một số bài toán về đô thị và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai cạnh hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng.. Cặp đỉnh x, y được nối với nhau bằng cạnh cung a, thì x, y được gọi là

1

TRUONG DAI HOC VINH

TRAN VAN THUONG

MOT SO BAI TOAN

VE DO THI VA UNG DUNG

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGHE AN - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRAN VAN THƯƠNG

_ MOT SO BAI TOAN

VE DO THI VA UNG DUNG

CHUYEN NGANH: DAI SO VA LY THUYET SO

MA SO: 60.46.05

LUAN VAN THAC Si TOAN HOC

NGUOI HUONG DAN KHOA HOC

PGS.TS NGUYEN THANH QUANG

NGHE AN - 2012

MOT SO VAN DE VE LY THUYET DO THI

Cac khai niém co ban

THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐÒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG

Thuật toán tô màu đồ thị và ứng dụng xếp lịch thi học phần trong đào

Tổ hợp là một ngành toán học rời rạc nghiên cứu về các cấu hình kết

hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử Các cấu hình đó là những phép

liệt kê, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp các phần tử của một tập hợp Tổ hợp có liên

quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như: đại số, lý thuyết xác

suất, lý thuyết ergod (ergodie :heory) và hình học, cũng như các ngành ứng

dụng như khoa học máy tính và vật lý thống kê

Các bài toán tô hợp cơ bản bao gồm: Bài toán rời rạc và đại số tổ hợp;

Bài toán hình học tổ hợp; Bài toán tô màu; Bài toán trò chơi; Bài toán đồ thị

Lý thuyết đồ thị là ngành khoa học được phát triển từ lâu nhưng lại có nhiều ứng dụng hiện đại Một đồ thị là một tập hợp các đỉnh và các đường nói

các đỉnh gọi là cạnh (cung) Tô màu đồ thị là phép gán màu cho mỗi đỉnh sao cho không có hai đỉnh kề nhau được gán cùng màu Bài toán xếp lịch thi được

mô hình hóa thành bài toán tô màu đồ thị như sau: lập đồ thị có các đỉnh là các môn thi, hai môn thi kề nhau nếu có một sinh viên thi cả hai môn này

Thời điểm thi của mỗi môn được biểu thị bằng các màu khác nhau

Với lý do như đã trình bày ở trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận văn

thạc sĩ toán học là “Một số bài toán về đồ thị và ứng dụng” nhằm tìm hiểu

một trong năm bài toán cơ bản của Tổ hợp toán học

Luận văn này đề cập đến các nội dung chính sau: Giới thiệu các khái

niệm và các kết quả cơ sở về lý thuyết đồ thị; Giải một số bài toán đồ thị chọn

từ các đề thi vô địch toán quốc gia, quốc tế; Thuật toán giải một số bài toán tô

màu đồ thị và bước đầu tìm hiểu ứng dụng trong xép lich thi hoc phan trong đào tạo theo hệ thống tín chỉ

Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học - PGS.TS

Nguyễn Thành Quang - đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý

thuyết số, khoa Toán học, phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại học

5 Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và nghiên cứu

để hoàn thành luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Trường Đại học Đồng Tháp đã giúp đỡ, tạo điều kiện tổ chức thuận lợi cho mỗi học viên chúng tôi trong học tập và nghiên cứu chương trình đào tạo sau đại học liên kết giữa hai trường

Xin cảm ơn cơ quan công tác, gia đình, bạn hữu của tôi đã quan tâm

giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua

Tuy đã có gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG! : anna

MOT SO VAN DE VE LY THUYET DO THI

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa đồ thị Tập hợp x zØ các đối tượng và bộ E các cặp sắp thứ tự và không sắp thứ tự các phần tử của X được gọi là một đồ /h¿, đồng thời được ký hiệu bằng ớ(x,E) (hoặc bằng G = (X, E) hoc bang G(X)

Các phần tử của X gọi là các đi Cặp đỉnh không sắp thứ tự gọi là

cạnh, cặp đỉnh có sắp thứ tự được gọi là cạnh có hướng hay cung

Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ /hj vô hướng, còn đồ thị chỉ

chứa các cung được gọi là đồ thị có hướng Nếu đồ thị chỉ chứa cả cạnh lẫn

cung, thì nó được gọi là đồ thj hỗn hợp hay đô thị hỗn tạp

Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hoặc nhiều hơn hai

cạnh (hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng) Các cạnh (cung) này

được gọi là các cạnh (cung) bội

Một cung (hay một cạnh) có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh

Cung hay cạnh loại này được gọi là khuyên hay núi

Cặp đỉnh x, y được nối với nhau bằng cạnh (cung) a, thì x, y được gọi

là các đỉnh hay hai đâu của cạnh (cung) z và a được gọi là cạnh (cung) thuộc

Đối với mọi đỉnh x dùng 7+) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này được

nối với x bằng ít nhất một cạnh, D” (x) dé chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này từ x

có cung đi toi; D'(x) dé chi tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này có cung đi tới x

Hai cạnh (cung) a, ð được gọi là kề nhau, nếu:

1) Chúng khác nhau

7 2) Chúng có đỉnh chung (nếu z, ở là cung, thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung 4a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung ?)

