Thuật toán trong hình học không gian để chứng minh quan hệ vuông góc, giải các bài toán về góc – khoảng cách – thể tích

Ta đều biết việc tính thể tích khối đa diện hay các bài toán tính khoảngcách từ một điểm đến mặt phẳng – hai mặt phẳng song song – hai đường thẳngchéo nhau, tính góc đều dẫn đến bài toán

Phần 1 ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Hình học không gian luôn là một phần toán rất khó đối với việc dạy và học.Học sinh khi tiếp cận học vấn đề này luôn thấy trìu tượng, khó tưởng tượng đượchướng giải và các bước giải Đặc biệt khi gặp các bài toán tính thể tích, tính khoảngcách, tính góc luôn là là phần toán học sinh khó hình dung và nhận ra được cácbước giải Ta đều biết việc tính thể tích khối đa diện hay các bài toán tính khoảngcách từ một điểm đến mặt phẳng – hai mặt phẳng song song – hai đường thẳngchéo nhau, tính góc đều dẫn đến bài toán tìm hình chiếu của một điểm lên một mặtphẳng Việc hướng dẫn cho học sinh nắm được hướng tư duy và cách tiếp cận bàitoán này một cách bài bản theo trình tự các bước là rất khó khăn Bởi vậy, tôi đưa

ra thuật toán trong các dạng toán này để giải các dạng toán trong hình học khônggian đều dựa vào nội dung cơ bản của phần toán chứng minh đường thẳng vuônggóc với mặt phẳng

Trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi đại học cao đẳng luôn có câu hìnhhọc không gian tính thể tích, góc, khoảng cách Mà để giải được các dạng toán nàyđều phải dùng đến quan hệ vuông góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

II PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nội dung này tôi đã và đang giảng dạy cho các học sinh lớp 11, lớp 12, ônthi đại học cao đẳng tại trường THPT Tĩnh Gia 1

Bên cạnh đó, nội dung SKKN này cũng là chuyên đề thảo luận mà tôi đãtrình bày trong sinh hoạt chuyên môn của tổ toán và được đánh giá có tính ứngdụng trong việc giảng dạy toán hình học không gian trong trường THPT

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Với cách dạy cho học sinh thực hiện từng bước dựng chiều cao của hìnhchóp, hình lăng trụ, các bài toán khoảng cách, góc, chứng minh quan hệ vuông góc

tìm ra những vấn đề cần phải tìm đó là cách dạy thuật toán trong các định nghĩahay định lí Khi đó tôi nhận ra học sinh hình thành được kỹ năng tự đọc tài liệu vàchủ động tiếp cận bài toán hình thành các bước suy luận và giải.

Với cách dạy thông qua thuật toán trong hình học thành các bước có trình tự,giáo viên dễ dàng giúp học sinh dễ nhận ra dạng toán và giáo viên dễ soạn giáo án

Đây chính là lý do để tôi viết SKKN về để tài “Thuật toán trong hình học không gian để chứng minh quan hệ vuông góc, giải các bài toán về góc – khoảng cách – thể tích”

IV ĐIỂM MỚI TRONG NGHIÊN CỨU

Nắm được hướng tiếp cận cho dạng toán này, tôi đã tìm tòi, giảng dạy theohướng thuật toán được thực hiện trong các định lý, các bài toán dựng góc, khoảngcách theo các bước thành trình tự của một thuật toán

Với hướng tiếp cận này học sinh có được các bước giải cho từng dạng toán

Phần 2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

A CƠ SỞ LÝ LUẬN

Việc tìm hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng thực chất là vấn đề chứngminh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh được đường thẳngvuông góc với mặt phẳng có nhiều cách giải quyết được vấn đề nay Khi chứngminh được đường thẳng thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta dựng được góc –khoảng cách – tìm được chiều cao của hình chóp hay hình lăng trụ để tính thể tíchkhối đa diện Trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đưa ra ba cách sau chứngminh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

Cách thứ nhất là cách cơ bản nhất chứng minh đường thẳng vuông góc vớimặt phẳng trong sách giáo khoa lớp 11 Đó là “Nếu đường thẳng d vuông góc vớihai đường thẳng a và b cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d

vuông góc với (P)” (Định lý 1 trang 97 sách hình học nâng cao 11).

Cách thứ hai là là một các cách rất hiệu quả khi dựa vào một định lý cơ bản

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1 Trang 2

của sách giáo khoa lớp 11 Đó là “Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc vớinhau và bất cứ đường thẳng a nào nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với giao

tuyến của (P) và (Q) thì vuông góc với mặt phẳng (Q)” (Định lý 3 trang 106 sách hình học nâng cao 11).

