Một số phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn : Luận án TS. Toán học: 62 46 01 02

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Đỗ Duy Thành MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Ngọc Anh GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết quả, số liệu luận án trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận án Đỗ Duy Thành LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn tận tình PGS.TS Phạm Ngọc Anh GS.TSKH Phạm Kỳ Anh có ý kiến đóng góp chỉnh sửa luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong trình học tập nghiên cứu, thông qua giảng, hội nghị seminar, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ có ý kiến đóng góp q báu thầy trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Phòng Sau đại học, Ban Lãnh đạo Trường Đại học Hải Phòng bạn đồng nghiệp khoa Toán tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn anh, chị, em nhóm Giải tích bạn bè đồng nghiệp bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi đến gia đình lịng biết ơn tình cảm yêu thương MỤC LỤC Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Mở đầu Chương Bài toán cân ánh xạ không giãn 1.1 Sự hội tụ mạnh yếu không gian Hilbert thực 14 14 1.2 Phép chiếu tính chất 17 1.3 Ánh xạ không giãn định lý điểm bất động 18 1.4 Bài toán cân 1.4.1 Bài toán cân 20 21 1.4.2 Các trường hợp riêng toán cân 22 1.4.3 Sự tồn nghiệm toán cân Một số phương pháp tìm nghiệm chung tốn cân 25 toán điểm bất động ánh xạ không giãn 27 1.5.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 29 1.5.2 1.5.3 Phương pháp chiếu Phương pháp đạo hàm tăng cường xấp xỉ 31 32 Kết luận 35 Chương Phương pháp điểm bất động 2.1 Một số cách tiếp cận điểm bất động ánh xạ không giãn 36 37 1.5 1.6 2.2 Xây dựng dãy lặp 38 2.3 Kết hội tụ 40 2.4 2.5 Kết tính tốn Kết luận Chương Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 46 47 49 3.1 3.2 Một số phương pháp chiếu cho họ ánh xạ không giãn Phương pháp đạo hàm tăng cường 49 50 3.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng 52 3.4 Kết luận 60 Chương Phương pháp tìm kiếm theo tia 4.1 4.2 4.3 4.4 61 Giải toán cân ánh xạ không giãn 61 4.1.1 4.1.2 Thuật toán Kết hội tụ 63 64 4.1.3 Áp dụng vào toán bất đẳng thức biến phân 72 Giải tốn cân họ ánh xạ khơng giãn 75 4.2.1 4.2.2 76 77 Thuật toán Kết hội tụ Giải toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân ánh xạ không giãn 4.3.1 Thuật toán 90 92 4.3.2 93 Kết hội tụ Kết luận 110 Kết luận 111 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 113 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên N∗ tập số tự nhiên khác không R tập số thực Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực H∗ không gian đối ngẫu H z số phức liên hợp số phức z ∥x∥ chuẩn véc tơ x ∃x tồn x ∀x với x ⟨x, y⟩ tích vơ hướng hai véc tơ x y A⊂B tập hợp A tập thực tập hợp B A⊆B tập hợp A tập tập hợp B A∩B tập hợp A giao với tập hợp B A∪B tập hợp A hợp với tập hợp B B tích Đề-Các hai tập hợp A B diamD := sup ∥x − y∥ đường kính tập hợp D x,y∈D argmin{f (x) : x ∈ C} tập điểm cực tiểu hàm f C ∂f (x) vi phân f x δC (·) hàm C P rC (x) hình chiếu x lên tập C NC (x) nón pháp tuyến ngồi C x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn ⇀ x dãy {xn } hội tụ yếu tới x V I (C, F ) toán bất đẳng thức biến phân OP toán tối ưu EP (C, f ) toán cân F ix toán điểm bất động Sol(C, F ) tập nghiệm toán V I (C, F ) Sol(C, f ) tập nghiệm toán EP (C, f ) I ánh xạ đồng F ix(S ) tập điểm bất động ánh xạ S MỞ ĐẦU Mơ hình cân xem phát triển mở rộng mô hình tối ưu hố tốn bất đẳng thức biến phân Các toán tối ưu bất đẳng thức biến phân trường hợp riêng tốn cân Trong tốn tối ưu có chủ thể với nhiều mục tiêu mà chủ thể mong muốn tìm giải pháp tối ưu điều kiện định Trong vấn đề có nhiều chủ thể tham gia, chủ thể có mục tiêu khác nhau, quan hệ mật thiết, chí đối kháng nhau, phương án tối ưu khó tất chủ thể chấp nhận, tối ưu cho chủ thể này, lại không tốt cho chủ thể khác Trong tình khái niệm cân bằng, đặc biệt khái niệm cân Nash, dễ chấp nhận Trong thời đại thông tin nay, vấn đề quan hệ mật thiết với nhau, lợi ích thường mâu thuẫn nhau, nên dễ xảy xung đột Do đó, mơ hình cân tỏ thích hợp, để giải mâu thuẫn quyền lợi Điều giải thích lý thập kỷ gần đây, cân quan tâm nghiên cứu nhiều Lớp toán cân bằng, mô tả dạng bất đẳng thức, gọi bất đẳng thức Ky Fan, xuất lần vào năm 1972 báo có tựa đề "A Minimax Inequality and Its Applications" [25] áp dụng để nghiên cứu mơ hình cân kinh tế theo khái niệm cân J.F Nash, nhà toán học Mỹ giải Nobel kinh tế cơng trình nghiên cứu cân bằng, đưa Sau tốn cân theo bất đẳng thức Ky Fan nghiên cứu nhiều tác giả nhà toán học chuyên gia kinh tế Về mặt lý thuyết tồn nghiệm, nhiều kết quan trọng đạt cho toán cân tổng quát không gian trừu tượng Tuy nhiên mặt tính tốn, kết cịn hạn chế Các phương pháp giải thu cho toán cân với song hàm nhận giá trị thực có thêm tính chất đơn điệu Các phương pháp giải cho lớp toán cân tổng quát hơn, lớp toán cân với song hàm có tính đơn điệu suy rộng, giả đơn điệu, tựa đơn điệu v.v nghiên cứu nhiều tính lý thú mặt toán học, khả ứng dụng lớp toán Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng khơng gian Hilbert thực H song hàm f : C × C → R Bài tốn cân đặt tìm điểm x∗ ∈ C cho f (x∗ , y ) ≥ với y ∈ C Ta biết rằng, x∗ nghiệm tốn cân nghiệm toán tối ưu f (x, y ) y∈C Như vậy, với x ∈ C , x∗ điểm bất động ánh xạ nghiệm S (x) = argmin{λf (x, y ) + ∥y − x∥2 , y ∈ C}, λ > 0, ánh xạ nghiệm S : C → 2C Đây sở để đưa đến cách tiếp cận nghiên cứu việc giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Thực tế cho thấy, tốn tìm điểm bất động chung hai ánh xạ toán phổ biến lý thuyết điểm bất động, toán thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cứu lĩnh vực tồn nghiệm thuật toán giải Do vậy, việc nghiên cứu đề tài cần thiết phù hợp Trong năm gần đây, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn đề tài hấp dẫn nhiều nhà khoa học giới Hầu hết thuật tốn để giải tốn dựa tính chất rằng: Với r > x ∈ H, tồn z ∈ C cho f (z, y ) + r ⟨y − z, z − x⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, f song hàm thỏa mãn số tính chất cho trước Khi đó, bước lặp thứ n, thuật toán giải thường xây dựng dãy lặp {xn } sau:   x0 ∈ C tùy ý ,  Tìm un ∈ C : f (un , y ) + ⟨y − un , un − xn ⟩ ≥ 0, ∀y ∈ C, rn điểm lặp xn+1 tính theo xn un thơng qua kỹ thuật điểm bất động Vậy, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn chuyển việc giải dãy toán cân phụ Thực tế cho thấy, toán phụ giải nghiệm dạng xấp xỉ, chưa dãy lặp hội tụ nghiệm tối ưu cần tìm Đây vấn đề quan tâm giải câu hỏi mở cho việc nghiên cứu để tìm thuật tốn hữu hiệu cho toán Một vài phương pháp tiếp cận bật giải toán không gian Hilbert thực H thời gian gần biết đến như: Phương pháp xấp xỉ gắn kết (viscosity approximation methods) đề xuất nhóm tác giả S Takahashi W Takahashi [55] dựa kết P.L Combettes S.A Hirstoaga [21] tính chất ánh xạ nghiệm phương pháp xấp xỉ cho toán điểm bất động A Moudafi [38] Các tác giả trình bày hai định lý hội tụ mạnh yếu thuật toán đề xuất Phương pháp chiếu A Tada W Takahashi [53] giới thiệu Tác giả cải tiến phương pháp xấp xỉ gắn kết chiếu xấp xỉ ban đầu dãy lặp lên giao hai tập lồi đóng chứa tập nghiệm toán thu hội tụ mạnh thuật toán Phương pháp đạo hàm tăng cường lần G.M Korpelevich [34] đề xuất để giải tốn tìm điểm n ngựa sau phát triển cho tốn bất đẳng thức biến phân Phương pháp sử dụng hai phép chiếu bước lặp sau: x0 ∈ C, y n = P rC (xn − λn F (xn )) xn+1 = P rC (xn − λn F (y n )) (1) Tiếp cận cho phép giải toán toán bất đẳng thức biến phân V I (C, F ) Vậy, x∗ ∈ Sol(C, f ) Tiếp theo, ta x∗ ∈ Sol(C, B ) Đặt   Bv + N (v ) v ∈ C, C Tv = ∅ v ∈ / C Khi đó, T tốn tử đơn điệu cực đại Cho (v, u) ∈ G(T ), từ u − Bv ∈ NC (v ) wn ∈ C , ta có ⟨v − wn , u − Bv⟩ ≥ Mặt khác, theo Tính chất 1.1 (ii) từ wn = P rC (tn − βBtn ), suy ⟨ ⟩ v − wn , wn − (tn − βBtn ≥ 0, ⟨ v − wn , β1 (wn − tn ) + Btn ⟩ ≥ Do đó, ta ⟨ ⟨v − wnk , u⟩ ≥ ⟨v − wnk , Bv⟩ − ⟨ v − wnk , (wnk − tnk ) + Btnk β v − w , Bv − Bt nk = ⟩ nk − nk ⟩ −t ) nk (w β = ⟨v − wnk , Bv − Bwnk ⟩ + ⟨v − wnk , Bwnk − Btnk ⟩ ⟩ − v − wnk , (wnk − tnk ) β ⟨ ⟨ ≥ ⟨v − w , Bv nk nk − Bt ⟩ − nk v − w , (w β nk nk ⟩ −t ) nk Khi k → ∞, ta có ⟨v − x∗ , u⟩ ≥ Từ T đơn điệu cực đại, suy ∈ T x∗ , x∗ ∈ Sol(C, B ) Vậy, ta x∗ ∈ Ω Hay ⟩ ⟨ ⟩ ⟨ lim sup (γg − A)q, Swn − q = lim (γg − A)q, Swnk − q⟩ = ⟨(γg − A)q, x∗ − q ≤ k→∞ n→∞ Bước 11 Chứng minh xn → q Thật vậy, từ Bước ta có ) ( ∥xn+1 − q∥2 = ∥P rC αn γg (xn ) + (I − αn A)Swn − P rC (q )∥2 ≤ ∥αn γg (xn ) + (I − αn A)Swn − q∥2 = αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 + ∥I − αn A∥2 ∥Swn − q∥2 +2αn ⟨(I − αn A)(Swn − q ), γg (xn ) − Aq⟩ 107 ≤ αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 + (1 − αn γ )2 ∥Swn − q∥2 +2αn ⟨Swn − q, γg (xn ) − Aq⟩ − 2αn2 ⟨A(Swn − q ), γg (xn ) − Aq⟩ ≤ (1 − αn γ )2 ∥wn − q∥2 + αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 +2αn ⟨Swn − q, γg (xn ) − Aq⟩ − 2αn2 ⟨A(Swn − q ), γg (xn ) − Aq⟩ ≤ (1 − αn γ )2 ∥tn − q∥2 + αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 +2αn ⟨Swn − q, γg (xn ) − γg (q )⟩ + 2αn ⟨Swn − q, γg (q ) − Aq⟩ −2αn2 ⟨A(Swn − q ), γg (xn ) − Aq⟩ ≤ (1 − αn γ )2 ∥xn − q∥2 + αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 +2αn αγ∥wn − q∥∥xn − q∥ +2αn ⟨Swn − q, γg (q ) − Aq⟩ − 2αn2 ⟨A(Swn − q ), γg (xn ) − Aq⟩ ≤ (1 − αn γ )2 ∥xn − q∥2 + αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 + 2αn αγ∥xn − q∥2 +2αn ⟨Swn − q, γg (q ) − Aq⟩ − 2αn2 ⟨A(Swn − q ), γg (xn ) − Aq⟩ ( ) ≤ (1 − αn γ ) + 2αn αγ ∥xn − q∥2 + αn2 ∥γg (xn ) − Aq∥2 +2αn ⟨Swn − q, γg (q ) − Aq⟩ + 2αn2 ∥A(Swn − q )∥∥γg (xn ) − Aq∥ ( ) ( ≤ − 2αn (γ − αγ ) ∥xn − q∥2 + αn αn ∥γg (xn ) − Aq∥2 +αn γ ∥xn − q∥2 + 2αn ∥A(Swn − q )∥∥γg (xn ) − Aq∥ ) +2⟨Swn − q, γg (q ) − Aq⟩ ¯ > Do {xn }, {g (xn )} {Swn } bị chặn nên ta chọn số M cho ¯ ≥ sup{∥γg (xn ) − Aq∥2 + γ ∥xn − q∥2 + 2∥A(Swn − q )∥∥γg (xn ) − Aq∥} M n≥0 Khi ∥xn+1 − q∥2 ≤ (1 − 2αn (γ − αγ ))∥xn − q∥2 + αn σn , (4.68) ¯ Từ (4.65), suy lim sup σn ≤ Áp σn = 2⟨Swn − q, γg (q ) − Aq⟩ + αn M n→∞ dụng Bổ đề 4.5 cho (4.68), ta xn → q n → ∞ Từ Thuật toán 4.4, ta dễ dàng đạt thuật tốn giải toán cân EP (f, C ) sau 108 Thuật toán 4.5 Chọn dãy số dương {αn }, {λn } ⊂ (0, 1), γ > 0, γ−1 α < γ < αγ , µ ∈ (0, 1), σ ∈ (0, 12 ), x0 ∈ C , n = Bước Giải toán lồi mạnh sau y n = argmin{λn f (xn , y ) + ||y − xn ||2 : y ∈ C}, đặt d(xn ) = xn − y n Nếu ∥d(xn )∥ = 0, dừng, xn ∈ Sol(C, f ) Nếu ∥d(xn )∥ ̸= thì, chuyển sang Bước Bước Tìm số nguyên dương nhỏ mn cho ( ) f xn − µmn d(xn ), y n ≤ −σ||d(xn )||2 Tính tn = P rC∩Hn (xn ), z n = xn −µmn d(xn ), v n ∈ ∂2 f (z n , z n ), Hn = {x ∈ H : ⟨v n , x−z n ⟩ ≤ 0} chuyển sang Bước Bước Tính ( ) xn+1 = P rC αn γg (xn ) + (I − αn A)(tn ) Đặt n := n + 1, quay lại Bước Từ Định lý 4.4, ta có kết hội tụ Thuật toán 4.5 sau Định lý 4.5 Cho C tập lồi, đóng, khác rỗng H Cho f : C ×C → R song hàm thỏa mãn (F1 ) − (F4 ) A toán tử tuyến tính bị chặn dương mạnh từ H vào với hệ số γ > cho ∥A∥ = Cho g : C → C ánh xạ co với hệ số α ∈ (0, 1) Giả sử γ > 0, γ−1 α < γ < αγ , Sol(C, f ) ̸= ∅ Cho dãy {xn }, {y n }, {tn } sinh Thuật tốn 4.5, {αn } ⊂ (0, 1), {λn } ⊂ [c, d], với < c < d < Giả sử điều kiện (H1 ) − (H3 ) Định lý 4.4 thỏa mãn Khi đó, ta có kết sau: (i) P rSol(C,f ) (I − A + γg ) ánh xạ co C , tồn q ∈ C cho q = P rSol(C,f ) (I − A + γg )(q ); (ii) Các dãy {xn }, {y n } {tn } hội tụ mạnh tới điểm q ∈ Sol(C, f ) 109 4.4 Kết luận Trong chương 4, sử dụng kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo để giải ba loại tốn: Bài tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động họ ánh xạ khơng giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Nét bật kỹ thuật đơn giản mặt cấu trúc tính tốn khơng cần điều kiện liên tục kiểu Lipschitz song hàm f Cụ thể, xây dựng siêu phẳng chứa tập nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Sau đó, chiếu điểm lặp vào phần giao siêu phẳng với tập lồi, đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H chứa điểm xuất phát x0 dãy lặp kết hợp với kỹ thuật điểm bất động để xây dựng điểm lặp thu định lý hội tụ mạnh yếu thuật tốn Trong chương này, chúng tơi xây dựng ví dụ tính tốn phần mềm Mathlab cho thuật tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn 110 KẾT LUẬN Luận án đạt kết sau: 1) Sử dụng phương pháp điểm bất động sở cải tiến phương pháp đạo hàm tăng cường P.N Anh [4] với phương pháp quy thay phiên S Sun [52] đưa kỹ thuật lặp để tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz không gian Hilbert thực H tập điểm bất động ánh xạ không giãn S mà khơng cần giải tốn cân phụ thường cho nghiệm dạng xấp xỉ Thay vào đó, bước lặp, chúng tơi cần giải hai toán lồi mạnh, toán thu lời giải xác chứng minh hội tụ yếu thuật toán 2) Đưa phương pháp đạo hàm tăng cường mở rộng cách kết hợp phương pháp lặp kiểu Mann với phép chiếu xấp xỉ ban đầu dãy lặp lên