Một số đồng nhất thức của số Fibonacci và ứng dụng.PDF

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ĐỖ THỊ HƯƠNG MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA SỐ FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - NĂM 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ĐỖ THỊ HƯƠNG - Mã HV: C00268 MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA SỐ FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN VÀ THỐNG KÊ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS, TS: Vũ Thế Khôi HÀ NỘI - NĂM 2016 Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học Thăng Long hướng dẫn bảo tận tình PGS-TS Vũ Thế Khôi - Viện Toán Học Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Thầy Cô giáo Trường Đại HọcThăng Long giúp đỡ, giảng dạy tạo điều kiện cho trình học tập lớp Cao Học Toán khóa Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán tạo điều kiện cho thời gian học tập trường Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới Sở Giáo dục - Đào tạo Hà Nội Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Cao Bá Quát Quốc Oai tạo điều kiện cho tham gia học tập hoàn thành khóa học Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè, tập thể lớp Cao Học Toán khóa trường Đại học Thăng Long Hà Nội, động viên, giúp đỡ trình học tập vừa qua Tuy nhiên, hiểu biết thân, nên trình nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót, mong nhận bảo đóng góp ý kiến quý Thầy Cô bạn bè đồng nghiệp Hà Nội, ngày… tháng… năm 2016 Tác giả Đỗ Thị Hương Footer Page of 126 Header Page of 126 MỤC LỤC Một số ký hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 1.1 TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC FIBONACCI 1.2 BÀI TOÁN CÁC CẶP THỎ 1.3 ĐỊNH NGHĨA TRUY HỒI 12 1.4 SỐ FIBONACCI VỚI CHỈ SỐ ÂM 14 1.5 CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA SỐ FIBONACCI 16 1.5.1 Tỷ số vàng 16 1.5.2 Công thức tổng quát số Fibonacci 16 1.6 MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA SỐ FIBONACCI 18 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ FIBONACCI 26 2.1 TẬP CON CỦA Sn KHÔNG CHỨA HAI SỐ NGUYÊN LIÊN TIẾP 26 2.2: SỐ LƯỢNG CÁC TẬP HỢP SINH CỦA Sn 1 28 2.3: CHUỖI NHỊ PHÂN ĐỘ DÀI n KHÔNG CÓ HAI SỐ LIÊN TIẾP 30 2.4: SỐ LƯỢNG CÁC HOÁN VỊ CỦA Sn 31 2.5: SỐ LƯỢNG CÁC TẬP CON LUÂN PHIÊN CỦA 2.6 SỐ LƯỢNG CÁC TẬP CON BÉO CỦA 2.7 TẬP CON A CỦA Sn Sn 33 34 Sn CÓ PHẦN TỬ NHỎ NHẤT BẰNG A 36 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP ÁP DỤNG 38 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 MỘT SỐ KÝ HIỆU Các số Fibonacci: Fn , n=0, 1, 2, 3, 4,… gcd  a, b  Ước số chung lớn số a số b a b Số a chia hết cho số b Sn = {1, 2, 3, , n 1, n}, với n ≥ Tập hợp số tự nhiên từ đến n A Kích thước tập A (a  b) c hay a  b (mod c) Hiệu a-b chia hết cho c  x  Số nguyên dương lớn nhỏ x  x  Số nguyên dương nhỏ lớn x n    C kn tổ hợp chập k n k Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài luận văn Số Fibonacci nằm chương trình toán trung học phổ thông, dễ dàng dạy cho học sinh hiểu số Fibonacci có nhiều tính chất đại số số học đẹp đẽ Một số đồng thức số Fibonacci có vai trò quan trọng kiến thức thực tiễn nói riêng, có ứng dụng toán dãy số- tổ hợp, có ứng dụng thực tế: toán kinh tế … Do việc nắm vững vấn đề nội dung quan trọng việc học học sinh việc dạy giáo viên trung học phổ thông Trước Fibonacci, có nhiều học giả nghiên cứu dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viết phát triển dãy Fibonacci “một phần từ Pingala (200 BC), sau kết hợp với Virahanka (khoảng 700 AD), Gopala (c.1135 AD) Hemachandra (c.1150)” Sau Fibonacci, có nhiều nhà Khoa học nghiên cứu dãy Fibonacci như: Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), nhiều tính chất dãy số mang tên nhà Khoa học Hiện nay, tài liệu tiếng Việt dãy Fibonacci, với tính chất, ứng dụng chưa có nhiều tản mạn Vì vậy, việc tìm hiểu sâu giới thiệu dãy Fibonacci với tính chất ứng dụng cần thiết cho việc học tập, giảng dạy Toán học hiểu biết người Căn vào lí nên chọn đề tài: “ Một số đồng thức số Fibonacci ứng dụng” Bản luận văn “ Một số đồng thức số Fibonacci ứng dụng” tiến hành vào cuối năm 2015 chủ yếu dựa tài liệu tham khảo: Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 Grimaldi, Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John Wiley & Sons, 2012 Mục đích đề tài luận văn Học tập, giới thiệu tìm hiểu lịch sử nhà khoa học Fibonacci, số đồng thức số Fibonacci, dãy Fibonacci với tính chất bản, tính chất số học tính chất liên hệ chúng Đặc biệt, giúp người nắm ứng dụng quan trọng xuất đa dạng dãy Fibonacci tập + Phát triển khả tư logic, phân tích toán sử dụng dãy số Fibonacci Bố cục luận văn Bản luận văn“ Một số đồng thức số Fibonacci ứng dụng” gồm có: + Mở đầu + Nội dung ba chương + Kết luận tài liệu tham khảo Chương Giới thiệu Trong chương này, trình bày tiểu sử nhà toán học Fibonacci Bài toán cặp thỏ Định nghĩa truy hồi dãy Fibonacci, số tính chất số học dãy Fibonacci, công thức tổng quát số Fibonacci Một số đồng thức số Fibonacci Khác với nhiều tài liệu tham khảo, luận văn giới thiệu cách chứng minh đơn giản Chương Một số ứng dụng số Fibonacci Footer Page of 126 Header Page of 126 Trong chương này, trình bày mối liên hệ dãy Fibonacci với toán học Sự xuất dãy Fibonacci số ví dụ ứng dụng quan trọng Chương Một số tập áp dụng Trong chương này, trình bày số tập dạng chứng minh đẳng thức, đồng thức số Fibonacci Các tập dạng dãy số cần áp dụng kiến thức dãy số Fibonacci trình bày chương chương Kết luận tài liệu tham khảo Footer Page of 126 Thang Long University Library Header Page of 126 CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU Trong chương trình bày tiểu sử nhà toán học Fibonacci, toán cặp thỏ, định nghĩa truy hồi, số đồng thức số Fibonacci dựa tài liệu tham khảo [1], [3], [4] 1.1 TIỂU