Cách thứ ba là “Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba” (Hệ quả 2 trang 107 sách hình học nâng cao 11).

Từ ba cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này là cơ sở

để tôi đưa ra thuật toán các dạng toán cơ bản trong giải toán hình học không gian

B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Thực tế khi dạy và học đối với hình học không gian, ta luôn phải giải quyếtcác vấn đề chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳngvuông góc, giáo viên luôn muốn có một định hướng cụ thể các bước giải cho họcsinh để học sinh suy nghĩ được hướng chứng minh Ta biết học sinh luôn lúc túngkhông tìm ra được trình tự suy luận và hướng giải bài toán

Trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, đại học cao đẳng nhiều năm trở lại đâyđều có bài toán tính thể tích khối chóp, khoảng cách, góc Muốn tính được thể tíchkhối chóp, ta phải tìm được chiều cao Việc tìm được hình chiếu của đỉnh lên mặtphẳng đáy luôn làm cho học sinh lúng túng khi dựng hình và cũng làm cho giáoviên khó định hướng cho học sinh suy luận tại sao lại phải làm như vậy Đó là mộtcâu hỏi khó cho học sinh Việc dựng được góc hay khoảng cách đều dẫn đến chỉ rađường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đó cũng gần giống như đi tìm hình chiếucủa một điểm lên một mặt phẳng Câu trả lời cho việc giải bài toán này và làm chohọc sinh chủ động tiếp thu, hứng phấn khi học tập rất đơn giản, ta chỉ cho học sinhnhững thuật toán giống như các bước giải trong một công thức đại số cho từngdạng toán cụ thể

Chương 1: CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC

I CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều cách, ta sẽ thấyhiệu quả khi vận dụng các cách thể hiện qua các thuật toán sau:

Phương pháp 1: Nếu a P , a  , b P , b  , a b O thì   P (1).Phương pháp 2: Nếu    P  Q ,    P  Q , a P , a   thì a Q (2) Phương pháp 3: Nếu    P  R ,    Q  R ,    P  Q  thì   R (3)

Bài 1: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông tại B và hai mặt phẳng

SAB và  ABC vuông góc với nhau Chứng minh rằng:  BC SAB

Phân tích bài toán: Khi hướng dẫn học sinh tư duy và phân tích bài toán, ta chỉ cho học sinh thấy được SAB  ABC nên theo thuật toán (2), ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAB và  ABC

là đường thẳng AB Mà BCABC

và BC AB nên ta được điều chứng minh

Bài giải: Ta có SAB  ABC và SAB  ABC AB

Mà BC ABC và BCAB nên BCSAB

Bài 2: Cho hình chóp S ABC có tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC , tam giác ABC không cân tại đỉnh C Gọi H là

trung điểm AB và K là hình chiếu của điểm B lên

đường thẳng HC Chứng minh đường thẳng

BK vuông góc với mặt phẳng SHC 

Phân tích bài toán: Dựa vào thuật toán (2)

và hướng suy luận giống như bài toán 1,

K

CB

SAB  ABC AB nên nhận ra được SH ABC Khi đó có nhiều cách chứng minh BK SHC nhưng theo thuật toán (2), học sinh nhận ra được

SHC  ABC và SK HC , HC là giao tuyến của hai mặt phẳng SHC và

ABC Vậy chứng minh xong bài toán.

Bài giải: Do SAB  ABC, SAB  ABC AB, tam giác SAB cân tại S và H

là trung điểm của AB để SH AB nên SH  ABC Mà SH SHC

SHC  ABC

  Vì SHCABC HC và BK HC nên BK SHC

Bài 3: Cho hình chóp S ABC D có đáy ABCD là thoi ABCD và SAB  ABCD,

SAD  ABCD Chứng minh rằng: BDSAC

Phân tích bài toán: Điều đầu tiên khi giải bài toán của hình chóp, học sinh thường phải tìm đường thẳng đi qua

đỉnh của hình chóp là điểm S vuông

góc với mặt phẳng đáy Dựa vào thuật

toán (3) của phương pháp 3 ta nhận ra

được SAABCD Khi đó ta nhận ra

được SA B D Mà ABCD là hình thoi

nên ACBD Căn cứ vào thuật

toán (1) học sinh dễ dàng có được B D SAC.

