 (modFn3 )  Fkn 1Fn  Fnk1  Fn 1  Fn 1   mod Fn3  hay F k1n  Fnk11  Fnk11  Fn  Fkn 1  Fnk1   mod Fn3  Theo t p 17 ta có:  Fkn 1  Fnk1  Fn2 , ( F k 1n  Fnk11  Fnk11 ) Fn3 V y:  Fmn  Fnm1  Fnm1  Fn3 47 Bàiăt p 19 V i m  n  1, F1  F2  , ch ng minh đ ng th c sau Fm Fn 1  Fm1 Fn  (1) n Fmn Ch ng minh: Áp d ng (1.2) : F n   1 n 1 Fn , Fn m  Fn 1Fm  Fn Fm1 Ta có: Fmn  F n m  F n 1Fm  Fm1F n  Fm (1) n  Fn 1  Fm1 (1) n 1 Fn  Fm (1) n (1) Fn 1  Fm1 ( 1) n ( 1)1 Fn  (1) n (Fm Fn 1  Fm1Fn )  Fm Fn 1  Fm1 Fn  (1) n Fmn Bàiăt p 20: V i t  F0 = 0, F1 = F2 = Ch ng minh đ ng th c sau: F2nt  Ft Fn21  2Ft 1Fn1Fn  Ft 2 Fn2 Ch ng minh: Ta ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p theo t + V i t = ta có: V trái  F2n 2 V ph i  F2 Fn21  2F21.Fn1Fn  F22 Fn  F2 Fn21  2F1Fn1Fn  F0 Fn2  Fn21  2Fn1Fn  Fn1  Fn1  2Fn   Fn1  Fn1  Fn  Fn   Fn1  Fn2  Fn  48 Thang Long University Libraty  Fn 1Fn 2  Fn Fn 1  F2 n1  F2n2  V trái = V ph i , ( đ ng th c ) Gi s m nh đ v i: t  k,  t  N,t   t c là: F2nk  Fk Fn21  2Fk 1Fn1Fn  Fk 2 Fn2 , (gi thi t quy n p) Ta ph i ch ng minh m nh đ v i: t = k + t c ch ng minh: F2n k 1  Fk 1Fn21  2Fk Fn1Fn  Fk 1Fn2 Theo gi thi t quy n p ta có: F2n  k 1  F2n  k 1  F2n  k  F k 1Fn21  2Fk 2 Fn1Fn  Fk 3Fn2  Fk Fn21  2Fk 1Fn 1Fn  Fk 2 Fn2  Fn21  Fk1  Fk   2Fn1Fn  Fk 2  Fk 1   Fn2  Fk 3  Fk 2   Fk 1Fn21  2Fk Fn1Fn  Fk 1Fn2 i u ph i ch ng minh Bàiăt p 21: V i n  ch ng minh đ ng th c: F3n  2Fn3  3Fn Fn 1Fn 1  5Fn3   1 Fn n Ch ng minh: Theo t p 18 v i t = n ta có: F3n  F2nn  Fn Fn21  2Fn1Fn 1Fn  Fn 2 Fn2  Fn  Fn  Fn 1   2Fn 1Fn Fn 1  Fn 2 Fn2  Fn3  2Fn2Fn1  Fn Fn21  2Fn 1Fn Fn 1  Fn 2 Fn2  Fn3  Fn2  Fn  Fn2   Fn2Fn 1  Fn Fn21  2Fn 1Fn Fn 1  Fn 2 Fn2  2Fn3  Fn1Fn  Fn  Fn1   2Fn 1FnFn 1  2Fn3  Fn1Fn Fn 1  2Fn 1Fn Fn 1 49  2Fn3  3Fn1Fn Fn 1  F3n  2Fn3  3Fn1Fn Fn 1 , Theo tính ch t 1.6.9 ta có: Fn 1Fn 1  Fn2   1  Fn 1Fn 1  Fn2   1 n n Do đó: 2Fn3  3Fn1Fn Fn 1  2Fn3  3 Fn1Fn1  Fn n  2Fn3  3Fn  Fn2   1     5Fn3  3Fn  1 n  5Fn3   1 Fn , n T nh ng u ta suy ra: F3n  2Fn3  3Fn Fn 1Fn 1  5Fn3   1 Fn , (đi u ph i ch ng minh) n Bàiăt p 22: Tanya Greta chia l t gieo m t đ ng xu Tanya đ u tiên, Greta th hai, Tanya th ba, nh v y H ti p t c cho đ n có k t qu hai m t ng a xu t hi n, l n đ u tiên, hai l n gieo liên ti p h d ng l i Làm th đ bi t đ c, có dãy k t qu s p ng a c a trò ch i có th x y n u h d ng ch i sau: (a) b y l n gieo; (b) n l n gieo, v i n ≥ 2? ; (c) 12 l n gieo L i gi i: a) G i S gieo đ c k t qu m t s p N gieo đ a i k t qu gieo đ ng xu c k t qu m t ng a Và l n th i N u h d ng sau l n a 5a 6a ph i SNN Chúng ta nghiên c u k t qu c a a1a 2a 3a 50 Thang Long University Libraty N u a S a1a 2a3 ch c n b tr ng h p SNN, NNN, NNS h s d ng ch i sau l n gieo Khi s dãy k t qu s p ng a x y n u h d ng ch i