Vi du 1.1.1 Cho dé thị hỗn hợp có khuyên GŒ(Z, E) voi tập đỉnh:

X= [XX ASG} »

Tap canh va cung:

E = {xX y5Xy 5X y5X 45X55 5X53 X35¥45% XoXo Xs }

Trong đó: a,,a,,a;,a,,a, la cac canh; 4,,b, la cdc cung Cung b; c6 x; 1a đỉnh dau, x, 1a dinh cudi

1.1.2 Các cách biểu diễn đồ thị

1.1.2.1 Biểu diễn bằng hình học Giả sử có đồ thị G(Z, E)

Biểu diễn đỉnh: Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian

tương ứng với các phần tử thuộc tập X và dùng ngay ký hiệu các phần tử này

để ghi trên các điểm tương ứng

Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu 1a x, y thì nó được biểu diễn bằng một đoạn thắng hay một đoạn cong nối giữa hai diém x, y va khong

đi qua các điểm tương ứng trung gian khác

Biểu diễn cung: Nếu cung a có đỉnh đầu là x, đỉnh cuối là y, thì nó được

biểu diễn bằng một đoạn thắng hoặc một đoạn cong được định hướng từ x

sang y và không qua các điểm tương ứng trung gian khác

Hình nhận được gọi là đạng biểu diễn hình học của đồ thị G(X, E) Đôi

khi người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là một đồ thị

Vi du 1.1.2 Dạng biêu diễn hình học của đồ thị GŒ(X, E) cho trong vi du 1.1.1 là:

1.1.2.2 Biểu diễn bằng ma trận liêñ:hùộơ

Gia sir d6 thi G(X, E) gém n dinh, m canh va cung

xX =Í{Xi,X; X„}

E= {e e; e„}

Ma trận liên thuộc của đồ thị Œ là ma trận 4 gồm ø hàng tương ứng với

n đỉnh và m cột tương ứng với 7 cạnh và cung

Ma trận A=(a.a,).L<i<m1< j<m có

+I, Nếu x; là đỉnh đầu của cung ø;

~I, Nếu x;là đỉnh cuối của cung é;

1, Nếu x; là một đầu của cạnh ớ

‘ 0, Nếu x;không thuộc cạnh (cung) ¢;

+2, Nếu x; là đỉnh, mà cung ej đồng thời là khuyên xuất phát từ nó

2, Nếu x; là đỉnh, mà cạnh ej đồng thời là khuyên thuộc nó

Ví dụ I.1.3 Đồ thị hỗn hợp có khuyên trong vi du 1.1.1 có ma trận 4 thuộc dạng như sau:

+1, Néu x; sang x; c6 cung

a.=4 1, Néux, x; duge noi bang một cạnh

0, Trong các trường hợp còn lại

9

Nhận xét: Ma trận kề của đồ thị bất kỳ đều là một ma trận vuông

có các phần tử là 0 hoặc là 1 hoặc + 1 Trong trường hợp đồ thị vô hướng, thì

ma trận kề đối xứng qua đường chéo thứ nhất

1.1.3 Một số dạng đồ thị đặc biệt

Trong những trường hợp không cần phân biệt giữa cạnh và cung ta quy

ước dùng cạnh thay cho cả cung

Đồ thị G(X, E) không có khuyên và mỗi cặp đỉnh được nối với nhau

bằng không quá một cạnh được gọi là đô /hj đơn hay đơn đô thị và thông

thường được gọi là đồ thị

D6 thi G(X, E) khéng có khuyên và có ít nhất một cặp đỉnh được nối với nhau bằng từ hai cạnh trở lên được gọi là da đ thị

Đồ thị vô hướng (có hướng) GŒ(Z, E) được gọi là đồ thi - đẩy đủ, nêu

mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng đúng một cạnh (một cung với chiều tùy

ý)

Đồ thị vô hướng (có hướng) G(X, E) được gọi là đô rhj k - đây đủ, nêu

mỗi cặp đỉnh được nối với nhau bằng đúng & cạnh (k cung với chiều tùy ý)

Đồ thị (đa đồ thị) ŒZ, E) được gọi là đồ :hj (đa đồ thị) hai mảng, nêu

tập đỉnh X của nó được phân thành hai tập con rời nhau X, X>

(X, UX, = X,X,0X, =) va mi canh đều có một đầu thuộc X;, còn đầu kia

thuộc X; Khi đó G(X, E) còn được ký hiệu bằng Œ(X,, X›:, E)

Đồ thị (da d6 thi) G(X, E) duge goi 1a do thi (da dé thị) phẳng, nếu nó

có ít nhất một dang biểu diễn hình học trải trên một mặt phẳng nào đó, mà các

Đồ thị (đa đồ thị) với số cạnh thuộc mỗi đỉnh đều hữu hạn được gọi là

đồ thị (đa đồ thị) hữu hạn địa phương.

Hiển nhiên rằng, một đồ thị hay đa đồ thị hữu hạn, thì nó cũng

hữu hạn địa phương

Trong các phần tiếp theo, nếu không có chú ý gì thêm, thì các đồ thị, đa

đồ thị được xét đều hữu hạn

Cho Yc Y.YzØ;HcE.F=E(YxY) và V =(XxX)/E

Đồ thị G,Œ, F) được gọi 1a dé thi con, còn G›(X, H) là đô thị bộ phận cua dé thi G(X, E)

Đồ thị G’(X, V) duge goi là đồ thị bù của đồ thi G(X, E)

