Thuật toán trong hình học không gian để chứng minh quan hệ vuông góc, giải các bài toán về góc – khoảng cách – thể tích

THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Phần ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Hình học không gian phần toán khó việc dạy học Học sinh tiếp cận học vấn đề thấy trìu tượng, khó tưởng tượng hướng giải bước giải Đặc biệt gặp toán tính thể tích, tính khoảng cách, tính góc là phần toán học sinh khó hình dung nhận bước giải Ta biết việc tính thể tích khối đa diện hay toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – hai mặt phẳng song song – hai đường thẳng chéo nhau, tính góc dẫn đến toán tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng Việc hướng dẫn cho học sinh nắm hướng tư cách tiếp cận toán cách theo trình tự bước khó khăn Bởi vậy, đưa thuật toán dạng toán để giải dạng toán hình học không gian dựa vào nội dung phần toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Trong kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi đại học cao đẳng có câu hình học không gian tính thể tích, góc, khoảng cách Mà để giải dạng toán phải dùng đến quan hệ vuông góc đường thẳng với mặt phẳng II PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Nội dung giảng dạy cho học sinh lớp 11, lớp 12, ôn thi đại học cao đẳng trường THPT Tĩnh Gia Bên cạnh đó, nội dung SKKN chuyên đề thảo luận mà trình bày sinh hoạt chuyên môn tổ toán đánh giá có tính ứng dụng việc giảng dạy toán hình học không gian trường THPT III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Với cách dạy cho học sinh thực bước dựng chiều cao hình chóp, hình lăng trụ, toán khoảng cách, góc, chứng minh quan hệ vuông góc làm cho học sinh định hướng cho cách suy nghĩ hướng tiếp cận toán để TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH tìm vấn đề cần phải tìm cách dạy thuật toán định nghĩa hay định lí Khi nhận học sinh hình thành kỹ tự đọc tài liệu chủ động tiếp cận toán hình thành bước suy luận giải Với cách dạy thông qua thuật toán hình học thành bước có trình tự, giáo viên dễ dàng giúp học sinh dễ nhận dạng toán giáo viên dễ soạn giáo án Đây lý để viết SKKN để tài “Thuật toán hình học không gian để chứng minh quan hệ vuông góc, giải toán góc – khoảng cách – thể tích” IV ĐIỂM MỚI TRONG NGHIÊN CỨU Nắm hướng tiếp cận cho dạng toán này, tìm tòi, giảng dạy theo hướng thuật toán thực định lý, toán dựng góc, khoảng cách theo bước thành trình tự thuật toán Với hướng tiếp cận học sinh có bước giải cho dạng toán Phần GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A CƠ SỞ LÝ LUẬN Việc tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng thực chất vấn đề chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều cách giải vấn đề Khi chứng minh đường thẳng thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta dựng góc – khoảng cách – tìm chiều cao hình chóp hay hình lăng trụ để tính thể tích khối đa diện Trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, đưa ba cách sau chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Cách thứ cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sách giáo khoa lớp 11 Đó “Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vuông góc với (P)” (Định lý trang 97 sách hình học nâng cao 11) Cách thứ hai là cách hiệu dựa vào định lý TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH sách giáo khoa lớp 11 Đó “Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q)” (Định lý trang 106 sách hình học nâng cao 11) Cách thứ ba “Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba” (Hệ trang 107 sách hình học nâng cao 11) Từ ba cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sở để đưa thuật toán dạng toán giải toán hình học không gian B THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Thực tế dạy học hình học không gian, ta phải giải vấn đề chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, giáo viên muốn có định hướng cụ thể bước giải cho học sinh để học sinh suy nghĩ hướng chứng minh Ta biết học sinh lúc túng không tìm trình tự suy luận hướng giải toán Trong kì thi học sinh giỏi tỉnh, đại học cao đẳng nhiều năm trở lại có toán tính thể tích khối chóp, khoảng cách, góc Muốn tính thể tích khối chóp, ta phải tìm chiều cao Việc tìm hình chiếu đỉnh lên mặt phẳng đáy làm cho học sinh lúng túng dựng hình làm cho giáo viên khó định hướng cho học sinh suy luận lại phải làm Đó câu hỏi khó cho học sinh Việc dựng góc hay khoảng cách dẫn đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đó gần giống tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng Câu trả lời cho việc giải toán làm cho học sinh chủ động tiếp thu, hứng phấn học tập đơn giản, ta cho học sinh thuật toán giống bước giải công thức đại số cho dạng toán cụ thể C CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Chương 1: CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC I CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có nhiều cách, ta thấy hiệu vận dụng cách thể qua thuật toán sau: Phương pháp 1: Nếu a ⊂ ( P ) , a ⊥ ∆ , b ⊂ ( P ) , b ⊥ ∆ , a ∩ b = O ∆ ⊥ ( P ) (1) Phương pháp 2: Nếu ( P ) ⊥ ( Q ) , ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ , a ⊂ ( P ) , a ⊥ ∆ a ⊥ ( Q ) (2) Phương pháp 3: Nếu ( P ) ⊥ ( R ) , ( Q ) ⊥ ( R ) , ( P ) ∩ ( Q ) = ∆ ∆ ⊥ ( R ) (3) Bài 1: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vuông B hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) vuông góc với Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAB ) Phân tích toán: Khi hướng dẫn học sinh tư phân tích toán, ta cho học sinh thấy ( SAB ) ⊥ ( ABC ) nên theo thuật toán (2), ta cần tìm giao S SAB ABC ( ) ( ) tuyến hai mặt phẳng A đường thẳng AB Mà BC ⊂ ( ABC ) BC ⊥ AB nên ta điều chứng minh Bài giải: Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB B C Mà BC ⊂ ( ABC ) BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB ) Bài 2: Cho hình chóp S ABC có tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC không cân đỉnh C Gọi H S trung điểm AB K hình chiếu điểm B lên đường thẳng HC Chứng minh đường thẳng BK vuông góc với mặt phẳng ( SHC ) Phân tích toán: Dựa vào thuật toán (2) hướng suy luận giống toán 1, B H A học sinh dễ dàng nhận SH ⊥ AB TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA K C Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB nên nhận SH ⊥ ( ABC ) Khi có nhiều cách chứng minh BK ⊥ ( SHC ) theo thuật toán (2), học sinh nhận ( SHC ) ⊥ ( ABC ) SK ⊥ HC , HC giao tuyến hai mặt phẳng ( SHC ) ( ABC ) Vậy chứng minh xong toán Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB , tam giác SAB cân S H trung điểm AB để SH ⊥ AB nên SH ⊥ ( ABC ) Mà SH ⊂ ( SHC ) ⇒ ( SHC ) ⊥ ( ABC ) Vì ( SHC ) ∩ ( ABC ) = HC BK ⊥ HC nên BK ⊥ ( SHC ) Bài 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD thoi ABCD ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) Chứng minh rằng: ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , BD ⊥ ( SAC ) Phân tích toán: Điều giải toán hình chóp, học sinh S thường phải tìm đường thẳng qua đỉnh hình chóp điểm S vuông góc với mặt phẳng đáy Dựa vào thuật toán (3) phương pháp ta nhận SA ⊥ ( ABCD ) Khi ta nhận A D SA ⊥ BD Mà ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Căn vào thuật B toán (1) học sinh dễ dàng có BD ⊥ ( SAC ) C Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ( SAD ) ∩ ( SAB ) = SA nên SA ⊥ ( ABCD ) Mà BD ⊂ ( ABCD ) nên SA ⊥ BD Vì ABCD hình thoi nên AC ⊥ BD Ta có SA ⊂ ( SAC ) , AC ⊂ ( SAC ) nên BD ⊥ ( SAC ) II HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với có nhiều cách xong, nêu cách sau: Nếu a ⊂ ( P ) a ⊥ ( Q ) ( P ) ⊥ ( Q ) (4) Việc vận dụng thuật toán (2) vào chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với hiệu giải toán thể rõ qua toán sau Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , SA = a SA ⊥ ( ABCD ) Gọi H trung điểm SB Chứng minh ( SBC ) ⊥ ( AHC ) Phân tích toán: Dựa vào hai thuật toán (2) (4), định hướng cho học sinh thấy muốn dùng thuật toán (2) cần phải hai mặt phẳng vuông góc với nên dùng thuật toán (4) để suy luận chứng minh Khi có hai mặt phẳng vuông góc với Dùng thuật toán (2) để đường S thẳng vuông góc với mặt phẳng Khi dùng thuật toán (4), ta chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với Qua đó, H học sinh định hướng tư A D đầu chứng minh ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Mà BC ⊥ AB nên B C BC ⊥ ( SAB ) Khi ( SAB ) ⊥ ( SBC ) Vì dễ dàng AH ⊥ SB nên AH ⊥ ( SBC ) Lúc theo thuật toán (4) ta điều chứng minh Bài giải: Do SA ⊥ ( ABCD ) ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB SA ⊂ ( SAB ) nên ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Mà Do ABCD hình chữ nhật nên AB ⊥ BC Vậy BC ⊥ ( SAB ) Do BC ⊂ ( SBC ) nên ( SBC ) ⊥ ( SAB ) Vì SA = AB = a H trung điểm SB nên AH ⊥ SB Do AH ⊂ ( SAB ) nên AH ⊥ ( SBC ) Mà AH ⊂ ( AHC ) nên ( AHC ) ⊥ ( SBC ) Chương 2: KHOẢNG CÁCH TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH I KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) đoạn MH với H hình chiếu điểm M lên mặt phẳng (P) Kí hiệu: d ( M , ( P ) ) = MH Dựa định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tính độ dài đoạn thẳng MH Việc tìm độ dài đoạn thẳng tìm hình chiếu điểm M mặt phẳng (P) Công việc thực tế tìm điểm M (P) cho MH ⊥ ( P ) Trong thực tế, học sinh lúc túng tìm điểm H giáo viên khó định hướng cho học sinh thực bước tư để tìm điểm H Việc vận dụng thuật toán (2) dễ dàng giải vấn đề Ta thấy thuật toán (2) phải dựa vào thuật toán (4) Nên đưa cách tìm hình chiếu sau: Khi đề chưa cho rõ hình chiếu điểm M lên (P) Bước 1: Tìm mặt phẳng (Q) cho M ∈ ( Q ) ( Q ) ⊥ ( P ) Bước 2: Tìm giao tuyến ∆ hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 3: Dựng đường thẳng qua M vuông góc với ∆ cho hai đường thẳng cắt H Khi MH ⊥ ( P ) d ( M , ( P ) ) = MH Bài 5: Cho hình chóp S ABC có SA = a , SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông B AB = a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Phân tích toán: Cần cần tính S khoảng cách từ điểm A đến (SBC) thực H chất tìm cho mặt phẳng qua điểm A vuông góc với mặt phẳng (SBC) Vận dụng thuật toán tính khoảng cách từ C A điểm đến mặt phẳng ta dựng B khoảng cách Chính hướng tiếp cận theo thuật toán này, học sinh chủ động tìm ( SBC ) ⊥ ( SAB ) BC ⊥ ( SAB ) Dựng đường thẳng AH vuông góc TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH với SB H ∈ SB Nên AH ⊥ ( SBC ) Vậy d ( A, ( SBC ) ) = AH Tính độ dài đoạn AH ta giải xong toán Bài giải: Do SA ⊥ ( ABC ) SA ⊂ ( SAB ) nên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Mà ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB ( SBC ) ⊥ ( SAB ) AB ⊥ BC nên BC ⊥ ( SAB ) Do BC ⊂ ( SBC ) nên Kẻ AH ⊥ SB với H ∈ SB Do AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = AH Do ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB SA ⊥ ( ABC ) nên SA ⊥ AB nên nên 1 1 = 2+ = + = Vậy d ( A, ( SBC ) ) = 3a 2 AH SA AB 3a a 3a Thực tế tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta sử dụng tính chất phép chiếu để tìm mối liên hệ hình chiếu điểm lên mặt phẳng đáy thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng thực chất sử dụng thuật toán (2) Việc thực bước