Ánh xạ gần nhất, siêu phẳng tựa và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

1 MỞ ĐẦU Nghiên cứu tập lồi nhánh Hình học, Giải tích có mối liên hệ với lĩnh vực khác toán học bao gồm: Thống kê, Lý thuyết số Tổ hợp Tầm quan trọng lý thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế tập lồi xuất thường xuyên toán học nhiều lĩnh vực khác Khái niệm tập lồi, hàm lồi thống loạt tượng tốn học Việc nghiên cứu Hình học lồi dẫn đến hai xu hướng: xu hướng thứ mở rộng khái niệm lồi cổ điển để nghiên cứu theo hướng riêng biệt, xu hướng thứ hai tìm kiếm công cụ để nghiên cứu hiệu tập lồi Có thể kể đến số cơng cụ để nghiên cứu tập lồi ánh xạ '' gần '', siêu phẳng tựa, hàm tựa, Mục đích luận văn nghiên cứu ánh xạ '' gần '', siêu phẳng tựa ứng dụng chúng việc nghiên cứu tập lồi ℝn Với lý trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: ÁNH XẠ GẦN NHẤT, SIÊU PHẲNG TỰA VÀ ỨNG DỤNG Luận văn trình bày thành chương Chương Một số vấn đề tập hợp lồi Chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm phẳng tập lồi không gian ℝn, khái niệm số tính chất liên quan đến tập lồi hai định lý Radon Caratheodory Chương chia làm mục sau: 1.1 Các khái niệm tính chất liên quan đến tập lồi 1.2 Định lý Radon Định lý Caratheodory Chương Ánh xạ gần nhất, siêu phẳng tựa số ứng dụng chúng Trong chương chúng tơi trình bày nội dung sau: 2.1 Ánh xạ gần siêu phẳng tựa 2.2 Cấu trúc tập lồi, nón, nón chuẩn tắc 2.3 Hàm tựa hàm khoảng cách 2.4 Thể đối cực Luận văn hoàn thành Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo: PGS.TS Nguyễn Hữu Quang, TS Nguyễn Duy Bình thầy tổ Hình học, Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh giảng dạy giúp đỡ nhiều trình làm luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tập thể lớp K17 Hình học -Tơpơ, gia đình, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ động viên tác giả q trình hồn thành luận văn Tuy nhiên, điều kiện thời gian lực cịn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý kiến q thầy bạn học viên Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP HỢP LỒI 1.1 Các khái niệm tính chất liên quan đến tập lồi Trong luận văn chúng tơi xét khơng gian ℝn với tích vơ hướng thông thường  ,  xác định sau: Nếu x = (x1, x2, , xn ), y = (y1, y2, , yn) đó:  x,y  = x1y1 + x2y2 + + xnyn Bình phương khoảng cách điểm x y cho || x – y ||2 = x – y , x – y Ta gọi hình cầu mở có tâm x bán kính r tập hợp { y| ||x – y || < r} Với K  ℝn ta ký hiệu K , y 0 x, y 0 với x K 1.1.1 Định nghĩa Một tập hợp C  ℝn gọi tập lồi (hay hình lồi) với hai điểm x, y  C, x ≠ y, đoạn thẳng [ x, y ] = {x + (1 -  )y | ≤  ≤ 1} chứa C (hình 1) Các ví dụ tập hợp lồi là: điểm, đường thẳng, đĩa hình cầu ℝ2, tập  ℝn tập hợp lồi Nếu B đĩa tròn mở ℝ2 M tập hình trịn B biên B, B  M tập lồi Cho nên tập hợp lồi khơng thiết mở đóng 1.1.2 Bổ đề Giao họ tuỳ ý tập lồi tập lồi Chứng minh Giả sử A  I họ tập lồi Đặt A =  A Khi ta I cần chứng minh A tập lồi.Thật vậy,với x, yA ta có x, yA ,với   I Do đó, với    ta có x + (1- )y  A với   I (vì A tập lồi) Từ suy x + (1- )y  A Vậy A tập lồi HÌNH 1: Bên trái: tập lồi, bên phải: không tập lồi 1.1.3 Định nghĩa Chúng ta nói x tổ hợp lồi x1, x2,…, xr  ℝn tồn 1, 2, , r  ℝ cho x 1 x1   r xr , (1.1) 1   r 1 , (1.2) 1 0, , r 0 (1.3) Nếu bỏ điều kiện (1.3), nói x tổ hợp affine x1, x2, … , xr x, x1, x2, … , xr , gọi phụ thuộc affine Nếu x,x1, x2, … , xr phụ thuộc affine, nói chúng độc lập affine Vậy tổ hợp lồi tổ hợp affine đặc biệt Trong hình 2, ta lấy điểm không thẳng hàng x1, x2, x3 ℝ2, tổ hợp lồi chúng phần tam giác có đỉnh điểm này, tổ hợp affine chúng ℝ2 1.1.4 Định nghĩa Tập hợp tất tổ hợp lồi phần tử tập hợp M  ℝn gọi bao lồi M, ký hiệu conv M HÌNH Tập hợp tất tổ hợp afin phần tử tập hợp M  ℝn gọi bao affine M, ký hiệu aff M Chúng ta ký hiệu lin M bao tuyến tính M, khơng gian tuyến tính nhỏ chứa M Nếu M = {x1, … , xr } tập hợp hữu hạn, nói P = conv M tập lồi đa diện, gọi đơn giản hình đa diện Nếu x1, … , xr độc lập affine, gọi tập T = conv {x1, … , xr } (r – 1)-đơn hình nói ngắn gọn đơn hình r -1 gọi số chiều T Các điểm gọi đỉnh T Giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng gọi tập lồi đa diện 1.1.5 Nhận xét (1) Rõ ràng, M  conv M  aff M (2) Mỗi hình đa diện compact (nghĩa là: bị chặn đóng) 1.1.6 Định lý a) Bao lồi conv M M  ℝn tập hợp lồi nhỏ có chứa M; nghĩa M' tập lồi M  M' conv M  M' b) Tập hợp M  ℝn lồi chứa tất tổ hợp lồi, điều nghĩa M lồi M = conv M Chứng minh (a) Trước hết, conv M lồi Nếu x,y  conv M, có tồn x1, … , xr , y1, … , ys  M số thực 1, … , r, 1, … , s cho x 1 x1   r xr , y 1 y1    s ys , 1   r 1, 1 0, , r 0 , 1    s 1, 1 0, ,  s 0 Sử dụng hệ số (nếu cần thiết), giả thiết r = s yj = xj, j = 1,…, r Đối với ≤  ≤ bất kỳ,  x  (1   ) y  (1 x1   r xr )  (1   )( 1 y1   r yr ) [1  (1   ) 1 ]x1   [r  (1   ) r ]xr Vì tất hệ số âm, 1  (1   ) 1   r  (1   )  r     1,  x  (1   ) y tổ hợp lồi x x1, … , xr Cho nên conv M lồi Bây giờ, ta chứng minh conv M tập lồi nhỏ chứa M Giả sử M' tập hợp lồi, M'  M, x  conv M Vậy tồn x1, … , xr  M cho x 1 x1   r xr , 1   r 1, 1, … , r > Cũng x1, … , xr  M', xác định sau: y1 1 (1  2 )  x1  2 (1  2 )  x2 y2 (1  2 )(1  2  3 )  y1  3 (1  2  3 )  x3  x (1   r  )(1   r )  yr   r (1   r )  xr tất điểm nằm M', conv M  M' Chứng minh (b) Suy từ Nhận xét 1.1.5 (a) 1.1.7 Định nghĩa Nếu C tập hợp lồi, gọi dim C ≔ dim(aff C) số chiều C Quy ước dim  = -1 Sau ta sử dụng ký hiệu tổng Minkowski sau: với tập A, B ℝn , A + B ≔ {a + b | a A, b B} Trường hợp riêng, A = {a} a + B gọi ảnh B qua phép tịnh tiến vectơ a 1.1.8 Bổ đề Cho A, B  ℝn, b  V, k  ℝ a) Nếu A  B aff(A)  aff(B) b) aff(kA) = kaff(A) c) aff(A + b) = aff(A) + b d) aff(A + B) = aff(A) + aff(B) e) aff(A + B) = aff(A) + aff(B) Chứng minh a) Suy từ Định lý 1.1.6 b b) Trước hết ta chứng minh: aff(kA)  kaff(A) (1.4) Với x thuộc aff(kA) n x= n  ixi,  i = 1, xi  kA  xi = kyi, yi  A, i = 1, 2, , n i 1 i 1 n Vì x = n  ixi = i 1 n  i(kyi) = k  iyi  kaff(A) i 1 n (vì aff(A) =   iyi, i 1 i 1 n  i = 1, yi  A ) i 1 Suy x  kaff(A) Vậy (1.4) chứng minh Tiếp theo ta chứng minh kaff(A)  aff(kA) (1.5) n n Với x thuộc kaff(A) x = k  iyi, i 1 n Do x = k n  i = 1, yi  A, i = 1, 2, , n i 1 n  iyi =  i(kyi) =  ixi  aff(kA) i 1 i 1 i 1 n n (Vì aff(kA) =   ixi, i 1  i = 1, xi = kyi, yi  A, i = 1, 2, , n) i 1 Suy x  aff(kA) hay (1.5) chứng minh Kết hợp (1.4) (1.5) ta chứng minh b n c) Lấy x thuộc aff(A + b) x = n  ixi,  i = 1, xi  A + b, suy i 1 i 1 xi = yi + b, yi  A, i = 1, 2, , n n Vì x = n n n  i(yi + b) =  iyi + (  i)b =  iyi + b  aff(A) + b i 1 i 1 i 1 i 1 n (vì   i = 1  A) Do i 1 aff(A + b)  aff(A) + b n n Mặt khác, aff(A) + b =   iyi + b , i 1 n  i = 1, yi  A, i = 1, 2, , n i 1 n n =   iyi + (  i) b, i 1 i 1 n =   i(yi + b), i 1 (1.6)  i = 1, yi  A, i = 1, 2, , n i 1 n  i = 1, yi  A, i = 1, 2, , n  aff(A + i 1 b) Suy aff(A) + b  aff(A + b) Kết hợp (1.6) (1.7) ta chứng minh c) d) Trước hết ta chứng minh (1.7) aff(X + Y)  aff(X) + aff(Y), (1.8) Với hai tập lồi X, Y Thật vậy, x  aff(X + Y) theo Định lý 1.2.2 k x= k  i (xi + yi), xi X, yi Y, i = 1,…, k;  i = i 1 k Với x = i 1 k  i xi +  i yi  aff(X) + aff(Y) nên suy bao hàm thức cần chứng i 1 i 1 minh Lấy X = A, Y = B ta có aff(A + B)  aff(A) + aff(B) (1.9) Lấy X = A = A+B + (–1) B, áp dụng b) (1.9) ta có aff(A) = aff [A+B + (–1) B]  aff (A+B) - aff (B) Vậy aff(A) + aff(B)  aff(A + B) (1.10) Từ (1.9) (1.10) ta có đpcm e) Áp dụng b) d) 1.1.9 Định lý Cho điểm x1, x2, , xk  ℝn Khi điều kiện sau tương đương i) Hệ x1, x2, , xk độc lập affine ii) Với j = 1, 2, , k hệ véc tơ xi - xji  j độc lập tuyến tính iii) Nếu i  ℝ, i = 1, 2, , k cho 1x1 + 2x2 + + kxk =  1 + 2 + + k = 1 = 2 = = k = Chứng minh i)  ii) Với j cố định, áp dụng Bổ đề 1.1.8, ta có aff(x1, x2, , xk) = xj + L, L = affxi - xj  i = 1, 2, , k L tập affine chứa  nên L không gian vectơ V Do hệ  x1, x2, , xk độc lập affine  dimaff(x1, x2, , xk) = k -1  dim L = k -1 10 Mặt khác, hệ sinh L xi - xj  i  j, hệ có (n-1) vectơ Kết hợp với dim L = k -1 ta suy hệ vectơ xi - xji j độc lập tuyến tính ii)  i) Với j cố định, j  1, 2, , k, sử dụng đẳng thức aff (x1, x2, , xk) = xj + L, L = aff xi - xj  i = 1, 2, , k Nếu hệ vectơ xi - xji  j độc lập tuyến tính dim L = k -1  dim { x1, x2, , xk} = k -1  x1, x2, , xk độc lập affine ii)  iii) Với j, giả sử xi - xji  j độc lập tuyến tính 1x1 + 2x2 + + kxk =  1, 2, , k  ℝn 1 + 2 + + k = 0, Nhân đẳng thức thứ hai với xj trừ vào đẳng thức đầu ta có :  = 1(x1 – xj) + 2(x2 – xj) + + j -1(xj -1 – xj) + j +1(xj +1 – xj) + + n(xk – xj) Vì xi - xji  j độc lập tuyến tính nên 1 = 2 = = j -1 = j +1 = = k = Từ suy 1 = 2 = = k = iii)  ii) Giả sử 1, 2, , j -1, j +1, , k  ℝ mà 1(x1 – xj) + 2(x2 – xj) + + j-1(xj -1 – xj) + j +1(xj +1 – xj) + + k(xk – xj) =   1x1+ 2x2 + + j -1xj -1 + (- 1 - 2 - - j -1 - j +1 - - n)xj + j +1xj +1 + + kxk =  Đặt j = j , i = 1, , j -1, j + ; j = - 1 - - j -1 - j +1 hai điều kiện mệnh đề iii) thỏa mãn nên 1 = 2 = = k.= Suy 1, 2, , j -1, j +1, , k =0 Vậy xi - xji  j độc lập tuyến tính  1.1.10 Định nghĩa Một tập lồi compact gọi thể lồi Ví dụ: Điểm đoạn thẳng thể lồi ℝn , n  Thể lồi ℝn khơng thiết có số chiều n 1.1.11 Định nghĩa Chúng ta nói x  M  ℝn điểm tương đối M x điểm M xét aff M (nghĩa tồn hình cầu B ... XẠ GẦN NHẤT, SIÊU PHẲNG TỰA VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG 2.1 Ánh xạ gần siêu phẳng tựa Khá nhiều đặc tính tập lồi đóng K nghiên cứu cách sử dụng ánh xạ từ điểm ℝn tới điểm gần K Trước hết,... (2.1) 2.1.2 Định nghĩa Ánh xạ pK :  n  K x  pK ( x )  x '' x'' nói Bổ đề 2.1.1 gọi ánh xạ gần K (nói đầy đủ ánh xạ tới điểm gần K) Ta có tính chất hiển nhiên sau ánh xạ gần nhất, suy từ định nghĩa... [x, x’] 19 Ta cần chứng minh H siêu phẳng tựa K Do x – x’ vectơ pháp tuyến H nên x  H+\H x  H-\H Giả sử x  H+\H (trường hợp  H-\H chứng minh tương tự) Nếu H siêu phẳng tựa K tồn y  K  (H+\H),