giao hai họ tập lồi, đóng chứa tập nghiệm toán để đạt hội tụ mạnh 3) Sử dụng phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo loại bỏ điều kiện liên tục kiểu Lipschitz song hàm f - điều kiện mạnh khó kiểm tra với song hàm cho trước, để giải ba loại tốn: Bài tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động họ ánh xạ khơng giãn, tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân bằng, tập nghiệm toán 111 bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động ánh xạ không giãn thu định lý hội tụ mạnh yếu thuật toán Các vấn đề cần nghiên cứu là: 1) Áp dụng thuật toán điểm gần kề cho tốn tìm nghiệm chung F ix(S )∩ Sol(C, f ) mở rộng với toán cân họ ánh xạ không giãn 2) Dùng kỹ thuật chiếu phương pháp siêu phẳng cắt để tìm nghiệm chung tốn cân tập điểm bất động ánh xạ giả co chặt 112 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] P.N Anh, and D.D Thanh (2015), "Linesearch methods for equilibrium problems and an infinite family of nonexpansive mappings", Bull Malays Math Sci Soc 38(3), pp 1157-1175 [2] P.N Anh, L.Q Thuy, and D.D Thanh (2015), "A fixed point scheme for nonexpansive mappings, variational inequalities and equilibrium problems", Vietnam J Math 43(1), pp 71-91 [3] D.D Thanh, P.N Anh, and P.K Anh (2014), "Hybrid linesearch algorithms for equilibrium problems and nonexpansive mappings", Internat J Numer Methods Appl 11(1), pp 39-68 [4] D.D Thanh (2014), "Strong convergence theorems for equilibrium problems involving a family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2014-200 113 Tài liệu tham khảo [1] P.K Anh, and C.V Chung (2014), "Parallel hybrid methods for a finite family of relatively nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim (35), pp 649-664 Doi: 10.1080/01630563.2013.830127 [2] P.K Anh, and D.V Hieu (2014), "Parallel and sequential hybrid methods for a finite family of asymptotically quasi ϕ- nonexpansive mappings", J Appl Math Comput Doi: 10.1007/s12190-014-0801-6 [3] P.N Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and Ky Fan inequalities", J Optim Theory Appl (154), pp 303-320 [4] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optim (62), pp 271-283 [5] P.N Anh (2013), "A hybrid extragradient method for pseudomonotone equilibrium problems and fixed point problems", Bull Malays Math Sci Soc (36), pp 107-116 [6] P.N Anh, and N.D Hien (2012), "The extragradient-Armijo method for pseudomonotone equilibrium problems and strict pseudocontractions", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1186/1687-1812-2012-82 [7] P.N Anh, and D.X Son (2011), " A new iterative scheme for pseudomonotone equilibrium problems and a finite family of pseudocontractions", J Appl Math Inform (29), pp 1179-1191 114 [8] P.N Anh, J.K Kim, and J.M Nam (2012), "Strong convergence of an extragradient method for equilibrium problems and fixed point problems", J Korea Math Soc (49), pp 187 -200 [9] K Aoyama, Y Kimura, W Takahashi, and M Toyoda (2007), "Approximation of common fixed points of a coutable family of nonexpansive mappings in Banach space", Nonlinear Anal (67), pp 2350-2360 [10] E Blum, and W Oettli (1994), "From optimization and variational inequality to equilibrium problems", Math Student (63), pp 123-145 [11] H Brezis (1987), Analyse fonctionnelle: Theórie et applications, MAS-SON [12] F.E Browder (1965), "Nonexpansive nonlinear operators in a Banach space", Proc Nat Acad Sci USA (54), pp 1041-1044 [13] N Buong, and N.D Duong (2011), "A method for a solution of equilibrium problem and fixed point problem of a nonexpansive semigroup in Hilbert’s spaces", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2011/208434 [14] L.C Ceng, and S Huang (2009), "Modified extragradient methods for stric pseudo-contractions and monotone mappings", Taiwan J Math (13), pp 1197-1211 [15] L.C Ceng, and J.C Yao (2007), "An extragradient-like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", Appl Math Comput (190), pp 205-215 [16] L.C Ceng, P Cubiotti, and J.C Yao (2008), "An implicit iterative scheme for monotone variational inequalities and fixed point problems", Nonlinear Anal (69), pp 2445-2457 [17] L.C Ceng, N Hadjsavvas, and N.C Wong (2010), "Strong convergence theorem by a hybrid extragradient like approximation method for variational inequalities and fixed point problems", J Glob Optim (46), pp 635-646 115 [18] L C Ceng, A Petrusel, and J C Yao (2009), "Iterative approaches to solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (143), pp 37 - 58 [19] L.C Ceng, S Schaible, and J.C Yao (2008), "Implicit iteration scheme with perturbed mapping for equilibrium problems and fixed point problems of finitely many nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (139), pp 403-418 [20] Y.J Cho, I.K Argyros, and N Petrot (2010), "Approximation methods for common solutions of generalized equilibrium, systems of nonlinear variational inequalities and fixed point problems", Comput Math Appl (60), pp 2292-2301 [21] P.L Combettes, and S.A Hirstoaga (2005), "Equilibrium programming in Hilbert space", J Nonlinear Convex Anal (6), pp 117–136 [22] P Daniele, F Giannessi, and A Maugeri (2003), Equilibrium problems and variational models, Kluwer [23] T.T.T Duong, and N.X Tan (2012),"On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems" J Global Optim., (52), pp 711-728 [24] T.T.T Duong, and N.X Tan (2011),"On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problems of type II and related problems" Acta Math Vietnam, (36), pp 231-248 [25] K Fan (1972), "A minimax inequality and applications", In: O Shisha (ed.), Inequality III, Academic Press, New York pp 103-113 [26] A Genel, and J Lindenstrauss (1975), "An example concerning fixed points", Israel J Math (22), pp 81-86 [27] K Goebel, and W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory, Cambridge University Press, Cambridge, England 116 [28] D Gohde (1965), "Zum prinzip der contraktiven abbindung", Math Nachr (30), pp 251-258 [29] C Jaiboon, and P Kumam (2009), "A hybrid extragradient viscosity approximation method for solving equilibrium problems and fixed point problems of infinitely many nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2009/374815 [30] P.Q Khanh, and N.M Tung (2015), "Optimality conditions and duality for nonsmooth vector equilibrium problems with contraints", Optim (64), pp 1547-1575 [31] W.A Kirk (1965), "A fixed point theorem for mappings with not increase distances", Amer Math Monthly (72), pp 1004-1006 [32] C Klin-eam, and S Suantai (2009), "A new approximation method for solving variational inequalities and fixed points of nonexpansive mappings", J Inequal Appl vol 2009, Articale ID 520301, 16pages [33] I.V Konnov (2000), Combined relaxation methods for variational inequalities, Springer-Verlag, Berlin [34] G.M Korpelevich (1976), "The extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomikai Matematcheskie Metody (12), pp 747-756 [35] W.R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proc Amer Math Soc (4), pp 506-510 [36] G Marino, and H K Xu (2006), "A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (318), pp 43-52 [37] G Marino, and H.K Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (329), pp 336-346 117 [38] A Moudafi (2000), "Viscosity approximation methods for fixed point problems", J Math Anal Appl (241), pp 46-55 [39] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Weak convergence theorem by an extragradient method for nonexpansive mappings and monotone mappings", J Optim Theory Appl (133), pp 191-201 [40] N Nadezhkina, and W Takahashi (2006), "Strong convergence theorem by a hybrid method for nonexpansive mappings and Lipchitz-continous monotone mappings", SIAM J Optim (16), pp 1230-1241 [41] K Nakajo, and W Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and nonexpansive semigroups", J Math Anal Appl (279), pp 372-379 [42] K Nakprasit, W Nilsrakoo, and S.Saejung (2008), "Weak and strong convergence theorems of an implicit iteration process for a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Doi: 10.1155/2008/732193 [43] J Nash (1950), "Equilibrium points in n-person games", Proceedings of the National Academy of Sciences (54), pp 286-295 [44] Z Opial (1967), "Weak convergence of the sequence of successive approximations for nonexpansive mappings", Bull Amer Math Soc (73), pp 591-597 [45] J W Penga, and J C Yao (2010), "Some new extragradient-like methods for generalized equilibrium problems, fixed point problems and variational inequality problems", Optimi Methods Softw (25), pp 677 - 698 [46] A Petrucel, and J.C Yao (2009), "An extragradient iterative scheme by viscosity approximation methods for fixed point problems and variational inequality problems", Cent Eur J Math (7), pp 335-347 [47] T.D Quoc, L.D Muu, and N.V Hien (2008), "Extragradient algorithms extended to equilibrium problems", Optim (57), pp 749-776 118 [48] R.T Rockafellar (1970), "On the maximality of sums of nonlinear monotone operators", Trans Amer Math Soc (149), pp 75 - 88 [49] P.H Sach, and L.A Tuan (2013), "New scalarizing approach to the stability analysis in parametric generalized Ky Fan inequality problems", J Optim Theorem Appl (157), pp 347 - 364 [50] J Schu (1991), "Weak and strong convergence to fixed points of asymptotically nonexpansive mapping", Bulletin Austral Math Soc (43), pp 153159 [51] Y Song, and R Chen (2008), "Weak and strong convergence of Mann’stype iterations for a countable family of nonexpansive mappings",J Korean Math Soc (45) , No 5, pp 1393–1404 [52] S Sun (2012), "An alternative