Đồ thị có hướng Œ(X, E) được gọi là dé thi déi xứng, nếu

vx,ye X|(x.y)<E=(y,x)eE |

Trong đồ thị đối xứng tùy ý hai đỉnh kề nhau x, y luôn luôn được nối

bằng hai cung ngược chiều nhau Đề đơn giản, trong trường hợp này người ta

quy ước thay hai cung nói trên bằng một cạnh nói giữa x và y

Đồ thị có hướng Œ(X, E) được gọi là đô ?hj phản đối xứng, nếu

vx,yeX[(x.y)<E=(y.x) # E |

Dinh có bậc bằng 1 gọi là đỉnh treo Hình 1.2.1

Cạnh (cung) có ít nhất một đầu là đỉnh treo được gọi là cạnh (cung)

treo

Trong đồ thị hình 1.2.1, x; là đỉnh biệt lập; x¿, x;z là các đỉnh treo; (x;,xz)

là cạnh treo; (xz„x;) là cung treo

1.2.2 Nira bậc Giả sử G(X, E) 1a dé thi hoac da đồ thị có hướng Số cung di

vào đỉnh x được gọi là øửa bậc vào của x va ky hiệu bằng m (x) hoặc m (x)

Số cung đi ra khỏi đỉnh x được gọi là nửa bậc ra của đỉnh x và ký hiệu bằng

Số chẵn A là tổng của & số lẻ, nên & phải chẵn Bởi vậy số đỉnh bậc lẻ

trong đồ thị hay đa đồ thị bất kỳ phải là một số chẵn m

1.2.5 Dinh lý Trong một do thị với n (n>2) đỉnh có ít nhất hai đỉnh cùng

2) Nếu đồ thị có đỉnh ø — 7, thì đồ thị không có đỉnh bậc 0 Bởi vậy bậc

của mỗi đỉnh thuộc đồ thi la mot trong n — 7 số nguyén: 1,2, 7—3,n—-2,n-1

Từ kết quả lý luận trên khẳng định được rằng, đồ thị Œ(X, E) với ø

đỉnh, nhưng chỉ có không quá ø — 7 loại bậc Bởi vậy, phải có ít nhất 2 đỉnh

cùng bậc Khăng định được chứng minh g

1.2.6 Định ly Néu đồ thị với n (n>2) đỉnh có đúng 2 đỉnh cùng bậc, thì hai đỉnh này không thể đồng thời có bậc 0 hoặc n -1

Chứng mình Giả sử x, y là hai đỉnh cùng bậc của đồ thị G(X, E) và đều có bậc

0 hoặc bậc ø — J Loại x, y va tat cả các cạnh thuộc chúng khỏi đồ thị G, ta

được đồ thị G¡ có z — 2 đỉnh Theo định lý 1.2.5 trong G; có 2 đỉnh cùng bậc, chang hạn ø, v

13

1) Nếu x, y cùng bậc 0, thì „„vw trong Œ không kề với x, y nên ø, v đồng thời là hai đỉnh cùng bậc trong đồ thị Œ Như vậy, đồ thị G phải có ít

nhất 2 cặp đỉnh cùng bậc

2) Nếu x, y đều có bậc ø — 7 Khi đó mỗi đỉnh ø, v đều kề đồng thời với

x, y, nên trong đồ thị Ở các đỉnh ø, v cũng cùng bậc Như vậy trong đồ thị G

phải có ít nhất 2 cặp đỉnh cùng bậc

Cả hai trường hợp đều dẫn đến mâu thuẫn với tính chất: Đồ thị G có

duy nhất một cặp đỉnh cùng bậc, nên x, y không thế cùng bậc 0 hoặc cùng bậc n— 1 Khắng định được chứng minh a

1.2.7 Định lý Số đỉnh bậc n — 1 trong do thị G với n (n>4) đỉnh, mà 4 đỉnh tùy ý có ít nhất một đỉnh kè với 3 đỉnh còn lại, không nhỏ hơn n — 3

Chứng minh 1) Nêu G đầy đủ, thì khẳng định hiển nhiên

2) Nếu G có cặp đỉnh duy nhất không kề nhau Khi đó trong Ở có ø — 2

đỉnh bậc ø — 7

3) Nếu G có 2 cặp đỉnh không kề nhau, thì chúng phải có đỉnh chung That vay, gia str A, B; J, D là hai cặp đỉnh không kề nhau Nếu hai cặp đỉnh

này không có đỉnh chung, thì trong bốn đỉnh 4, Ö, 7, D không có đỉnh nào kề

với ba đỉnh còn lại, như vậy mâu thuẫn với giả thiết, nên hai cap 4, B; J, D

phai cé hai dinh tring nhau, chang han B=/

Lấy đỉnh C tùy ý khác với 4, B8, D Trong bộ bốn 4, 8, C, D đỉnh C kề

với cả 3 đỉnh 4, 8, D

Loại D ra khỏi bộ bốn trên và thay vào đó là đỉnh E tùy ý khác với 4,

B,C, D Trong bộ bốn 4, 8, C, E hoặc C hoặc E phải kề với cả 3 đỉnh còn lại,

nếu # kề với 3 đỉnh còn lại thì C kề với £ Do đó C kể với cả ba đỉnh 4, 8, E

Do # là đỉnh tùy ý trong ø — 4 đỉnh còn lại (khác các đỉnh 4, Ø, C) nén

€ có bậc n— ï

C là đỉnh tùy ý trong n — 3 đỉnh khác 4, 8, D nên đồ thị có ø - 3 đỉnh

bậc ø— ï Khang định được chứng minh m

1.2.8 Định lý Với số /ự nhiên n (n>2), luôn tôn tại đồ thị n đỉnh mà 3 đỉnh bắt kỳ của đồ thị đều không cùng bậc.

