Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 13

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Lê Đình Trƣờng MỘT SỐ CHUN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRỊN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 1/2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Lê Đình Trƣờng MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành : Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Vũ Đỗ Long Hà Nội – 1/2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Vũ Đỗ Long, người thầy với lịng nhiệt huyếtđã ln bảo tận tình em từ ngày đầu tiên, đồng thờiđưa lời khun bổích giúp em hồn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô, tập thể cán ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ – Tin học học viên cao học, không trang bị kiến thức cho em mà cịn ln giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi trình em học tập trường Cuối cùng, em xin cảmơn tới bạn bè người thân, người ủng hộ động viên em vượt qua khó khăn để em hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng I Các toán đƣờng thẳng , đƣờng tròn 1.1 Bài toán ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy 1.2 Một số tốn đƣờng thẳng đƣờng trịn, tứ giác nội tiếp 14 Chƣơng II Các toán vectơ ứng dụng vectơ 26 2.1 Vectơ, tâm tỉ cự 26 2.2 Tích ngồi hai vectơ ứng dụng 42 2.3 Phƣơng tích điểm đƣờng trịn Trục đẳng phƣơng, tâm đẳng phƣơng 62 KẾT LUẬN 79 Tài liệu tham khảo 80 Lời mở đầu Hình học phẳng dạng toán quen thuộc học sinh trung học sở nhƣ học sinh trung học phổ thơng Nó khơng xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khối học sinh lớp 9của trƣờng THCS, đề thi vào THPT mà cịn có đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế học sinh trƣờng THPT, đồng thời có đề thi vào trƣờng đại học với phần trăm điểm khơng nhỏ Chính đề tài em lựa chọn cho luận văn : “ Một số chun đề đƣờng thẳng đƣờng trịn hình học phẳng “ Hình học phẳng tốn THPT với chủ yếu toán đƣờng thẳng đƣờng tròn, với đối tƣợng học sinh giỏi, đƣợc bổ sung thêm định lí thƣờng dùng nhƣ Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải toán đƣờng thẳng đƣờng trịn hình học phẳng nhanh dễ dàng hơn, luận văn em nêu nội dung sau : Chƣơng trình bày tốn đƣờng thẳng, đƣờng trịn.Gồm có toán ba điểm thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy; đƣờng thẳng đƣờng tròn, tứ giác nội tiếp Chƣơng nêu trọng tâm luận văn toán vectơ ứng dụng vectơ gồm có phần Vectơ, tâm tỉ cự; tích ngồi hai vectơ ứng dụng; phƣơng tích điểm đƣờng tròn Trục đẳng phƣơng, tâm đẳng phƣơng Luận văn đƣợc hoàn thành với hƣớng dẫn tận tình PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Trƣờng Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vũ Đỗ Long quan tâm, bảo tận tình thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Trƣờng Đại học Khoa Học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, dạy dỗ, trang bị kiến thức bổ ích giúp đỡ em suốt trình theo học Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học tạo điều kiện, giúp đỡ cho em hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Lê Đình Trƣờng Chƣơng I Các tốn đƣờng thẳng , đƣờng trịn 1.1.Bài toán ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy Bài tốn Định lí Mê-nê-la-t Cho tam giác ABC Ba điểm Q, R, P theo thứ tự thuộc đƣờng thẳng BC, CA, AB Chứng minh M, N, P thẳng hàng PA QB RC =1 PB QC RA (1) Chứng minh A Điều kiện cần Giả sử P, Q, R thẳng hàng Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với PQ P ′ cắt AB C (h.1) theo định lí Ta- lét R C′ ta có: PA QB RC PA PB PC′ = =1 PB QC RA PB PC′ PA Vậy P′ Q B Hình C PA QB RC =1 PB QC RA Điều kiện đủ Ngƣợc lại, ta chứng minh thỏa mãn (1) ba điểm P, Q, R thẳng hàng Gọi P′ giao điểm QR AB Vì Q, R, P′ thẳng hàng nên theo chứng minh : P′ A QB RC =1 P′ B QC RA (2) Từ (1) (2) rút PA PB = P′ A P′ B => 𝑃 ≡ P′ Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng Bài tốn Định lí Xê – va Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P lần lƣợt thuộc đƣờng thẳng BC, CA, AB Chứng minh AM, BN, CP đồng quy song song MB NC PA = −1 MC NA PB (1) Chứng minh.