SỬ NHÀ TOÁN HỌC FIBONACCI Leonardo Pisano Bogollo sinh vào năm 1170 (khoảng 1170 –1240) Ông biết đến với tên Leonardo Pisa, hay phổ biến tên Fibonacci Ông nhà toán học người Ý ông số người xem “nhà toán học tài ba thời Trung Cổ” Fibonacci tiếng giới đại có công truyền bá hệ thống số Hindu - Ả Rập châu Âu, đặc biệt dãy số đại mang tên ông Dãy Fibonacci Sách Liber Abaci - Sách Toán đố năm 1202 Được sinh gia đình nhà Bonacci Pisa, Leonardo Pisa thương gia phát đạt Guglielmo, ông hướng trai ông theo nghiệp Vì vậy, Guglielmo bổ nhiệm người thu hải quan thành phố Algerian Bugia (nay Bejaia), vào khoảng năm 1190, ông mang Leonardo theo Đó nơi chàng trai trẻ học với thầy giáo người Hồi giáo Thầy giáo giới thiệu ông đến với hệ thống số HinduArabic, với phương pháp tính toán Hindu- Arabic Sau đó, ông lại tiếp tục sống với nghề buôn bán kinh doanh Leonardo tìm thấy đến nước Constantinople, Ai Cập, Pháp, Hy Lạp, Rome Syria Đó nơi ông tiếp tục nghiên cứu hệ thống số học Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 khác mà sau sử dụng Vì vậy, Ông nhận chào đón nhiệt tình trở quê hương Pisa vào khoảng năm 1200 Leonardo ưa thích ủng hộ đơn giản, tao nhã, tính thực tiễn hệ thống số La Mã Đặc biệt, so sánh lợi ích thực tế hệ thống chữ số Hindu-Arabic, với hệ thống chữ số La Mã sau sử dụng Ý Kết là, tính đến thời điểm ông qua đời vào khoảng năm 1240, nhà buôn người Ý bắt đầu nhận giá trị hệ thống chữ số Hindu –Arabic, bắt đầu sử dụng cho giao dịch kinh doanh Đến cuối kỷ thứ mười sáu, hầu hết quốc gia châu Âu điều chỉnh theo hệ thống Năm 1202, Leonardo công bố kiệt tác mình, Liber Abaci ( Cuốn sách Tính Toán hay sách Bàn Tính) Trong ông giới thiệu hệ thống chữ số Hindu-Arabic thuật toán số học với lục địa châu Âu Leonardo bắt đầu công việc với đời chữ số Hindu-Arabic: Chín số Hindu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, với số 0, mà người Ả Rập gọi "Zephirum" (mật mã) Sau đó, ông giải toán, giá trị hệ thống chữ số số nguyên Giá trị phụ thuộc vào vị trí trị số xếp hệ thống số nguyên Cùng với phát triển sách, nhiều toán giải quyết, bao gồm loạt hệ phương trình tuyến tính xác định không xác định có hai ẩn, toán khác số hoàn thiện (có nghĩa là, số nguyên dương có giá trị tổng giá trị tất ước mà nhỏ nó, ví dụ, = + + 28 = + + + + 14) Kín đáo giấu hai vấn đề toán mà nhiều học sinh giáo viên toán biết, toán tiếng "Bài toán cặp Thỏ." Trước tiếp tục với toán này, để giới thiệu thêm thành tựu Leonardo là: Khi Leonardo biết tới sách Footer Page 10 of 126 Thang Long University Library Header Page 48 of 126 Thật ta có Fn k 1  Fn k 1  Fn k  Fn 1Fk 1  Fn Fk  Fn 1Fk  Fn Fk 1  Fn 1 (Fk 1  Fk )  Fn (Fk  Fk 1)  Fn 1Fk 1  Fn Fk 2 Vậy □ Fn m  Fn 1Fm  Fn Fm1 Bài tập 17 Với m  n  1, chứng minh F mn 1  Fnm1  Fn2 Lời giải: Chứng minh phương pháp quy nạp toán học theo m Với m = ta có: Fn 1  Fn 1  Fn2 , (luôn đúng) Giả sử mệnh đề với m  k (k  