Chuyên Đề Chứng Minh Tứ Giác Nội Tiếp, Tiếp Tuyến, Đường Thẳng Song Song, Góc Bằng Nhau, Đẳng Thức Hình Học, Ba Điểm Thẳng Hàng ( Ba Đường Thẳng Đồng Quy )

Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ - DẠNG CHỨNG MINH : TỨ GIÁC NỘI TIẾP, TIẾP TUYẾN, ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, GĨC BẰNG NHAU, ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC, BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ( BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY ) I - LÝ THUYẾT - BÀI TẬP MINH HỌA Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn : Cách Sử dụng định nghĩa đường trịn Ví dụ : ( Đường trịn Euler ) Cho tam giác ABC Kẻ đường cao AM, BN, CP ; H trực tâm tam giác Gọi D, E, F thứ tự trung điểm cạnh BC, AC, AB ; G, I, K thứ tự trung điểm AH, BH, CH Chứng minh : điểm M, N, P, D, E, F, G, I, K nằm đường tròn Cách Sử dụng định lí đảo Tứ giác nội tiếp đường trịn Hệ 1: Nếu tứ giác có góc góc kề bù với góc đối tứ giác nội tiếp đường tròn Hệ : Nếu MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn Ví dụ : Cho đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia BA lấy điểm C (C không trùng với B) Kẻ tiếp tuyến CD với đường tròn (O) (D tiếp điểm), tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt đường thẳng CD E Gọi H giao điểm AD OE, K giao điểm BE với đường trịn (O) (K khơng trùng với B) Chứng minh điểm B, O, H, K thuộc đường tròn Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn Cách : Sử dụng Quỹ tích cung chứa góc Nếu nhiều điểm nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng chứa AB, nhìn AB góc điểm thuộc đường trịn nhận AB làm dây Hệ : Nếu hai đoạn thẳng AB CD cắt I thỏa mãn IA.IB = IC.ID bốn điểm A,B,C,D thuộc đường trịn Ví dụ : Cho (O) MA, MB tiếp tuyến, MCD cát tuyến ( MC < MD ) Gọi I trung điểm CD, K giao điểm AB MD Chứng minh điểm M, A, I, B thuộc đường trịn Từ suy : KC.KD = KM.KI Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Các cách chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Cách : Sử dụng định nghĩa tiếp tuyến đường trịn ( đường thẳng đường trịn có điểm chung ) Cách : Theo VTTĐ đường thẳng đường tròn ( khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bán kính đường trịn ) Cách : Nếu đường thẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Cách : Sử dụng định lí đảo góc tạo tia tiếp tuyến dây AmB Bx tiếp tuyến (O) Nếu ·ABx = ¼ Ví dụ Cho điểm A cố định nằm ngồi đường trịn (O; R) cố định Từ điểm A kẻ đường thẳng d không qua O, cắt đường tròn (O) B, C (B nằm A C) Các tiếp tuyến đường tròn (O) B, C cắt D Kẻ DH vuông góc với AO H; DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn (O) + OI.OD = OC2 = OM2 (1) + PO/(AHID) = OH.OA = OI.OD (2) + Từ (1) (2) => OM2 = OH.OA => AM tiếp tuyến (O) Chứng minh đường thẳng song song, góc a Chứng minh đường thẳng song song - Quan hệ từ vng góc đến song song Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn - Góc vị trí SLT, SLN, ĐV, phía bù - Cạnh đối tứ giác : hình thang, HBH, HCN, HT, HV - Định lí thứ đường trung bình tam giác, hình thang - Định lí Ta let đảo b Chứng minh góc - Cộng góc - Góc SLT, SLN, ĐV - Góc có cạnh tương ứng song song - Sử dụng tam giác nhau, đồng dạng - Quan hệ góc đường trịn : Góc tâm, góc nội tiếp, góc tạo tia tiếp tuyến dây Ví dụ : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, đường cao BE CF Tiếp tuyến B C cắt S, BC OS cắt M AM cắt EF N, AS cắt BC P CMR : NP // MS + ∆AEB#∆BMS ⇒ AB AE AE = = BS BM EM · + ·ABx = ·ACB = MEC AM AE = (1) AS AB AN AE = (2) + ∆AEN #∆ABP ( g − g ) ⇒ AP AB => ∆AEM #∆ABS (c − g − c) ⇒ Từ (1) (2) suy NP//MS ( định lí Ta let đảo ) Chứng minh đẳng thức hình học - Các phép biến đổi tương đương - Định lí