Chứng minh 1) Véi n = 3 thi dé thi G; gồm I1 đỉnh bậc 0 và 2 đỉnh bậc 1 2) Giả sử khẳng định đúng với đồ thị G„ có ø đỉnh Đồ thị G„:¡ có ø + 7

đỉnh được xây dựng như sau:

a) Nếu Œ„ có đỉnh bậc ø — 7, thì không có đỉnh bậc 0, nếu ta ghép vào G,, dinh x bậc 0 và được ỚŒ„;; có ø + 7 đỉnh, việc ghép thêm đỉnh x vẫn bảo

toàn tính chất của Œ„: ba đỉnh bất kỳ đều không cùng bậc và đồ thị Œ„ không

có đỉnh bậc 0, nên trong G„ ; ba đỉnh bat kỳ không cùng bậc

b) Nếu G„ không có đỉnh bậc ø — 7 Khi đó tất cá các đỉnh của Œ„ đều

có bậc không quá z — 2 Thêm vào G„ đỉnh x (không thuộc G,) và nối x với từng đỉnh của G„ bằng một cạnh, được đồ thị G„; có ø + 7 đỉnh Đỉnh x có bậc bằng ø, còn bậc của mỗi đỉnh thuộc Œ, trong Œ„.; được tăng lên một đơn

vị, nhưng đều không vượt quá ø — 7 và trong bậc mới ba đỉnh bat ky cua G,, vẫn không cùng bậc Khắng định được chứng minh a

1.2.9 Định lý Đô /hj hai mảng GŒ, Z; E) với mọi đỉnh yeY déu cé m(y)>1, đồng thời có tính chất: bất kỳ hai cặp đỉnh y,,y, eY;z,,z,Z nào cũng thỏa

mãn điều kiện: Nếu ị kê với Z¡ Và V¿ kê với zz thì trong hai cặp đỉnh ĐịsZ2:;„Z CO it nhất một cặp đỉnh kê nhau Khi đó trong tập Z co it nhất một

đỉnh kẻ với tất cả các đỉnh thuộc Y

Chứng mình Ký hiệu |Y|= m.|Z|=n Xét ba khả năng có thể sau:

1) m = 1 Do Y có phần tử duy nhất y, mà m(y) > 1, trong tập Z có ít nhất

phần tử z kề với y bởi vậy m(z) = 1 =/Y/

2)m > I,n = I Theo giả thiết, với mọi yeY đều có z{(y) >1 nên đỉnh z duy nhất của tập Z phải kề với tất cả các đỉnh thuộc Y hay z2) = /Ý⁄

3)m > 1,n > 1 Gọi z là đỉnh có bậc lớn nhất trong Z

a) Néu m(z) = /W⁄, khắng định được chứng minh

b) Giả sử m(z) = k < m = /Y/ Ký hiệu y,,y; y, là các đỉnh kề với z và

„+¡ phải kề với đỉnh /eZ,/ #z.

15 Xét hai cặp đỉnh (z.y,).(/.y,„) với! = 1, 2, , k Ngoài ra / còn kề

với y¿:¡, nên 7) = k + 1 > k = m(z) Điều này mâu thuẫn với giả thiết m(z)

cực đại Khắng định được chứng minh a

1.2.10 Dinh lý Trong dé thi G(X, E) véi it nhdt kn + 1 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc khéng nho hon (k= 1)n + 1 luén ton tai đô thị con đây đủ k + 1 đỉnh

Chitng minh 1) V6i k = 1, khang dinh hién nhién dung

2) Với k = 2 có thể làm chặt hơn giả thiết: Nếu đồ thị 2ø + 7 đỉnh, ma mỗi đỉnh có bậc không nhỏ hơn ø, thì nó có đồ thị con 3 đỉnh đầy đủ Thật vậy, xét đỉnh x tùy ý, còn đỉnh y là một trong các đỉnh kề với x Tổng số đỉnh

kề với x và y không nhỏ hơn 2ø, nhưng số đỉnh khác x và y chỉ là 2w — 7 Vậy,

phải có ít nhất 1 đỉnh z được tính 2 lần Khi đó x, y, z tạo thành một đồ thị con đầy đủ 3 đỉnh

3) Giả sử khắng định đúng với # Cần suy ra tính đúng đắn của khẳng định với k + 1

Theo giả thiết, trong đồ thị G gồm (& + /)n + ¡7 đỉnh, số đỉnh kề với đỉnh x tùy ý không nhỏ hơn #z + 7, nên số đỉnh của Œ không kề với x sẽ

không vượt quá ø Bởi vậy, mỗi đỉnh y kề với x, thì nó kề với nhiều nhất ø

đỉnh không kề với đỉnh x Do đó đỉnh y phải kề với ít nhat kn+1—n=(k-1)n41 đỉnh kề với đỉnh x Xét đồ thị con Œ; gồm các đỉnh kề với x Đồ thị con G; có

ít nhất kz + 7 đỉnh và mỗi đỉnh của nó kề với it nhat (k — I)n + 1 thuộc G,,

nên theo giả thiết quy nạp, trong Ớ, có đồ thị con đầy đủ G; gồm k + 7 đỉnh

Vì đỉnh x kề với từng đỉnh thuộc G, nên đỉnh x kết hợp với các đỉnh thuộc G; lập thành một đồ thị đầy đủ gồm & + 2 đỉnh trong đồ thị G

