DSpace at VNU: Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng

DSpace at VNU: Một số chuyên đề về đường thẳng và đường tròn trong hình học phẳng tài liệu, giáo án, bài giảng , luận vă...

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Lê Đình Trƣờng MỘT SỐ CHUN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRỊN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 1/2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Lê Đình Trƣờng MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành : Phương pháp tốn sơ cấp Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Vũ Đỗ Long Hà Nội – 1/2015 LỜI CẢM ƠN Trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Vũ Đỗ Long, người thầy với lòng nhiệt huyếtđã ln bảo tận tình em từ ngày đầu tiên, đồng thờiđưa lời khun bổích giúp em hồn thiện luận văn Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô, tập thể cán ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ – Tin học học viên cao học, không trang bị kiến thức cho em mà ln giúp đỡ, tạođiều kiện thuận lợi trình em học tập trường Cuối cùng, em xin cảmơn tới bạn bè người thân, người ủng hộ động viên em vượt qua khó khăn để em hoàn thành tốt luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng I Các toán đƣờng thẳng , đƣờng tròn 1.1 Bài toán ba đường thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy 1.2 Một số tốn đường thẳng đường tròn, tứ giác nội tiếp Error! Bookmark not defined Chƣơng II Các toán vectơ ứng dụng vectơ Error! Bookmark not defined 2.1 Vectơ, tâm tỉ cự .Error! Bookmark not defined 2.2 Tích ngồi hai vectơ ứng dụng Error! Bookmark not defined 2.3 Phương tích điểm đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng phương .Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo Lời mở đầu Hình học phẳng dạng toán quen thuộc học sinh trung học sở học sinh trung học phổ thông Nó khơng xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh khối học sinh lớp 9của trường THCS, đề thi vào THPT mà có đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế học sinh trường THPT, đồng thời có đề thi vào trường đại học với phần trăm điểm khơng nhỏ Chính đề tài em lựa chọn cho luận văn : “ Một số chuyên đề đường thẳng đường tròn hình học phẳng “ Hình học phẳng tốn THPT với chủ yếu tốn đường thẳng đường tròn, với đối tượng học sinh giỏi, bổ sung thêm định lí thường dùng Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải toán đường thẳng đường tròn hình học phẳng nhanh dễ dàng hơn, luận văn em nêu nội dung sau : Chương trình bày tốn đường thẳng, đường tròn.Gồm có tốn ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy; đường thẳng đường tròn, tứ giác nội tiếp Chương nêu trọng tâm luận văn toán vectơ ứng dụng vectơ gồm có phần Vectơ, tâm tỉ cự; tích ngồi hai vectơ ứng dụng; phương tích điểm đường tròn Trục đẳng phương, tâm đẳng phương Luận văn hồn thành với hướng dẫn tận tình PGS.TS.Vũ Đỗ Long – Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Vũ Đỗ Long quan tâm, bảo tận tình thầy Em xin chân thành cảm ơn thầy cô Trường Đại học Khoa Học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, dạy dỗ, trang bị kiến thức bổ ích giúp đỡ em suốt trình theo học Em xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán- Cơ- Tin học tạo điều kiện, giúp đỡ cho em hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 01 năm 2015 Tác giả Lê Đình Trường Chƣơng I Các tốn đƣờng thẳng , đƣờng tròn 1.1.Bài tốn ba đƣờng thẳng hàng, ba đƣờng thẳng đồng quy Bài tốn