Dãy farey và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH CHÚC THỊ KIM LOAN DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN, 2011 MỞ ĐẦU Số học khoa học số Từ “Số học” (Arithmetic) xuất phát từ tiếng Hy lạp “Aritmos” có nghĩa số Trong số học người ta nghiên cứu tính chất đơn giản số quy tắc tính tốn Số học lĩnh vực cổ xưa toán học lĩnh vực tồn nhiều tốn, giả thuyết chưa có câu trả lời Trên đường tìm kiếm lời giải cho giả thuyết đó, nhiều tư tưởng lớn, nhiều lý thuyết lớn toán học nẩy sinh (xem [4]) Nhiều nhà tốn học vĩ đại lịch sử có câu nói bất hủ vai trị số học toán học khoa học (xem [10, 11]): Gauss: Toán học Vua khoa học, Số học Nữ hồng Tốn học (Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic the Queen of Mathematics) Jacobi: Thượng đế số học (God is an arithmetician) Kronecker: Thượng đế sáng tạo số tự nhiên phần cịn lại cơng việc (God created the natural number, and all the rest is the work of man) Nếu trước đây, số học xem ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, ngày nay, nhiều thành tựu số học có ứng dụng trực tiếp vào vấn đề đời sống, thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính Trong số học có số đặc biệt mà người ta thường gọi số vàng tốn học Ngồi tính chất đẹp đẽ diệu kỳ nó, số cịn có ứng dụng bất ngờ sâu sắc toán học lĩnh vực khác Việc tìm hiểu số vàng tốn học (chẳng hạn số e số  ) cần thiết có ý nghĩa Chúng ta thử hình dung rằng, tốn học thiếu vắng số e  tình hình tốn học phát triển nào? Với lý trên, chúng tơi trình bày nội dung luận văn sở tham khảo tài liệu số học có liên quan cơng bố xuất thời gian gần Trước hết, tập trung giới thiệu tính chất số vơ tỉ lịch sử hình thành tính chất đặc biệt số e  Luận văn trình bày chi tiết chứng minh: Số e số vô tỉ; Số  số vô tỉ; ứng dụng số e  toán học ngành kỹ thuật khác có sử dụng cơng cụ tốn học Ngồi ra, chương cịn giới thiệu định nghĩa số tính chất dãy Farey ứng dụng chúng số học Chương giới thiệu số kết lý thuyết xấp xỉ vô tỉ phân số hữu tỉ, nội dung có nhiều ứng dụng tính tốn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Thành Quang người thầy giáo quan tâm đặt vấn đề nghiên cứu tận tình dẫn, để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Nguyễn Quý Dy, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, PGS.TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan động viên, cổ vũ có góp ý quý báu giúp tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn Bộ môn Đại số, Khoa Toán Khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Do nhiều nguyên nhân, luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận bảo quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp TÁC GIẢ CHƯƠNG SỐ VƠ TỈ 1.1 Khái niệm tính chất số vô tỉ Số vô tỉ số thực không biểu thị dạng a với a b b số nguyên b 0 (phân số) Chúng ta xuất phát định lý đơn giản số vô tỉ, mà gần biết, định lý có nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi nhà toán học Hy-lạp tiếng: Pithagoras, người phát số vô tỉ Sự kiện đánh phát minh vĩ đại nhân loại, tương đương với tầm cỡ phát minh hình học phi Euclid Nhờ phát minh mà phát độ dài đường chéo hình vng có cạnh đơn vị, đo phân số [10] 1.1.1 Định lý Pithagoras số vô tỉ 1.1.2 Định lý Nếu số m luỹ thừa bậc n số ngun đó, số vô tỉ mn Chứng minh Giả sử mệnh đề sai, có số a b cho n a m  , (a, b) 1 b Do a n mb n (1) (2) Nếu b = a n = m đó, mâu thuẫn với