SKKN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO BẾN TRE - - BẢN MÔ TẢ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH KHƠNG GIAN CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN I Tên sáng kiến: Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải tốn khoảng cách hình khơng gian (Nguyễn Văn Q – Trường THPT Chun Bến Tre ) II Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giảng dạy mơn Tốn III Mơ tả chất sáng kiến: Tình trạng giải pháp biết: Trong kỳ thi THPT Quốc gia năm học 2017-2018 mơn tốn thi hình thức TNKQ , vấn đề nầy làm cho GV học sinh khơng lo lắng Về phía GV phải suy nghĩ dạy để em làm chủ kiến thức, kĩ đáp ứng tốt với hình thức thi TNKQ Trong đề thi tham khảo mơn tốn năm 2018 BGD, thấy 30 câu đầu thuộc dạng nhận biết, thông hiểu, 20 câu cuối thuộc dạng câu hỏi vận dụng cao địi hỏi học sinh phải suy luận Trong câu hỏi hình khơng gian mà câu hỏi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, tính khoảng cách đường thẳng chéo làm cho học sinh sợ tự tin giải vấn đề nầy Trong phần hình học khơng gian, tốn khoảng cách chiếm vị trí quan trọng Tuy nhiên thực tế lại có nhiều học sinh sợ học phần Vì tác giả chọn chuyên đề " Khoảng cách không gian " , nhằm giúp em học sinh có cách nhìn rõ ràng phương pháp giải tốn tính khoảng cách Chun đề nêu lên ba phương pháp tính khoảng cách khơng gian, phương pháp tương ứng với phần chuyên đề: Phần I Công thức chuyển đổi khoảng cách Phần II Phương pháp sử dụng thể tích Phần III Phương pháp gắn hệ trục tọa độ Hiện có nhiều tài liệu sách tham khảo viết vấn đề nầy, nhiên tài liệu đa phần thiên giải tập mà phân tích phương pháp hữu hiệu giải vấn đề Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến: Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, cách thông thường trọng đến " công thức chuyển đổi khoảng cách " , công cụ hữu hiệu dùng để tính khoảng cách Đó nội dung phần I Nội dung phần nầy để tính d(A,(P)) ta chuyển tính d(B,(P)) việc tính d(B,(P)) thành cơng tốn giải Vấn đề nầy đề cập số tài liệu, nhiên điểm GV hướng dẫn HS biết viết dãy suy luận ngược có dạng: d(A,(P)) ? < d(B,(P)) ? < d(C,(P)) ? Để tính khoảng cách khơng gian, cịn sử dụng phương pháp thể tích Ta biết tứ diện coi hình chóp tam giác với đỉnh đỉnh tứ diện Như dùng thể tích ta có cách để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phằng dễ dàng Ngoài phần 2, tơi cịn giới thiệu cơng thức để tính khoảng cách đường thẳng chéo nhau, cơng thức nầy giúp học sinh giải nhanh chóng câu hỏi trắc nghiệm tính khoảng cách đường thẳng chéo Bài toán nầy quy việc tính thể tích tứ diện độ dài cạnh tứ diện Nội dung công thức sau: Kết quả: Cho tứ diện ABCD, ta có cơng thức: Cơng thức nầy suy từ công thức: VABCD = AB.CD.d sin α Chú ý: Sau tính V độ dài cạnh tứ diện, ta dùng máy tính CASIO để tìm kết cách nhanh chóng Cần ý độ dài cạnh phụ thuộc vào a ta cho a = để bấm máy, kết ta nhân thêm a Phần III nêu lên phương pháp tính khoảng cách nhờ gắn tọa độ Phần 1: CÔNG THỨC CHUYỂN ĐỔI KHOẢNG CÁCH I Công thức chuyển đổi khoảng cách Cho hai điểm phân biệt A, B mặt phẳng ( P) , ( A, B ∉ ( P ) ) Khi đó: - Nếu đường thẳng AB song song với ( P) d ( A;( P ) ) = d ( B;( P) ) - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) điểm I d ( A;( P) ) AI = d ( B;( P) ) BI Ứng dụng “công