Khắng định được chứng minh a

1.3 Xích, chu trình, đường và vòng

Đối với đồ thị (đa đồ thị) vô hướng có khái niệm xích (dây chuyền) và chu trình, còn đối với đồ thị (đa đồ thị) có hướng tôn tại khái niệm đường và

vòng Tuy vậy, người ta vẫn thường dùng khái niệm đường cho cả đồ thị và

đa đồ thị vô hướng

1.3.1 Xích, chu trình Gia str G(X, E) 1a một đồ thị hay đa đồ thị vô hướng

Dãy ø các đỉnh của G(X, E):

= [Xp eee XX eee Ny 1p]

được gọi là một xíc hay một dây chuyền, nếu Vi(l<i<n-1) cap dinh x,,x,,, goi la ké nhau

Tổng số vị trí của tất cả các cạnh xuất hiện trong xích z, được gọi là độ

dài của xích z, đồng thời được ký hiệu bằng /z/

Các đỉnh x„, x„ được gọi là hai đỉnh đầu của xích z Ngoài ra, còn nói rằng xích ø nối giữa các đỉnh x; và x„ Để chỉ rõ đỉnh đầu và đỉnh cuối ta còn

ký hiệu z bằng z[x,.x,]

Một xích với hai đầu trùng nhau, được gọi la mét chu trinh

Xích (chu trình) øz, được gọi là xích (chu trình) đơn (sơ cấp hay cơ

bản), nếu nó đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần

Vi du 1.3.1 Cho đồ thị:

Hinh 1.3.1

@, = X,x,x;x,X,x, 14 mOt chu trình đơn và sơ cấp

œ, =x,x,x,x,x;x¿x, là chu trình đơn nhưng không phải là chu trình sơ câp

Tổng số vị trí của tất cả các cung xuất hiện trong Ø được gọi là độ dài

của đường , đồng thời được ký hiệu / /

Dinh x, duge gọi là đỉnh đầu, còn x„ là đỉnh cuối của đường Ø Người

ta nói rằng, đường xuất phát từ đỉnh x, đến đỉnh x„ Đường j còn được ký

hiéu bang 2%), Xn]

Một đường có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau gọi là một vỏng

Đường (vòng) Ø được gọi là đường (vòng) đơn (sơ cấp hay cơ bản) nếu nó đi qua mỗi cạnh (mỗi đỉnh) không quá một lần

Hai xích (chu trình) được gọi là rời nhau, nếu chúng không có cạnh

chung

Hai đường (vòng) gọi là rời nhau nếu chung không có cạnh chung

Để dễ hình dung ta gọi chu trình có độ dài 3, 4, 5, , z là chu trinh tam

giác, tứ giác, ngũ giác, ., n— giác

1.3.3 Một số tính chất

1.3.3.1 Định lý 7rong đồ thị vô hướng n (n>3) đỉnh và các đỉnh đều có bậc

không nhỏ hơn 2 luôn luôn tôn tại chu trình sơ cấp

Chứng mình Vì đồ thị hữu hạn, mà mỗi xích sơ cấp qua từng đính không quá

một lần, nên số xích sơ cấp trong d6 thi G(X, E) là một số hữu hạn Bởi vậy luôn luôn xác định được xích sơ cấp có độ dài cực đại trong d6 thi G(X, E) Giả sử ø=(x¡.x; x,„,.x,) là một trong những xích có độ dài cực đại

Do bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn 2, nên x; phải kề với một đỉnh y nào đó

(khác x;) Ngược lại nếu đỉnh y khác đỉnh x; (3<¡<£) thì xích sơ cấp:

ơ'=(y.x,.x; x, ¡„x,) có độ đài |z |=|ø|+1 > |ø|

Như vậy, đã đi tới mâu thuẫn với tính độ dài cực đại của xích a,

nên „=x,(3<¡<£) và trong đồ thị có chu trình sơ cấp /=(x,,x; x, ,.x,

Khẳng định được chứng minh a

1.3.3.2 Định lý 7rong một đồ thị vô hướng với n (n> 4) dinh và các đỉnh

đều có bậc không nhỏ hơn 3 luôn luôn tôn tại chu trình sơ cấp độ dài chấn Chứng mình Giả sử ø là một trong những xích có độ dài cực đại:

a= (2,2 see Mine Mpa Xp acces Lye Ny Myr sees Le aXe )

Vì ø có độ dài cực đại, mà bậc của x; không nhỏ hon 3 nên x; phải kề với hai đỉnh khác nhau thuộc z: x,(3<¡<#).x,(3< j<£) Khi đó được hai chu trình sơ cấp.:

ới =(X\.X; X; ¡-3;» Xị

a,= (Cope eee ee te ae xem Ms Xie )

1) Nếu một trong hai chu trình trên có độ dài chẵn, khắng định được

(1) Đề thị G không có chu trình độ dài lẻ

(2) Đồ thị G không có chu trình sơ cấp độ dài lẻ

tương đương với nhau

Thật vậy, từ tính chất (1) suy ra tính chất (2) là hiển nhiên Ta chứng

minh điều ngược lại bằng phán chứng

19

Giả sử Ở không có chu trình sơ cấp độ dài lẻ, nhưng trong G có tồn

tại chu trình độ dài lẻ, chắng hạn: øz= [xu.xị x„ = x,| là một chu trình nào đó của G với độ dài lẻ ø Ta tiến hành phân chia øz như sau: Mỗi khi gặp hai đỉnh x¡ và x; với 0<¡< j<m và x,=x, thì ta phân @ thành hai chu trình bộ phận: al x,,x, | va a@[x.x,]+a[ x,.% | Do z có độ dài lẻ, nên một trong hai