Định lí Mê-nê-la-t Cho tam giác ABC Ba điểm Q, R, P theo thứ tự thuộc đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh M, N, P thẳng hàng PA QB RC =1 PB QC RA (1) Chứng minh Điều kiện cần Giả sử P, Q, R thẳng hàng Qua C vẽ đường thẳng song song với PQ cắt AB C′ (h.1) theo định lí Ta- lét ta có: PA QB RC PA PB PC′ = =1 PB QC RA PB PC′ PA Vậy PA QB RC =1 PB QC RA Điều kiện đủ Ngược lại, ta chứng minh thỏa mãn (1) ba điểm P, Q, R thẳng hàng Gọi P′ giao điểm QR AB Vì Q, R, P′ thẳng hàng nên theo chứng minh : P′ A QB RC =1 P′ B QC RA (2) Từ (1) (2) rút PA PB = P′ A P′ B => 𝑃 ≡ P′ Vậy ba điểm P , Q, R thẳng hàng Bài toán Định lí Xê – va Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P thuộc đường thẳng BC, CA, AB Chứng minh AM, BN, CP đồng quy song song MB NC PA = −1 MC NA PB (1) Chứng minh.(h.2) Điều kiện cần Giả sử AM, BN, CP đồng quy O Vẽ qua A đường thẳng Δ song song với BC, đặt X= BN ∩ Δ, Y = CP ∩Δ Theo định lí Ta- lét ta có MB MC NC NA PA PB = AX AY CB AX AY BC = CB BC = −1 Giả sử ba đường thẳng AM, BN, CP song song (h.3) Ta có MB NC PA MB BC CM MB BC CM = = = −1 MC NA PB MC BM CB BM CB MC Điều kiện đủ Ngược lại, giả sử ba điểm M, N, P tương ứng đường thẳng BC, CA, AB thỏa mãn hệ thức (1) - Nếu hai ba đường thẳng AM, BN, CP cắt nhau, chẳng hạn AM BN cắt O Đặt P′ = OC ∩ AB Theo phần thuận ta có MB NC P′ A = −1 MC NA P′ B Từ (1) (2) rút - PA PB = P ′A P ′B (2) => AM, BN, CP đồng quy O Nếu khơng có hai đường ba đường thẳng AM, BN, CP cắt hiển nhiên ba đường thẳng song song với Bài tốn 3.Định lí Đờ - dác.Cho hai tam giác ABC A′ B′ C′ Nếu đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy giao điểm AB ∩ A′ B′ , BC ∩ B′ C′ , AC ∩ A′ C′ thẳng hàng, Ngược lại giao điểm chúng thẳng hàng đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy Chú ý : Các đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ gọi đường thẳng nối đỉnh tương ứng hai tam giác ABC A′ B′ C′ , giao điểm AB ∩ A' B', BC ∩ B′ C′ , AC ∩ A′ C′ gọi giao điểm tương ứng hai tam giác Khi định lí Đờ - dác phát biểu sau Các đường thẳng nối đỉnh tương ứng hai tam giác đồng quy (hoặc song song) giao điểm cạnh tương ứng thẳng hàng Chứng minh a) Điều kiện đủ Giả sử đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy O.(h.4) AB ∩ A′ B′ = P BC ∩ B′ C′ = Q, AC ∩ A′ C′ = R Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABO ba điểmP, A′ , B′ ta có PA B′ B A′ O =1 PB B′ O A′ A Vào tam giác BCO ba điểm Q, B′ , C ′ ta có QB QC C′C C′O B ′O B ′B = vào tam giác CAO ba điểm R, A′ , C′ ta có RC A′ A C′ O = RA A′ O C′ C Nhân ba đẳng thức ta kết sau PA QB PB QC RC RA = từ theo định lí Mê-nê-la-t ta suy ba điểm P, Q, R thẳng hàng b) Điều kiền đủ ba điểm P, Q, R thẳng hàng, ba đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy Giả sử hai đường thẳng AA′ CC′ cắt O Xét hai tam giác AA′ P CC′ Q ta có đường thẳng nối đỉnh tương ứng AC, A′ C′ , PQ đồng quy R theo phần thuận a) giao điểm cạnh tương ứng phải thẳng hàng, ba giao điểm AA′ ∩ C C′ = O, A′ P ∩ CC′ Q = B′ , AP ∩ CQ = B Vậy đường thẳng AA′ , BB′ , CC′ đồng quy O Bài tốn Cho hai hình bình hành ABCD AB′ C′ D′ ba điểm A, B, B′ thẳng hàng, ba điểm A, D, D′ thẳng hàng Gọi I giao điểm hai đường thẳng BD′ vàB′ D Chứng minh I, C′ , C thẳng hàng Bài Giải Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác ABD′ với ba điểm thẳng hàng B′ , I, D (h.5) ta có B′ A B′ B IB ID ′ DD ′ DA = (∗) Gọi M giao điểm BC D′ C′ theo định lí Ta – lét ta có Vậy từ (*) suy IB ID ′ B′ A B′ B C′ D′ C′ M = CM CB C′ D′ C′ M DD ′ DA = CM CB =1 Áp đụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BD′ M ba điểm I, C′ , C ta có ba điểm I, C′ , C thẳng hàng Bài tốn Cho tứ giác ABCD khơng phải hình thang, AB CD cắt E, AD BC cắt F Gọi I , J, K trung điểm đoạn thẳng AC, BD, EF Chứng minh rẳng I , J, K thẳng hàng Bài giải Gọi M, N, P trung điểm cạnh BE, EC CB tam giác BEC (h.6) Khi điểm I , J, K nằm đường thẳng NP,PM, MN Áp dụng đinh lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác BEC ba điểm thẳng hàng A, D, F ta có AB AE DE FC DC FB JM // DE nên IP IN JM JP KN KM = (∗) IN // AE nên DE DC = JM JP AB AE KM // FB nên = FC FB IP IN = KN KM Vậy từ (*) suy = 1, áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác MNP ba điểm I,J, K ta suy ba điểm I, J, K thẳng hàng Bài tốn Cho hình bình hành ABCD với tâm O Trên đường thẳng BD, BC, AC lấy điểm P, Q, R cho AP // OQ // DR Chứng minh P, Q, R thẳng hàng Bài giải Qua C vẽ đường thẳng song song với RD, đường thẳng cắt BD C′ (h.7) Theo định lí Ta – lét ta có RC RO DC ′ = DO = BP BO CC′ // RD B đối xứng với D qua O , C′ đối xứng với P qua O Ta lại có Suy QB QC = PO QB PB QC OB OB OC OC ′ RC RO ′ ′ ( OQ // CC ) = − PO PB OB OP BP BO OB =− OP = −(−1) = ( P, O, B thẳng hàng ) Áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt vào tam giác OBC ba điểm P, Q, R ta ba điểm P, Q, R thẳng hàng Bài toán Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB M, N, P Chứng minh AM, BN, CP đồng quy Bài giải Cách Áp dụng định lí Xê – va (h.8) Ta có PA MB PB MC NC NA = − PA − PB MB MC − NC NA (∗) Do tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I) nên PB= MB ; MC = NC ; PA = NA Từ (*) suy PA MB PB MC − PA PB NC NA − = − PB MC PA PB − − MC PA MB MC − NC NA = =−1 Theo định lí Xê- va cho tam giác ABC ba điểm M, N, P ta AM, BN, CP đồng quy Tài liệu tham khảo (1) Vũ Hữu Bình, Văn Như Cương, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Trương Công Thành, Tài liệu chuyên toán trung học sở toán hình học tập hai , Nhà xuất giáo dục Việt Nam (2) Vũ Hữu Bình, Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Bá Đang, Lê Quốc Hán, Hồ Quang Vinh, Tài liệu chun tốn trung học sở tốn hình học tập hai, Nhà xuất giáo dục Việt Nam (3) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Vũ Khuê, Bùi Văn Nghị, Hình học 10 nâng cao, nhà xuất giáo dục Việt Nam (4) Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình, Tài liệu chun Tốn Hình Học 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (5) Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình, Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình Học 10, Nhà xuất giáo dục Việt Nam (6) IMO Shortlost, 1959−2009 (7) Nguyễn Bá Đang, 279 Bài Tốn Hình Học phẳng Olympic nước, Nhà xuất giáo dục Việt Nam (8) Các đề thi Olympic toán quốc tế, 1959-2013 (9) Website www.artofproblemsolving.com (10) Website diendantoanhoc.net ... tế học sinh trường THPT, đồng thời có đề thi vào trường đại học với phần trăm điểm khơng nhỏ Chính đề tài em lựa chọn cho luận văn : “ Một số chuyên đề đường thẳng đường tròn hình học phẳng “ Hình. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Lê Đình Trƣờng MỘT SỐ CHUN ĐỀ VỀ ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRỊN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số. .. học phẳng toán THPT với chủ yếu tốn đường thẳng đường tròn, với đối tượng học sinh giỏi, bổ sung thêm định lí thường dùng Mê-nê-la-uýt , Xê- va ,…Để giải tốn đường thẳng đường tròn hình học phẳng