thức chuyển đổi khoảng cách” lớn Bởi tốn u cầu tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( P) ta chuyển tính khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( P) dễ tính II Ví dụ minh họa · Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, ·ABC = BAD = 900 , BA = BC = a , AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H tới mặt phẳng ( SCD) Phân tích: Sơ đồ chuyển khoảng cách: d ( H ; ( SCD ) ) a d ( B; ( SCD ) ) a d ( A; ( SCD ) ) Hướng dẫn giải: SA2 2a = , AC = a Gọi E giao Ta có SB = a 3, SH = SB điểm đường thẳng AB, CD Dễ chứng minh AC vng góc với CD Gọi K hình chiếu A lên SC Khi AK khoảng cách từ A lên ( SCD) Ta lại có : 2a d ( H ; ( SCD ) ) HS (1) ; = = = d ( B; ( SCD ) ) BS a 3 d ( B; ( SCD ) ) d ( A; ( SCD ) ) = BE = (2) AE Từ (1) (2) ta có AK a d ( H ; ( SCD ) ) = d ( A; ( SCD ) ) = = 3 Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , có A ' A = A ' B ' = A ' D ' = a , AB ' = 3a , BD = 2a , AD ' = a Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( AB ' D ') Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách : d ( C ; ( AB ' D ') ) a d ( A '; ( AB ' D ' ) ) Hướng dẫn giải : Gọi H hình chiếu A ' lên ( AB ' D ') Khi tam giác vuông A ' HA, A ' HB ', A ' HD ' suy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB ' D ' Theo cơng thức Hê –rơng ta có : S ∆AB ' D ' = ⇒ HA = 11a 2 AB '.B ' D ' AD ' 3a = S ∆AB ' D ' 11 Từ ta có 27 a a AH = A ' A − AH = 3a − = 11 11 2 Lại theo công thức chuyển khoảng cách ta có : d ( C ; ( AB ' D ') ) d ( A '; ( AB ' D ' ) ) = Từ suy khoảng cách từ C tới ( AB ' D ') CE = A' E 6a 11 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng tâm O , cạnh a , SA = a Gọi K trung điểm cạnh SC a) Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng ( SAB) ; b) Tính khoảng cách từ C K tới mặt phẳng ( SAB) Hướng dẫn giải: a) Do S ABCD hình chóp nên SO ⊥ ( ABCD) Gọi I trung điểm AB OI ⊥ AB , ( SOI ) ⊥ ( SAB) Kẻ OH ⊥ SI ,( H ∈ SI ) OH ⊥ ( SAB ) Do d ( O;( SAB) ) = OH a Mà ABCD hình vng cạnh a nên AO = Tam giác SAO vng O có SO = SA2 − AO = Lại có OI = a a Do tam giác SOI vng S O có: H a 1 = + = ⇒ OH = 2 OH SO OI a a Vậy d ( O;( SAB) ) = b) Ta có CO ∩ ( SAB) = A Do K A D I O B C d ( C ;( SAB) ) CA 2a a = = ⇒ d ( C ;( SAB ) ) = 2.d ( O;( SAB ) ) = = d ( O;( SAB) ) OA Ta lại có tam giác SAC có OK PSA Do OK P( SAB ) Suy a d ( K ;( SAB) ) = d ( O;( SAB) ) = a d K ;( SAB) = a ) Vậy d ( C ;( SAB) ) = , ( Ví dụ 4.(D-11) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , AB = 3a · , BC = 4a Mặt phẳng ( SBC ) vng góc với ( ABC ) Biết SB = 2a , SBC = 300 Tính khoảng cách từ điểm B tới mặt phẳng ( SAC ) theo a Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng ( SBC ) kẻ SH ⊥ BC , H ∈ BC ⇒ SH ⊥ ( ABC ) (do ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ) S · Xét tam giác SBH vuông H có SBH = 30 ⇒ SH = SB = a 3 Và BH = SB.cos30 = 2a = 3a ⇒ CH = a d ( B,( SAC ) ) BC = = Mà BH ∩ ( SAC ) = C nên d ( H ;( SAC ) ) HC Hạ HI ⊥ AC , I ∈ AC Kẻ HK ⊥ SI , K ∈ SI Dễ dàng có HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H ;( SAC ) ) K I A C H B Ta có ∆ABC vng B AC = AB + BC = 5a CA AB CH AB a.3a ∆CAB , ∆CHI đồng dạng ⇒ = ⇒ HI = = = a CH HI CA 5a 1 28 3a = + = ⇒ HK = Tam giác SHI vuông H có 2 HK SH HI 9a 6a Vậy d ( B;( SAC ) ) = 4d ( H ;( SAC ) ) = Ví dụ (D-2008) Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông, AB = BC = a, AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a khoảng cách AM , B ' C Phân tích: Gọi N trung điểm BB ' Khi B ' C song song với mặt phẳng ( AMN ) Sơ đồ chuyển khoảng cách: d ( AM , B ' C ) a d ( B ' C ; ( AMN ) ) a d ( B '; ( AMN ) ) a d ( B; ( AMN ) ) Hướng dẫn giải: d ( B ' C ; AM ) = d ( B ' C ; ( AMN ) ) = d ( B '; ( AMN ) ) Lại có : d ( B '; ( AMN ) ) d ( B; ( AMN ) ) = B'N = BN Suy d ( B ' C ; AM ) = d ( B; ( AMN ) ) = h Xét tứ diện vuông B AMN có: 1 1 a = + + = + + = ⇒h= 2 2 h BN BM BA a a a a Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = a, AD = 2a, AA ' = 3a Gọi M , N trung điểm AB CD a) Tính khoảng cách ( AB ' C ) ( A ' C ' D ) ; b) Tính khoảng cách A ' C MN Hướng dẫn giải : a) d ( ( AB ' C ) ; ( A ' C ' D ) ) = d ( B '; ( A ' C ' D ) ) Gọi E giao điểm B ' D ' A ' C ' d ( B '; ( A ' C ' D ) ) d ( D '; ( A ' C ' D ) ) = B'E = D'E Xét tứ diện vuông D ' A ' C ' D với h = d ( D '; ( A ' C ' D ) ) ta có: 1 1 49 6a = + + = ⇒h= 2 2 h D 'C ' D ' A ' D ' D 36a Như ta d ( ( AB ' C ) ; ( A ' C ' D ) ) = 6a c) Ta có d ( A ' C ; MN ) = d ( MN ; ( A ' D ' C ) ) = d ( N ; ( A ' D ' C ) ) Lại có d ( N ;( A ' D 'C ) ) d ( C '; ( A ' D ' C ) ) = NI NC = = C ' I D 'C ' Xét tứ diện C.C ' A ' D ' , kẻ đường cao C ' J tam giác CC ' D ' Khi C ' J = d ( C '; ( A ' D ' C ) ) 1 10 3a = + = ⇒ C 'J = 2 C'J C 'C C 'D' 9a 10 Vậy d ( MN ; A ' C ) = 3a 10 Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AC = a , SA = 2a Gọi M , N trung điểm AD, BC Biết mặt phẳng ( SDN ) mặt phẳng ( SAC ) vng góc với ( ABCD) Tính khoảng cách SA CM Phân tích : Sơ đồ chuyển khoảng cách : d ( SA; CM ) a d ( CM ; ( SAN ) ) a d ( C ; ( SAN ) ) a d ( I ; ( SAN ) ) Ví dụ Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy tam giác vng B Cạnh bên SA vng góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD ⊥ SB, AE ⊥ SC ,( D ∈ SB, E ∈ SC ) Biết AB = BC = a, SA = 2a a) Tính diện tích tam giác ADE ; b) Tính khoảng cách từ E đến ( SAB) Lời giải: a) Xét tam giác SAB vng A có: S E D SB = SA2 + AB = a 1 2a = + = ⇒ AD = AD SA2 AB 4a 4a 4a SA2 = SB.SD ⇒ SD = = a 5 Dễ dàng có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AD Mà AD ⊥ SB C A B nên AD ⊥ ( SBC )  AD ⊥ DE (1) Do   AD ⊥ SC (2) Từ (2) suy DE ⊥ SC (do AE ⊥ SC ) Ta VSDE KK VSCB Suy 4a SD DE SD.CB = 4a = ⇒ DE = = SC CB SC a 30 a 1 2a 4a 4a S = AD DE = = Từ (1) ta ADE 2 30 b) Ta có d ( E ,( SAB ) ) SE SE.SC EC ∩ ( SAB ) = S ⇒ = = = d ( C ,( SAB) ) SC SC BC ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( C ,( SAB) ) = CB = a Do d ( E ,( SAB ) ) = 2a d ( C ,( SAB) ) = 3 SA2 SA2 + AC = 4a 2 = 6a Bài tập tự luyện Bài Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a , BC = 2a Mặt bên BCC ' B ' hình thoi nằm mặt phẳng vng góc với đáy hợp với mặt bên ABB ' A ' góc α Tính khoảng cách từ A tới mặt bên ( BCC ' B ') Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A với BC = 2a, ·ABC = 600 Gọi M trung điểm cạnh BC Biết SA = SC = SM = a a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) b) Tính khoảng cách từ S đến AB · Bài Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB ' = a 22; BC ' = 4a; AC = a 2; BAC = 450 Tính khoảng cách hai đáy lăng trụ góc AB ' BC ' Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a , ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , góc ( SAD ) ( SBC ) 300 , SD = a Tính thể tích khối chóp S ABCD khoảng cách AD SC 2a Bài Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vng A , AB = 2a, AC = cot ( ( ABC ) , ( A ' BC ) ) = Tính theo a khoảng cách từ B ' tới mặt phẳng ( A ' BC ) Bài Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông ABC B , AB = 4a, BC = 6a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trọng tâm G tam giác ABC góc SA đáy 45o Tính G khoảng cách từ G tới ( SAC ) Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, hai mặt chéo ( SAC ) , ( SBD ) vng góc với đáy, AB = a, BC = a , điểm I ∈ SC cho SI = 2CI thỏa mãn AI ⊥ SC Tính góc SA đáy Bài Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cân A , AB = 3a, BC = 2a Các mặt bên ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCA ) hợp với đáy góc 60o Kẻ đường cao SH hình chóp Tính SH Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A D , AB = 2CD = 2a, AD = a , SA vng góc với đáy Tính SA trường hợp sau: a) Góc ( SBC ) đáy góc α b) Góc ( SAB ) , ( SCD ) α c) Góc ( SAD ) , ( SBC ) α d) Góc ( SCD ) ( SCB ) α Bài 10 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên AA ' = a Gọi M , N trung điểm BC , AA ' Giả sử A ' M ⊥ ( ABC ) Tính khoảng cách từ A ' tới mặt BCC ' B ' tính góc BN AC Bài 11 Cho hình chóp S ABC có AB = a , ( P) mặt phẳng qua A trung điểm M SB đồng thời song song với BC ( P) cắt SC N Tính SA biết ( P) ⊥ ( SBC ) Bài 12 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao hạ từ S xuống đáy tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC đáy ABC tam giác vuông A có AB = 3a, AC = 4a Góc cạnh bên SA đáy 60o Tính khoảng cách từ S tới đáy · Bài 13 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AB = AC = 4a, BAC = 120o A ' A = A ' B = A ' C Góc cạnh bên đáy 30o Tính theo a khoảng cách hai đáy lăng trụ khoảng cách AA ' BC Bài 14 Cho hình chóp S ABCD có AB = a Gọi ( P ) mặt phẳng qua trung điểm M SB qua AD , cắt SC N Tính SA biết ( P ) vng góc với ( SBC ) Bài 15 Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2a, AD = a, SA = a Tính: a) Góc mặt phẳng ( SCD ) ( SBC ) ; ( SBC ) ( SAC ) ; ( SBC ) ( SBD ) b) Khoảng cách SC BD c) Tính góc AC SB Bài 16 Cho hình chóp S ABCD có AB = a, SA = 2a Tính: a) Góc mặt phẳng ( SCD ) ( SBC ) ; ( SBC ) ( SAC ) ; ( SBC ) ( SBD ) ; ( SBC ) ( SAD ) b) Khoảng cách SC BD Bài 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Tính khoảng cách từ: a) Trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng ( SAC ) ; b) Điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) ; a) Tâm O hình vng ABCD đến mặt phẳng ( SBC ) Bài 18 Trong mặt phẳng (α ) cho tam giác ABC vng A có BC = 2a, ·ACB = 600 Dựng hai đoạn BB ' = a, CC ' = 2a vng góc với (α ) bên (α ) Tính khoảng cách từ: a) Điểm C ' đến mặt phẳng ( ABB ') ; b) Trung điểm B ' C đến mặt phẳng ( ACC ') ; c) Điểm B ' đến mặt phẳng ( ABC ') ; d) Trung điểm BC đến mặt phẳng ( AB ' C ) Bài 19 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBD) Suy khoảng cách từ trung điểm I cạnh SC đến mặt phẳng ( SBD) ; b) Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBM ) Bài 20 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , ·ABC = 60o , SA = SB = SC = 2a Tính