1,k  N), tức là: F kn 1  Fnk1  Fn2 , ( giả thiết quy nạp ) Ta phải chứng minh mệnh đề với m  k 1, tức Chứng minh: ( F k 1n 1  Fnk11 ) Fn2 thật vậy, theo tập 16 ta có: F k 1n 1  Fnk11  Fkn  n 1  Fnk11   Fkn 1Fn 1  Fkn Fn   Fnk11 Theo giả thiết quy nạp, ta có: Fkn 1  Fnk1  mod Fn2  Do đó: F k1n1  Fnk11  Fnk1Fn1  Fkn Fn  Fnk11  mod Fn2  Vì Fkn Fn nên Fkn Fn   mod Fn2  Từ đó, ta có: F k 1n 1  Fnk11   mod Fn2  □ 46 Footer Page 48 of 126 Thang Long University Library Header Page 49 of 126 Vậy:  Fmn 1  Fnm1  Fn2 Bài tập 18 Với m  n  1, chứng minh F mn  Fnm1  Fnm1  Fn3 Lời giải: Chứng minh phương pháp quy nạp toán học theo m Với m = ta có: Fn  Fn 1  Fn 1  Fn 1  Fn 1  Fn3 , ( ) Giả sử mệnh đề với m  k (k  1,k  N), Tức là: F kn  Fnk1  Fnk1  Fn3 , ( giả thiết quy nạp ) Ta phải chứng minh mệnh đề với m  k 1, tức Chứng minh: F (k 1)n  Fnk11  Fnk11  Fn3 Thật vậy, theo tập 16 ta có: F k 1n  Fnk11  Fnk11  Fkn 1Fn  Fkn Fn 1  Fnk11  Fnk11 Theo giả thiết quy nạp ta có: Fkn  Fnk1  Fnk1  mod Fn3  Do đó: F k1n  Fnk11  Fnk11  Fkn1Fn  Fn1(Fnk1  Fnk1)  Fnk11  Fnk11 (modFn3 )  Fkn 1Fn  Fnk1  Fn 1  Fn 1   mod Fn3  hay F k1n  Fnk11  Fnk11  Fn  Fkn 1  Fnk1   mod Fn3  Theo tập 17 ta có:  Fkn 1  Fnk1  Fn2 , ( F k 1n  Fnk11  Fnk11 ) Fn3 □ Vậy:  Fmn  Fnm1  Fnm1  Fn3 47 Footer Page 49 of 126 Header Page 50 of 126 Bài tập 19 Với m  n  1, F1  F2  , chứng minh đẳng thức sau Fm Fn 1  Fm1 Fn  (1)n Fmn Chứng minh: Áp dụng (1.2) : F n   1 n 1 Fn , Fn m  Fn 1Fm  Fn Fm1 Ta có: Fmn  F n m  F n 1Fm  Fm1F n  Fm (1) n  Fn 1  Fm1 (1) n 1 Fn  Fm (1) n (1) Fn 1  Fm1 (1) n ( 1)1 Fn  (1) n (Fm Fn 1  Fm1Fn )  Fm Fn 1  Fm1 Fn  (1)n Fmn □ Bài tập 20: Với t  F0 = 0, F1 = F2 = Chứng minh đẳng thức sau: F2nt  Ft Fn21  2Ft 1Fn1Fn  Ft 2 Fn2 Chứng minh: Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo t + Với t = ta có: Vế trái  F2n 2 Vế phải  F2 Fn21  2F21.Fn1Fn  F22 Fn  F2 Fn21  2F1Fn1Fn  F0 Fn2  Fn21  2Fn1Fn  Fn1  Fn1  2Fn   Fn1  Fn1  Fn  Fn   Fn1  Fn2  Fn  48 Footer Page 50 of 126 Thang Long University Library Header Page 51 of 126  Fn 1Fn 2  Fn Fn 1  F2 n1  F2n2  Vế trái = Vế phải , ( đẳng thức ) Giả sử mệnh đề với: t  k,  t  N,t   tức là: F2nk  Fk Fn21  2Fk 1Fn1Fn  Fk 2 Fn2 , (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh mệnh đề với: t = k + tức chứng minh: F2n k 1  Fk 1Fn21  2Fk Fn1Fn  Fk 1Fn2 Theo giả thiết quy nạp ta có: F2n  k 1  F2n  k 1  F2n  k  F k 1Fn21  2Fk 2 Fn1Fn  Fk 3Fn2  Fk Fn21  2Fk 1Fn 1Fn  Fk 2 Fn2  Fn21  Fk1  Fk   2Fn1Fn  Fk 2  Fk 1   Fn2  Fk 3  Fk 2   Fk 1Fn21  2Fk Fn1Fn  Fk 1Fn2 □ Điều phải chứng minh Bài tập 21: Với n  chứng minh đẳng thức: F3n  2Fn3  3Fn Fn 1Fn 1  5Fn3   1 Fn n Chứng minh: Theo tập 18 với t = n ta có: F3n  F2nn  Fn Fn21  2Fn1Fn 1Fn  Fn 2 Fn2  Fn  Fn  Fn 1   2Fn 1Fn Fn 1  Fn 2 Fn2  Fn3  2Fn2 Fn1  Fn Fn21  2Fn1Fn Fn1  Fn 2 Fn2  Fn3  Fn2  Fn  Fn2   Fn2Fn1  Fn Fn21  2Fn1Fn Fn1  Fn2Fn2  2Fn3  Fn1Fn  Fn  Fn1   2Fn1Fn Fn1  2Fn3  