tìm mặt phẳng (Q) qua điểm M vuông góc với (P) thực cụ thể bước Bước 1: Tìm (P) đường thẳng a cho đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b qua điểm M Bước 2: Từ điểm M tìm đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a Khi b ⊂ ( Q ) , c ⊂ ( Q ) a ⊥ ( Q ) nên ( Q ) ⊥ ( P ) Bước 3: Tìm giao tuyến ∆ hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 4: Dựng đường thẳng qua M vuông góc với ∆ cho hai đường thẳng cắt H Khi MH ⊥ ( P ) d ( M , ( P ) ) = MH Bài 6: Cho hình chóp S ABCD có tam giác SAB S nằm mặt phẳng vuông góc với ( ABCD ) , tứ giác ABCD hình vuông cạnh a Gọi H trung điểm K AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) Phân tích toán: Dựa vào công thức (2) TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA B A H D TrangE C THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH học sinh nhận SH ⊥ ( ABCD ) Theo thuật toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, ta cần tìm đường thẳng nằm (SCD) vuông góc với đường thẳng qua điểm H Dễ dàng nhận cặp đường thẳng CD SH Khi dựng đường thẳng qua H vuông góc, cắt CD Đó đường thẳng HE với E trung điểm CD Nên CD ⊥ ( SHE ) Dẫn đến ( SHE ) ∩ ( SCD ) = SE Kẻ HK ⊥ SE với K ∈ SE nên HK ⊥ ( SCD ) Nên d ( H , ( SCD ) ) = HK Khi tính KH xong toán Bài giải: Do tam giác SAB H trung điểm AB nên SH ⊥ AB Mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Nên SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ CD Do ABCD hình vuông nên gọi E trung điểm CD nên HE ⊥ CD Vậy CD ⊥ ( SHE ) Mà CD ⊂ ( SCD ) nên ( SCD ) ⊥ ( SHE ) Mà ( SCD ) ∩ ( SHE ) = SE Kẻ HK ⊥ SE với K ∈ SE nên HK ⊥ ( SCD ) Khi d ( H , ( SCD ) ) = HK Vì AB = a nên SH = 3a Do ABCD hình vuông nên HE = a Vì SH ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ HE Khi 1 Nên 21a Vậy 21a = + = HK = d ( H , ( SCD ) ) = 2 2 HK SH HE 3a 7 II KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo a b Đường vuông góc chung hai đường thẳng a b cắt đường thẳng a, b M N Khoảng cách hai đường thẳng a b đoạn thẳng MN Kí hiệu: d ( a, b ) = MN TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Hai phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b thường dùng hai cách là: - Cách 1: Tìm mặt phẳng (P) cho b ⊂ ( P ) a // ( P ) Khi đó: d ( a, b ) = d ( a, ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) với M ∈ a - Cách 2: Tìm cặp mặt phẳng (P) (Q) cho a ⊂ ( P ) , b ⊂ ( Q ) cho ( P ) // ( Q ) Khi đó: d ( a, b ) = d ( ( Q ) , ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) với M ∈ ( P ) Theo cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thực tế tính koangr cách từ điểm tới mặt phẳng Lúc thuật toán (1), (2) (3) sử dụng thông qua thuật toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tứ giác ABCD hình chữ nhật với AD = 2a Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BD Phân tích toán: Khi gặp kiện ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ta thường hướng dẫn học sinh nghĩ đến thuật toán (2) tìm đường thẳng vuông góc với AB đường SH (với H trung điểm AB) tức SH ⊥ ( ABCD ) Thứ hai, S đường thẳng SA BD nằm mặt phẳng đáy nên ta thường hướng dẫn học sinh sử dụng cách dựng K mặt phẳng chứa đường thẳng nằm mặt phẳng đáy Dựng đường D M mặt phẳng đáy song song với đường thẳng không nằm A H E B C thẳng dựa vào cách học sinh nhận khoảng cách hai đường thẳng SA BD hai lần khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 10 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH ( SAE ) phải chuyển tính khoảng cách từ điểm H ta có cặp đường thẳng AE SH vuông góc với Dựa vào thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng học sinh biết dựng HM vuông góc với AE với M ∈ AE để AE ⊥ ( SHM ) ( SAE ) ⊥ ( SHM ) Khi học sinh biết dựng