theo a khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABC ) 10 · Bài 21 Cho hình chóp S ABC có SA = SB = SC = a , ·ASB = 900 , BSC = 900 , ·ASC = 1200 Gọi I trung điểm cạnh AC Chứng minh SI vng góc với mặt phẳng ( ABC ) tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) · Bài 22 Cho hình chóp S ABC có ABC tam giác cân đỉnh A , AB = a, BAC =α , a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( ABC ) Tìm điều kiện α để tốn có nghĩa Bài 23 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , AA ' vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Đường chéo BC ' mặt bên BCC ' B ' hợp với ( ABB ' A ') góc 300 SA = SB = SC = a) Tính AA ' ; b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến mặt phẳng ( BA ' C ') ; c) Gọi N trung điểm cạnh BB ' Tính góc MN mặt phẳng ( BA ' C ') Bài 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có mặt bên hình vuông cạnh a Gọi D, E , F trung điểm cạnh BC , A ' C ', C ' B ' Tính khoảng cách cặp đường thẳng: a) DE AB ' ; b) A ' B B ' C ' ; c) DE A ' F Bài 25 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AA ' vng góc với mặt phẳng ABC AA ' = a Đáy ABC tam giác vng A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA ' đến mặt phẳng ( BCC ' B ') ; b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( A ' BC ) ; c) Chứng minh AB vng góc với mặt phẳng ( ACC ' A ') tính khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng ( ABC ') Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Xác định hình chiếu S lên mặt (SBC) Tính khoảng cách từ A đến ( SBC ) trường hợp sau: a) ∆ABC vuông A , AB = b, AC = c b) ∆ABC cạnh a µ = 120o , BA = a c) ∆ABC cân B , B Bài 27 Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ ( ABC ) , SA = a 3, tam giác ABC cân A , µA = 120o , AB = a Gọi M trung điểm SA Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( MBC ) Bài 28 [D-07] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang, AD = AB = BC = 2a , · DAB = ·ABC = 900 Cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a , Gọi H hình chiếu A lên SB a) Chứng minh ∆SCD vng b) Tính khoảng cách từ H tới ( SCD) 11 Bài 29 Cho S ABC tứ diện có ABC tam giác vuông cân đỉnh B AC = 2a ; cạnh SA vng góc với mặt ( ABC ) SA = a Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SBC ) Gọi O trung điểm AC Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng ( SBC ) Bài 30 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = 2a, BC = a Các cạnh bên hình chóp a Tính thể tích hình chóp S ABCD Gọi M , N , E , F trung điểm AB, CD, SC , SD Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( MEF ) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD ) Bài 31 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' , có cạnh a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng ( A ' B, B ' D ) Bài 32 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a , Gọi M , N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C , MN Bài 33 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm DA, SC ; I giao điểm BM , AC Chứng minh mặt ( SAC ) vng góc với mặt ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 34 Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , A = 600 đường cao SO = a a) Tính kc từ O đến ( SBC ) b) Tính khoảng cách AD, SB Bài 35 Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Tìm khoảng cách cặp cạnh đối b) Tìm khoảng cách từ A tới mặt ( BCD ) Bài 36 Cho tứ diện SA, SB, SC đơi vng góc với SA = a, SB = b, SC = c a) Tính khoảng cách từ S tới mặt ( ABC ) b) Tính khoảng cách AB với SC 12 Phần II PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG THỂ TÍCH II Phương pháp chung Để tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ( ABC ) ta quy tốn tính yếu tố, tính: M - Thể tích hình chóp M ABC - Diện tích tam giác ABC Khi đó: A 3V d ( M ;( ABC ) ) = M ABC S ABC C B MỘT KỸ THUẬT TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU TRONG HKG Trong đề thi THPTQG mơn tốn ta thường gặp câu hỏi tính khoảng cách đường thẳng chéo HKG Đây câu hỏi vận dụng cao, HS giỏi HKG giải Công thức sau đưa phương án giải vấn đề cách tương đối đơn giản mà khơng cần vẽ hình thêm Nội dung phương pháp nầy là: Để tính khoảng cách cạnh đối AB, CD tứ diện ta cần biết độ dài cạnh thể tích Kết quả: Cho tứ diện ABCD, ta có công thức: VABCD = AB.CD.d sin α Công thức nầy suy từ công thức: Chú ý: Sau tính V độ dài cạnh tứ diện, ta dùng máy tính CASIO để tìm kết cách nhanh chóng Cần ý độ dài cạnh phụ thuộc vào a ta cho a = để bấm máy, kết ta nhân thêm a Bài tập áp dụng: Ví dụ (THPT QG 2015): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), góc SC (ABCD) 450 Tính VS ABCD theo a Ví dụ 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E, F trung điểm cạnh BC, A’C’, B’C’ Tính Ví dụ 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi M, N trung điểm AB, B’C’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AN DM 13 Ví dụ (A_2011): Cho hình chóp S.ABC có ΔABC vng cân B, AB = BC = 2a; (SAB), (SAC) ⊥(ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song BC, cắt AC N ·  = 600 Tính d[AB;SN] theo a Biết  (SBC);(ABC)  Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, BC = a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy Điểm I thuộc đoạn SC cho SC = 3.CI Tính thể tích khối chóp S.ABCD d[AI;SB], biết AI ⊥ SC Bài tập tự luyện Bài Cho tứ diện SABC có SA = 3a, SA ⊥ ( ABC ) Tam giác ABC có AB = BC = 2a , ·ABC = 1200 Tính khoảng cách từ A tới ( SBC ) Bài Cho tứ diện SABC có SA = 2a, SA ⊥ ( ABC ) Tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ A tới ( SBC ) Bài Cho tứ diện ABCD , có AB = CD = c; AC = BD = b; BC = AD = a a) Tính khoảng cách cặp cạnh đối diện b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt ( BCD ) Bài Cho hình chóp S ABCD , ABCD hình thoi cạnh a A = 60o , cạnh a Tính khoảng cách từ S đến ( ABCD ) độ dài SC SA = SB = SD = Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD = c; AC = BD = b; BC = AD = a b) Tính khoảng cách cặp cạnh đối diện c) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt ( BCD ) Bài Trên cạnh DA hình vng ABCD cạnh a , lấy điểm M với AM = x , ( < x < a ) nửa đường thẳng Ax vng góc ( ABCD ) A , lấy điểm S cho AS = y > a) Chứng minh rằng: Nhị diện cạnh SB hình chóp S ABCM nhị diện vng b) Tính khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng ( SAC ) Bài Cho tam giác ABC cạnh a , đường thẳng Ax vng góc với mặt ( ABC ) A , lấy điểm S với AS = a Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( SBC ) Bài Cho tứ diện SA, SB, SC đôi vuông góc với SA = a, SB = b , SC = c a) Tính khoảng cách từ S