Pitago - Định lí Ta let hệ - Cạnh , đường chéo tứ giác đặc biệt - Tam giác nhau, đồng dạng - Định lí thứ , thứ hai đường trung bình tam giác, hình thang - Tính chất trọng tâm tam giác Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn - Trong đường tròn, hai cung căng hai dây nhau; hai dây song song chắn hai cung - Quan hệ góc đường trịn - Phương tích điểm đường trịn Ví dụ Tõ mét ®iĨm D n»m đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến DA DB đến đờng tròn (A B tiếp điểm) Tia Dx nằm hai tia DA DO; Dx cắt đờng tròn hai điểm C E (E nằm C D), đoạn thẳng OD cắt đoạn thẳng AB M MB DE Chøng minh r»ng:  ÷= MC   DC · ¼ 1800 − EOC 3600 − s® EAC · · · · + BMC = 900 + OMC = 900 + CEO = 900 + = = EAC => ∆AEC#∆MBC ( g − g ) ⇒ AE MB = (1) AC MC DA DE AE DE  AE  = = ⇒ (2) + ∆DAE#∆DCA ( g − g ) ⇒ ÷ = DC DA AC DC  AC  Từ (1) (2) suy đpcm Ví dụ Cho đường trịn (O;R) đường kính BC Gọi A điểm thỏa mãn tam giác ABC » nhọn AB, AC cắt đường tròn điểm thứ hai tương ứng E D Trên cung BC không chứa D lấy F(F ≠ B, C) AF cắt BC M, cắt đường tròn (O;R) N(N ≠ F) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE P(P ≠ A) a) Chứng minh AN.AF = AP.AM b) Gọi I, H thứ tự hình chiếu vng góc F đường thẳng BD, BC Các đường thẳng IH CD cắt K Chứng minh : DC BD BC + = FK FI FH Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn A N D E P I B O H M C K F a) ·APE = ·ADE (2 góc nội tiếp chắn cung AE) ·ABM = ·ADE (Cùng bù với góc EDC) Suy ra: ·ABM = ·APE nên tam giác APE đồng dạng với tam giác ABM AE AM = ⇒ AE AB = AM AP (1) Nên AP AB Tương tự chứng minh tam giác ANE đồng dạng với tam giác ABF AE AF = ⇒ AE AB = AN AF (2) AN AB Từ (1) (2) suy ra: AN.AF = AP.AM b) Xét I nằm B, D ( Nếu I nằm ngồi B,D vai trị K với DC I với BD) · · · Tứ giác BIHF, BDCF nội tiếp nên FHK ( FBD ), suy tứ giác = FCK · CKFH nội tiếp nên FKC = 900 DK BH = FK FH CK BI = Tương tự tam giác CFK đồng dạng tam giác BFI nên: FK FI DC BH BI = − Suy ra: FK FH FI DC BD BH BD BI BH ID + = + − = + FK FI FH FI FI FH FI ID HC DC BD BH HC BC = + = + = Mà suy ra: FI FH FK FI FH FH FH Lý luận tam giác DFK đồng dạng tam giác BFH nên: Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn Chứng minh thẳng hàng ( đồng quy ) Một mệnh đề toán học khẳng định điểm thẳng hàng ln có mệnh đề tương đương khẳng định đường thẳng đồng quy Cách chứng minh điểm thẳng hàng ( đường thẳng đồng quy ): - điểm tạo thành góc bẹt - Tiên đề Euclid - Bổ đề hình thang - Ba đường cao, đường phân giác ( - ), ba đường trung tuyến, ba đường trung trực tam giác - Tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt · · - xAB = xAC - Góc vị trí đối đỉnh - Nếu hai đường tròn tiếp xúc đường nối tâm qua tiếp điểm Ví dụ ( Đường thẳng Simson ) Cho ba điểm A, B, C đường tròn Chứng minh chân đường vng góc hạ từ M đường tròn xuống đường thẳng AB, BC, CA nằm đường thẳng ( Đường thẳng Simson điểm M ) · · · · · · + FCM => D, E, F thẳng hàng = MBD ⇒ FMC = BMD ⇒ BED = FEC Ví dụ Cho tam giác ABC khơng có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R) (B, C cố định, A di động cung lớn BC) Các tiếp tuyến B C cắt M Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng cắt (O) D E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC F, cắt AC I Đường thẳng OI cắt (O) P Q (P thuộc cung nhỏ AB) Đường thẳng QF cắt (O) T (T khác Q) Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn · · · Có MIC = MOC (= BAC ) => B, O, I, C, M thuộc đường trịn đường kính OM => PF/(BOICM) = FI.FM = FC.FB (1) Lại có PF/(O) = FC.FB = FQ.FT (2) · => FI.FM = FQ.FT => điểm M, T, I, Q thuộc đường tròn => QTM = 900 => M, T, P thẳng hàng II - BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài Cho tam giác MNP vuông M Từ N dựng đoạn thẳng