(h.2) Điều kiện cần Giả sử AM, BN, CP đồng quy O Vẽ qua A đƣờng thẳng Δ song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ Theo định lí Ta- lét ta có MB MC NC NA Y PA PB AX = AY CB AX A AY BC = CB BC = −1 P P N X A N O B M C C B Hình Hình Giả sử ba đƣờng thẳng AM, BN, CP song song (h.3) Ta có MB NC PA MB BC CM MB BC CM = = = −1 MC NA PB MC BM CB BM CB MC Điều kiện đủ Ngƣợc lại, giả sử ba điểm M, N, P tƣơng ứng đƣờng thẳng BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1) - Nếu hai ba đƣờng thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM BN cắt O Đặt P′ = OC ∩ AB Theo phần thuận ta có MB NC P′ A = −1 MC NA P′ B Từ (1) (2) rút - PA PB = P ′A P ′B (2) => AM, BN, CP đồng quy O Nếu khơng có hai đƣờng ba đƣờng thẳng AM, BN, CP cắt hiển nhiên ba đƣờng thẳng song song với Bài tốn 3.Định lí Đờ - dác.Cho hai tam giác ABC A′ B′ C′ Nếu đƣờng thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy giao điểm AB ∩ A′ B′ , BC ∩ B′ C′ , AC ∩ A′ C′ thẳng hàng, Ngƣợc lại giao điểm chúng thẳng hàng đƣờng thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy Chú ý : Các đƣờng thẳng AA′ , BB′ , CC′ gọi đƣờng thẳng nối đỉnh tƣơng ứng hai tam giác ABC A′ B′ C′ , giao điểm AB ∩ A' B', BC ∩ B′ C′ , AC ∩ A′ C′ gọi giao điểm tƣơng ứng hai tam giác Khi định lí Đờ - dác đƣợc phát biểu nhƣ sau Các đƣờng thẳng nối đỉnh tƣơng ứng hai tam giác đồng quy (hoặc song song) giao điểm cạnh tƣơng ứng thẳng hàng O Chứng minh a) Điều kiện đủ Giả sử đƣờng thẳng C AA′ , BB′ , CC′ đồng quy O.(h.4) AB ∩ A′ B′ = P BC ∩ B′ C′ = Q, AC ∩ A′ C′ = R A Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO ′ ′ ba điểmP, A , B ta có PA B′ B A′ O =1 PB B′ O A′ A R A′ B′ P Q B Hình Vào tam giác BCO ba điểm Q, B′ , C′ ta có QB QC C′C C′O B ′O B ′B = vào tam giác CAO ba điểm R, A′ , C′ ta có RC A′ A C′ O = RA A′ O C′ C Nhân ba đẳng thức ta đƣợc kết sau PA QB PB QC RC RA = từ theo định lí Mê-nê-la-uýt ta suy ba điểm P, Q, R thẳng hàng b) Điều kiền đủ ba điểm P, Q, R thẳng hàng, ba đƣờng thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy Giả sử hai đƣờng thẳng AA′ CC′ cắt O Xét hai tam giác AA′ P CC′ Q ta có đƣờng thẳng nối đỉnh tƣơng ứng AC, A′ C′ , PQ đồng quy R theo phần thuận a) giao điểm cạnh tƣơng ứng phải thẳng hàng, ba giao điểm AA′ ∩ C C′ = O, A′ P ∩ CC′ Q = B′ , AP ∩ CQ = B Vậy đƣờng thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy O C′ Bài tốn Cho hai hình bình hành ABCD AB′ C′ D′ ba điểm A, B, B′ thẳng hàng, ba điểm A, D, D′ thẳng hàng Gọi I giao điểm hai đƣờng thẳng BD′ vàB′ D Chứng minh I, C ′ , C thẳng hàng B M C Bài Giải B′ Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD′ với ba điểm C′ I thẳng hàng B′ , I, D (h.5) ta có B′ A B′ B IB ID ′ DD ′ DA = (∗) Gọi M giao điểm BC D′ C′ theo định lí Ta – lét ta có Vậy từ (*) suy IB ID ′ B′ A B′ B C′ D′ C′ M = CM CB C′ D′ C′ M DD ′ DA = CM CB D′ A D Hình =1 Áp đụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BD′ M ba điểm I, C′ , C ta có ba điểm I, C′ , C thẳng hàng Bài tốn Cho tứ giác ABCD khơng phải hình thang, AB CD cắt E, AD BC cắt F Gọi I , J, K lần lƣợt trung điểm đoạn thẳng AC, BD, EF Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng Bài giải E Gọi M, N, P lần lƣợt trung điểm cạnh M B BE, EC CB tam giác BEC (h.6) N P Khi điểm I , J, K lần lƣợt nằm đƣờng thẳng NP,PM, MN BEC ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có A AB AE DE FC DC FB JM // DE nên IP IN JM JP KN KM = (∗) IN // AE nên DE DC = JM JP AB AE KM // FB nên Hình = FC FB K J I Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác C D IP IN = KN KM Vậy từ (*) suy = 1, áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP ba điểm I,J, K ta suy ba điểm I, J, K thẳng hàng F Bài tốn Cho hình bình hành ABCD với tâm O Trên đƣờng thẳng BD, BC, AC lần lƣợt lấy điểm P, Q, R cho AP // OQ // DR Chứng minh P, Q, R thẳng hàng B Bài giải C C′ Qua C vẽ đƣờng thẳng song song với RD, đƣờng thẳng cắt BD C′ (h.7) Theo định lí Ta – lét ta có RC RO O DC ′ = DO = BP BO CC′ // RD B đối xứng với D qua O , C′ đối xứng với P qua O Ta lại có Suy QB QC = PO QB PB QC A D Hình OB OC OC ′ RO P R OB RC ′ ′ ( OQ // CC ) = − PO PB OB OP Q BP BO OB =− OP = −(−1) = ( P, O, B thẳng hàng ) Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC ba điểm P, Q, R ta đƣợc ba điểm P, Q, R thẳng hàng Bài tốn Đƣờng trịn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lƣợt M, N, P Chứng minh AM, BN, CP đồng quy Bài giải Cách Áp dụng định lí Xê – va (h.8) Ta có PA MB PB MC NC NA = − PA − PB MB MC − NC NA (∗) Do tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn (I) nên PB= MB ; MC = NC ; PA = NA A Từ (*) suy PA MB PB MC − PA PB NC NA − = − PB MC PA PB − − MC PA MB MC − =−1 NC NA N = P B Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC ba điểm M, N, P ta đƣợc AM, BN, CP đồng quy I M Hình C