regularization method for equilibrium problems and fixed point of nonexpansive mappings", J Appl Math Article ID 202860, 16 pages [53] A Tada, and W Takahashi (2007), "Weak and strong convergence theorems for a nonexpansive mapping and an equilibrium problems", J Optim Theorem Appl (133), pp 359-370 [54] W Takahashi (1997), "Weak and strong convergence theorems for families of nonexpansive mappings and their applications", Ann Univ Mariae CurieSklodowska Sect A (51), pp 277-292 [55] S Takahashi, and W Takahashi (2007), "Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J Math Anal Appl (331), pp 506-515 [56] L.A Tuan, P.H Sach, and N.B Minh (2013),"Existence results in a general equilibrium problem ", Numer Funct Anal Optim (34), pp 430-450 119 [57] P.T Vuong, J.J Strodiot, and N.V Hien (2012), "Extragradient methods and linesearch algorithms for solving Ky Fan inequalities and fixed point problems", J Optim Theory Appl (155), pp 605-627 [58] S Wang, and B Guo (2010), "New iterative scheme with nonexpansive mappings for equilibrium problems and variational inequality problems in Hilbert spaces", J Comput Appl Math., (233), pp 2620 - 2630 [59] S Wang, Y.J Cho, and X Qin (2010), "A new iterative method for solving equilibrium problems and fixed point problems for infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2010/165098 [60] R Wangkeeree (2008), "An extragradient approximation method for equilibrium problems of a countable family of nonexpansive mappings", Fixed point Theory and Appl Article ID 134148, 17 pages [61] R Wangkeeree, and P Preechasilp (2012), "A new iterative scheme for solving the equilibrium problems, variational inequality problems, and fixed point problems in Hilbert spaces", J Appl Math Article ID 154968, 21 pages [62] H.K Xu (2003), "An iterative approach to quadratic optimization", J Optim Theory Appl (116), pp 659-678 [63] H.K Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings", J Optim Theory Appl (298), pp 279-291 [64] H.K Xu, and R.G Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim (22), pp 767-773 [65] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "An extragradient method for fixed point problems and variational iequality problems", J Inequal Appl Article ID 38752, 12 pages 120 [66] Y Yao, Y.C Liou, and J.C Yao (2007), "Convergence theorem for equilibrium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpansive mappings", Fixed Point Theory Appl Doi: 10.1155/2007/64363 [67] Y Yao, J.C Yao, and H Zhou (2007), "Approximation methods for common fixed points of infinite countable family of nonexpansive mappings", Comput Math Appl (53), pp 1380-1389 [68] F Zhang, and Y Su (2007), "Strong convergence of modified implicit iteration processes for common fixed points of nonexpansive mappings", Fixed point Theory Appl Article ID 48174, pages [69] J Zhao, and S He (2009), "A new iterative method for equilibrium problems and fixed point problems of infinitely nonexpansive mappings and monotone mappings", Appl Math Comput (215), pp 670-680 [70] H Zhou (2009), "Strong convergence theorems for a family of Lipschitz quasipseudo-contractions in Hilbert spaces", Nonlinear Anal (71), pp 120-125 121