Fn1Fn Fn1  2Fn1Fn Fn1 49 Footer Page 51 of 126 Header Page 52 of 126  2Fn3  3Fn1Fn Fn1  F3n  2Fn3  3Fn1Fn Fn 1 , □ Theo tính chất 1.6.9 ta có: Fn 1Fn 1  Fn2   1  Fn 1Fn 1  Fn2   1 n n Do đó: 2Fn3  3Fn1Fn Fn1  2Fn3  3 Fn1Fn1  Fn n  2Fn3  3Fn  Fn2   1     5Fn3  3Fn  1 n  5Fn3   1 Fn , n □ Từ điều ta suy ra: F3n  2Fn3  3Fn Fn 1Fn 1  5Fn3   1 Fn , (điều phải chứng minh) n Bài tập 22: Tanya Greta chia lượt gieo đồng xu Tanya đầu tiên, Greta thứ hai, Tanya thứ ba, Họ tiếp tục có kết hai mặt ngửa xuất hiện, lần đầu tiên, hai lần gieo liên tiếp họ dừng lại Làm để biết được, có dãy kết sấp ngửa trò chơi xảy họ dừng chơi sau: (a) bảy lần gieo; (b) n lần gieo, với n ≥ 2? ; (c) 12 lần gieo Lời giải: a) Gọi S gieo kết mặt sấp N gieo kết mặt ngửa Và a i kết gieo đồng xu lần thứ i Nếu họ dừng sau lần a 5a 6a phải SNN Chúng ta nghiên cứu kết a1a 2a 3a 50 Footer Page 52 of 126 Thang Long University Library Header Page 53 of 126 Nếu a S a1a 2a3 cần bỏ trường hợp SNN, NNN, NNS họ dừng chơi sau lần gieo Khi số dãy kết sấp ngửa xảy họ dừng chơi sau lần gieo   Nếu a N a phải S cần xét a 2a , a 2a SS, SN, NS; suy có kết Vậy số dãy kết sấp ngửa xảy họ dừng gieo sau lần b) Tương tự Nếu họ dừng gieo sau lần a1a 2a 3a dãy {SSNN, NSNS} Nếu họ dừng gieo sau lần a1a 2a 3a 4a dãy {SNSNN, NSSNN,SSSNN} Nếu họ dừng gieo sau lần a1a 2a 3a 4a 5a dãy: {SSNSNN,SSSSNN, NSNSNN,SNSSNN, NSSSNN} Ta nhận thấy số dãy kết sấp ngửa xảy ra, họ dừng gieo sau lần, số dãy kết sấp ngửa xảy ra, họ dừng gieo sau lần cách thêm SS đầu “{SSNSNN, SSSSNN}”, cộng với số dãy kết sấp ngửa xảy họ dừng gieo sau lần cách thêm S vào đầu a1 N “{SNSSNN}” thêm N vào đầu a1 S “{NSNSNN, NSSSNN}” Tương tự, ta nhận thấy số dãy kết sấp ngửa xảy họ dừng gieo sau n lần số dãy kết sấp ngửa xảy họ dừng gieo sau n  lần viết thêm SS đầu “{SSNSNN, SSSSNN}” cộng số dãy kết sấp ngửa xảy họ dừng gieo sau n  lần cách thêm S vào đầu a1 N thêm N vào đầu a1 S 51 Footer Page 53 of 126 Header Page 54 of 126 Gọi pn số dãy kết sấp ngửa trò chơi xảy họ dừng gieo sau n lần Khi đó, ta có pn  pn 2  p n 1 Dễ nhận thấy pn  Fn 1 c) Theo công thức Ta có số dãy kết sấp ngửa trò chơi xảy họ dừng gieo sau 12 lần là: p12  F11  89 Bài tập 23 (a) Cho S = {4, 5, , 16, 17} Có tập S không chứa hai số nguyên liên tiếp? (b) Cho hai số nguyên dương m, n, cho T = {m, m + 1, m +2, , m + n 1, m+ n} Có tập T không chứa hai số nguyên liên tiếp? (c) Cho U tập hợp số nguyên liên tiếp với phần tử nhỏ 31 Tìm phần tử lớn U số lượng tập U hai số nguyên liên tiếp 55? (d) Giả sử W tập hợp số nguyên liên tiếp với phần tử lớn Nếu W có 377 tập không chứa hai số nguyên liên tiếp, phần tử nhỏ W gì? Lời giải: Các tập không chứa hai số nguyên liên tiếp {4, 5, 6} bao gồm , {4}, {5}, {6}, {4, 6} Ta nhận thấy số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp {3 + 1, + 2, + 3} số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp {1, 2, 3} Các