giả thiết định lý, b 2 Giả sử b lớn 1, tồn nguyên tố p ước b Do đó, từ (2) p ước a n hay p ước a Như p ước a b, điều a b nguyên tố Bởi vậy, định lý chứng minh ■ 1.1.3 Định lý Giả sử f ( x) x n  a1 x n    an đa thức đơn hệ với hệ số nguyên Khi đó, nghiệm phương trình f ( x ) 0 số nguyên số vô tỉ Chứng minh Giả sử định lý khơng Khi đó, tồn phân số hữu tỉ tối giản a với b > nghiệm phương trình f ( x ) 0 b n a a Ta có:   + a1   b b n + … + an = hay a n + a1 a n b + … + an b n = hay a n = - ( a1 a n b + a2 a n b++ an b n )b Như b ước a n Vậy ước nguyên tố p b ước a n Do p ước a b Điều trái với giả thiết a phân số tối b giản Bởi định lý ■ 1.1.4 Hệ Nếu m n số nguyên số vơ tỉ Chứng minh Số m n nghiệm phương trình x m  m 0 Như vậy, theo định lý m n số nguyên số vơ tỉ Nhưng nói khơng phải số nguyên.Vậy từ ta có m n số vô tỉ ■ 1.2 Số e số  1.2.1 Giới thiệu số e Hằng số toán học e số logarit tự nhiên Nó cịn gọi số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, số Napier để ghi cơng nhà tốn học Scotland John Napier người phát minh logarit Số e số quan trọng toán học Nó có số định nghĩa tương đương, số chúng đưa Chỉ dẫn tham khảo tới số xuất vào 1618 bảng phụ lục công trình logarit John Napier Thế nhưng, cơng trình không chứa số e, mà đơn giản danh sách logarit tự nhiên tính tốn từ số e Có thể bảng soạn William Oughtred Chỉ dẫn cho biết số e phát Jacob Bernoulli, tìm giá trị biểu thức: n  1 lim    n  n  Việc sử dụng ta biết số, biểu diễn chữ b, liên lạc thư từ Gottfried Leibniz Christiaan Huygens 1690 1691 Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ e cho số vào 1727, việc sử dụng e lần ấn Mechanica Euler (1736) Trong năm sau số nhà nghiên cứu sử dụng chữ c, e trở nên phổ biến cuối trở thành tiêu chuẩn Lí xác cho việc sử dụng chữ e chưa biết, chữ từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thơng thường tăng nhanh chóng, nghĩa toán học hàm mũ) Một khả khác Euler sử dụng nguyên âm sau a, chữ mà ông sử dụng cho số khác, ơng lại sử dụng ngun âm chưa rõ (xem [8]) 1.2.2 Một số định nghĩa khác tương đương số e Số e số thực dương mà đạo hàm hàm số mũ số e hàm số d t e et dt Số e số thực dương mà d log e t  dt t Số e giới hạn: n  1 e lim    x  n  Số e tổng chuỗi vô hạn: 1 1 1       n! 0! 1! 2! 3! 4! n=0  e=  n! giai thừa n Số e số thực dương mà e dt 1  t (nghĩa là, số e số mà diện tích hyperbol f(t) = 1/t từ tới e 1) 1.2.3 Biểu diễn số e dạng liên phân số e   2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, ,1,2n,1,   e 2  1 2 1 1  Như vậy, e số vô tỉ biểu diễn liên phân số lại phân phối theo qui luật tuyến tính: 2;1-2-1;1-4-1;1-6-1;1-8-1; 1.2.4 Số chữ số thập phân biết số e Số chữ số thập phân biết số e Thời gian Số chữ số thập phân Tính 1748 18 Leonhard Euler 1853 137 William Shanks 1871 205 William Shanks 1884 346 J Marcus Boorman 1946 808 ? 1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC) 1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench 1981 116.000 Stephen Gary Wozniak (trên Apple II) 1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell 5/1997 18.199.978 Patrick Demichel 8/1997 20.000.000 Birger Seifert 9/1997 50.000.817 Patrick Demichel 2/1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski 10/1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski 21/11/1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon 10/7/2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 16/7/2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon 2/8/2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 16/8/2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 21/8/2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 18/9/2003 50.