HK ⊥ SM với K ∈ SM để SK ⊥ ( SAE ) Tính xong SK giải xong toán Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB , tam giác SAB Gọi H trung điểm đoạn AB nên SH ⊥ AB Khi SH ⊥ ( ABCD ) Dựng hình bình hành AEBD Nên BD//AE ⇒ BD// ( SAE ) Khi d ( BD,SA ) = d ( BD, ( SAE ) ) = d ( B, ( SAE ) ) Mà H trung điểm đoạn AB nên d ( B, ( SAE ) ) = 2d ( H, ( SAE ) ) Kẻ HM vuông góc với AE với M ∈ AE Do HS ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AE Khi AE ⊥ ( SHM ) Mà AE ⊂ ( SAE ) nên ( SAE ) ⊥ ( SMH ) Do ( SAE ) ∩ ( SHM ) = SM Dựng SK ⊥ SM với K ∈ SM nên HK ⊥ ( SAE ) Vậy d ( H , ( SAE ) ) = HK Do tam giác SAB cạnh a nên SH = a Ta có ∆MAH : ∆BAE (g.g) nên HM AH ⇒ MH = AH BE 5a Vì SH ⊥ ABCD ( ) ⇒ SH ⊥ HM nên = = 2 BE AE BE + AB 1 19 Vậy 57a = + = a d ( SA, BD ) = 2 2 ⇒ HK = HK SH HM 3a 19 19 Bài 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M trung điểm · cạnh SD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB CM biết SBA = 600 Phân tích toán: Dựa vào cách chứng minh thứ đường thẳng vuông góc TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 11 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH với mặt phẳng nhờ giả thiết ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) nên ta có SA ⊥ ( ABCD ) Do hai đường thẳng SB CM không nằm mặt phẳng đáy (ABCD) nên nhờ dựa vào thuật toán tính khoảng cách tính khoảng S cách từ điểm đến mặt phẳng, K hướng dẫn giải thích cho học M sinh sử dụng phương pháp dựng cặp mặt phẳng song song với chứa đường thẳng Chính vậy, dựng hình bình hành ABEC ta chứng A N D O C B E minh ( ACM ) // ( SBE ) với SB ⊂ ( SBE ) CM ⊂ ( CMA ) Khi học sinh theo thuật toán tính khoảng cách hai đường thẳng chéo thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng giúp học sinh d ( SB,CM ) = d ( ( ACM ) , ( SBE ) ) = d ( A, ( SBE ) ) Với cách chọn điểm A thể thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng SA ⊥ BE Nên học sinh kẻ AN ⊥ BE với N ∈ BE nên ( SBE ) ⊥ ( SAN ) Kẻ AK ⊥ SN với K ∈ SN nên AK ⊥ ( SBE ) Tính AK giải xong toán Bài giải: Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD ) Dựng hình bình hành ABEC Khi AC // BE nên AC // ( SBE ) Vì ABCD hình vuông nên điểm C trung điểm đoạn ED Mà M trung điểm đoạn SD nên MC // SE nên MC // ( SBE ) Khi ( SBE ) // ( MAC ) Nên d ( SB, MC ) = d ( ( MAC ) , ( SBE ) ) = d ( A, ( SBE ) ) Do SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BE Kẻ AN ⊥ BE với N ∈ BE Nên BE ⊥ ( SAN ) ⇒ ( SBE ) ⊥ ( SAN ) Do ( SBE ) ∩ ( SAN ) = SN TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Kẻ AK ⊥ SN với Trang 12 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH K ∈ SN nên AK ⊥ ( SBE ) Vậy d ( A, ( SBE ) ) = AK Gọi O tâm hình vuông ABCD nên BO ⊥ AO Mà AN ⊥ BE , AO // BE nên tứ giác ANBO hình chữ a nhật nên NA = BO = BD = Vì SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ AN SA ⊥ AB nên 2 SA = a 1 21a = + = 2 2 Nên d ( SB, CM ) = AK = AK SA AN 3a Chương 3: GÓC I GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG Định nghĩa: Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) Gọi đường thẳng a′ hình chiếu đường thẳng a lên (P) Góc đường thẳng a (P) góc hai đường thẳng a a′ Kí hiệu: ( a, a′ ) = ( a, ( P ) ) Thực tế xác định góc đường thẳng a với mặt phẳng (P) ta dựng góc đường thẳng a cắt (P) a ⊥ ( P ) Bởi xây dựng thuật toán xác định góc đường thẳng với mặt phẳng Bước 1: Tìm giao điểm A đường thẳng a với (P) Bước 2: Chọn điểm B đường a cho A ≡ B H ∈ ( P ) cho BH ⊥ ( P ) Nên AH hình chiếu đường thẳng a (P) · = ( a, ( P ) ) Bước 3: BAH Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ·ABC = 600 , đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tinh côsin góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng (SAC) biết SA = a S Phân tích toán: Dựa vào thuật toán dựng góc đường thẳng với mặt phẳng Đầu tiên tìm SB ∩ ( SAC ) = S Căn vào thuật toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) , BD ⊥ AC A TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA B D O Trang 13 C THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Khi học sinh nhận điểm O giao điểm AC BD mà BO ⊥ ( SAC ) Góc cần tìm · SO Tính cos B · SO xong toán góc B Bài giải: Ta có SB ∩ ( SAC ) = S Do SA ⊥ ( ABCD ) nên ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) Mà ( SAC ) ∩ ( ABCD ) = AC Do ABCD hình thoi có tâm O nên BO ⊥ AC Khi BO ⊥ ( SAC ) Vậy · SO = ( SB, ( SAC ) ) Vì · B ABC = 600 nên tam giác ABC Vì O trung điểm AC nên BO = a 3a AO = Vì SA ⊥ ( ABCD ) nên SA ⊥ AC Khi 2 SO = SA2 + AO = 5a Vì BO ⊥ ( SAC ) nên BO ⊥ SO SO 10 5a 3a · = = + = 2a Vậy cos BSO ⇒ SB = SO + BO = SB 4 2 Do cos ( SB, ( SAC ) ) = 10 II GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG Trong toán xác định góc hai mặt phẳng, ta phải dựng tính tường hợp hai mặt phẳng cắt Bởi xây dựng thuật toán xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Bước 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) đường thẳng ∆ Bước 2: Tìm mặt phẳng (R) cho ( R ) ⊥ ∆ Bước 3: Ta có ( R ) ∩ ( P ) = a , ( R ) ∩ ( Q ) = b Nên ( a, b ) = ( ( P ) , ( Q ) ) TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 14 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Bước 4: Tìm a ∩ b = O , A ∈ a , B ∈ b cho A, B không trùng với O Ta chứng minh ·AOB không tù Vậy ·AOB = ( a, b ) = ( ( P ) , ( Q ) ) Bài 10: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Tam giác SAB ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Tính góc tạo hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Phân tích toán: Dựa vào thuật toán dựng góc hai mặt phẳng Đầu tiên tìm ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC Căn vào thuật toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng mặt phẳngvuông S góc với BC Theo thuật toán (2)với giả thiết ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , học sinh dễ dàng nhận A BC ⊥ AB BC ⊥ ( SAB ) Khi học sinh chứng minh · SBA = 600 = ( ( SBC ) , ( ABC ) ) B Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABC ) , ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB C Mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ ( SAB ) Do tam giác SAB ( SAB ) ∩ ( SBC ) = SB , · ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB Nên ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SB, AB ) = SBA = 600 Chương 4: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Thuật toán tính thể tích khối chóp V = h.S chiều cao h khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt phẳng đáy S diện tích đáy Theo thuật toán tính thể tích khối chóp điều khó tìm chiều cao hình chóp Bởi ta lại gặp lại thuật toán tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Chính nhờ thuật toán mà ta định hướng tư cho học sinh chủ động tiếp thu kiến thức tính thể tích khối chóp Bài 11: Cho hình chóp S ABCD , đáy hình chữ nhật có AB = a BC = 2a , mặt TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 15 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH phẳng (SAB) vuông góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD côsin góc hai đường thẳng SA BD S giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học 2011 – 2012) (Đề thi học sinh S K K H H B N A E A C B E N D C D M Phân tích toán: Dựa vào thuật toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng biết ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) học sinh tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) đường SH với H nằm đường thẳng AB Nhờ thuật