Đạo hàm ánh xạ kiểu weigarten và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ CÔNG DANH ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN VÀ ỨNG DỤNG CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC- TƠPƠ Mã số: 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………… CHƯƠNG I: ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN…………………………… .3 I Đa tạp Riemann…………………………………………………… II Liên thông Levi-Civita……………………………………………… .7 III Ánh xạ đẳng cự…………………………………………………… 13 IV Ánh xạ kiểu Weigarten…………………………………………… 17 CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN…………… 22 I Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten…………………………………… 22 II Độ cong đa tạp Riemann con……………………………… 26 KẾT LUẬN…………………………………………………… 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 38 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann đời từ kỉ 19 quan tâm độ cong không gian mà chủ yếu độ cong điểm khơng gian Như biết ánh xạ Weigarten đóng vai trị quan trọng nghiên cứu hình dạng mặt S E Từ đó, nhà tốn học mở rộng nghiên cứu ánh xạ kiểu Weigarten siêu mặt S đa tạp Riemann, tìm nhiều tính chất hình học đặc trưng mặt S Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số tính chất ánh xạ kiểu Weigarten đa tạp Riemann m -chiều đa tạp Riemann n m  k chiều, số ứng dụng Ngồi ra, việc sử dụng cơng cụ “ Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten ” để tìm số tính chất độ cong đa tạp Riemann Do vậy, luận văn mang tên : Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten ứng dụng Luận văn trình bày hai chương: Chương1 Ánh xạ kiểu Weigarten Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng ánh xạ kiểu Weigarten Chương trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm bốn phần: V Đa tạp Riemann VI Liên thông Levi-Civita VII Ánh xạ đẳng cự VIII Ánh xạ kiểu Weigarten Chương Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten, ứng dụng nghiên cứu số tính chất độ cong đa tạp Riemann Chương II chia làm hai phần: III Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten IV Độ cong đa tạp Riemann Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 trường Đại Học Vinh với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, người dẫn cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo mơn Hình học-Tơpơ, thầy giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Vinh, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương1 ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN Trong chương này, nêu số kiến thức sở trình bày tài liệu ([1],[2])về ánh xạ kiểu Weigarten Cũng chương này, giả thiết M đa tạp có sở tơpơ đếm I Đa tạp Riemann 1.1 Định nghĩa Một cấu trúc Riemann g đa tạp khả vi M ánh xạ g : p  g p ; p  M , g p thỏa mãn: - g p tích vơ hướng Tp M , - g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa g ( X , Y ) ( P ) g p ( X p , Yp ) g hàm khả vi theo p ) Khi  M , g  gọi đa tạp Riemann 1.2 Ví dụ  Xét nửa mặt phẳng : M H   x, y   R / y  0 Với ánh xạ gp: TpH x TpH  R xác định     g : p  g p X p , Y p  X p Y p ; p( x; y ) , p ( x, y )  M y     Trong X p Y p tích vơ hướng thơng thường R Khi đó, gp tích vô hướng TpH,  p    Thật vậy, với  X p , Y p , Z p  Tp M ;  R, p( x, y ) + Tính song tuyến tính : p H, ta có :       g p (X p Y p , Z p )  X p Y p , Z p y ( p)       X Yp Z p p Z p  y ( p) y ( p)      g p ( X p , Z p )  g p (Y p , Z p )     g p ( X p , Y p )   X p Y p y ( p)      g p ( X p , Y p )  Suy gp tuyến tính với X p  Tương tự, gp tuyến tính với Y p Vậy gp song tuyến tính + Tính đối xứng : p  H, ta có :     g p ( X p ,Y p )  X p Y p y ( p)    Y p X p y ( p)    g p (Y p , X p ) + Tính xác định dương : p  H, ta có :     g p ( X p ,Y p )  X p Y p y ( p)   Xp y ( p)  0;  X p    g p ( X p , Y p ) 0  X p 0 Mặt khác: g ( X , Y )  y  X iYi i Do X, Y khả vi nên gp khả vi Vậy (H,g) đa tạp Riemann 2–chiều, gọi nửa phẳng Poincare  Giả sử  hàm số khả vi dương E n n Ta đặt g ( X , Y )  XY , X , Y  B( E n ) Khi  E , g  đa tạp Riemann