tới mặt ( ABC ) b) Tính khoảng cách AB với SC Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ) ; AC = AD = ( cm ) ; AB = ( cm ) ; BC = ( cm ) Tính khoảng cách từ A tới mặt ( BCD) 14 Phần III PHƯƠNG PHÁP GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ I Các công thức • Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz = là: d ( M ;(α ) ) = Ax0 + By0 + Cz0 A2 + B + C • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ qua M , có vectơ phương u là: r uuuu r u , AM    d ( A; ∆ ) = r u • Khoảng cách hai đường thẳng ur Cho đường thẳng ∆1 qua điểm M có vectơ phương u1 , đường thẳng ∆ uu r qua điểm M có vectơ phương u2 - Nếu ∆1 , ∆ song song khoảng cách hai đường thẳng ∆1 , ∆ là: d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆ ) = d ( M , ∆1 ) - Nếu ∆1 , ∆ chéo khoảng cách hai đường thẳng ∆1 , ∆ là: ur uu r uuuuuur u1 , u2  M 1M   d ( ∆1 , ∆ ) = ur uu r u1 , u2    II Bài tập tự luyện Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Gọi M N trung điểm AB, CD Tính khoảng cách hai đường thẳng A ' C , MN Bài Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a lấy điểm M với AM = x ( < x < a ) At ⊥ ( ABCD ) lấy điểm S cho AS = y > a) Chứng minh nhị diện cạnh SB hình chóp S ABCM nhị diện vng b) Tính khoảng cách từ M đến mặt ( SAC ) c) Lấy IS = IC , IH ⊥ CM Tìm quỹ tích H M ∈ AD, S ∈ Ax Bài Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A ' B, B ' D b) Gọi M , N , P trung điểm BB ', CD, A ' D ' Tính góc hai đường thẳng MP, C ' N c) Tính góc nhị diện [ B, A ' C , D ] Bài Cho tứ diện S ABC có SA ⊥ ( SBC ) , SBC tam giác cạnh a , SA = a , Xác định đường vng góc chung SC , AB tính độ dài 15 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B cạnh a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = 2a Xác định đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng SC , AB Bài Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Tìm khoảng cách cặp cạnh đối b) Tìm khoảng cách từ A tới mặt ( BCD ) Bài Cho hình chóp tam giác S ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N trung điểm SB, SC cho biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng SBC 16 KẾT LUẬN SKKN nầy tác giả xây dựng nhằm cung cấp cho đồng nghiệp em học sinh tài liệu tương đối đầy đủ phương pháp tính khoảng cách khơng gian Tuy nhiên chun đề chưa đề cập đến việc tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Các phương pháp giải tốn chủ yếu có tính định hướng chung cho lớp toán thường xuất kì thi học sinh tuyển sinh Đại học - Cao đẳng, thi học sinh giỏi Đối với vài ví dụ chun đề bạn tự tìm tịi thấy có cách giải khác Trong thời gian tiếp theo, tác giả tiếp tục bổ sung tốn tích khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, tốn sử dụng cơng cụ khoảng cách để giải tốn Hi vọng tài liệu tham khảo giúp ích nhiều cho thầy giáo, em học sinh người quan tâm đến giáo dục toán học THPT 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Xuân Liêm Bài tập nâng cao số chuyên đề Hình học 11 Nhà xuất Giáo dục- 2008 Trần Phương Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học mơn tốn Nhà xuất Hà Nội- 2004 Nguyễn Văn Qúi Các vấn đề trọng tâm môn Tốn 12 Nhà xuất Đà Nẵng1998 Tạp chí toán học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục Tủ sách toán học tuổi trẻ Nhà xuất Giáo dục- 2010 18