Bài giải: Do SAB  ABCD, SAD  ABCD và SAD  SAB SA nên

SA ABC Mà B D ABCD nên SA B D Vì ABCD là hình thoi nên

D

ACB Ta có SASAC , ACSAC nên B D SAC

II HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

S

A

D

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau có nhiều cách xong, tôi nêu

ra cách cơ bản sau: Nếu a P và a Q thì    P  Q (4)

Việc vận dụng thuật toán (2) vào chứng minh hai mặt phẳng vuông góc vớinhau khá hiệu quả khi giải bài toán 2 và thể hiện rõ hơn nữa qua bài toán 4 sau

B i 4ài 4 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a , SA a

và SAABCD Gọi H là trung điểm của SB Chứng minh SBC  AHC

Phân tích bài toán: Dựa vào hai thuật toán (2) và (4), định hướng cho học sinh thấy được rằng muốn dùng được thuật toán (2) cần phải chỉ ra hai mặt phẳng vuông góc với nhau nên dùng thuật toán (4) để suy luận và chứng minh Khi có được hai mặt phẳng vuông góc với nhau Dùng thuật toán (2) để chỉ ra đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Khi đó

dùng thuật toán (4), ta chứng minh được

hai mặt phẳng vuông góc với nhau Qua đó,

học sinh đã định hướng được tư duy trong

đầu của mình là chứng minh được

SAB  ABCD Mà BC AB nên

BC  SAB Khi đó chỉ ra SAB  SBC Vì dễ dàng chỉ ra AH SB nên

AH  SBC Lúc này theo thuật toán (4) ta được điều chứng minh.

Bài giải: Do SAABCD và SASAB nên SAB  ABCD Mà

SAB  ABCD AB Do ABCD là hình chữ nhật nên ABBC Vậy

D

I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng đoạn MH với H

là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P) Kí hiệu: d M P ,   MH .

Dựa định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chính là tính

độ dài đoạn thẳng MH Việc tìm ra độ dài đoạn thẳng này chính là đi tìm hình chiếucủa điểm M trên mặt phẳng (P) Công việc đó thực tế là tìm điểm M trên (P) saocho MH  P Trong thực tế, học sinh lúc túng khi tìm điểm H và giáo viên cũngkhó định hướng được cho học sinh thực hiện các bước tư duy để tìm được điểm H.Việc vận dụng thuật toán (2) sẽ dễ dàng giải quyết được vấn đề này Ta đã thấyđược thuật toán (2) phải dựa vào thuật toán (4) Nên tôi đưa ra một cách tìm đượchình chiếu này như sau: Khi đề chưa cho rõ hình chiếu của điểm M lên (P)

Bước 1: Tìm ra mặt phẳng (Q) sao cho M  Q và    Q  P

Bước 2: Tìm giao tuyến  của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bước 3: Dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với  sao cho hai đường thẳng này cắt nhau tại H Khi đó MH  P và d M P ,   MH .

Bài 5: Cho hình chóp S ABC có SA a 3, SAABC, tam giác ABC vuông tại

B và AB a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)

Phân tích bài toán: Cần chỉ ra rằng cần tính

được khoảng cách từ điểm A đến (SBC) thực

chất là tìm cho được mặt phẳng đi qua điểm

với SB khi H SB Nên AH SBC Vậy d A SBC ,   AH Tính độ dài đoạn AH ta giải xong bài toán.

Bài giải: Do SAABC và SASAB nên SAB  ABC Mà

SAB  ABC AB và AB BC nên BC SAB Do BC SBC nên

SBC  SAB Kẻ AH SB với H SB Do SAB  SBC SB nên

Bước 1: Tìm trong (P) một đường thẳng a sao cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b đi qua điểm M.

Bước 2: Từ điểm M tìm một đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a Khi đó

 

b Q , c Q và a Q nên    Q  P .

Bước 3: Tìm giao tuyến  của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bước 4: Dựng đường thẳng đi qua M và vuông góc với  sao cho hai đường thẳng này cắt nhau tại H Khi đó MH  P và d M P ,   MH .

Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳngvuông góc với ABCD , tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a Gọi H là trung điểm

của AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD)

Phân tích bài toán: Dựa vào công thức (2)

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1 Trang 8

học sinh nhận ra được SH  ABCD

Theo thuật toán tính khoảng cách từ một

điểm tới một mặt phẳng, ta cần tìm một đường

thẳng nằm trong (SCD) vuông góc với đường

thẳng đi qua điểm H Dễ dàng nhận ra cặp đường thẳng đó là CD và SH Khi đó dựng đường thẳng đi qua H và vuông góc, cắt CD Đó là đường thẳng HE với E

là trung điểm của CD Nên CDSHE Dẫn đến SHESCD SE Kẻ

HK SE với K SE nên HK SCD Nên d H SCD ,   HK Khi tính được KH là xong bài toán.