sau l n gieo   N u a N a ph i S ch c n xét a 2a , a 2a có th SS, SN, NS; suy có k t qu V y s dãy k t qu s p ng a có th x y n u h d ng gieo sau l n b) T ng t nh N u h d ng gieo sau l n a1a 2a 3a có th dãy {SSNN, NSNS} N u h d ng gieo sau l n a1a 2a 3a 4a có th dãy {SNSNN, NSSNN,SSSNN} N u h d ng gieo sau l n a1a 2a 3a 4a 5a có th dãy: {SSNSNN,SSSSNN, NSNSNN,SNSSNN, NSSSNN} Ta nh n th y s dãy k t qu s p ng a x y ra, n u h d ng gieo sau l n, b ng s dãy k t qu s p ng a x y ra, n u h d ng gieo sau l n b ng cách thêm SS đ u ắ{SSNSNN, SSSSNN}Ằ, c ng v i s dãy k t qu s p ng a x y n u h d ng gieo sau l n b ng cách thêm S vào đ u n u a1 N ắ{SNSSNN}Ằ thêm N vào đ u n u a1 S ắ{NSNSNN, NSSSNN}Ằ T ng t , ta nh n th y s dãy k t qu s p ng a x y n u h d ng gieo sau n l n b ng s dãy k t qu s p ng a x y n u h d ng gieo sau n  l n vi t thêm SS đ u ắ{SSNSNN, SSSSNN}Ằ c ng s dãy k t qu s p ng a x y n u h d ng gieo sau n  l n b ng cách thêm S vào đ u n u a1 N thêm N vào đ u n u a1 S 51 G i pn s dãy k t qu s p ng a c a trò ch i x y h d ng gieo sau n l n Khi đó, ta có pn  pn 2  p n 1 D nh n th y pn  Fn 1 c) Theo nh công th c Ta có s dãy k t qu s p ng a c a trò ch i x y h d ng gieo sau 12 l n là: p12  F11  89 Bàiăt p 23 (a) Cho S = {4, 5, , 16, 17} Có t p c a S không ch a hai s nguyên liên ti p? (b) Cho hai s nguyên d ng m, n, cho T = {m, m + 1, m +2, , m + n - 1, m+ n} Có t p c a T không ch a hai s nguyên liên ti p? (c) Cho U m t t p h p s nguyên liên ti p v i ph n t nh nh t 31 Tìm ph n t l n nh t U n u s l ng t p c a U hai s nguyên liên ti p 55? (d) Gi s W m t t p h p s nguyên liên ti p v i ph n t l n nh t N u W có 377 t p không ch a hai s nguyên liên ti p, ph n t nh nh t W gì? L i gi i: Các t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a {4, 5, 6} bao g m , {4}, {5}, {6}, {4, 6} Ta nh n th y s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a {3 + 1, + 2, + 3} s b ng s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a {1, 2, 3} Các t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a {4, 5, 6, 7} bao g m , {4}, {5}, {6}, {7} {4, 6}, {4, 7}, {5, 7} T ng t s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a t p 52 Thang Long University Libraty {3 + 1, + 2, + 3, + 4} s b ng s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a t p {1, 2, 3, 4} Theo quy lu t s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a {m, m + 1, m + 2, m + 3, ầ, m + n} s b ng s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a t p {1, 2, 3, ầ, n} G i a n s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a {m, m + 1, m + 2, m + 3, ầ, m + n} Khi đó: a n s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a t p {1, 2, 3, ầ, n} Có hai tr Tr ng h p có th x y ra, chúng không th x y đ ng th i: ng h p 