chu trình bộ phận trên có độ dài lẻ Ta lại phân chia chu trình có độ dài lẻ

thành hai chu trình bộ phận tương ứng Tiếp tục phân chia theo cách trên cho tới khi không còn khả năng thực hiện nữa Vì mỗi lần phân chia ta đều được

một chu trình độ dài lẻ nên chu trình độ dài lẻ nhận được trong lần phân chia

cuối cùng là chu trình sơ cấp, nên ta đã đi đến mâu thuẫn với giả thiết Do đó

G không thể có chu trình độ dài lẻ "m

1.4 Đồ thị liên thông

Đối với đồ thị vô hướng có khái niệm liên thông, còn đối với đồ thị có

hướng đưa ra khái niệm liên thông mạnh

1.4.1 Định nghĩa Hai đỉnh x, y được gọi là cặp đỉnh liên thông, nêu hoặc

giữa x và y có Ít nhất một xích nối với nhau, hoặc tồn tại ít nhất một đường đi

từ x sang y hoặc từ y sang x

Đồ thị vô hướng G21, E) được gọi là đồ thị liên thông nếu mọi cặp đỉnh

của nó đều liên thông

Đồ thị có hướng G=(X, E) được gọi là đồ thị liên thông mạnh, nếu mọi

cặp đỉnh của nó đều liên thông

Giả sử a là đỉnh bat ky thuộc đồ thị Œ Dùng Cø đề ký hiệu tập con các

đỉnh của Œ, gồm đỉnh z và tất cả các đỉnh liên thông với z trong đồ thị G

Đồ thị con của Œ, có tập đỉnh là Cø, được gọi là một thành phần liên

thông của đồ thị G

Đỉnh x trong đồ thị liên thông G được gọi là điểm khớp, nếu đồ thị con

G¡ nhận được từ G bằng cách bỏ đỉnh x, là đồ thị không liên thông Điểm khớp x, mà nó được nối với mỗi thành phần liên thông của Œ, bằng đúng một cạnh, được gọi là điểm khớp đơn

Ví dụ 1.4.1 Cho đồ thị G có 4 thành phần liên thông Các đồ thị con G¡, G;,

G, liên thông Đồ thị con G; liên thông mạnh

»

Gi G,

Hinh 1.4.1 1.4.2 Tinh chat

21

1.4.2.1 Dinh ly Dé thi với n (n>2) đỉnh, mà tổng bậc của hai đỉnh tùy ý

đều không nhỏ hơn n, là đồ thị liên thông

Chứng mình Giả sử đồ thi G = (X, E) có n đỉnh (a>2) Giả sử tồn tại cặp đỉnh a, Ð của đồ thị G có:

nhung a, b khong lién thong Khi do trong dé thị G tồn tại hai thành phần liên

thong: G; co n; dinh va chita dinh a, G2 chtra điểm ð và có n> dinh

Vì G¿, G; là các thành phần liên thông của G, nén: n, +n, <n

Khi đó: bậc trong G cua a bằng bậc trong Ở; của nó; bậc trong ỞŒ của Ð bằng bậc trong Ở; của nó

Vậy: m(a)+ m(b) <(m —1)+(n;—1)=m +nạ—2<n~2<n (2)

Do sự mâu thuẫn của (1) và (2), suy ra kết luận: Đồ thị G phải liên

thông Khắng định được chứng minh a

1.4.2.2 Hệ quá Đô /hj mà bậc của mỗi đỉnh của nó không nhỏ hơn một nửa

Gia su a và Ð không liên thông với nhau Khi đó chúng phải thuộc hai

thành phần liên thông nào đó của đồ thị Œ: Œ; chứa a, G2 chtra b

Bậc của đỉnh a trong Œ, cũng chính là bậc của đỉnh ø trong Ớ, nên

trong G, đỉnh a van co bac lẻ Và đồ thị G có duy nhất một đỉnh bậc lẻ Ta đi

đến mâu thuẫn Vậy hai đỉnh a, Ð phải liên thông a

1.4.2.4 Dinh ly Dé thi G(X, E) liên thông khi và chỉ khi nó có một thành phan lién thông duy nhát

Chứng mình 1) Điều kiện cần: Giả sử G(X, E) liên thông nhưng lại có không

ít hơn hai thành phần liên thông Giả sử ơ, (C,.E).G,(C,.E) là hai trong các thành phần liên thông của Œ Khi đó, 3x C,,4veC, vax, y khong lién thong

với nhau Bởi vậy, đồ thị Œ(X, E) không liên thông Ta đã đi tới mâu

thuẫn với giả thiết, nên G(X, E) phải có một thành phần liên thông duy nhất 2) Điều kiện đủ: Giả sử đồ thị Œ(X, E) có một thành phần liên thông duy nhất Khi đó thành phần liên thông này chứa tất cả các đỉnh của đồ thị

G(X, E)

Do mọi đỉnh của thành phần liên thông đều liên thông với nhau, nên

mọi cặp đỉnh của đồ thị liên thông nhau, nên G(X, E) la dé thi liên thông

Khắng định được chứng minh ]