Bài giải: Do tam giác SAB đều và H là trung điểm của AB nên SH AB Mà

SAB  ABCD Nên SH ABCD  SH CD Do ABCD là hình vuông nêngọi E là trung điểm của CD nên HECD Vậy CDSHE Mà CDSCD

nên SCD  SHE Mà SCD  SHE SE Kẻ HK SE với K SE nên

II KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b lần lượt cắt các đường thẳng a, b tại M và N Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng đoạn thẳng MN

Kí hiệu: d a b ,  MN.

Hai trong các phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau a và b thường dùng một trong hai cách là:

- Cách 1: Tìm mặt phẳng (P) sao cho b P và a// P Khi đó:

2

AD a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD

Phân tích bài toán: Khi gặp dữ kiện SAB  ABCD, ta thường hướng dẫn học

sinh nghĩ đến thuật toán (2) và tìm ra được đường thẳng vuông góc với AB là đường SH (với H là trung điểm của AB) tức là SH ABCD Thứ hai, khi đường thẳng SA và BD nằm trong

mặt phẳng đáy nên ta thường hướng

dẫn học sinh sử dụng cách 1 là dựng

mặt phẳng chứa đường thẳng nằm

trong mặt phẳng đáy và song song

với đường thẳng không nằm trong

mặt phẳng đáy Dựng được đường

thẳng đó rồi và dựa vào cách 1 học sinh nhận ra được khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1 Trang 10

M K

SAE bởi vì phải chuyển về tính khoảng cách từ điểm H ta đã có cặp đường

thẳng AE và SH đã vuông góc với nhau Dựa vào thuật toán tính khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng học sinh biết dựng HM vuông góc với AE với

E

M A để chỉ ra A E SHM và SAE  SHM Khi đó học sinh biết dựng

HK SM với K SM để SK SAE Tính xong SK là giải xong bài toán.

Bài giải: Do SAB  ABCD, SAB  ABCD AB, tam giác SAB đều Gọi H

là trung điểm đoạn AB nên SH AB Khi đó SH ABCD Dựng hình bìnhhành AEBD Nên BD//AE BD// SAE  Khi đó d B D,SA d B D, SAE  

 , E 

d B SA

 Mà H là trung điểm đoạn AB nên d B SA , E  2d H, SAE   

Kẻ HM vuông góc với AE với M AE Do HSABCD  SH AE Khi đó

E SHM

A  Mà A E SAE nên SAE  SMH Do SAE  SHM SM Dựng SK SM với K SM nên HK SAE Vậy d H SA , E  HK

Do tam giác SAB đều cạnh a nên 3

BE AB



55

Phân tích bài toán: Dựa vào cách chứng minh thứ 3 của đường thẳng vuông góc

với mặt phẳng nhờ giả thiết SAB  ABCD, SAC  ABCD nên ta có

SA ABC Do cả hai đường thẳng SB và CM đều không nằm trong mặt phẳng đáy (ABCD) nên nhờ dựa vào thuật toán tính khoảng cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,

tôi hướng dẫn và giải thích cho học

sinh sử dụng phương pháp dựng cặp

mặt phẳng song song với nhau lần lượt

chứa từng đường thẳng Chính vì vậy,

dựng hình bình hành ABEC ta chứng

minh được  ACM // SBE với  SBSBEvà CM CMA Khi đó học sinh theo thuật toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng giúp học sinh chỉ ra được

d SB,CM d ACM , SBE d A SBE ,   Với cách chọn điểm A thể hiện trong thuật toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là do

SABE Nên học sinh kẻ AN BE với N BE nên SBE  SAN Kẻ

AK SN với K SN nên AK SBE Tính AK là giải xong bài toán.

Bài giải: Ta có SAB  ABCD, SAC  ABCD  SAABCD Dựng hìnhbình hành ABEC Khi đó AC BE// nên AC//SBE Vì ABCD là hình vuông nên

điểm C là trung điểm đoạn ED Mà M là trung điểm đoạn SD nên MC SE// nên

BE SAN  SBE  SAN Do SBESAN SN Kẻ AK SN với

TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 1 Trang 12