NQ phía ngồi tam · · giác MNP cho NQ = NP MNP gọi I trung điểm PQ, MI cắt NP = PNQ E · · 1) Chứng minh PMI = QNI 2) Chứng minh tam giác MNE cân 3) Chứng minh: MN PQ = NP ME Bài Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD Hai đường chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đường thẳng CF cắt đường tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh: a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE.DN = EN.BD Bài Cho tam giác ABC cân A, nội tiếp đường tròn (O) Kẻ đường kính AD Gọi M trung điểm AC, I trung điểm OD 1) Chứng minh OM // DC 2) Chứng minh tam giác ICM cân 3) BM cắt AD N Chứng minh IC2 = IA.IN Bài Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C ( AB < AC ) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D,E ( AD < AE) Đường vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F 1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn 2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM ⊥ AC 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2 Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Trên đường trịn (O) lấy điểm C ( CA > CB) Các tiếp tuyến đường tròn (O) A, C cắt điểm D Kẻ CH vng góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC E 1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp · · 2) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB F Chứng minh : BCF + CFB = 900 3) BD cắt CH M Chứng minh EM // AB Bài Cho tam giác ABC có µA > 900 Vẽ đường trịn (O) đường kính AB đường trịn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai D, đường thẳng AC cắt đường tròn ( O) điểm thứ hai E 1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đường tròn 2) Gọi F giao điểm hai đường tròn (O) (O’) ( F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng FA phân giác góc EFD 3) Gọi H giao điểm AB EF Chứng minh BH.AD = AH BD Bài Cho đường tròn ( O;R) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AO lấy điểm M ( khác O A) Tia CM cắt đường tròn ( O; R) điểm thứ hai N Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O;R) N Tiếp tuyến cắt đường thẳng vng góc với AB M P 1) Chứng minh OMNP tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CN// OP 3) Khi AM = AO Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN theo R Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Vẽ đường cao BE, CF tam giác Gọi H giao điểm BE CF Kẻ đường kính BK (O) a) Chứng minh tứ giác BCFE tứ giác nội tiếp b) Chứng minh tứ giác AHCK hình bình hành c) Đường trịn đường kính AC cắt BE M, đường trịn đường kính AB cắt CF N Chứng minh AM = AN Bài Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB, nửa đường tròn lấy điểm C (C khác A B).Trên cung BC lấy điểm D (D khác B C) Vẽ đường thẳng d vng góc với AB B Các đường thẳng AC AD cắt d lần lượt E F 1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn 2) Gọi I trung điểm BF.Chứng minh ID tiếp tuyến nửa đường tròn cho · 3) Đường thẳng CD cắt d K, tia phân giác CKE cắt AE AF lần lượt M N Chứng minh tam giác AMN tam giác cân Gia Sư Tài Năng Việt giasudaykem.com.vn Bài 10 Cho tam giác ABC vng A, kẻ AH vng góc với BC H Trên cạnh BC lấy điểm M (M khác B, C H) Kẻ ME vng góc với AB E; MF vng góc với AC F 1) Chứng minh điểm A, E, F, H nằm đường tròn 2) Chứng minh BE.CF = ME.MF BE HB · = 3) Giả sử MAC = 450 Chứng minh CF HC Bài 11 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có BC = 2R AB < AC Đường thẳng xy tiếp tuyến đường tròn (O;R) A Tiếp tuyến B C đường tròn (O;R) lần lượt cắt đường thẳng xy D E Gọi F trung điểm đoạn thẳng DE a) Chứng minh tứ giác ADBO tứ giác nội tiếp b) Gọi M giao điểm thứ hai FC với đường tròn (O;R) Chứng minh · CED = ·AMB c) Tính tích MC.BF theo R Bài 12 Cho tam giác ABC nhọn (AB