1.4.2.5 Dinh ly Gia sử G(X, E) là một đô thị liên thông Một đỉnh của đỗ thị G(X, E) là điểm khớp khi và chỉ khi trong G(X, E) ton tai hai dinh a, b sao

cho mỗi xích nối a với b đều phải đi qua đỉnh này

Chứng mình 1) Điều kiện cần: Giả sử đỉnh x là điểm khớp trong đồ thị G(x.E) Khi đó đồ thị con G,(X -{x}.E) là đồ thị không liên thông, nên nó chứa ít nhất hai thành phần liên thông Giả sử G2, G; là hai trong các thành

phan liên thông của G¡ Giả sử z là một đỉnh nào đó của Ớ, còn ở là một đỉnh

nào đó của G; Do z, Ð thuộc hai thành phần liên thông khác nhau, nên trong Ớ; các đỉnh a, b không liên thông Nhưng trong G(X, E) các đỉnh a, b lại liên thông, nên mọi xích nối a, b đều phải đi qua đỉnh x

2) Điều kiện đủ: Giả sử mọi xích nối a, b đều đi qua đỉnh x, nên nếu bỏ

đỉnh x, thì đồ thị con G,(X-{x},£) chia hai đỉnh a, b không liên thông, bởi vậy G,(X-{x}.E) không liên thông Do đó đỉnh x là điểm khớp của đồ thị

G(X, E) Khẳng định được chứng minh m

23 1.5 Sắc số và đồ thị màu

1.5.1 Định nghĩa Cho trước một số nguyên p Ta nói rằng đồ thị G 1a p sắc nếu bằng màu khác nhau có thể tô trên các đỉnh (mỗi đỉnh một màu), sao cho hai đỉnh kề nhau tùy ý đều có màu khác nhau

Số p nhỏ nhất, mà đối với số đó đồ thị G là p sắc, được gọi là sắc só của đồ thị G và được ký hiệu bằng z(G)

Nói cách khác, sắc số của đồ thị là số màu ít nhất cần để tô trên các đỉnh của đồ thị (mỗi đỉnh một màu), sao cho hai đỉnh kề nhau tùy ý được tô

bằng hai màu khác nhau

Sắc lớp: Số màu ít nhất cần dùng để tô trên các cạnh của đồ thị (mỗi

cạnh một màu), sao cho hai cạnh kể nhau tùy ý đều có màu khác nhau

Người ta có thể chuyển bài toán sắc lớp về bài toán sắc số bằng cách:

Đối với mỗi đồ thị G = (X, U) xây dựng đồ thị G' = (U, E), trong đó U là tập

cạnh của đồ thị G, còn tập cạnh E của nó được xác định như sau:

E = {(u,u’?)/u,u'eU và là hai cạnh kề nhau}

Khi đó, sắc số của đồ thị G” bằng sắc /ớp của đồ thị G

Chứng minh Giả sử œ là một chu _ trình độ dài lẻ tùy ý Khi đó tồn tại số

tự nhiên ø, để /z/ = 2n + 1 Ký hiệu các đỉnh của z một cách liên tiếp bằng

¬

Ta sẽ chứng minh khẳng định trên bằng qui nạp theo n

Với n = 1 Chu trình z gồm 3 đỉnh x,x;,x, Do mỗi dinh x,(1<i<3) đều kề với hai đỉnh còn lại, nên ta phải dùng đúng 3 màu khác nhau thì mới

đủ tô trên mỗi đỉnh một màu, đề cho hai đỉnh kề nhau tùy ý đều có màu khác

nhau

Giả sử khẳng định đúng với ø<k, nghĩa là đối với chu trình ø, tùy ý với độ dài 2n + 7 (1<n<k) déu có sắc số bằng 3 Cần chỉ ra rang voi n=k+/ khẳng định vẫn đúng, nghĩa là chu trình ø tùy ý với độ dài 2(& + 7) + 7 cũng

có sắc số bằng 3

Giả sử a là chu trình độ dài lẻ tùy ý có độ dài bằng 2(& + 7) + 7 và có

tập đỉnh được đánh số liên tiếp là {x,.x¿ x¿,„,} -

Nối đính x, với đỉnh xz¿., ta được chu trình ø, với độ dài lẻ 2k + 1 Theo giả thuyết qui nạp sắc số của a, bang 3 déng thoi x; va xz¿.; có màu khac nhau Chang hạn x; được tô bằng màu Ä⁄; và xz.; được tô bằng mau M) Khi đó để tô màu đỉnh xz;, ; ta có thể dùng lại màu Ä⁄; và tô màu đỉnh xz¿, ; ta

dùng lại màu Ä⁄; Nghĩa là không cần phải dùng thêm màu mới Vậy sắc số

của ø bằng 3 và khắng định được chứng minh a

1.5.2.2 Dinh ly Dé thi G = (X, U) véi ít nhất một cạnh là đỗ thị hai sắc khi

và chỉ khi nó không có chu trình độ dài lẻ

Chứng mình Điểu kiện cần: Giả sử G là đồ thị 2 - sắc, nhưng trong Ở lại có chu trình độ dài lẻ và ø là một trong những chu trình độ dài lẻ của Œ Khi đó,

theo định lý 1.5.2.1 sắc số của a bằng 3 Mặt khác, sắc số của một đồ thị

không nhỏ hơn sắc số của bất kỳ đô thị con nào, nên sắc số của Ở ít nhất bằng

3 Ta đi đến mâu thuẫn với giả thiết, nên Œ không có chu trình độ dài lẻ Điều kiện đủ: Giả sử đồ thị G = (X, U) không có chu trình độ dài lẻ Ta cần chi ra G là đồ thị 2 — sắc Có thê giá thiết Œ là đồ thị liên thông (nếu G không

liên thông ta xét riêng từng thành phần liên thông)