Thật vậy, ta cần kiểm tra điều kiện để g cấu trúc Riemann n +) g p tích vơ hướng Tp E ; p  E n n Thật vậy, X p , Yp , Z p  Tp E ;  ,   F( E n ) ta có: + g p ( X p , Yp )  ( p) X pYp  ( p)Yp X p  g p (Yp , X p ) + g p ( X p   Yp , Z p )  ( p)( X p   Yp ) Z p  ( p ) X p Z p   ( p)Yp Z p  g p ( X p , Z p )   g p (Yp , Z p ) + g p ( X p , X p )  ( p ) X p X p  ( p )  X p  0 + g p ( X p , X p ) 0  X p 0 +) g p khả vi theo p ; p  E n ( Ta chứng minh g ( X , Y ) hàm số khả vi n X , Y  B( E ) ) Thật vậy, X , Y  n n n B( E ); X  X i Ei , Y  Yi Ei với  Ei  i 1 n i 1 i 1 trường mục tiêu trực chuẩn B( E n ) Khi ta có n g ( X , Y )   X iYi i 1 Do X , Y khả vi nên X i , Yi ; i 1, n Do  hàm số khả vi E n nên g ( X , Y ) hàm số khả vi X , Y  B( E n ) n Vậy  E , g  đa tạp Riemann 1.3 Mệnh đề Mọi đa tạp khả vi M trang bị cấu trúc Riemann Chứng minh: n Giả sử M đa tạp có cấu truc khả vi  U  ,   I  Ei  i 1 sở tắc ( Ei   ) B(U) Khi với X, Y  B(M) ta có biểu diễn: xi n X U   X i Ei , i 1 n Y U   Yi Ei i 1 Ta xét n g / p ( X p , Yp )  X i ( p)Yi ( p); p  U i 1 Dễ thấy g / p tích vơ hướng TpM g khả vi theo p U Đặt g p ( X p , Y p )   ( p ).g   I p ( X p ,Yp ) với X, Y  B(M) Ở    I phân hoạch đơn vị khả vi ứng với phủ  U   I Khi đó, g cấu trúc Riemann M Thật vậy, ta kiểm tra điều kiện: + g p ( X p , Y p )   ( p ).g   I p ( X p ,Yp )   ( p ) X i ( p ).Yi ( p )  I   ( p )Yi ( p ) X i ( p )  I   ( p ).g   I p (Y p , X p )  g / p (Yp , X p ); X p , Yp  Tp M + g p (  X p  Y p , Z p )   ( p).g  p  I   ( p ).g   I p   ( p ). g   I ( X p  Y p , Z p ) (  X i ( p )  Yi ( p ), Z i ( p )) p ( X i ( p), Z i ( p))    ( p). g   I p (Yi ( p), Z i ( p))   g p ( X p , Z p )  g p (Y p , Z p ) + g p ( X p , X p )   ( p ).g   I p (X p , X p )   ( p ) X i ( p ) X i ( p )  ,i   ( p ). X i ( p ) 0  ,i + gp(X p, X p)   ( p ). X i ( p ) 0  ,i  X i ( p) 0; p  M ; i 1, n  X ( p) 0 Tiếp theo, ta chứng minh g hàm số khả vi theo p với pM, tức ta cần chứng minh g(X,Y) hàm số khả vi với X, Y  B(M) Ta lại có   khả vi với I Từ suy g(X,Y) hàm số khả vi với X, Y  B(M) Vậy tồn cấu trúc Riemann g M II Liên thông Lêvi-Civita 1.4 Định nghĩa (xem [1 ]) Giả sử M đa tạp Riemann với cấu trúc Riemann g  liên thơng tuyến tính M Ta nói  liên thông Riemann đường khả vi c : J  M ( J  R ) X , Y trường véc tơ song song dọc c , ta có g ( X , Y ) hàm J 1.5 Định lý (xem [1 ]) Giả sử M đa tạp Riemann,  liên thơng tuyến tính M liên thông  Riemann g = (Nghĩa Z  g ( X , Y )  g (Z X , Y )  g ( X , Z Y ) , X , Y , Z  B( M )) 1.6 Định nghĩa Liên thơng tuyến tính  gọi liên thông Lêvi-Civita  thỏa mãn hai tiên đề sau:  T ( X , Y ) X Y  Y X   X , Y  0 , X , Y   Z  X , Y  Z X Y  Z Y X , X , Y , Z  B( M ) B( M ) Trong X , Y tích vơ hướng B( M ) 1.7 Ví dụ  Cho M R n  = D : B( M ) B( M )  B( M ) ( X , Y )  DX Y Từ tính chất D R n ta thấy  liên thông Levi-Civita R n m  Giả sử M đa tạp khả song với trường mục tiêu  E1 , , En  , Y  Yi Ei , i 1 m đặt X Y  X  Yi  Ei Khi  liên thơng Lêvi-Civita M i 1 1.8 Mệnh đề (xem [1 ]) Liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann M tồn Chứng minh: + Sự tồn  : Giả sử X, Y  B(M), ta xác định  phương trình sau : X Y.Z  1 X  Y, Z  Y  Z, X   Z  X, Y     Z  X, Y   Y  Z, X   X  Y, Z   , (1)  2 với Z trường véc tơ tuỳ ý B(M) Ta kiểm tra ánh xạ  X, Y   X Y thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.4 ... VII Ánh xạ đẳng cự VIII Ánh xạ kiểu Weigarten Chương Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten, ứng dụng. .. số ứng dụng Ngồi ra, việc sử dụng cơng cụ “ Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten ” để tìm số tính chất độ cong đa tạp Riemann Do vậy, luận văn mang tên : Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten ứng dụng Luận văn. .. Weigarten? ??………………………………………… 17 CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN? ??………… 22 I Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten? ??………………………………… 22 II Độ cong đa tạp Riemann con……………………………… 26 KẾT LUẬN……………………………………………………