1: S n không t p h p , có a n 1 t p nh v y Tr ng h p 2: S n t p con, th không th có s n 1 t p h p Do có a n 2 t p nh v y a , n  2, a  1, a  V y an  a n 1 n  ây m t dãy nh ng s Fibonacci, nh ng v i u ki n ban đ u khác có a   F2 a1   F3 Do đó, an  F , n  n2 a) S = {4, 5, 6, ầ, 17} = {3 + 1, + 2, + 3, ầ, + 14} Suy s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a S a14  F16  987 b) Ta có t p T = {m, m + 1, m +2, , m + n - 1, m+ n} v i m, n, nguyên d ng tùy Ủ Do đó, s l ng t p không ch a hai s nguyên liên ti p c a T a n  Fn 2 53 c) Ta có U = {31, 32, 33, ầ, ?} = {30 + 1, 30+2, 30+3, ầ, 30 + n} Theo đ bài, ta có a n  Fn 2  55  F10 Do n   10  n  V y ph n t l n nh t c a U 38 d) Ta có W = {?, ầ, 7} = {m + 1, m+2, m+3, ầ, m + n} Theo đ bài, ta có a n  Fn2  377  F14  n  14  n  12  m  12  5 V y ph n t nh nh t c a U m+1 =  Bàiăt p 24 V i m t s nguyên d ng n c đ nh, kỦ hi u a n s dãy nh phân x1, x , , x n , x1  x , x  x , x  x , x  x , th a mãn u ki n, (i) x n 1  x n v i n ch n, khi, (ii) x n 1  x n v i n l l n h n Ví d , n = 4, bao g m chu i 0, 0, 0, theo cách đ m nh ng không ph i th t 1, 0, 0, Xác đ nh a n ? L i gi i: V i n  2, ta có dãy th a mãn 00, 01, 11 Khi đó: a   F4 V i n  3, ta có dãy th a mãn 000, 010, 011,110,111 Khi đó: a   F5 V i n  4, ta có 0001, 0101, 1101, 0000, 0100, 1100, 0111, 1111 a   F6 V i n  5, ta có 00010, 01010, 01110, 11010, 11110, 00011, 01011, 11011, 00000, 01000, 11000, 01111, 11111 a  13  F7 Ta nh n th y dãy có s ph n t ch n có th có t n 01, 11, 00; dãy có s ph n t l có th có t n 10, 11, 00 54 Thang Long University Libraty V i n  dãy s đ c t o b ng cách thêm t n 01 vào m i ng ng v i n  , thêm t n v i dãy t dãy t t n thêm t n v i dãy t ng ng v i n  có ng ng v i n  có t n 1; a  a3  a Khi đó, T ng t v i n  5, ta nh n đ 10 vào dãy t c dãy s b ng b ng cách thêm t n ng ng v i n  3, thêm t n v i dãy t ng v i n  có t n 0, thêm t n v i dãy t ng ng ng v i n  có t n a  a  a Khi đó, T ng quát s dãy có đ dài n  k có hai tr Tr ng h p 1: v i k s ch n Ta có dãy s đ thêm t n 01 vào m i dãy t Ta có: Tr t ng ng v i n  k  , thêm t n ng ng v i n  k  có t n a k  a k 1  a k 2 ng h p 2: v i k s l Ta có dãy s đ t n 10 vào m i dãy t dãy t c t o b ng cách ng ng v i n  k  có t n thêm t n v i v i dãy t dãy t ng h p: c t o b ng cách thêm ng ng v i n  k  , thêm t n v i ng ng v i n  k  có t n thêm t n v i dãy ng ng v i n  k  có t n Ta có: a k  a k 1  a k 2 Do ta có a n  a n 1  a n 2  Fn 2 Là s Fibonacci Bàiăt p 25 Lan Hoa có b s u t p kh i x p hình, đáy c a m i kh i hình vuông c nh inches Chi u cao m i kh i inch ho c inches, s l 55 ng kh i không h n ch Lan Hoa x p tòa tháp kh i ch ng lên kh i Có cách x p tòa tháp cao: a) n inches.? b) 10 inches.? c) 17 inches.? L i gi i: a) n inches G i s cách x p tòa tháp cao n inches Fn  V i n=1 Tháp cao inch có cách x p ta có F1   V i n=2 Tháp cao inches có cách x p ta có F2   V i n=3 Tháp cao inches có cách x p ta có F3  (Suy đoán = + 1) Gi s tòa tháp cao n inches ta có hai tr ng h p ng h p 1: H p cu i cao inch, ta có n-1 t ng l i Khi có -Tr Fn 1 cách x p -Tr ng h p 2: H p cu i cao inches, ta có n-2 t ng l i Khi có Fn  cách x p Suy Fn  Fn 1  Fn 2 (N u gi s F0  Fn  Fn 1  Fn 2 s Fibonacci th n+1) b) Tòa tháp cao 10 inches Ta có n  10 ây s Fibonacci th 11  F11  89 c) Tòa tháp cao 17 inches Ta có n  17 ây s Fibonacci th 18  F18  2584 Bàiăt p 26 Sinh nh t H ng nh n đ c m t thùng g m 40 kh i vuông kích c inches : 20 kh i màu đ ( ) ,20 kh i màu tr ng (T) H ng mu n x p 56 Thang Long University Libraty kh i li n nhau, ta mã hóa nh sau KỦ hi u S m t chu i n kỦ t đ T c chia thành k khúc (1  k  40) , khúc đo n dài nh t màu Ví d có h p x p T TTT có khúc , T, , TTT, H ng thích thú mu n đ m xem có cách x p, x p 10 kh i b t đ u b ng Các khúc sau ph i có đ dài l (Khúc đ u ch có ) đ dài Bài gi i V nđ n kh i ch không ph i 10 kh i C th ta g i Fn s cách x p n kh i + N u x p hai kh i T ch có m t cách x p Ta có F1  +) N u x p ba kh i T c ng ch có m t cách x p Ta có F2  +) N u x p b n kh i: TTT ho c T T ( khúc đ u có đ dài 1) Do có hai cách x p Nên F4  Ta th y: F4 nh n đ c b ng cách thêm t n b ng TT vào dãy t c a F2 , thêm t n b ng T vào dãy t ng ng ng ng c a F3 Khi đó: F4  F3  F2 T ng quát : Ta có s cách x p Fn ? Vì h p đ u tiên ph i màu đ nên có hai tr +) Tr ng h p: ng h p 1: H p cu i thu c khúc có đ dài l n h n ta thêm h p màu v i h p cu i m i t o khúc đ dài l Do có Fn  cách +) Tr ng h p 2: H p cu i thu c khúc có đ dài 1, ta thêm m t h p khác màu m i t o khúc đ dài l (= 1) Do có Fn 1 cách M t khác cách thêm n > h p l i n m tr V y Fn  Fn 1  Fn 2 ây s Fibonacci 57 ng h p K T LU N Tôi đ c trình bày l i m t s k t qu nghiên c u v , m t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci ng d ng C th : Trình bày ti u s nhà toán h c Fibonacci, toán c p th , đ nh ngh a truy h i, d a tài li u tham kh o [1] B ng cách phát tri n t công th c truy h i, tác gi c a [1] ch ng minh m t s đ ng nh t th c c a s Fibonacci m t cách đ n gi n, d hi u Cách ti p c n cho phép tác gi có đ c tính ch t đ i s s h c đ p c a dãy s Fibonacci Trình bày m t s k t qu nghiên c u v d a ch l ng d ng c a dãy s Fibonacci, ng tài li u tham kh o [1] C th đ i v i ví d tìm s ng t p c a Sn có tính ch t riêng bi t Trình bày đ c s t n t i, xu t hi n đa d ng c a dãy s Fibonacci t p áp d ng Tuy nhiên, vi c v n d ng thành th o ki n th c nói đ gi i t p v dãy s truy h i v n v n đ đ c quan tâm 58 Thang Long University Libraty TĨIăLI U THAM KH O [1] Grimaldi, Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John