25

Ta tô màu dần dần các đỉnh của đồ thi G theo qui tắc sau:

+ Tô màu xanh cho đỉnh z tùy ý

+ Nếu đỉnh x nào đó được tô màu xanh, ta dùng màu đỏ để tô cho tất cả các đỉnh kề với x; nếu đỉnh y được tô màu đỏ, thì ta dùng màu xanh tô cho tất

cả các đỉnh kề với y

Vì đồ thị G liên thông, nên mọi đỉnh của nó sẽ được tô màu và mỗi đỉnh của G không thể cùng một lúc được tô màu xanh và màu đỏ Thậy vậy,

giá sử trong Ở tồn tại đỉnh mà theo nguyên tắc trên, nó phải tô màu xanh,

đồng thời lại phải được tô màu đỏ Khi đó v đồng thời kề với đỉnh s đã có màu

xanh và đỉnh / đã có màu đỏ, nên các đỉnh s, v, / nằm trên một chu trình độ dài

lẻ Như vậy, mâu thuẫn với giả thiết, nên đỉnh v như trên không tồn tại

Mặt khác, do đồ thi có ít nhất một cạnh nên cần phải dùng hai màu để

tô trên hai đỉnh của cạnh này

Vậy G là đồ thị 2 - sắc

Khang định được chứng minh.m

1.5.2.3 Dinh lý Đô /hị đầy đủ với n đỉnh luôn luôn có sắc số bằng n

Chứng minh Khẳng định được chứng minh bằng qui nạp theo số đỉnh của đồ

thị Dùng G„ để ký hiệu đồ thị đầy đủ có n đỉnh

Với n = 1, Œ¡ gồm 1 đỉnh, nên phải dùng I màu

Giả sử khẳng định đúng với ø = È, nghĩa là Ớ, tùy ý đã có sắc số bằng

& Ta cần chứng minh khẳng định đúng với ø = & + ¡, nghĩa là Œ,., có sắc số bang k+1

Giả sử Œ,., là một đồ thị đầy đủ tùy ý với tập đỉnh: x=Íx,.x; x,.x,„}:

Ta loại khỏi Œ¿;; một đỉnh tùy ý, chang hạn đỉnh x¿, ; cùng với các cạnh thuộc

nó Đồ thị con nhận được cũng là một đồ thị đầy du G; gom k dinh, nén theo

giá thiết qui nạp Ớ, có sắc số bằng k Khôi phục lại đỉnh x¿:; cùng với các cạnh thuộc nó, tức là trở lại đồ thi Gyr) Vì x¿.; kề với từng đỉnh của Œ, nên

để tô màu cho x;;; ta phải dùng một màu chưa sử dụng trên Œ, Do đó Œ¿;;¡ có sắc số bằng & + 7 Khắng định được chứng minh a

1.5.3 Lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu

Để phục vụ cho việc giải quyết một lớp các bài toán nào đó cần xét

những dãy số đặc biệt và đưa ra các khắng định thích hợp, chắng hạn: để xây dựng một lớp đồ thị có chu trình tam giác cùng màu người ta đưa ra các dãy

số nguyên đương:

a, = 2,4, =5, 44,,, =(n+l)a, " +1

b, =3,b, = 6, 5),.) = (b, = I)n+ 2

Ta có một số kết quả sau:

1.5.3.1 Mệnh đề a) Đô thị đây đủ có a„ + 1 đỉnh với n màu cạnh luôn luôn

có đô thị con đây đủ K› với cạnh cùng màu (tam giác cùng màu)

b) Đà thị đây đủ có b„.¡ đỉnh với n màu cạnh luôn luôn có đồ thị con đây đủ

K; với cạnh cùng màu

Chứng minh Khẳng định a) chứng minh bằng qui nạp theo n

Với n = 1, đồ thị đầy đủ tương ứng gồm a, + / = 2 + ¡ =3 đỉnh lập

thành một chu trình tam giác Các cạnh của đồ thị này được tô bằng một màu,

nên chu trình tam giác lập nên Œ; cùng màu

Gia sử khẳng định đã cho đúng với ø = k, nghĩa là đồ thị đầy đủ bat ky

Gy gom a, + 1 đỉnh với các cạnh được tô bằng k màu đã có chu trình tam giác

cùng màu Cần chứng tỏ khẳng định đúng với ø = k + 1

Xét đồ thị đầy đủ tùy ý Ớ¿,; với a¿.; + 7 đỉnh và các cạnh được tô bằng

k + ïmàu

Giả sử P la mot dinh thy y cua Œ,., Khi đó P duoc nối với

đ¿„¡ =(k+1)a,+1 đỉnh bởi các cạnh được tô bằng không quá & + 7 màu, nên

xuất phát từ P phải có ít nhất ø + 7 cạnh được tô bằng cùng một màu Giả sử

màu này là màu đỏ và các cạnh ⁄4;, P4;, , P4,.; được tô màu đỏ Có hai

khả năng xảy ra:

+ Nếu một trong các cạnh nối giữa các đỉnh 4.4,(1<i.7<4,,,) được tô màu đỏ, chăng hạn cạnh (4,.4,) màu đỏ Khi đó chu trình tam giác 4,?4›

màu đỏ, nên đồ thị Ớ,:; có chu trình tam giác màu đỏ

+ Trường hợp ngược lại không có cạnh nào trong các cạnh

(4,4,) (ISij<a,+1) được tô màu đỏ Khi đó đồ thị con đầy dit G, voi tap