tập không chứa hai số nguyên liên tiếp {4, 5, 6, 7} bao gồm , {4}, {5}, {6}, {7} {4, 6}, {4, 7}, {5, 7} Tương tự số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp tập 52 Footer Page 54 of 126 Thang Long University Library Header Page 55 of 126 {3 + 1, + 2, + 3, + 4} số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp tập {1, 2, 3, 4} Theo quy luật số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp {m, m + 1, m + 2, m + 3, …, m + n} số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp tập {1, 2, 3, …, n} Gọi a n số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp {m, m + 1, m + 2, m + 3, …, m + n} Khi đó: a n số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp tập {1, 2, 3, …, n} Có hai trường hợp xảy ra, chúng xảy đồng thời: Trường hợp 1: Số n không tập hợp , có a n 1 tập Trường hợp 2: Số n tập con, có số n 1 tập hợp Do có a n 2 tập a , n  2, a  1, a  Vậy a n  a n 1 n  Đây dãy số Fibonacci, với điều kiện ban đầu khác Ở có a   F2 a1   F3 Do đó, an  F , n  n2 a) S = {4, 5, 6, …, 17} = {3 + 1, + 2, + 3, …, + 14} Suy số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp S a14  F16  987 b) Ta có tập T = {m, m + 1, m +2, , m + n - 1, m+ n} với m, n, nguyên dương tùy ý Do đó, số lượng tập không chứa hai số nguyên liên tiếp T a n  Fn 2 53 Footer Page 55 of 126 Header Page 56 of 126 c) Ta có U = {31, 32, 33, …, ?} = {30 + 1, 30+2, 30+3, …, 30 + n} Theo đề bài, ta có a n  Fn 2  55  F10 Do n   10  n  Vậy phần tử lớn U 38 d) Ta có W = {?, …, 7} = {m + 1, m+2, m+3, …, m + n} Theo đề bài, ta có a n  Fn2  377  F14  n  14  n  12  m  12  5 Vậy phần tử nhỏ U m+1 =  Bài tập 24 Với số nguyên dương n cố định, ký hiệu a n số dãy nhị phân x1, x , , x n , x1  x , x  x , x  x , x  x , thỏa mãn điều kiện, (i) x n 1  x n với n chẵn, khi, (ii) x n 1  x n với n lẻ lớn Ví dụ, n = 4, bao gồm chuỗi 0, 0, 0, theo cách đếm thứ tự 1, 0, 0, Xác định a n ? Lời giải: Với n  2, ta có dãy thỏa mãn 00, 01, 11 Khi đó: a   F4 Với n  3, ta có dãy thỏa mãn 000, 010, 011,110,111 Khi đó: a   F5 Với n  4, ta có 0001, 0101, 1101, 0000, 0100, 1100, 0111, 1111 a   F6 Với n  5, ta có 00010, 01010, 01110, 11010, 11110, 00011, 01011, 11011, 00000, 01000, 11000, 01111, 11111 a  13  F7 Ta nhận thấy dãy có số phần tử chẵn có tận 01, 11, 00; dãy có số phần tử lẻ có tận 10, 11, 00 54 Footer Page 56 of 126 Thang Long University Library Header Page 57 of 126 Với n  dãy số tạo cách thêm tận 01 vào dãy tương ứng với n  , thêm tận với dãy tương ứng với n  có tận thêm tận với dãy tương ứng với n  có tận 1; Khi đó, a  a3  a Tương tự với n  5, ta nhận dãy số bằng cách thêm tận 10 vào dãy tương ứng với n  3, thêm tận với dãy tương ứng với n  có tận 0, thêm tận với dãy tương ứng với n  có tận Khi đó, a  a  a Tổng quát số dãy có độ dài n  k có hai trường hợp: Trường hợp 1: với k số chẵn Ta có dãy số tạo cách thêm tận 01 vào dãy tương ứng với n  k  , thêm tận với dãy tương ứng với n  k  có tận thêm tận với dãy tương ứng với n  k  có tận Ta có: a k  a k 1  a k 2 Trường hợp 2: với k số lẻ Ta có dãy số tạo cách thêm tận 10 vào dãy tương ứng với n  k  , thêm tận với dãy tương ứng với n  k  có tận thêm tận với dãy tương ứng với n  k  có tận Ta có: a k  a k 1  a k 2 Do ta có a n  a n 1  a n 2  Fn 2 Là số Fibonacci Bài tập 25 Lan Hoa có sưu tập khối xếp hình, đáy khối hình vuông cạnh inches Chiều cao khối inch inches, số lượng khối 55 Footer Page 57 of 126 Header Page 58 of 126 không hạn chế Lan Hoa xếp tòa tháp khối chồng lên khối Có cách xếp tòa tháp cao: a) n inches.? b) 10 inches.? c) 17 inches.? Lời giải: a) n inches Gọi số cách xếp tòa tháp cao n inches Fn  Với n=1 Tháp cao inch có cách xếp ta có F1   Với n=2 Tháp cao inches có cách xếp ta có F2   Với n=3 Tháp cao inches có cách xếp ta có F3  (Suy đoán = + 1) Giả sử tòa tháp cao n inches ta có hai trường hợp -Trường hợp 1: Hộp cuối cao inch, ta có n-1 tầng lại Khi có Fn 1 cách xếp -Trường hợp 2: Hộp cuối cao inches, ta có n-2 tầng lại Khi có Fn  cách xếp Suy Fn  Fn 1  Fn 2 (Nếu giả sử F0  Fn  Fn 1  Fn 2 số Fibonacci thứ n+1) b) Tòa tháp cao 10 inches Ta có n  10 Đây số Fibonacci thứ 11  F11  89 c) Tòa tháp cao 17 inches Ta có n  17 Đây số Fibonacci thứ 18  F18  2584 Bài tập 26 Sinh nhật Hồng nhận thùng gồm 40 khối vuông kích cỡ inches : 20 khối màu đỏ (Đ) ,20 khối màu trắng (T) Hồng muốn xếp 56 Footer Page 58 of 126 Thang Long University Library Header Page 59 of 126 khối liền nhau, ta mã hóa sau Ký hiệu S chuỗi n ký tự Đ T chia thành k khúc (1  k  40) , khúc đoạn dài màu Ví dụ có hộp xếp ĐTĐĐTTTĐ có khúc Đ, T, ĐĐ, TTT, Đ Hồng thích thú muốn đếm xem có cách xếp, xếp 10 khối bắt đầu Đ Các khúc sau phải có độ dài lẻ (Khúc đầu có Đ) độ dài Bài giải Vấn đề n khối 10 khối Cụ thể ta gọi Fn số cách xếp n khối + Nếu xếp hai khối ĐT có cách xếp Ta có F1  +) Nếu xếp ba khối ĐTĐ có cách xếp Ta có F2  +) Nếu xếp bốn khối: ĐTTT ĐTĐT ( khúc đầu Đ có độ dài 1) Do có hai cách xếp Nên F4  Ta thấy: F4 nhận cách thêm tận TT vào dãy tương ứng F2 , thêm tận T vào dãy tương ứng F3 Khi đó: F4  F3  F2 Tổng quát : Ta có số cách xếp Fn ? Vì hộp phải màu đỏ nên có hai trường hợp: +) Trường hợp 1: Hộp cuối thuộc khúc có độ dài lớn ta thêm hộp màu với hộp cuối tạo khúc độ dài lẻ Do có Fn  cách +) Trường hợp 2: Hộp cuối thuộc khúc có độ dài 1, ta thêm hộp khác màu tạo khúc độ dài lẻ (= 1) Do có Fn 1 cách Mặt khác cách thêm n > hộp lại nằm trường hợp Vậy Fn  Fn 1  Fn 2 Đây số Fibonacci 57 Footer Page 59 of 126 Header Page 60 of 126 KẾT LUẬN Tôi đọc trình bày lại số kết nghiên cứu về, số đồng thức số Fibonacci ứng dụng Cụ thể : Trình bày tiểu sử nhà toán học Fibonacci, toán cặp thỏ, định nghĩa truy hồi, dựa tài liệu tham khảo [1] Bằng cách phát triển từ công thức truy hồi, tác giả [1] chứng minh số đồng thức số Fibonacci cách đơn giản, dễ hiểu Cách