Wiley & Sons, 2012 [2] Gould, Henry W Problem B - The Fibonacci Quarterly, Volume 1, Issue 3, October, 1963 P 80 [3] Grimaldi, Ralph P Generating Sets and the Fibonacci Numbers, Congressus Numerantium, Volume 110, 1995, Pp 129 ậ 136 [4] Koshy, Thomas Fibonacci and Lucas Numbers with Applications New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001 [5] Sloane Neil James Alexander The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences http://www.research.att.com/njas/sequences/ [6] Swamy, M N S Problem B - 83 The Fibonacci Quarterly, Volume 4, Issue 4, December, 1966, P 375 [7] Tanton, James S Fibonacci Numbers Generating Sets, and Hexagonal Properties The Fibonacci Quarterly, Volume 38, Issue 4, August, 2000, Pp 299 ậ 309 59 C NGăHÒAăXÃăH IăCH ăNGH AăVI TăNAM c l p – T – H nh phúc GI YăXÁCăNH NăCH NHăS A LU NăV NăTH CăS H tên tác gi lu n v n: tài lu n v n: M T S Th H ng NG NH T TH C C A S FIBONACCI VÀ NG D NG Ngành: Toán Th ng Kê Chuyên ngành: Ph ng pháp toán s c p Mã H c viên: C00268 C s đào t o: Tr C n c ng i h c Th ng Long vào biên b n cu c h p H i đ ng ch m lu n v n th c s 07/06/2016 t i Tr ng ngày i h c Th ng Long nh n xét, góp Ủ c th c a thành viên h i đ ng, tác gi lu n v n th c hi n ch nh s a sau: Ch nh s a m c 1.5 Ch nh l i m t s câu c t, th a ch ho c thi u ch trình bày Hà n i, ngày 10 tháng 07 n m 2016 Xácănh n c aăgiáoăviênăh ngăd n Tácăgi ălu năv n ăTh ăH ngă Xácănh năc aăCh ăt chăH iăđ ngăch mălu năv n Thang Long University Libraty [...]... ng v i s l ng cỏc c p th b ng s l ng cỏc c p th ng cỏc c p th trong thỏng n 1 õy l s Fibonacci th n n 3 Trỡnh t s l ng cỏc c p th ny g m cỏc s c th l 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, - c g i l dóy Fibonacci Tờn Fibonacci l s k t h p c a Filius Bonaccii, theo ti ng Latin cho "con trai c a Bonaccio," v tờn Fibonacci ó c t cho cỏc dóy s vo thỏng N m n m 1876 b i nh l thuy t n i ti ng ng i Phỏp... chỳng ta xỏc nh c ú trong dóy s khi chỳng ta bi t c tớnh ny bõy gi cho phộp c cỏc con s Fibonacci t nay v sau chỳng ta s xem xột Do ú, dóy s Fibonacci c nh ngh a, theo m t cỏch h th ng, nh sau: nhngh a 1.3.1 : Dóy {F n} cỏc s Fibonacci c nh ngh a b i h th c truy h i sau: V i n 0, n u chỳng ta cho Fn l s Fibonacci th n, ta cú (1) F0 0,F1 1 (i u ki n ban u) (2) Fn Fn1 Fn2 , n 2 (M i quan... AS FIBONACCI. 1.5.1T s vng T s vng (phi) c nh ngh a l t s khi chia o n th ng thnh hai ph n (a v b) sao cho t s gi a c hai o n (a + b) v i o n l n h n (a) b ng t s gi a o n l n (a) v o n nh (b) ab a a b Ta quy di o n th ng a + b v n v 1 Do ú, ta cú: 1 5 1.6180339887 2 T s vng cũn c g i l t l vng, v nú cú m i liờn h m t thi t v i dóy Fibonacci 1.5.2 Cụngth ct ngquỏtc as Fibonacci Cỏc s Fibonacci. .. truy h i trờn, ta tỡm ra c 25 s Fibonacci u tiờn trong b ng 2 B ng 2: F0 0 F5 5 F10 55 F15 610 F20 6765 F1 1 F6 8 F11 89 F16 987 F21 10946 F2 1 F7 13 F12 144 F17 1597 F22 17711 F3 2 F8 21 F13 233 F18 2584 F23 28657 F4 3 F9 34 F14 377 F19 4181 F24 46368 1.4 S FIBONACCIV ICH S M T cụng th c truy h i (1.1), ta cú cụng th c Fn2 Fn Fn1 m r ng cỏc s Fibonacci v i ch s õm Ta cú F1... Lucas (phỏt õm l Lucah) (1842-1891) Trong th c t , Leonardo khụng ph i l ng i u tiờn mụ t dóy s , nh ng ụng ó xu t b n nú trong cu n sỏch Liber Abaci, chớnh cu n sỏch ny ó gi i thi u dóy s Fibonacci n v i ph Dóy s Fibonacci ó ng Tõy c ch ng minh l m t trong nh ng dóy s thỳ v , v ph bi n nh t trong c b mụn toỏn Th t khụng nh mong i, t khi nh ng con s ny xu t hi n n nay, cú quỏ nhi u h c sinh, v th... dóy F1,F2 ,F3 , xu t hi n trong c t th F0 ,F1,F2 ,F3 , bõy gi (1.1) c t gi a b ng 1, c th l ba c a b ng 1 Dóy s c coi l nh ngh a chu n v dóy s Fibonacci Nú l m t trong nh ng vớ d s m nh t c a m t dóy s truy h i trong toỏn h c Nhi u ng i c m th y r ng Fibonacci ó ch c ch n nh n th c c b n ch t truy h i c a dóy s Tuy nhiờn, ph i t i t n n m 1634, khi k hi u toỏn h c ó tiờn ti n, nh toỏn h c ng... S FIBONACCI c s chung l n nh t c a F5 5 v F6 8 l 1 Vỡ cỏc Ta th y r ng c s nguyờn d 1 5 2 ng c a F5 5 l 1 v 5, v cỏc c s nguyờn d ng c a F6 8 l 1, 2, 4 v 8 K hi u c s chung l n nh t c a F5 ,F6 l gcd (F5 ,F6 ) 1 ng t nh v y, gcd (F9 ,F10 ) 1 , vỡ cỏc T F9 34 l 1, 2, 17, v 34, v cỏc c s nguyờn d c s nguyờn d ng c a ng c a F10 55 l 1, 5, 11, v 55 i u ny d n t i tớnh ch t chung u tiờn c a s Fibonacci. .. Do ú T ng c a m i s Fibonacci liờn ti p b t k chia h t cho 11 Ta cú F0 F1 F2 2 3 1 F4 1 F0 F1 F2 F3 4 5 1 F5 1 F0 F1 F2 F3 F4 7 8 1 F6 1 Tớnhch t 1.6.5 V i n 0, ta cú ng th c sau: n Fr Fn 2 1 r 0 (1.8) Ch ng minh: Cụng th c t ng quỏt ny cú th phỏp quy n p c a toỏn h c, c thi t l p b ng cỏch s d ng cỏc ph ng õy ta ch n cỏch s d ng nh ngh a truy h i c a s Fibonacci xột nh ng ... (1)k 1 Fk 2 (Fk Fk 1) Fk 1Fk Fk 2Fk Fk 2Fk 1 Fk21 Fk 1Fk 2 F F F2 (1) k 1 (1) k 1 k 2 k k 1 T ú ta cú i u ph i ch ng minh 25 CH NG2 M T S Ch NG D NG C A S ng ny s cung c p m t s FIBONACCI ng d ng m cỏc s Fibonacci xu t hi n, d a trờn ti li u tham kh o [1], [2], [3], [5], [7] 2.1 T PCONC A Sn KHNGCH AHAIS NGUYấNLIấN TI P V i n 1, cho Sn 1, 2, 3, , n , v cho S0 , l t p h p r ng V y s l ng... Leonardo c bi t n nh nh l thuy t s n i ti ng 1.2 BITONCCC PTH Bõy gi quay tr l i bi toỏn n i ti ng " Bi toỏn cỏc c p Th ", Leonardo gi i thi u bi toỏn cú m t c p th s sinh m t con c, m t con cỏi Fibonacci xem xột s phỏt tri n c a m t n th nh r ng: c l t ng húa, gi m t c p th m i sinh, m t c, m t cỏi trong m t cỏnh ng Chỳng ta quan tõm t i vi c xỏc nh s c p th cú th c nhõn gi ng (bao g m