toán dựng góc hai mặt phẳng, học sinh dễ dàng góc · · mặt phẳng (SBC) đáy SBH , mặt phẳng (SCD) đáy SEH Học sinh nắm vững thuật toán xác định khoảng cách hai đường thẳng chéo nhờ cách cách dựng mặt phẳng chứa SA song song với BD Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng có mối quan hệ với khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng Từ thuật toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta dựng khoảng cách đoạn HK Từ tính chiều cao hình chóp đoạn SH Khi tính thể tích góc TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 16 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH Bài giải: Do ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Kẻ SH ⊥ AB với H ∈ AB Nên SH ⊥ ( ABCD ) Do BC ⊥ AB Nên BC ⊥ ( SAB ) Vậy ( SB, AB ) = ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) · Vì SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AB nên SBH = ( SB, AB ) Kẻ HE ⊥ CD Tương tự · CD ⊥ ( SHE ) SEH = ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) Vì ( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) · · nên SBH Khi HB = HE = SEH = AD = 2a Khi vị trí điểm H có hai trường hợp Trường hợp 1: Điểm B nằm A H Dựng hình bình hành ABDM Nên BD//AM ⇒ BD// ( SAM ) Nên d ( SA, BD ) = d ( B, ( SAM ) ) Vì BH = 2a AB = a 1 nên BA = AH hay d ( B, ( SAM ) ) = d ( H , ( SAE ) ) Vậy d ( H, ( SAM ) ) = 6a 3 Kẻ HN ⊥ AM với N ∈ AM Do SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AM Nên AM ⊥ ( SHN ) ⇒ ( SAM ) ⊥ ( SHN ) Kẻ HK ⊥ SN với K ∈ SN Nên HK ⊥ ( SAM ) Vậy d ( H , ( SAM ) ) = HK = 6a Do ABDM hình bình hành nên S BAM = S ABCD 3.a.2a 6a 1 = = d ( B, AM ) AM = HN AM Nên HN = a + ( 2a ) Mà SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ HN nên = 1 1 1 = + ⇔ = − 2 2 HK SH HN SH HK HN 1 − = SH = 6a Do VS ABCD = SH S ABCD = 4a 2 Vậy 6a 36a 36a Vì SH ⊥ HE nên SE = SH + HE = 36a + 4a = 40a Mà ME ⊥ ( SHE ) TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 17 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH ⇒ ME ⊥ HE nên SM = SE + EM = 40a + 9a = 49a Do DB // AM nên 2 2 2 SA + AM − SM SE + AM − SM · ( SA, BD ) = ( SA, AM ) Mà cos SAM = = 2.SA AM 2.SE AM 40a + 5a − 49a 2 = =− Vậy cos ( SA, BD ) = 10 10 40a 5a Trường hợp 2: Khi A nằm B H Khi A trung điểm BH Dựng tương tự HN ⊥ AE với N ∈ AE AE//BD ta d ( SA, BD ) = d ( B, ( SAE ) ) = d ( H , ( SAE ) ) = HK Do ( SNH ) ⊥ ( SAE ) HK ⊥ SN Vì HA ⊥ HE nên 1 Mà nên = + = + = SH ⊥ HN HN HA2 HE 4a HK HN SH ⇔ 1 1 Nên 4a Vậy V = − = SH = 2a = SH S = S ABCD ABCD SH HK HN 4a 3 · E = ( SA, AE ) = ( SA, BD ) Xét ∆SAE Vì BD//AE Nên SA SE = 2SH = 2a Nên cos ( SA, BD ) = AE = SA = a SA2 + AE − SE = 2.SA AE Bài 12: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông A, ·ABC = 300 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) (Đề thi đại học khối A A1 năm 2013) Phân tích toán: Căn vào thuật toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) ⊥ ( ABC ) S tam giác ABC nên H trung điểm BC học sinh rađược SH ⊥ ( ABC ) Từ tính K thể tích khối chóp S ABC Do thuật toán tính khoảng cách từ C H B Trang 18 TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA E A THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH điểm có SH ⊥ ( ABC ) nên học sinh nhận d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H, ( SAB ) ) dễ dựng khoảng cách kẻ HE ⊥ AB HK ⊥ SE với E ∈ AB , K ∈ SE để d ( H , ( SAB ) ) = HK Bài giải: Do ( SBC ) ⊥ ( ABC ) kẻ SH ⊥ BC với H ∈ BC nên SH ⊥ ( ABC ) Mà tam giác SBC nên H trung điểm BC SH = 3a Vì BC = a ·ABC = 300 , AB ⊥ AC nên AB = BC cos300 = a , AC = BC sin 300 = a 2 S ABC 3a a3 Nên VS ABC = SH S ABC = Vì H trung điểm = AB AC = 16 BC nên d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( H, ( SAB ) ) Kẻ HE ⊥ AB với E ∈ AB Vì SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ AB nên AB ⊥ ( SHE ) ⇒ ( SHE ) ⊥ ( SAB ) Kẻ HK ⊥ SE với K ∈ SE nên HK ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HK Vì AB ⊥ AC H trung điểm BC nên E trung điểm AB Khi EH = nên 1 16 52 = + = + = HK SH HE 3a a 3a d ( C , ( SAB ) ) = a Mà SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ HE Vậy HK = 156a 52 Do 156a 26 Phần 3: KẾT LUẬN TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 19 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH I KIỂM NGHIỆM Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường trung học phổ thông Tĩnh Gia qua toán hình học không gian vấn để chứng minh quan hệ vuông góc, toán góc – khoảng cách – thể tích thường gặp lớp 11, lớp 12 thi học sinh giỏi hay thi đại học cao đẳng Đề tài kiểm nghiệm năm học 2012 – 2013, 2013 – 2014 dạy cho đối tượng em học sinh lớp 11 12, nhận thấy đa số em học sinh hứng thú học tập, nâng cao khả tư trình bày cho em học sinh Kết qua kiểm tra thử sau: Năm Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Số Số Số học số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 2012 – 12A2 40 23% 20 50% 11 27% 11A7 45 13% 22 49% 17 38% 2013 2013 – 12A3 45 16 36% 23 51% 13% 11A6 44 10 23% 26 59% 18% 2014 Như vậy, ta thấy tiến em học sinh qua năm dạy học Lớp Tổng qua kết khảo sát Khảo sát kết em học sinh thi đại học, có 30 em học sinh lớp 12A2 khóa học 2011 – 2012 giải hình học không gian chiếm 75% II KẾT LUẬN Phương pháp dạy học hình học không gian đem lại hiệu tương đối tốt dạy ôn tập cho học sinh Theo dạy học ôn tập cho học sinh, giáo viên ta dễ dàng soạn dạy cho đối tượng học sinh học sinh có sở trình tự tư để phân tích để trình bày toán Việc ghi nhớ lý thuyết định lí hay định nghĩa đơn giản hơn, dễ nhớ thông qua thuật toán để hình thành bước tức có trình tự suy luận TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 20 THUẬT TOÁN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ĐỂ CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC, GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH cho học sinh Điều làm cho học sinh tạo đồ tư duy, trình tự nhận thức tiếp cận với dạng toán việc trả học lớp làm ôn thi hay thi đại học Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi chân thành cảm ơn III KIẾN NGHỊ VÀ ĐỀ SUẤT Đề nghị Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa triển khai học SKKN xếp giải A, B cấp tỉnh trường học tỉnh để giáo viên tăng thêm tài liệu học tập để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệm vụ Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều nửa tài liệu sách tham khảo cho phòng thư viện để giáo viên học sinh nghiên cứu học tập Nhà trường cần tổ chức buổi trao đổi phương pháp giảng dạy tài liệu chuyên đề bồi dưỡng cho giáo viên để làm sở nghiên cứu phát triển chuyên đề XÁC NHẬN CỦA Tĩnh Gia, ngày 25 tháng 05 năm 2014 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT TRẦN ĐĂNG HẢI TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 21 ... lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 2 012 – 12 A2 40 23% 20 50% 11 27% 11 A7 45 13 % 22 49% 17 38% 2 013 2 013 – 12 A3 45 16 36% 23 51% 13 % 11 A6 44 10 23% 26 59% 18 % 2 014 Như vậy, ta thấy tiến em học sinh... EH = nên 1 16 52 = + = + = HK SH HE 3a a 3a d ( C , ( SAB ) ) = a Mà SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ HE Vậy HK = 15 6a 52 Do 15 6a 26 Phần 3: KẾT LUẬN TRẦN ĐĂNG HẢI – TRƯỜNG THPT TĨNH GIA Trang 19 THUẬT... (P), vuông góc với giao tuyến (P) (Q) vuông góc với mặt phẳng (Q)” (Định lý trang 10 6 sách hình học nâng cao 11 ) Cách thứ ba “Nếu hai mặt phẳng cắt vuông góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng