Ánh xạ đối ngẫu và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN TRỌNG ĐOÀN ÁNH XẠ ĐỐI NGẪU VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, người động viên, quan tâm tận tình hướng dẫn tác giả trình thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học khoa học tự nhiên, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người thân, bạn bè động viên tạo điều kiện để tác giả hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2014 Tác giả Nguyễn Trọng Đồn Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian L(X, Y ) 1.3 Không gian đối ngẫu X ∗ 1.4 Định lý giải tích hàm 1.5 Tôpô yếu, yếu∗ không gian định chuẩn 1.5.1 Tôpô yếu 1.5.2 Tôpô yếu∗ 11 1.6 Không gian phản xạ 12 1.7 Không gian Hilbert 13 1.8 Đạo hàm Gâteaux, Fréchet vi phân 15 1.9 Không gian Banach trơn 17 1.10 Không gian Banach lồi chặt 18 1.11 Không gian Banach lồi 22 Ánh xạ đối ngẫu ứng dụng 2.1 Khái niệm tính chất ánh xạ đối ngẫu 26 26 2.2 Ứng dụng ánh xạ đối ngẫu 47 2.2.1 Tốn tử chiếu suy rộng khơng gian Banach 47 2.2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 56 Thuật toán lặp cho toán V I(T − f, K) 64 2.2.3 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 BẢNG KÍ HIỆU R+ tập hợp số thực dương ∥.∥ chuẩn không gian vectơ L(X, Y ) không gian ánh xạ tuyến tính liên tục từ khơng gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y L(X, K) không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục khơng gian định chuẩn X σ(X, X ∗ ) tôpô yếu không gian định chuẩn X σ(X ∗ , X) tôpô yếu∗ X ∗ w xn −→ x w ∗ xn hội tụ theo tôpô yếu đến x xn −→ x xn hội tụ theo tôpô yếu∗ đến x ⟨x, y⟩ tích vơ hướng khơng gian Hilbert ⟨x∗ , x⟩ giá trị x∗ x F+′ (x, y) đạo hàm theo hướng y x ∂f vi phân hàm f ρ(τ ) mơđun tính trơn khơng gian Banach X ρ(τ, x) mơđun tính trơn x ∈ X ∆(ϵ) mơđun tính lồi khơng gian Banach X ∆(ϵ, x) mơđun tính lồi x ∈ X ∆(ϵ, x∗ ) mơđun tính lồi yếu x∗ ∈ X πK toán tử chiếu suy rộng V I(T, K) toán bất đẳng thức biến phân định nghĩa ánh xạ T tập K LỜI NÓI ĐẦU Để phát triển tương tự đồng thức từ không gian Hilbert sang không gian Banach, người ta phải tìm thay phù hợp cho tích vơ hướng khơng gian Hilbert Sự thay phù hợp ánh xạ đối ngẫu Đó ánh xạ cho cặp đối ngẫu phần tử không gian Banach X phần tử không gian đối ngẫu X Ánh xạ đối ngẫu dùng nhiều nghiên cứu toán tử phi tuyến liên quan đến phiếm hàm phi tuyến phương trình tiến hóa Sau học xong chương trình cao học tốn, với lịng mong muốn tìm hiểu sâu giải tích hàm ứng dụng, chọn đề tài ”Ánh xạ đối ngẫu ứng dụng” Mục đích luận văn nghiên cứu tính chất ánh xạ đối ngẫu ứng dụng Nội dung luận văn bao gồm hai chương: Chương Trình bày khái niệm tính chất khơng gian Banach, khơng gian đối ngẫu, tôpô yếu, yếu∗ , không gian phản xạ, không gian Hilbert để phục vụ cho việc nghiên cứu chương Đặc biệt chương trình bày khái niệm không gian Banach trơn, không gian Banach lồi chặt, không gian Banach lồi Chương Trình bày vấn đề ánh xạ đối ngẫu tính chất nó, đồng thời trình bày ứng dụng ánh xạ đối ngẫu, bao gồm : Toán tử chiếu suy rộng bất đẳng thức biến phân Vì khả thời gian có hạn nên luận văn cịn thiếu sót Kính mong q thầy bạn đồng học góp ý để luận văn hồn thiện Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày kiến thức khơng gian Banach, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu∗ , không gian phản xạ, không gian Hilbert không gian Banach trơn, lồi chặt, lồi 1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X không gian vectơ trường K Xét hàm ∥ ∥: X −→ R (a) ∥ ∥ gọi sơ chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X λ ∈ R; λ ≥ i) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ ii) ∥ λx ∥= λ ∥ x ∥ (b) ∥ ∥ gọi nửa chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X λ ∈ K i) ∥ x ∥≥ ii) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥ iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ (c) ∥ ∥ gọi chuẩn X thỏa mãn điều kiện sau với x, y ∈ X λ ∈ K i) ∥ x ∥≥ ∥ x ∥= ⇔ x = ii) ∥ λx ∥=| λ |∥ x ∥ iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥ Định nghĩa 1.1.2 Không gian vectơ X với chuẩn ∥ ∥ X gọi không gian định chuẩn Nhận xét 1.1 Giả sử X không gian định chuẩn, dễ thấy hàm số thực ρ xác định X × X cơng thức ρ(x, y) =∥ x − y ∥ mêtric Như không gian định chuẩn không gian mêtric Nếu {xn } dãy phần tử X x0 ∈ X lim xn = x0 có nghĩa lim ∥ xn − x0 ∥= n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.1.3 Cho X không gian định chuẩn (i) Dãy {xn } X gọi dãy lim n,m→+∞ ∥ xn − xm ∥= (ii) Dãy X gọi hội tụ ∥ xn − xm ∥→ tồn x0 ∈ X cho ∥ xn − x0 ∥→ Khi X gọi khơng gian định chuẩn đủ dãy hội tụ Định nghĩa 1.1.4 Không gian Banach không gian định chuẩn đủ Định lý 1.1.1 Nếu X không gian định chuẩn, hàm chuẩn x −→∥ x ∥ liên tục X Chứng minh Với x, y ∈ X ta có: ∥ x ∥=∥ x − y + y ∥≤∥ x − y ∥ + ∥ y ∥ ∥ y ∥=∥ y − x + x ∥≤∥ x − y ∥ + ∥ x ∥ Từ ta suy |∥ x ∥ − ∥ y ∥|≤∥ x − y ∥ Vậy ∀ϵ > 0; ∃δ = ϵ cho ∀x, y ∈ X ta có ∥ x − y ∥< δ ta suy |∥ x ∥ − ∥ y ∥|< ϵ Định lý 1.1.2 Nếu X khơng gian định chuẩn phép tốn: + : X × X −→ X (x, y) −→ x + y : K × X −→ X (λ, x) −→ λx liên tục Chứng minh Xét dãy {xn }, {yn } X cho lim ∥ xn − x0 ∥= n→+∞ lim ∥ yn − y0 ∥= n→+∞ Ta có ∥ (xn + yn ) − (x0 + y0 ) ∥ =∥ (xn − x0 ) + (yn − y0 ) ∥ ≤∥ xn − x0 ∥ + ∥ yn − y0 ∥−→ Vậy lim (xn + yn ) = x0 + y0 n→+∞ Xét dãy {λn } K mà lim λ = λ0 , ta có n→+∞ ∥ λn xn − λ0 x0 ∥ =∥ λn xn − λn x0 + λn x0 − λ0 x0 ∥ =∥ λn (xn − x0 ) + x0 (λn − λ0 ) ∥ ≤| λn |∥ xn − x0 ∥ + ∥ x0 ∥| λn − λ0 |−→ Vậy lim λn xn = λ0 x0 n→+∞ Ví dụ 1.1.1 Xét không gian Lp (Ω) Cho Ω tập đo Lebesgue Rn , µ độ đo Lebesgue Ω ∫ { L (Ω) = f : Ω −→ K đo Ω; p } | f (x) |p dµ < +∞ Ω Khơng gian Lp (Ω) với chuẩn xác định (∫ ) p1 p ∥ f ∥p = | f (x) | dµ Ω Lp (Ω) khơng gian Banach Ví dụ 1.1.2 Xét không gian ℓp ℓp tập hợp tất dãy số (thực phức) x = (xn ) cho ∞ ∑ | xn |p < +∞ n=1 Không gian ℓp với chuẩn ∥ x ∥p = ∞ (∑ | xn | p ) p1 n=1 không gian Banach Định nghĩa 1.1.5 ([6], chapter 2, definition 5.1) Ta nói khơng gian Banach X có tính chất (h) w dãy {xn } ⊂ X mà xn −→ x ∥ xn ∥−→∥ x ∥ xn −→ x 1.2 Khơng gian L(X, Y ) Giả sử X, Y không gian định chuẩn trường K Kí hiệu L(X, Y ) khơng gian ánh xạ tuyến tính, liên tục từ X vào Y Với f ∈ L(X, Y ), ta đặt ∥ f ∥= inf{k : ∥ f (x) ∥≤ k ∥ x ∥, ∀x ∈ X} Định lý 1.2.1 Với f ∈ L(X, Y ) ∥ f ∥= sup x̸=0 ∥ f (x) ∥ = sup ∥ f (x) ∥= sup ∥ f (x) ∥ ∥x∥ ∥x∥≤1 ∥x∥=1 57 bao lồi co{y1 , y2 , , yn } định nghĩa co{y1 , y2 , , yn } = {v = n ∑ λi yi ; ≤ λi ≤ 1, i=1 n ∑ λi = 1} i=1 Định nghĩa 2.2.4 ([10], definition 3.1) Cho X, Y hai không gian tôpô, ánh xạ đa trị F : X −→ 2Y gọi nửa liên tục x0 tập mở V ⊂ Y mà F (x0 ) ⊂ V tồn lân cận mở U ⊂ X x0 cho F (x) ⊂ V ; ∀x ∈ U Định lý 2.2.2 ([10], theorem 2.1) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B Ánh xạ T : B → B ∗ , cho số α > f ∈ B ∗ , x′ ∈ K ⊂ B nghiệm toán VI(T-f, K) x′ nghiệm phương trình tốn tử x = πK (Jx − α(T x − f )) Chứng minh Vì B phản xạ, lồi chặt trơn nên B ∗ có tính chất đó, J, πK φ ánh xạ đơn trị Theo mệnh đề (2.2.23) ta có x′ ∈ πK (Jx − α(T x − f )) ⟨ ( ) ⟩ ⇔ Jx′ − Jx′ − α(T x′ − f ) , y − x′ ≥ 0; ∀y ∈ K ⟨ ⟩ ⇔ α(T x′ − f ), y − x′ ≥ ⇔ ⟨T x′ − f, y − x′ ⟩ ≥ 0; ∀y ∈ K hay x′ nghiệm toán V I(T − f, K) Định lý 2.2.3 ([8], theorem C) (Fan-KKM) Giả sử X khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff, ∅ = ̸ K ⊂ X tập lồi, G : K −→ 2X ánh xạ KKM Nếu tồn y0 ∈ K mà G(y0 ) ⊂ K tập compact ∩ G(y) ̸= ∅ y∈K Định lý 2.2.4 ([10], theorem 3.1) Cho B không gian Banach phản xạ trơn, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi, đóng Giả sử hai điều kiện sau thỏa mãn 58 (i) T : K −→ B ∗ ánh xạ cho với điểm cố định y ∈ K { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y (ii) Tồn tập ∅ ̸= D ⊂ K tập compact yếu y0 ∈ K cho ( ) ( ) V Jy0 − α(T y0 − f ), x ≥ V Jy0 − α(T y0 − f ), y0 ; ∀x ∈ K \ D Khi tồn x¯ ∈ D ⊂ K cho ( ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K α > 0, f ∈ B ∗ Chứng minh Trước tiên ta ý: Nếu B phản xạ B trơn B ∗ lồi chặt, suy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J đơn trị Ta định nghĩa hai ánh xạ G, F : K −→ 2K xác định { ( ) ( )} G(y) = x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y { ( ) ( )} F (y) = x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y G(y) ̸= ∅ y ∈ G(y), ∀y ∈ K Với điểm y ∈ K cố định ánh xạ x −→ V (Jy − α(T y − f ), x) lồi liên tục, ta suy G(y) lồi đóng nên G(y) lồi, đóng yếu Tiếp theo ta chứng minh F : K −→ 2K ánh xạ KKM n ∑ Giả sử {y1 , , yn } ⊂ K ≤ λi ≤ 1; ∀i = 1, , n; λi = Đặt v = n ∑ i=1 λi yi , ta có i=1 ( ) ( V Jv − α(T v − f ), v = V Jv − α(T v − f ), ≤ n ∑ n ∑ λi yi ) i=1 ( ) λi V Jv − α(T v − f ), yi i=1 ( ) ≤ max V Jv − α(T v − f ), yi 1≤i≤n 59 tồn số i = 1, , n cho ( ) ( ) V Jv − α(T v − f ), v ≤ V Jv − α(T v − f ), yi n ∪ Vậy v ∈ G(yi ), ta suy v ∈ F (yi ) hay F ánh xạ KKM i=1 Mặt khác F (y) ⊂ G(y) nên G(y) ánh xạ KKM, theo (ii) ta có G(y0 ) ⊂ D, G(y0 ) đóng yếu D tập compact yếu nên G(y0 ) ∩ tập compact yếu Theo định lí (2.2.3) G(y) ̸= ∅, y∈K ∩ tồn x¯ ∈ G(y) Thế ( y∈K ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K mà G(y0 ) ⊂ D nên x¯ ∈ D ⊂ K Bổ đề 2.3 ([10], lemma 3.1) Cho B không gian Banach phản xạ trơn, ∅ = ̸ K ⊂ B tập lồi Ánh xạ T : K −→ B ∗ liên tục đoạn thẳng K tôpô yếu∗ B ∗ , với điểm cố định ∩ y ∈ K tập A [x1 , x2 ] đóng K [x1 , x2 ] đoạn thẳng K { ( ) ( )} A = x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y Chứng minh Với x1 , x2 ∈ K, tập [x1 , x2 ] = {tx1 +(1−t)x2 ; t ∈ [0, 1]} ∩ Giả sử dãy {xn } ⊂ A [x1 , x2 ] cho xn → x0 ∈ [x1 , x2 ] Ánh xạ T : K −→ B ∗ liên tục từ đoạn thẳng K vào tôpô yếu∗ B ∗ , w∗ T xn −→ T x0 Vì J ánh xạ liên tục từ tơpơ mạnh B vào tôpô yếu∗ B ∗ nên w∗ Jxn −→ Jx0 , ta suy w∗ Jxn − α(T xn − f ) −→ Jx0 − α(T x0 − f ) { } Vì Jxn − α(T xn − f ) bị chặn tôpô yếu∗ , theo ngun lí bị chặn bị chặn theo chuẩn Từ xn ∈ A định nghĩa V ta có ⟨ ⟩ ∥ Jxn − α(T xn − f ) ∥2 −2 Jxn − α(T xn − f ), xn + ∥ xn ∥2 60 ⟨ ⟩ ≤∥ Jxn − α(T xn − f ) ∥2 −2 Jxn − α(T xn − f ), y + ∥ y ∥2 ⟨ ⟩ ⇔ Jxn − α(T xn − f ), y − xn + ∥ xn ∥2 ≤∥ y ∥2 (2.21) Ta ý ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ | Jxn − α(T xn − f ), y − xn − Jx0 − α(T x0 − f ), y − x0 | ⟨ ⟩ ≤| Jxn − α(T xn − f ), y − xn − (y − x0 ) | ⟨ ⟩ + | Jxn − α(T xn − f ) − (Jx0 − α(T x0 − f )), y − x0 | ≤∥ Jxn − α(T xn − f ) ∥∥ xn − x0 ∥ ⟨ ⟩ + | Jxn − α(T xn − f ) − (Jx0 − α(T x0 − f )), y − x0 | Từ ta suy lim n→+∞ ⟨ ⟩ ⟨ ⟩ Jxn − α(T xn − f ), y − xn = Jx0 − α(T x0 − f ), y − x0 Từ (2.24) cho