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 27/4/2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 6/5/2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 1.2.5 Giới thiệu Pi Số Pi số tốn học có giá trị chu vi đường trịn chia cho đường kính đường trịn Nó hay viết ký hiệu chữ Hy Lạp π Tên pi chữ peripheria (perijeria) có nghĩa chu vi đường tròn Trong thực tế, để tính tốn, người ta thường dùng giá trị gần 3,14 3,1416 Trong lĩnh vực cần độ xác cao hơn, hàng khơng vũ trụ, pi dùng không 10 chữ số thập phân 1.2.6 Các cơng thức có dùng số Pi Hình học: Số π có mặt hình học liên quan tới hình trịn hình cầu: Dạng hình Chu vi hình trịn bán kính r đường kính d Cơng thức C  d 2 r Diện tích hình trịn bán kính r S  r Diện tích hình ellipse bán trục a b S  ab Thể tích hình cầu bán kính r đường kính d Diện tích bề mặt hình cầu bán kính r Thể tích hình trụ trịn chiều cao h bán kính r Diện tích mặt hình trụ trịn cao h bán kính r Thể tích hình nón cao h bán kính r Thể tích hình nón cụt cao H bán kính lớn R bán kính nhỏ r V   r3   d 3 S 4 r V  r h V 2   r    2 r  h 2 r    h  V   r 2h V   H  R  Rr  r  Ngồi ra, góc đo 180° π rad Giải tích Nhiều cơng thức giải tích chứa π bao gồm biểu thức chuỗi vơ hạn (và tích vơ hạn), tích phân, gi l cỏc hm c bit 10 Franỗois Viète, vào năm 1593 chứng minh: 2    2 2 2 2 Công thức Leibniz: 1 1        Một cách kĩ thuật chuỗi biểu thị dạng:    1 n   2n   n 0  Tích Wallis: 2 4 6 8   3 5 7 2  2n    2n 2n    2 n 1  n   n 1 2n  2n    Thuật toán Chudnovsky: k    1  6k  ! 13591409  545140134k  12 3  k 0  3k  ! k ! 6403203k   Thuật toán Bailey-Borwein-Plouffe (năm 1995):  1      i  8i  8i  8i   i 0 16  8i      Công thức tích phân từ giải tích (xem thêm Hàm lỗi phép Phân phối chuẩn):  e  x2 dx     Vấn đề Cơ 1, giải Euler (Hàm Riemann zeta): 1 1 2          19 số a b khơng có ước ngun tố chung Bởi logb a số vô tỉ Một cách tương tự chứng minh log a b số vô tỉ ■ 20 CHƯƠNG DÃY FAREY 2.1 Dãy Farey Nếu a c ac hai phân số hữu tỉ cho Khi gọi b d bd trung bình a c b d 2.1.1 Mệnh đề Cho a c hai phân số hữu tỉ Khi đó, trung bình b d chúng nằm chúng Chứng minh Nếu Khi a c < bc - ad > b d bc  ad a c a a a c - = > Do < b  d b b(b  d ) b bd Mặt khác bc  ad c a c a c c = > Bởi < b(b  d ) d bd bd d (1) (2) Từ (1) (2) suy mệnh đề Trong trường hợp a c > lý luận tương tự Mệnh đề b d chứng minh ■ 2.1.2 Hệ 1) Nếu a a ak < < < với k nguyên dương b b bk 2) Nếu a a ak > > > với k nguyên dương b b bk Điều suy trực tiếp từ định lý nên ta thay k ■ k ... tính chất đặc biệt số e  Luận văn trình bày chi tiết chứng minh: Số e số vô tỉ; Số  số vô tỉ; ứng dụng số e  toán học ngành kỹ thuật khác có sử dụng cơng cụ tốn học Ngồi ra, chương giới thiệu... kỳ nó, số cịn có ứng dụng bất ngờ sâu sắc tốn học lĩnh vực khác Việc tìm hiểu số vàng toán học (chẳng hạn số e số  ) cần thiết có ý nghĩa Chúng ta thử hình dung rằng, toán học thiếu vắng số... toán học vĩ đại lịch sử có câu nói bất hủ vai trị số học tốn học khoa học (xem [10, 11]): Gauss: Toán học Vua khoa học, Số học Nữ hồng Tốn học (Mathematics is the Queen of all Sciences, and Arithmetic