tiếp cận cho phép tác giả có tính chất đại số số học đẹp dãy số Fibonacci Trình bày số kết nghiên cứu ứng dụng dãy số Fibonacci, dựa chương tài liệu tham khảo [1] Cụ thể ví dụ tìm số lượng tập Sn có tính chất riêng biệt Trình bày tồn tại, xuất đa dạng dãy số Fibonacci tập áp dụng Tuy nhiên, việc vận dụng thành thạo kiến thức nói để giải tập dãy số truy hồi vấn đề quan tâm 58 Footer Page 60 of 126 Thang Long University Library Header Page 61 of 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Grimaldi, Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John Wiley & Sons, 2012 [2] Gould, Henry W Problem B - The Fibonacci Quarterly, Volume 1, Issue 3, October, 1963 P 80 [3] Grimaldi, Ralph P Generating Sets and the Fibonacci Numbers, Congressus Numerantium, Volume 110, 1995, Pp 129 – 136 [4] Koshy, Thomas Fibonacci and Lucas Numbers with Applications New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001 [5] Sloane Neil James Alexander The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences http://www.research.att.com/njas/sequences/ [6] Swamy, M N S Problem B - 83 The Fibonacci Quarterly, Volume 4, Issue 4, December, 1966, P 375 [7] Tanton, James S Fibonacci Numbers Generating Sets, and Hexagonal Properties The Fibonacci Quarterly, Volume 38, Issue 4, August, 2000, Pp 299 – 309 59 Footer Page 61 of 126 Header Page 62 of 126 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc GIẤY XÁC NHẬN CHỈNH SỬA LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên tác giả luận văn: Đỗ Thị Hương Đề tài luận văn: MỘT SỐ ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA SỐ FIBONACCI VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Toán Thống Kê Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã Học viên: C00268 Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Thăng Long Căn vào biên họp Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ ngày 07/06/2016 Trường Đại học Thăng Long nhận xét, góp ý cụ thể thành viên hội đồng, tác giả luận văn thực chỉnh sửa sau: Chỉnh sửa mục 1.5 Chỉnh lại số câu cụt, thừa chữ thiếu chữ trình bày Hà nội, ngày 10 tháng 07 năm 2016 Xác nhận giáo viên hướng dẫn Tác giả luận văn Đỗ Thị Hương Xác nhận Chủ tịch Hội đồng chấm luận văn Footer Page 62 of 126 Thang Long University Library ... tiu s ca nh toỏn hc Fibonacci Bi toỏn cỏc cp th nh ngha truy hi ca dóy Fibonacci, mt s tớnh cht s hc ca dóy Fibonacci, cụng thc tng quỏt ca s Fibonacci Mt s ng nht thc ca s Fibonacci Khỏc vi nhiu... Ralph Fibonacci and Catalan Numbers: an introduction John Wiley & Sons, 2012 Mc ớch ca ti lun Hc tp, gii thiu v tỡm hiu lch s ca nh khoa hc Fibonacci, mt s ng nht thc ca s Fibonacci, dóy Fibonacci. .. 126 M U Lý chn ti lun S Fibonacci nm chng trỡnh toỏn trung hc ph thụng, d dng dy cho hc sinh hiu c cỏc s Fibonacci cú rt nhiu tớnh cht i s v s hc p Mt s ng nht thc ca s Fibonacci cú vai trũ quan