n → +∞ ta ⟨ ⟩ Jx0 − α(T x0 − f ), y − x0 + ∥ x0 ∥2 ≤∥ y ∥2 ( ) ( ) ⇒ V Jx0 − α(T x0 − f ), x0 ≤ V Jx0 − α(T x0 − f ), y Vậy x0 ∈ A Định lý 2.2.5 ([10], theorem 3.2) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi đóng Giả sử ba điều kiện sau thỏa mãn: (i) T : K −→ B ∗ ánh xạ liên tục đoạn thẳng K tôpô yếu∗ B ∗ (ii) Với y ∈ K cố định, ta có { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y 61 (iii) Tồn tập ∅ ̸= D ⊂ K tập compact yếu y0 ∈ K cho ) ( ) ( V Jy0 − α(T y0 − f ), x ≥ V Jy0 − α(T y0 − f ), y0 ; ∀x ∈ K \ D Khi tốn V (T − f, K) có nghiệm x¯ ∈ K \ D , α > số, f ∈ B ∗ Chứng minh Theo định lý (2.2.4) tồn x¯ ∈ K \ D cho ( ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K (2.22) Ta có ( ) ( ) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ ≤ V J x¯ − α(T x¯ − f ), y ; ∀y ∈ K Thật vậy, giả sử tồn y¯ ∈ K cho ( ) ( ) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ > V J x¯ − α(T x¯ − f ), y¯ (2.23) Đặt yt = t¯ y + (1 − t)¯ x ∈ K; ∀t ∈ [0, 1], thay yt vào (2.25) ta ( ) ( ) V Jyt − α(T yt − f ), x¯ ≤ V Jyt − α(T yt − f ), yt ⟨ ⟩ ⇔∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 (Jyt − α(T yt − f ), x¯ + ∥ x¯ ∥2 ⟨ ⟩ ≤∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 Jyt − α(T yt − f ), yt + ∥ yt ∥2 ⟨ ⟩ ⇔ 2t Jyt − α(T yt − f ), y¯ − x¯ + ∥ x ∥2 ⟨ ⟩ = Jyt − α(T yt − f ), yt − x¯ + ∥ x ∥2 ≤∥ yt ∥2 =∥ t¯ y + (1 − t)¯ x ∥≤ t ∥ y¯ ∥2 +(1 − t) ∥ x¯ ∥2 ⟨ ⟩ ⇒ Jyt − α(T yt − f ), y¯ − x¯ + ∥ x¯ ∥2 ≤∥ y¯ ∥2 ; ∀t ∈ [0, 1] (2.24) ∩ Theo (2.26) bổ đề (2.3) W [¯ y , x¯] mở [¯ y , x¯] chứa x¯ với { ( ) ( )} W = x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x > V Jx − α(T x − f ), y¯ Cho yt → x¯; (t → 0+ ) tồn t0 ∈ [0, 1] cho yt ∈ W ; ∀t ∈ (0, t0 ) Vậy ( ) ( ) V Jyt − α(T yt − f ), yt > V Jyt − α(T yt − f ), y¯ 62 ⟨ ⟩ ⇔∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 Jyt − α(T yt − f ), yt + ∥ yt ∥2 ⟨ ⟩ >∥ Jyt − α(T yt − f ) ∥2 −2 Jyt − α(T yt − f ), y¯ + ∥ y¯ ∥2 Mặt khác, yt − y¯ = (1 − t)(¯ x − y¯) nên ⟨ ⟩ 2(1 − t) Jyt − α(T yt − f ), x¯ − y¯ + ∥ y¯ ∥2 = ⟨ ⟩ = Jyt − α(T yt − f ), yt − y¯ + ∥ y¯ ∥2 ∥ y¯ ∥2 ; ∀t ∈ (0, t0 ) điều mâu thuẫn với (2.27) Vậy ( ) ( ) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ ≤ V J x¯ − α(T x¯ − f ), y ; ∀y ∈ K Theo định nghĩa toán tử chiếu suy rộng πK : B ∗ −→ K ta có x¯ = πK (J x¯ − α(T x¯ − f )) Vậy x¯ nghiệm toán V I(T − f, K) Định lý 2.2.6 ([10], theorem 3.3) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi đóng Giả sử ba điều kiện sau thỏa mãn (i) F : K −→ 2K ánh xạ nửa liên tục yếu, cho ∪ F (K) = F (x) ⊂ K; x ∈ K tập tiền compact yếu x∈K (ii) T : K −→ B ∗ ánh xạ cho với y ∈ K cố định, ta có { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y 63 (iii) Tồn tập {y(z); z ∈ K} cho với z ∈ K; y(z) ∈ F (z) ta có ( ) ( ) V Jy(z) − α(T y(z) − f ), x > V Jy(z) − α(T y(z) − f ), y(z) ∀x ∈ K \ F (z) Khi tồn x¯ ∈ K cho: (a) x¯ ∈ F (¯ x) ( ) ( ) (b) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ K Chứng minh Xét ánh xạ G : K −→ 2K định nghĩa sau: { } G(z) = z ′ ∈ F (z) : V (Jy − α(T y − f ), z ′ ) ≤ V (Jy − α(T y − f ), y) ∀y, z ∈ K, G(z) ̸= ∅, mà theo tính chất V G(z) tập lồi, đóng Do F nửa liên tục yếu ánh xạ { } z ′ −→ sup V (Jy − α(T y − f ), z ′ ) − V (Jy − α(T y − f ), y) y∈K nửa liên tục yếu K, theo tính chất V đồ thị G đóng K × K Vì F (K) tập tiền compact nên tồn tập compact yếu C ⊂ F (K) cho G(z) ⊂ C; ∀z ∈ K Từ đó, ta suy G nửa liên tục yếu K, G có điểm cố định Vậy tồn x¯ ∈ K thỏa mãn điều kiện (a), (b) định lý Định lý 2.2.7 ([10], theorem 3.4) Cho B không gian Banach phản xạ, lồi chặt trơn, B ∗ không gian đối ngẫu B, ∅ ̸= K ⊂ B tập lồi đóng Giả sử bốn điều kiện sau thỏa mãn: (i) F : K −→ 2K ánh xạ nửa liên tục yếu, cho F (K) = ∪F (x) ⊂ K; x ∈ K tập tiền compact yếu (ii) T : K −→ B ∗ liên tục từ đoạn thẳng K vào tôpô∗ B ∗ 64 (iii) Với y ∈ K cố định, ta có { ( ) ( )} x ∈ K : V Jx − α(T x − f ), x ≤ V Jx − α(T x − f ), y { ( ) ( )} ⊂ x ∈ K : V Jy − α(T y − f ), x ≤ V Jy − α(T y − f ), y (iv) Tồn tập {y(z); z ∈ K} cho với z ∈ K; y(z) ∈ F (z) ta có ( ) ( ) V Jy(z) − α(T y(z) − f ), x > V Jy(z) − α(T y(z) − f ), y(z) ∀x ∈ K \ F (z) Khi tồn x¯ ∈ K cho: (a) x¯ ∈ F (¯ x) (b) ⟨T x¯ − f, y − x¯⟩ ≥ 0; ∀y ∈ F (¯ x) Chứng minh Theo định lý (2.2.6) tồn x¯ ∈ K cho x¯ ∈ F (¯ x) ( ) ( ) V Jy − α(T y − f ), x¯ ≤ V Jy − α(T y − f ), y ; ∀y ∈ F (¯ x) theo phần chứng minh định lý (2.2.5) ta có: (a) x¯ ∈ F (¯ x) ( ) ( ) (b) V J x¯ − α(T x¯ − f ), x¯ ≤ V J x¯ − α(T x¯ − f ), y Theo định nghĩa ánh xạ πF (¯x) : B ∗ −→ F (¯ x) ta có x¯ = πF (¯x) (J x¯ − α(T x¯ − f )) Khi theo định lý (2.2.2) ⟨T x¯ − f, y − x¯⟩ ≥ 0; ∀y ∈ F (¯ x) 2.2.3 Thuật toán lặp cho toán V I(T − f, K) Giả sử tốn V I(T − f, K) có nghiệm x′ với x0 ∈ K ta định nghĩa dãy {xn } sau: ( ) xn+1 = πK Jxn − α(T xn − f ) ; n = 1, Khi xn −→ x′ điều kiện sau thỏa mãn: 65 (i) B không gian Banach lồi trơn (ii) T : B −→ B ∗ đơn điệu đều, nghĩa ⟨T x1 − T x2 , x1 − x2 ⟩ ≥ ψ(∥ x1 − x2 ∥); ∀x1 , x2 ∈ B ψ hàm liên tục, tăng chặt với t ≥ ψ(0) = (iii) T : B −→ B ∗ có phần tử φ tăng, nghĩa ∥ T x − f ∥≤ φ(∥ x − x′ ∥); ∀x ∈ B φ(t) hàm liên tục, khơng giảm với t ≥ với φ(0) ≥ Bổ đề 2.4 ([10], lemma 4.1) B không gian Banach lồi tồn hàm cỡ chuẩn g lồi cho ∥ λx + (1 − λy) ∥p ≤ λ ∥ x ∥p +(1 − λ) ∥ y ∥p −Wp (λ)g(∥ x − y ∥) ∀x, y ∈ Br = {x ∈ B :∥ x ∥≤ r} λ ∈ [0, 1] Wp (λ) = λ(1 − λ)p + λp (1 − λ); p > 1, r > Bổ đề 2.5 ([10], lemma 4.2) Nếu B khơng gian Banach trơn ∥ x + y ∥2 ≤∥ x ∥2 +2⟨y, J(x + y)⟩; ∀x, y ∈ B Định lý 2.2.8 ([10], theorem 4.1) Giả sử B không gian Banach lồi trơn đều, K ⊂ B tập lồi, compact Ánh xạ T : K −→ B ∗ liên tục cho ⟨ ( ) ∗( )⟩ J x − πK (Jx − (T x − f )) , J Jx − J(x − πK (Jx − (T x − f ))) ≥ (2.25) Với x ∈ K, f ∈ B ∗ x0 ∈ K, dãy {xn } sinh phép lặp sau ( ( )) (2.26) xn+1 = πK Jxn − αn J xn − πK (Jxn − (T xn − f )) Ở dãy {αn } thỏa mãn: (a) ≤ αn ≤ 1; ∀n 66 (b) ∞ ∑ αn (1 − αn ) = ∞ n=1 Khi tốn V I(T − f, K) có nghiệm x′ ∈ K tồn dãy {xni } ⊂ {xn } cho xni → x′ Chứng minh Do B không gian Banach trơn lồi nên J : B −→ B ∗ song ánh J liên tục tập bị chặn B, ta suy dãy {xn } định nghĩa (2.29) xác định Mặt khác ta có V2 (xn , 0) = V (Jxn , 0) =∥ Jxn ∥2 −2⟨Jxn , 0⟩+ ∥ ∥2 =∥ Jxn ∥2 Do theo bổ đề (2.5) từ (2.28) ( ) ∥ Jxn − J xn − πK (Jxn − (T xn − f )) ∥2 ≤ ≤∥ Jxn ∥2 − ⟨ ( ) ∗( )⟩ − J xn − πK (Jxn − (T xn − f )) , J Jxn − J(xn − πK (Jxn − (T xn − f ))) ≤ V2 (xn , 0) (∗) Mà K ⊂ B tập compact, đặt p = chọn số thích hợp r > Từ bổ đề (2.4) tồn hàm cỡ chuẩn g lồi cho ∥ λx + (1 − λ)y ∥2 ≤ λ ∥ x ∥2 +(1 − λ) ∥ y ∥2 −α(1 − α)g(∥ x − y ∥) ∀x, y ∈ Br ; λ ∈ [0, 1]; K ⊂ Br 67 Kết hợp (∗) với tính chất V ta có V2 (xn+1 , 0) = ( ( ( )) ) = V JπK Jxn − αn J xn − πK (Jxn − (T xn − f )) , ( ( ) ) ≤ V Jxn − αn J xn − πK (Jxn − (T xn − f )) , ( ) =∥ Jxn − αn J xn − πK (Jxn − (T xn − f )) ∥2 ( ) =∥ (1 − αn )Jxn + αn Jxn − J(xn − πK (Jxn − (T xn − f ))) ∥2 ≤ (1 − α) ∥ Jxn ∥2 +αn ∥ Jxn − J(xn − πK (Jxn − (T xn − f ))) ∥2 ( ) − αn (1 − αn )g ∥ J(xn − πK (Jxn − (T xn − f ))) ∥ = (1 − αn )V2 (xn , 0) + αn ∥ Jxn − J(xn − πK (Jxn − (T xn − f ))) ∥2 ( ) − αn (1 − αn )g ∥ xn − πK (Jxn − (T xn − f )) ∥ ≤ (1 − αn )V2 (xn , 0) + αn V2 (xn , 0) ( ) − αn (1 − αn )g ∥ xn − πK (Jxn − (T xn − f )) ∥ ( ) = V2 (xn , 0) − αn (1 − αn )g ∥ xn − πK (Jxn − (T xn − f )) ∥ Từ suy n ∑ ( ) αi (1 − αi )g ∥ xi − πK (Jxi − (T xi − f )) ∥ ≤ V2 (xn , 0) − V2 (xn+1 , 0) i=0 Do V2 : B × B −→ R không âm V2 (x0 , 0) =∥ x0 ∥2 < +∞ nên ta có n ∑ ( ) αi (1 − αi )g ∥ xi − πK (Jxi − (T xi − f )) ∥ < +∞ (2.27) i=0 Từ điều kiện n ∑ αi (1 − αi ) = ∞ từ (2.30) tồn dãy i=0 {ni } ⊂ {n} mà ( ) g ∥ xni − πK (Jxni − (T xni − f )) ∥ −→ 0; (i → +∞) theo tính chất hàm g ta ∥ xni − πK (Jxni − (T xni − f )) ∥−→ 0; (i → +∞) (2.28) 68 Từ tính chất compact K dãy {xni } phải chứa dãy hội tụ mạnh đến x′ ∈ K, không giảm tổng quát ta giả sử xni → x′ Theo tính liên tục πK , T, J (2.31) ta có πK (Jx′ − (T x′ − f )) = x′ hay x′ nghiệm toán V I(T − f, K) Hệ 2.10 ([10], corollary 4.1) Cho H không gian Hilbert, ∅ ̸= K ⊂ H tập lồi, compact Ánh xạ T : K −→ H liên tục ⟨ ⟩ x − πK (x − (T x − f )), πK (x − (T x − f )) ≥ 0; ∀x ∈ K; f ∈ H Với x0 ∈ K, dãy {xn } sinh kiểu lặp Mann sau ( ) xn+1 = (1 − αn )xn + αn πK xn − (T xn − f ) Ở dãy {αn } thỏa mãn: (a) ≤ αn ≤ +∞ ∑ (b) αn (1 − αn ) = ∞ i=0 Khi tốn V I(T − f, K) có nghiệm x′ ∈ K tồn dãy {xni } ⊂ {xn } cho xni → x′ KẾT LUẬN Nội dung chủ yếu luận văn mối liên hệ tính chất hình học khơng gian Banach với tính chất giải tích ánh xạ đối ngẫu Cụ thể, X không gian Banach lồi chặt ánh xạ đối ngẫu J đơn điệu chặt Không gian Banach X trơn ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục hình cầu đơn vị X theo tôpô sinh chuẩn X chuẩn X ∗ Ứng dụng ánh xạ đối ngẫu trình bày tốn tử chiếu suy rộng không gian Banach tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach Khi nói tốn tử chiếu suy rộng, luận văn trình bày tính chất bao gồm: tính lồi, tính liên tục, tính bị chặn Đặc biệt, trình bày tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân không gian Banach, luận văn mối liên hệ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân nghiệm phương trình tốn tử chiếu suy rộng Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2012), Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất Đại học sư phạm [3] Nguyễn Xuân Liêm (2002), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [4] Đậu cấp (2003), Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [5] Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, Nhà xuất giáo dục [B] Tài liệu tiếng Anh [6] Ioana Cioranescu (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlinear Problems, Kluwer academic Publishers [7] Jinlu Li (2005), The generalized projection operator on reflexive Banach spaces and its applications, Department of Mathematical Sciences, Shawnee State University, Portsmouth, OH 45662, USA [8] Jinlu Li (2004), On the existence of solutions of variational inequalities in Banach spaces, Department of Mathematical Sciences, Shawnee State University, Portsmouth, OH 45662, USA 70 71 [9] Sang Hyeon Han and Sung Ho Park (2012), A characterization of the generalized projection with the generalized duality mapping and its applications, Korean Math Soc [10] L.C.Zeng and J.C.Yao (2007), Existence Theorems for Variational Inequalities in Banach Spaces, Journal of optimization theory and applications [11] Charles Chidume (1965), Geometric properties of Banach spaces and nonlinear iterations, Springer